Математика

Теория вероятности


Математический аппарат современной экономики часто  используется  на  основе
традиционной теории вероятности, однако сама теория вероятности основана  на
системе  аксиом.  Для  этой  теории   характерна   частотная   интерпретация
вероятности события: мы не знаем,  каков  будет  исход  данного  конкретного
эксперимента, но знаем, какова доля того или иного исхода во множестве  всех
возможных исходов эксперимента,  многократно  поставленного  при  неизменных
начальных условиях.  В  теории  вероятности  предполагается,  что  случайные
величины распределены по некоторому распределению.  В  этом  случае  расчеты
существенно упрощаются. Такое предположение  не  лишено  оснований,  скажем,
при  планировании  инвестиций,  при   моделировании   физических   процессов
(существует теорема о том, что среднее  от  независимых  случайных  величин,
распределенных по произвольным законам, распределено по  Гауссу).   Итак,  в
своем эссе я рассмотрю случайные величины и функции распределения.
                             Случайные величины
Определение. Пусть [pic]— произвольное вероятностное пространство.
Случайной величиной [pic]называется измеримая  функция  [pic],  отображающая
[pic]в множество действительных  чисел  [pic],  т.е.  функция,  для  которой
прообраз [pic]любого борелевского множества [pic]есть  множество  из  [pic]-
алгебры [pic].
Примеры случайных величин. 1) Число выпавшее на грани игральной кости.
2) Размер выпускаемой детали. 3) Расстояние от начала координат до  случайно
брошенной в квадрат точки [pic].
Множество значений случайной величины [pic]будем обозначать [pic],  а  образ
элементарного события  [pic]—  [pic].  Множество  значений  [pic]может  быть
конечным, счетным или несчетным.
Определим [pic]-алгебру на множестве [pic].  В  общем  случае  [pic]-алгебра
числового множества [pic]может быть образована применением  конечного  числа
операций объединения и пересечения интервалов [pic]или  полуинтервалов  вида
[pic]([pic]), в  которых  одно  из  чисел  [pic]или  [pic]может  быть  равно
[pic]или [pic].
В частном случае, когда [pic]— дискретное (не более чем счетное)  множество,
[pic]-алгебру образуют любые подмножества множества [pic],  в  том  числе  и
одноточечные.
Таким образом  [pic]-алгебру  множества  [pic]можно  построить  из  множеств
[pic]или [pic], или [pic].
Будем называть  событием  [pic]любое  подмножество  значений  [pic]случайной
величины [pic]: [pic]. Прообраз этого события  обозначим  [pic].  Ясно,  что
[pic]; [pic]; [pic]. Все множества [pic], которые могут  быть  получены  как
подмножества [pic]из множества [pic],  [pic],  применением  конечного  числа
операций объединения и  пересечения,  образуют  систему  событий.  Определив
множество  возможных  значений  случайной  величины  [pic]—  [pic]и  выделив
систему событий [pic],  построим  измеримое  пространство  [pic].  Определим
вероятность на подмножествах (событиях) [pic]из  [pic]таким  образом,  чтобы
она была равна вероятности наступления события, являющегося его  прообразом:
[pic].
Тогда тройка [pic]назовем  вероятностным  пространством  случайной  величины
[pic], где [pic]
—  множество  значений  случайной  величины  [pic];   [pic]—   [pic]-алгебра
числового множества [pic]; [pic]—  функция  вероятности  случайной  величины
[pic].
Если каждому событию [pic]поставлено в соответствие [pic], то  говорят,  что
задано распределение случайной  величины  [pic].  Функция  [pic]задается  на
таких  событиях  (базовых),  зная  вероятности   которых   можно   вычислить
вероятность произвольного события [pic]. Тогда событиями могут быть  события
[pic].
Функция распределения и ее свойства
Рассмотрим  вероятностное   пространство   [pic],   образованное   случайной
величиной [pic].
Определение.  Функцией  распределения  случайной  величины   [pic]называется
функция [pic]действительного  переменного  [pic],  определяющая  вероятность
того,  что  случайная   величина   [pic]примет   в   результате   реализации
эксперимента значение, меньшее некоторого фиксированного числа [pic]:
[pic](1)
Там где понятно, о какой случайной величине [pic], [pic]или [pic]идет  речь,
вместо  [pic]будем  писать  [pic].  Если  рассматривать  случайную  величину
[pic]как случайную точку на  оси  [pic],  то  функция  распределения  [pic]с
геометрической точки  зрения  это  вероятность  того,  что  случайная  точка
[pic]в результате реализации эксперимента попадет левее точки [pic].
Очевидно что функция [pic]при любом  [pic]удовлетворяет  неравенству  [pic].
Функция распределения случайной величины [pic]имеет следующие свойства:
2) Функция распределения — неубывающая функция [pic], т.е. для любых  [pic]и
[pic], таких что [pic], имеет место неравенство [pic].
Доказательство. Пусть [pic]и [pic]и [pic]. Событие,  состоящее  в  том,  что
[pic]примет  значение,  меньшее,   чем   [pic],   [pic]представим   в   виде
объединения двух несовместных событий [pic]и [pic]: [pic].
Тогда согласно аксиоме 3 Колмогорова, [pic]или по формуле (1)
[pic], (2)
откуда [pic], так как [pic]. Свойство доказано.
Теорема. Для любых [pic]и [pic]вероятность неравенства  [pic]вычисляется  по
формуле
[pic](3)
Доказательство. Справедливость  формулы  (3)  следует  из  соотношения  (2).
Таким образом, вероятность попадания случайной величины [pic]в  полуинтервал
[pic]равна разности значений функции  распределения  вычисленных  на  концах
полуинтервала [pic]и [pic].
2) [pic]; [pic].
Доказательство.   Пусть    [pic]и    [pic]—    две    монотонные    числовые
последовательности, причем [pic], [pic]при  [pic].  Событие  [pic]состоит  в
том, что [pic]. Достоверное событие  [pic]эквивалентно  объединению  событий
[pic]:
[pic]; [pic].
Так как [pic], то по свойству вероятностей [pic], т.е. [pic].
Принимая во внимание определение предела, получаем [pic]; [pic]
3) Функция [pic]непрерывна слева в любой точке [pic], [pic]
Доказательство. Пусть [pic]— любая  возрастающая  последовательность  чисел,
сходящаяся к [pic]. Тогда можно записать: [pic]
На основании аксиомы 3 [pic]
Так как ряд справа состоит из положительных чисел и  сходится  к  [pic],  то
остаток ряда,  начиная  с  некоторого  номера  [pic],  будет  меньше  [pic],
[pic](теорема об остатке ряда)
[pic].
Используя  формулу  (3),   выразим   вероятности   событий   через   функцию
распределения. Получим
[pic],
откуда [pic]или [pic], а это означает, что [pic].
Из  рассмотренных  свойств  следует,  что   каждая   функция   распределения
[pic]является 1)  неубывающей,  2)  непрерывной  слева  и  3)  удовлетворяет
условию [pic]и [pic]. И, обратно, каждая функция, обладающая свойствами  1),
2), 3), может рассматриваться как функция распределения некоторой  случайной
величины.
Теорема.  Вероятность  того,  что   значение   случайной   величины   больше
действительного числа [pic], вычисляется по формуле [pic].
Доказательство. Достоверное событие [pic]представим в виде объединения  двух
несовместных  событий  [pic]и  [pic].  Тогда  по  3-1  аксиоме   Колмогорова
[pic]или [pic], откуда следует искомая формула.
Определение.  Будем  говорить,  что  функция  распределения  [pic]имеет  при
[pic]скачок [pic], если  [pic],  где  [pic]и  [pic]пределы  слева  и  справа
функции распределения [pic]в точке [pic].
Теорема.  Для   каждого   [pic]из   пространства   [pic]случайной   величины
[pic]имеет место формула [pic]
Доказательство. Приняв в формуле (3) [pic], [pic]и  перейдя  к  пределу  при
[pic], [pic], согласно свойству 3), получим искомый результат.
Можно показать, что функция [pic]может иметь  не  более  чем  счетное  число
скачков. Действительно функция распределения может  иметь  не  более  одного
скачка [pic], скачков [pic]— не более 3-х, скачков [pic]не более чем [pic].
Иногда поведение случайной  величины  [pic]характеризуется  не  заданием  ее
функции распределения, а каким-либо другим законом  распределения,  но  так,
чтобы  можно  было  получить   из   этого   закона   распределения   функцию
распределения [pic].



смотреть на рефераты похожие на "Теория вероятности"