Математика

Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных


           Магнитогорский государственный технический университет



          Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных



                                                 Подготовил: Григоренко М.В.
                                                       Студент группы ФГК-98



                             Магнитогорск –1999

    Ведение

    Для решения были предложены следующие уравнения:
              x3 – 4x – 2 = 0            и            4x = cosx
    При  решении  каждого  уравнения   вводится   соответствующая   функция
(((x) = x3 – 4x – 2  и  ((x) = 4x – cosx), а  решениями  уравнения  являются
нули соответствующей функции.
    Следует отметить, что обе функции непрерывны и  дважды  дифференцируемы
на всей области определения (–( ; ().
    Необходимо найти приближенные решения уравнений  с  заданной  точностью
(0,001). С  целью  упростить  работу  (в  частности,  избавить  человека  от
однотипных арифметических и логических операций) и  обеспечить  максимальную
точность вычислениям, при решении данных уравнений была использована  ЭВМ  и
программы на языке  Turbo  Pascal  7.0,  созданные  специально  для  решения
данных задач.

    Способ хорд


    Теоретическая часть

    Данный способ можно свести к следующему алгоритму:
    1. Разделим всю область исследования (Df) отрезки,  такие,  что  внутри
       каждого отрезка [x1;x2] функция монотонная, а на его концах значения
       функции ((x1) и ((x2) разных знаков. Так как функция ((x) непрерывна
       на отрезке [x1;x2], то ее график пересечет ось ОХ в какой либо одной
       точке между x1 и x2.
    2.   Проведем   хорду   АВ,   соединяющую   концы   кривой    y = ((x),
       соответствующие абсциссам x1 и x2.  Абсцисса  a1  точки  пересечения
       этой хорды с осью ОХ  и  будет  приближенным  значением  корня.  Для
       разыскания этого приближенного значения напишем уравнение прямой АВ,
       проходящей через две данные точки  A(x1;((x1))  и  B(x2;  ((x2)),  в
       каноническом виде:
                                   [pic];
        Учитывая, что y = 0 при x = a1,  выразим из данного уравнения a1:
                                    [pic]
    3. Чтобы получить более точное значение корня, определяем  ((а1).  Если
       на данном отрезке мы имеем ((x1)<0, ((x2)>0 и ((a1)<0, то  повторяем
       тот же прием, применяя формулу (1) к отрезку [a1;x2]. Если  ((x1)>0,
       ((x2)<0 и ((a1)>0, то  применяем  эту  формулу  к  отрезку  [x1;a1].
       Повторяя этот прием несколько  раз,  мы  будем  получать  все  более
       точные значения корня а2, а3 и т.д.

    Пример 1.      x3 – 4x – 2 = 0

    ((x) = x3 – 4x – 2,
    (((x) = 3x2 – 4,
    производная меняет знак в точках [pic]

    (((x)        +                     –                   +
    ((x)                [pic]            [pic]                          х

функция ((x) монотонно возрастает при  x((–(;[pic]]  и  при  х([[pic];(),  и
монотонно убывает при x([[pic];[pic]].
    Итак, функция имеет три участка монотонности, на каждом из которых
находится по одному корню.
    Для удобств дальнейших вычислений сузим эти участки монотонности. Для
этого подставляем наугад в выражение ((х) наугад те или иные значения х,
выделим внутри каждого участка монотонности такие более короткие отрезки,
на концах которых функция имеет разные знаки:
    ((–2)= –2,
    ((–1)= 1,
    ((0)= –2,
    ((1)= –5,
    ((2)= –2,
    ((3)= 13.
    Таким образом, корни находятся в интервалах
    (–2;–1),     (–1;0),      (2;3).
    Пункты 2 и 3 алгоритма выполняются при помощи ЭВМ (текст
соответствующей программы приводится в Приложении 1) Программа выводит
последовательность приближенных значений с увеличивающейся точностью для
каждого из участков:
    Для (–2;–1):                                                Для (–1;0):
    a1=-1.33333 при х1=-2.00000 и x2=-1.00000
    a2=-1.55000 при х1=-2.00000 и x2=-1.33333
    a3=-1.63653 при х1=-2.00000 и x2=-1.55000
    a4=-1.66394 при х1=-2.00000 и x2=-1.63653
    a5=-1.67195 при х1=-2.00000 и x2=-1.66394
    a6=-1.67423 при х1=-2.00000 и x2=-1.67195
    a7=-1.67488 при х1=-2.00000 и x2=-1.67423
    a8=-1.67506 при х1=-2.00000 и x2=-1.67488
    a9=-1.67511 при х1=-2.00000 и x2=-1.67506
    a10=-1.67513 при х1=-2.00000 и x2=-1.67511
    a11=-1.67513 при х1=-2.00000 и x2=-1.67513

    для (2;3)
    a1=2.13333 при х1=2.00000 и x2=3.00000
    a2=2.18501 при х1=2.13333 и x2=3.00000
    a3=2.20388 при х1=2.18501 и x2=3.00000
    a4=2.21063 при х1=2.20388 и x2=3.00000
    a5=2.21302 при х1=2.21063 и x2=3.00000
    a6=2.21386 при х1=2.21302 и x2=3.00000
    a7=2.21416 при х1=2.21386 и x2=3.00000
    a8=2.21426 при х1=2.21416 и x2=3.00000
    a9=2.21430 при х1=2.21426 и x2=3.00000
    a10=2.21431 при х1=2.21430 и x2=3.00000
    Приближенным значением корня уравнения на отрезке
    (–2;–1) является x = –1,6751
-----------------------
a1=-0.66667 при х1=-1.00000 и x2=0.00000
    a2=-0.56250 при х1=-0.66667 и x2=0.00000
    a3=-0.54295 при х1=-0.56250 и x2=0.00000
    a4=-0.53978 при х1=-0.54295 и x2=0.00000
    a5=-0.53928 при х1=-0.53978 и x2=0.00000
    a6=-0.53920 при х1=-0.53928 и x2=0.00000
    a7=-0.53919 при х1=-0.53920 и x2=0.00000
    a8=-0.53919 при х1=-0.53919 и x2=0.00000




смотреть на рефераты похожие на "Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных"