Математика

Центральная предельная теорема и ее доказательство через ряды Тейлора



Прежде чем приступить к  рассмотрению  центральной  предельной  теоремы,  я
считаю нужным сказать о слабой сходимости.

Пусть задана последовательность случайных  величин  (далее  с.  в.)  [pic],
задано  некоторое  распределение  [pic]с  функцией   распределения   [pic]и
[pic] —  произвольная с. в., имеющая распределение [pic].

Определение.

Говорят, что последовательность с. в. [pic]при [pic]сходится слабо  или  по
распределению  к с. в. [pic] и пишут:   [pic],  или   [pic],  или  [pic],

если для любого [pic]такого, что функция  распределения  [pic]непрерывна  в
точке [pic], имеет место сходимость  [pic]  при  [pic].

Иначе говоря, слабая  сходимость   —   это  поточечная  сходимость  функций
распределения   во   всех   точках   непрерывности    предельной    функции
распределения.

Свойство 1.

Если [pic], и функция распределения [pic]непрерывна в точках [pic]и [pic],
то

                       [pic]  и т.д. (продолжить ряд).

Наоборот, если во всех точках [pic]и [pic]непрерывности функции
распределения [pic]имеет место, например, сходимость [pic], то [pic].

Следующее важное свойство уточняет отношения между сходимостями.

Свойство 2.

1. Если [pic], то [pic].

2. Если [pic], то [pic].

Свойство 3.

1. Если [pic]и [pic], то [pic].

2. Если [pic]и [pic], то [pic].

Несколько содержательных примеров слабой сходимости я  рассмотрю  ниже.  Но
основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно  мощное
и универсальное средство для асимптотического анализа  распределений  сумм 
независимых и одинаково распределенных случайных величин предоставляет  нам
центральная предельная теорема.

Я буду называть следующее утверждение «ЦПТ Ляпунова» (А. М. Ляпунов: 1901),
но сформулирую и докажу теорему Ляпунова только в частном случае, т.е.  для
последовательности  независимых  и   одинаково   распределенных   случайных
величин.

Центральная предельная теорема.

Пусть [pic] —  независимые и одинаково распределенные случайные величины  с
конечной и ненулевой дисперсией: [pic]. Обозначим через  [pic]сумму  первых
[pic]случайных величин: [pic].

Тогда  последовательность  случайных  величин  [pic]   слабо   сходится   к
стандартному нормальному распределению.

Доказательство.

Пусть [pic] —  последовательность  независимых  и  одинаково  распределенных
случайных  величин  с  конечной  и  ненулевой  дисперсией.  Обозначим  через
[pic]математическое  ожидание  [pic]и  через   [pic] —    дисперсию   [pic].
Требуется доказать, что

                      [pic]

Введем стандартизированные случайные величины [pic] —   независимые  с.в.  с
нулевыми  математическими  ожиданиями  и   единичными   дисперсиями.   Пусть
[pic]есть их сумма [pic]. Требуется доказать, что

                                  [pic]

Характеристическая функция величины [pic]равна

                      [pic]

Характеристическую функцию  с.в.  [pic]можно  разложить  в  ряд  Тейлора,  в
коэффициентах которого использовать известные моменты [pic], [pic].  Получим


                 [pic]

Подставим это разложение, взятое в  точке  [pic],  в  равенство  и  устремим
[pic]к бесконечности. Еще раз воспользуемся замечательным пределом:

[pic]

В  пределе  получили  характеристическую  функцию  стандартного  нормального
закона. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод  о  слабой
сходимости :

                                 [pic]

распределений   стандартизованных   сумм    к    стандартному    нормальному
распределению, что и утверждается в ЦПТ.

Пользуясь определением и  свойствами  слабой  сходимости,  и  заметив,  что
функция распределения [pic]любого нормального закона  непрерывна  всюду  на
[pic], утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов:
Следствие.

Пусть [pic] —  независимые и одинаково распределенные случайные величины  с
конечной и ненулевой дисперсией. Следующие  утверждения  эквивалентны  друг
другу и равносильны утверждению ЦПТ.
    . Для любых вещественных [pic]при [pic]имеет место сходимость

                                    [pic]
    . Для любых вещественных [pic]при [pic]имеет место сходимость

                                    [pic]
    . Для любых вещественных [pic]при [pic]имеет место сходимость

                                    [pic]
    . Если [pic] —  произвольная с. в. со стандартным нормальным
      распределением, то
                                    [pic]



Следствием из ЦПТ является предельная теорема Муавра-Лапласа.

Предельная теорема Муавра  —  Лапласа.

Пусть [pic] —  событие, которое может произойти в любом из [pic]независимых
испытаний с одной  и  той  же  вероятностью  [pic].  Пусть  [pic] —   число
осуществлений события [pic]в [pic]испытаниях. Тогда [pic].

Иначе говоря, для любых вещественных [pic]при [pic]имеет место сходимость

                                    [pic]

Доказательство.

По-прежнему [pic]есть сумма независимых,  одинаково  распределенных  с. в.,
имеющих распределение Бернулли  с  параметром,  равным  вероятности  успеха
[pic]:

                                    [pic]

                                    [pic]

Осталось воспользоваться ЦПТ.

Ниже я рассмотрю примеры использования ЦПТ.

Пример 1.

З а д а ч а.       Монета  подбрасывается  10000  раз.  Оценить  вероятность
того, что частота выпадения герба отличается от  вероятности  более  чем  на
одну сотую.

Р е ш е н и е.   Требуется найти [pic], где [pic], [pic] —  число  выпадений
герба, а [pic] —  независимые с. в., имеющие  одно  и  то  же  распределение
Бернулли с  параметром  1/2.  Домножим  обе  части  неравенства  под  знаком
вероятности  на  [pic]и  поделим  на   корень   из   дисперсии   [pic]одного
слагаемого.

                                    [pic]

Согласно ЦПТ или предельной теореме Муавра  —  Лапласа, последовательность

                                    [pic]

слабо  сходится  к  стандартному   нормальному   распределению.   Рассмотрим
произвольную с. в. [pic], имеющую распределение [pic].

                                    [pic]

Пример 2.

Прекрасным примером  ЦПТ  в  экономике  может  служить  ее  использование  в
страховом деле. В большинстве случаев конкретный  вид  распределения  потерь
(размеров  отдельных  требований  о  выплате  страховых  сумм)   не   играет
существенной  роли,  поскольку  сумма   исков,   предъявляемых   страховщику
(величина суммарного иска), обычно зависит  только  от  средней  величины  и
дисперсии  убытка.  Дело  в  том,  что  если  количество  страховых  случаев
значительно превышает единицу, то в  силу  центральной  предельной  теоремы 
распределение суммарного иска является нормальным распределением.  Обозначив
его  дисперсию  как  DZ,  а  математическое   ожидание   (среднее   значение
суммарного иска) как  = 

- где ,   -  среднее  значение  числа  страховых  случаев  и  величины
страховой выплаты, получаем следующее выражение для рисковой надбавки Тr:
               Тr = [(Т0(()/(()](((DQ + 2(DN) 0.5
- где DQ и DN -дисперсии величины страховой выплаты и  количества  страховых
случаев.
В простейшем случае, когда  все  выплаты  одинаковы  (а,  следовательно,  их
дисперсия равна нулю), имеем:
                              Тr = (Т0(()/N0.5
Эта формула также  дает  неплохое  приближение,  если  коэффициент  вариации
уровня страховых выплат значительно меньше единицы.
При включении в страховой  полис  нескольких  независимых  рисков  ожидаемая
величина страховых выплат в соответствии с теоремой о сложении  вероятностей
представляет собой сумму ожидаемых  страховых  выплат  по  каждому  риску  в
отдельности,  а  рисковая  надбавка   вычисляется   как   среднеквадратичная
величина всех рисковых надбавок.




смотреть на рефераты похожие на "Центральная предельная теорема и ее доказательство через ряды Тейлора"