Математика

Геометрия в пространстве


                                  Введение.


      В  своей  деятельности  человеку  повсюду  приходится  сталкиваться  с
необходимостью    изучать    форму,    размеры,    взаимное     расположение
пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие  дело  с
самыми  большими  масштабами,  и  физики,  исследующие  структуру  атомов  и
молекул. Раздел геометрии, в  котором  изучаются  такие  задачи,  называется
стереометрией (от греческого «стереос»- объемный, пространственный).
      Может показаться парадоксальным, но фактически понятие  «плоскость»  в
планиметрии- геометрии на плоскости - не  нужно.  Ведь  если  мы,  например,
говорим,  что  в  плоскости  многоугольника  дана  точка,   мы   тем   самым
подразумеваем,  что  такие  точки  существуют  и  вне  этой   плоскости.   В
планиметрии такое предположение излишние: все происходит в одной  и  той  же
единственной плоскости. В стереометрии  нам  приходится  иметь  дело  уже  с
несколькими плоскостями. В каждой из них сохраняют свою силу  все  известные
из  планиметрии  определения  и  теоремы,  относящиеся  к  точкам,   прямым,
расстояниям и  т.д.,  но  свойства  самих  плоскостей  необходимо  описывать
отдельно.
                                    План.


I.  Основные  аксиомы  стереометрии---------------  4          II.   Прямые,
  плоскости, параллельность------------ 6
  III. Изображение пространственных фигур------ 7  IV.  Перпендикулярность.
  Углы. Расстояния----- 12 V. Несколько задач на  построение,  воображение,
  изображение и соображение------------------------ 17
                       I.Основные аксиомы стереометрии


      Итак, в стереометрии к основным понятиям планиметрии  добавляется  еще
одно - плоскость, а вместе с ним - аксиомы,  регулирующие  «взаимоотношения»
плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три.
      Первая- аксиома выхода в пространство - придает «театру геометрических
действий» новое, третье измерение:

         . Имеется четыре точки, не лежащие в одной плоскости (рис. 1)

      Таким образом, не все точки находятся  в  одной  плоскости.  Но  этого
недостаточно. Нужно, чтобы различных плоскостей было бесконечно  много.  Это
обеспечивается второй аксиомой- аксиомой плоскости:



         . Через любые три точки проходит плоскость.

      С третьей  аксиомой  мы  сталкиваемся,  когда  складываем  фигурки  из
бумаги: все знают, что, образующиеся при этом линии сгиба - прямые.
      Аксиома пересечения плоскостей звучит так:


         . Если две плоскости имеют общую точку,  то  их  пересечение  есть
           прямая.
         . (рис.2)



      Отсюда следует: если три точки лежат на одной  прямой,  то  проходящая
через них плоскость единственная.

      Действительно, если через какие- то  три  точки  проходят  две  разные
плоскости, то через эти точки можно провести прямую,  а  именно  прямую,  по
которой  плоскости  пересекаются.  Отметим,  что  последнее  свойство   само
нередко включается в аксиомы.
      Третья аксиома играет  очень  существенную  и  неочевидную  с  первого
взгляда роль в стереометрии: она делает пространство в точности  трехмерным,
потому что  в  пространствах  размерности  четыре  и  выше  плоскости  могут
пересекаться по  одной  точке.  К  трем  указанным   так  же  присоединяются
планометрические аксиомы, переосмысленные и  подправленные  с  учетом  того,
что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями.  Например,
аксиому прямой - через две различные точки  можно  провести  одну  и  только
одну  прямую  -  переносят  в  стереометрию  дословно,  но  только  она  уже
распространяется на две точки пространства.
      В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное  следствие:
прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит  в  этой
плоскости.

      Пусть прямая l проходит через точки А и В плоскости ?  (рис.  3).  Вне
плоскости ? есть хотя бы одна точка С (по аксиоме выхода в пространство).  В
соответствии с аксиомой плоскости через А,В и С можно провести плоскость  ?.
Она отлична от плоскости ?, так как содержит С и имеет с ? две общие  точки.
Значит, ? пересекается с ? по прямой, которой, как и l,  принадлежат  А,  В.
По аксиоме прямой, линия пересечения плоскостей совпадает с l. Но эта  линия
лежит в плоскости ?, что и требовалось доказать.


      Путем несложных доказательств мы находим, что:
         . На каждой плоскости выполняются все утвержде-ния планиметрии.
                   II. Прямые, плоскости, параллельность.

     Уже такое основное понятие,  как  параллельность  прямых,  нуждается  в
новом определении:
две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в  одной
плоскости и не  имеют  общих  точек.  Так  что  не  попадайтесь  в  одну  из
излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь  «доказывать»,  что  через
две параллельные прямые можно провести плоскость: это верно  по  определению
параллельности прямых! Знаменитую планиметрическую аксиому о  единственности
параллельной включают и в аксиомы стереометрии, а с  её  помощью  доказывают
главное свойство параллельных прямых в пространстве:
         . Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и  только
           одну прямую параллельно данной.
   Сохраняется и другое важное свойство параллельных прямых, называемое
транзитивностью параллельности:
         . Если две прямые а и b параллельны   третьей прямой с, то они
           параллельны друг другу.

     Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости
непараллельные прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть
одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В
пространстве существуют непараллельные и притом непересекающиеся прямые —
если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они
скрещиваются.
  На рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD —
параллельны, а АВ и В№С№ — скрещиваются. В дальнейшем мы часто будем
прибегать к помощи куба, чтобы иллюстрировать понятия и факты стереометрии.
Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем
выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ
параллельна C№D№, потому что обе они параллельны общей стороне CD
содержащих их квадратов.
      В  стереометрии  отношение  параллельности   рассматривается   и   для
плоскостей: две плоскости или прямая и плоскость параллельны,  если  они  не
имеют общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и  в  том
случае, когда  лежит  в  плоскости.  Для  плоскостей  и  прямых  справедливы
теоремы о транзитивности:
         .  Если  две  плоскости  параллельны  третьей  плоскости,  то  они
           параллельны между собой.
         . Если  прямая  и  плоскость  параллельны  некоторой  прямой(  или
           плоскости), то они параллельны друг другу.
      Наиболее важный частный случай второй теоремы- признак  параллельности
прямой и плоскости:
          . Прямая параллельна плоскости,  если  она  параллельна  некоторой
            прямой в этой плоскости.
      А вот признак параллельности плоскостей:
          . Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости  соответственно
            параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то  и
            плоскости параллельны.
      Часто используется и такая простая теорема:
          . Прямые,  по  которым  две  параллельные  плоскости  пересекаются
            третьей, параллельны друг другу.
      Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака  параллельности  прямой
и плоскости следует, например, что прямая А№В№  параллельна  плоскости  АВСD
(так как она параллельна прямой АВ  в  этой  плоскости),  а  противоположные
грани  куба,  в  частности  А№В№С№D№  и  ABCD,   параллельны   по   признаку
параллельности плоскостей: прямые A№B№ и B№С№ в одной  грани  соответственно
параллельны  прямым  АВ  и  ВС  в  другой.  И  чуть  менее  простой  пример.
Плоскость,  содержащая   параллельные   прямые   AA№   и   СС№,   пересекают
параллельные плоскости АВСD и A№B№C№D№ по прямым  АС  и  А№С№,  значит,  эти
прямые   параллельны:   аналогично,   параллельные   прямые   В№С   и   А№D.
Следовательно, параллельные плоскости  АВ№С  и  А№DC,  пересекающие  куб  по
треугольникам.

                  III. Изображение пространственных фигур.

             Есть  такой  афоризм  «Геометрия  —  это  искусство   правильно
рассуждать  на  неправильном  чертеже».  Действительно,  если  вернуться  к
изложенным выше рассуждениям, то окажется:
единственная польза, которую  мы  извлекли  из  сопровождавшего  их  рисунка
куба, состоит в том, что он сэкономил нам место на  объяснении  обозначений.
С тем же успехом можно было изобразить его, как тело на  рис.  4,  я,  хотя,
очевидно,  представленное  на  нём  «нечто»  не  только  не  куб,  но  и  не
многогранник. И всё же в приведённом афоризме заключена лишь  часть  правды.
Ведь прежде, чем «рассуждать» — излагать готовое  доказательство,  надо  его
придумать. А  для  этого  нужно  ясно  представлять  себе  заданную  фигуру,
соотношения между её элементами.  Выработать  такое  представление  помогает
хороший чертёж. Более того, как мы увидим,  в  стереометрии  удачный  чертёж
может стать не просто иллюстрацией, а основой решения задачи.
      Художник (вернее, художник-реалист) нарисует наш куб таким,  каким  мы
его видим (рис. 5, б), т. е. в перспективе, или  центральной  проекции.  При
центральной  проекции  из  точки  О  (центр   проекции)   на   плоскость   а
произвольная точка Х изображается точкой X',  в  которой  а  пересекается  с
прямой  ОХ  (рис.   6).   Центральная   проекция   сохраняет   прямолинейное
расположение  точек,  но,  как  правило,  переводит  параллельные  прямые  в
пересекающиеся, не говоря  уже  о  том,  что  изменяет  расстояния  и  углы.
Изучение её свойств привело  к  появлению  важного  раздела  геометрии  (см.
статью «Проективная геометрия»).
      Но в геометри-ческих чертежах  исполь-зуется  другая  проекция.  Можно
сказать, что она получается из  централь-ной  когда  центр  О  уда-ляется  в
бесконечность и прямые ОХ становятся параллельными.
      Выберем плоскость а и пересекающую её прямую l. Проведём через точку Х
прямую, параллельную l. Точка X', в которой эта прямая встречается  с  а,  и
есть параллельная проекция Х на  плоскость,  а  вдоль  прямой  l  (рис.  7).
Проекция  фигуры  состоит  из  проекций  всех  её  точек.  В  геометрии  под
изображением фигуры понимают её параллельную проекцию.

      В частности, изображение прямой  линии  —  это  прямая  линия  или  (в
исключительном  случае,  когда  прямая  параллельна  направлению   проекции)
точка. На изображении параллельные  прямые  так  и  остаются  параллельными,
сохраняется здесь и отношение длин параллельных отрезков, хотя сами длины  и
изменяются. Всё вышесказанное можно уложить  в  одну  короткую  формулировку
основного свойства параллельной проекции:
          . Если АВ =k CD, а A№,B№,C№ и D№- проекции точек  A,B,C  и  D,  то
            A№B№= k C№D№.
      Черта здесь означает направленные отрезки  (векторы),  а  равенство  —
совпадение не только длин, но и направлений (рис. 7).  Таким  образом,  если
задать  изображения  точек  А  и  В,  то  будут  однозначно   определены   и
изображения всех точек Х прямой АВ, поскольку множитель k в равенстве  AX  =
kAB  на  параллельной  проекции  и  оригинале   одинаков.   Аналогично,   по
изображениям  трёх  точек,  не   лежащих   на   одной   прямой,   однозначно
восстанавливаются изображения всех точек проходящей через них  плоскости,  а
задав изображения четырёх  точек,  не  находящихся  в  одной  плоскости,  мы
предопределяем изображения всех точек пространства.
      В то же время изображением данной тройки точек,  т.  е.  треугольника,
может служить треугольник любой заданной  формы.  В  этом  легко  убедиться:
проведём  через  сторону  Поданного  треугольника  ЛВС  любую  плоскость  а,
построим в ней треу-гольник АВС нужной формы и спроектируем треугольник  АВС
на ? вдоль прямой l = СС№ (рис. 8). Взяв в качестве  А  В  С  равнобедренный
прямоу-гольный треугольник и достроив его до квадрата ABCD,  увидим,  что  в
параллельной проекции квадрат легко превращае-тся в  любой  параллело-грамм.
Более того, можно доказать,  что  изображе-нием  любой  данной  треу-гольной
пирамиды могуг быть любые четыре точки, не лежащие на одной  прямой,  вместе
с соединяющими их отрезками.
       Правильно  выбранное  изображение  помогает  решать  задачи.  Найдём,
например, отношения, в которых треугольное сечение A№BD  нашего  куба  (рис.
9, а) делит отрезок, соединяющий середины Р и Q рёбер AD и  В№С№.  Посмотрим
на куб со стороны бокового ребра ВВ№,  а  точнее  говоря,  спроектируем  куб
вдоль прямой BD па  плоскость  АА№С№С.  Понятно,  что  проекцией  будет  сам
прямоугольник АА№С№С с проведённым  в  нём  отрезком,  соединяющим  середины
оснований (точки В и D совпадут;
рис. 9, б); рассматриваемое сечение превратится в отрезок  (рис.  9,  б),  а
точки Р и Q станут серединами отрезков А1) и ВiCi. Очевидно,  что  на  нашем
рисунке A№Q = 3PB, а значит, РМ: MQ = 1  :  3.  В  силу  основного  свойства
параллельной проекции, это равенство верно и в пространстве. Та же  проекция
позволяет найти отношение между частями любого проведённого в кубе  отрезка,
на которые он рассекается плоскостью A№BD: в частности, отрезок KQ, где К  —
середина АВ. вновь делится ею в отношении  1  :  3,  а  диагональ  АС,  —  в
отношении 1:2.
  Ещё эффектнее решения планиметрических задач, которые получают, «выходя в
пространство», т. е. представляя данную плоскую фигуру  в  виде  изображения
некоего пространственного  объекта.  Вот  одна  из  таких  задач,  требуется
построить треугольник с вершинами на трёх данных лучах ОА, 0В и ОС  с  общим
началом О так, чтобы его стороны проходили через  три  данные  внутри  углов
АОВ, ВОС к СОА точки Р, Q и R.
      Это очень трудная задача. Но  если  мы  догадаемся  посмотреть  на  её
чертёж (рис. 10, а) как на изображение трёхгранного угла с тремя точками  на
его гранях, то, конечно, поймем, что имеем  дело  с  задачей  на  построение
сечения этого угла плоскостью PQR. Решение задачи приводится на рис  10,  б;
кстати сказать,  оно  поясняет  и  основной  прием  построения  сечений.  Из
произвольной точки Е луча ОС проектируем данные точки R  и  Q  на  плоскость
ОАВ;  получаем  точки  R№  и  Q№.  Плоскость  искомого  сечения   пересекает
плоскость ОАВ  по прямой МР. Дальнейшее очевидно.
                  IV. Перпендикулярность. Углы. Расстояния.

      До сих пор мы, по  существу,  нигде  не  пользовались  такими  важными
геометрическими понятиями, как расстояния и углы.  Даже  в  нашем  кубе  нам
достаточно было только того, что его грани- параллелограммы, равенства  всех
их сторон и углов на самом деле  не  требовалось.  Чтобы  иметь  возможность
изучать свойства куба и  других  пространственных  фигур  во  всей  полноте,
нужны  соответствующие   определения.   Прежде   всего,   расширим   понятие
перпендикулярности, известное из планиметрии.
      Если прямая пересекает плоскость в этой  плоскости,  проходящей  через
точку Р, то говорят , что данные прямая и плоскость перпендикулярны.
      Например, ясно, что ребро АА№ нашего  куба  перпендикулярно  основанию
АВСD.  Но как проверить, что это ребро действительно  перпендикулярно  любой
прямой, лежащей в основе  и  проходящей  через  А?  Оказывается,  достаточно
того, что АА№ составляет прямые углы с двумя из них  –  АВ  и  АD:  согласно
признаку перпендикулярности прямой и плоскости,
          . Если прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и  b,
            то она перпендикулярна плоскости, содержащей a и b.
      Причём здесь не обязательно предполагать, что прямые a и b  пересекают
l: считают, что скрещивающиеся прямые перпендикулярны, если  перпендикулярны
параллельные  им  прямые,  проходящие  через  произвольно  взятую  точку,  в
частности через точку пересечения l  с  плоскостью.  Так  что  теперь  можно
сказать,  что  прямая,  перпендикулярная  плоскости,  перпендикулярна  любой
лежащей в этой плоскости прямой. Справедлива такая теорема:
          . Через данную точку в пространстве можно провести одну  и  только
            одну плоскость, перпендикулярную данной прямой, а также  одну  и
            только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости.

      Параллельная проекция на плоскость вдоль перпендикулярной  ей  прямой
называется  ортогональной  (т.  е.  прямоугольной)   проекцией   на   данную
плоскость. Обычно, когда говорят просто  «проекция»,  имеют  в  виду  именно
ортогональную проекцию. Она обладает всеми  общими  свойствами  параллельной
проекции. Но у неё есть и специфические свойства, их можно использовать  при
решении задач о расстояниях и углах в пространстве.
      Из признака перпендикулярности  прямой  и  плоскости  выводится  очень
простая, но важная теорема о трёх перпендикулярах (рис. 11):
          . Наклонная a к  плоскости  перпендикулярна  к  прямой  l  в  этой
            плоскости   тогда,   когда   её   проекция   а№   на   плоскость
            перпендикулярна l.
        Наклонной  к  плоскости  называют  любую  пересекающую  её,  но   не
перпендикулярную ей прямую. Оба условия в  этой  теореме  равносильны  тому,
что плоскость, содержащая а и а', перпендикулярна прямой /.
      Применим обе теоремы к кубу (рис. 11). Проекция АС его  диагонали  АC№
на основание перпендикулярна диагонали  основания  BD;  по  теореме  о  трёх
перпендикулярах, и сама  диагональ  АС№  перпендикулярна  BD.  По  такой  же
причине  перпендикулярны  АС№  и  А№В.   Отсюда   следует,   что   диагональ
перпендикулярна «треугольному сечению» A№BD.

       В стереометрии помимо обычных плоских

углов приходится иметь дело ещё с тремя видами  углов.  Угол  между  скрещи-
вающимися  прямыми,  по  определению,  равен  углу   между   пересекающимися
прямыми, которые им параллельны. Угол между прямой а и плоскостью  о.  равен
углу между прямой а и её проекцией а' на плоскость (рис. 10), а если  прямая
и плоскость перпендикулярны, его принимают равным  90°.  Это  наименьший  из
углов  между  прямой  а  и  любой  прямой  в   плоскости   а.   Угол   между
пересекающимися  плоскостями  измеряется   углом   между   перпендикулярами,
проведёнными в этих  плоскостях  к  линии  их  пересечения  (рис.  13).  Все
названные углы принимают значения в промежутке от 0 до 90°.
       Найдём, например, угол между диагоналями А№В и В№С граней нашего куба
(рис.  14).  Заменим  прямую  В№С   на   параллельную   ей   диагональ   A№D
противоположной грани; искомый угол равен углу BA№D, т. е. 60°  (треугольник
BA№D равносторонний). Угол между диагональю  АС№  и  основанием  куба  равен
углу САС№ между прл* мой ас№ и её проекцией  АС  на  основание,  т.е.  arctg
(C№C/AC) = arctg (1/?2]. А угол между плоскостями  BDA№  и  BDC№  (рис.  14)
равен углу А№МС№, где М — середина BD, так как прямые МА№   и  МС№  лежат  в
этих  плоскостях  и  перпендикулярны  их  линии  пересечения  BD  (несложное
вычисление даёт arccos (1/3)).
      Расстоянием между двумя  любыми  фигурами  называют  наименьшую  длину
отрезка, концы которого принадлежат данным фигурам.  Значит,  расстояние  от
точки до плоскости  равно  длине  перпендикуляра,  опущенного  из  точки  на
плоскость, — он короче любой наклонной, так  как  гипотенуза  прямоугольного
треугольника короче  катета.  Расстояние  между  параллельными  плоскостями,
очевидно, равно  расстоянию  от  любой  точки  в  одной  из  них  до  другой
плоскости (рис. 15, а).
      Более  интересен  вопрос  о  расстоянии  между  двумя  скрещивающимися
прямыми а и b. Проведём через прямую а плоскость ?,  параллельную  прямой  b
(рис. 15, б), найдем точку пересечения А ортогональной проекции b№ прямой  b
на ? и точку В прямой  b,  которая  проектируется  в  точку  А.  Отрезок  АВ
перпендикулярен плоскости  а  и  потому  является  общим  перпендикуляром  к
прямым а и b. Его длина и  равна  расстоянию  между  нашими  скрещивающимися
прямыми.
      Вместо того чтобы вычислять расстояния и углы  в  пространстве,  часто
можно находить соответствующие величины  на  ортогональной  проекции  данной
фигуры. На рис. 15 показаны .те интересные ортогональные проекции  куба  '„'
ребром длины и: прямоугольник размером
а * а?2 (проекция на диагональную плоскость АСС№А№ или,  что  то  же,  вдоль
диагонали BD  основания):  и  правильный  шестиугольник  со  стороной  а?2/3
(проекция  вдоль  диагонали  куба   АС№;   мы   видели,   что   прямая   АС№
перпендикулярна плоскости BDA№, а  потому  правильный  треугольник  BDA,  со
стороной а?2 в такой проекции не  искажается).  С  помощью  первой  проекции
можно найти, например, угол между плоскостями BDA№ и BDC№ —  он  равен  углу
между красными прямыми, в которые проектируются эти плоскости. А  расстояние
r между двумя скрещивающимися диагоналями граней BD и В№С  равно  расстоянию
на рис. 16, а от точки В до прямой В№С (В  и  B№C  —  изображения  первой  и
второй диагоналей  соответственно).  Подумайте  почему.  (Здесь  важно,  что
общий перпендикуляр диагоналей параллелен плоскости проекции.) Легко  найти,
что r= а/?3. Нетрудно вычислить  на  той  же  проекции  и  расстояние  между
прямыми BD и АС№ Ещё проще найти его с помощью рис. 16, б,  на  котором  АС№
превращается в точку: расстояние от последней — центра шестиугольника  —  до
BD равно половине стороны шестиугольника, т. е. а/?6.
      Отметим интересное соотношение, связывающее площадь фигуры, площадь её
проекции и угол между плоскостями:
          . Площадь Sпр ортогональной проекцией многоугольника равна площади
            S многоугольника, умноженной на cos ?, где  ?-  угол  между  его
            плоскостью и плоскостью проекции:
      Это очевидно для треугольника, одна из  сторон  которого  совпадает  с
линией пересечения двух плоскостей (рис. 17) или  параллельна  ей.  А  любой
многоугольник можно разбить на такие треугольники.  Приближая  криволинейные
фигуры многоу-гольниками, получим, что формула площади проекции  справедлива
и для них.
  V. Несколько задач на построение, вооброжение, изображение и соображение.

ЗАДАЧА 1.
По правилам черчения  принято  изображать  пунктиром  ребра  многоугольника,
расположенные на его обратной стороне.  Некоторый  многоугольник  спереди  и
сверху выглядит одинаково, как показано на рис 18. Пунктиров на  изображении
нет- значит нет и невидимых ребер. Как предмет выглядит сбоку?

ЗАДАЧА 2.
Может  ли  рисунок   19   служить   изображением   многогранника   с   тремя
четырехугольными гранями и двумя треугольными?

ЗАДАЧА 3.
На рисунке 20 изображена  треугольная  пирамида,  в  которой  проведены  два
отрезка, соединяющие точку на противоположных ребрах. Можно  ли  по  рисунку
определить, пересекаются эти отрезки в пространстве или нет? А  если  можно,
то как?

ОТВЕТЫ.
1.



2. Нет. Прямые AD, BE, CF должны пересекаться в одной точке.
3. Можно. Отрезки пересекаются  (т.е.  лежат  в  одной  плоскости)  тогда  и
только тогда, когда либо точка пересечения синих прямых лежит на прямой  АВ,
либо они параллельны.
-----------------------
.C

Рис. 2

l

Рис. 1

.

.

A

B

Рис. 3

?

?

Рис. 4

С

В

А

D

C№

Рис. 5

D№

A№

B№

а

б

Рис. 6

?

D№

D

C

B

B№

A

A№

C№


Рис. 7


l


Рис. 8



Рис. 9


B№(=D№) Q

Р(=К’)       B(=D)

М

А

А№

С

С№

R№

E

M

Q№


                                      R


Q

С

О

А

В

Р


                                      R


Q

С

О

А

В

Р


Рис. 10


l

?

a

a№


Рис. 11


B№

A№

C№

D№

D

C

B

A


Рис. 12



Рис. 13



Рис. 14



Рис. 15


A

b

b№

a

?

а

б

б

B№

B

A№

D№

C

D

A(=C№)

а

r

B№(=D№)

B(=D)

A

C№

C

A№


Рис. 16


?

h


Рис. 17



Рис. 18


B

C

A


Рис. 19


F

D

?


Рис. 20


E

?


                                   РЕФЕРАТ


                                  на тему:

                         «Геометрия в пространстве».

ученик 9 «А» класса гимназии № 6
Гейко Денис.


__________________

ПОДГОТОВИЛ:

ПРОВЕРИЛ:

                              Ежегодная научная
                             пресс-конференция,
                                гимназия №6,
                                г. Хабаровск
                                  2001 год.





смотреть на рефераты похожие на "Геометрия в пространстве"