Математика

О некоторых применениях алгебры матриц


  МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
     КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова


                          Математический факультет

                     Кафедра геометрии и высшей алгебры


                              Лакунова   Залина

                              Дипломная работа


                  «О некоторых применениях алгебры матриц»



Научный руководитель:
д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А
/В.Н.Шокуев /

Рецензент:
к.ф.-м.н.,доцент
  /В.М.Казиев/

Допущена к защите
2002г.

Заведующий кафедрой
к.ф.-м.н.,доцент
  /А.Х.Журтов/



                                Нальчик 2002

                                 Оглавление
                                                                   стр.

    Введение                                                       3

    §1. О правиле Крамера                                          4

    §2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел 9

    §3. Матричный вывод формулы Кардано                            17

    Литература                                                     21



                                    Отзыв

    О дипломной работе «О некоторых применениях алгебры матриц».
    Студентки 6 курса МФ специальности «математика» Лакуновой З.

    В данной дипломной работе рассматривается  новые  применения  матриц  в
теории систем линейных  уравнений,  теории  чисел  и  теории  алгебраических
уравнений малых степеней.
    В §1 дается новый (матричный) вывод правила Крамера для  решения  любых
квадратных систем линейных уравнений с неравным нулю определителем.
    В §2 получено тождество (1) , которое используется  для  доказательства
некоторых теоретико-числовых фактов (предложения 1-4);  при  этом   основную
роль играют матрицы- циркулянты и их определители.  Здесь  попутно  доказана
теорема   о   среднем   арифметическом   и   среднем   геометрическом   трех
положительных чисел.
    В §3   дается  новый  вывод  правила  Кардано  для  решения  кубических
уравнений; его можно назвать «матричным выводом» ,  поскольку  он  опирается
на свойства циркулянта (третьего порядка).
    Считаю, что результаты получения в дипломной работе студентки Лакуновой
З. удовлетворяют требованиям, предъявляемым к  дипломным  работам,  и  могут
быть допущены к защите.
    Предварительная оценка – «хорошо»



    д.ф.-м.н., проф.каф.  Г и ВА
/В.Н.Шокуев/



                            §1. О правиле Крамера

      В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы
линейных алгебраических уравнений. Один из них – матричный способ – состоит
в следующем.
      Пусть дана Крамерова система, т.е. квадратная система [pic] линейных
уравнений с неизвестными [pic]

                                       [pic]                             (1)

Определитель которой отличен от нуля:

                                             [pic]                       (2)

Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения

                                  [pic]                                  (3)

где [pic]- матрица коэффициентов при неизвестных системы (1),

                            [pic]                                        (4)

      [pic]- столбец (Матрица-столбец) неизвестных

      [pic]- столбец свободных членов системы (1)

Так как [pic], то матрица [pic] невырожденная и для нее существует обратная
матрица [pic]. Умножив равенство (3) на [pic] (слева), получим
(единственное) решение системы в следующей матричной форме (в
предположении, что она совместима и [pic]- ее решение)
[pic],
где обратная матрица [pic] имеет вид:

           [pic]
([pic]-алгебраическое дополнение элемента [pic] в определителе [pic])
      Другой известный способ можно назвать методом алгебраических
дополнений. Его использование предполагает владение понятием
алгебраического дополнения [pic] как и в матричном способе, теоремой о
разложении определителя по столбцу (строке), теоремами о замещении и об
аннулировании.
      Предлагаемый нами новый метод опирается на теорему Коши-Бине об
определителе произведения матриц.
      Суть этого метода можно понять легко, если сначала рассмотрим случай
[pic]. Очевидно, что при [pic] выполняются следующие матричные равенства
(если задана система (1)):

      [pic]

      [pic]

      [pic]

Переходя к определителям в этих равенствах и обозначив определители правых
частей соответственно через [pic] получим формулы Крамера:

      [pic] [pic]  [pic]  ([pic])
      [pic]  [pic] (Правило Крамера)
Переход к общему случаю Крамеровых систем (1) порядка [pic] ничего по
существу не меняет. Просто следует заметить, что матрица [pic] с
определителем  [pic] получается из единичной матрицы заменой [pic]-го
столбца столбцом неизвестных:

                                             [pic]                       (5)

Теперь из [pic] равенств

                      [pic]  [pic],

где [pic]- матрица, получающаяся заменой [pic]-  го  столбца  матрицы  [pic]
столбцом свободных членов системы  (1),  причем  к  формулам  Крамера,  взяв
определители от обеих частей в каждом равенстве:

      [pic], откуда ввиду [pic] имеем

                      [pic]  [pic].
(здесь [pic] получается из [pic], как и [pic] из [pic]).
      Другой, еще  более  короткий  способ  отыскания  решения  системы  (1)
состоит в следующем (по-прежнему  [pic]):  пусть  система  (1)  совместна  и
числа [pic] (после переобозначений) образуют ее  решение.  Тогда  при  [pic]
имеем, используя два линейных свойства определителя:

                 [pic]  [pic]
      Можно начать и  с  определителя  [pic],  в  котором  вместо  свободных
членов в [pic]-м столбце подставлены их выражения  согласно  (1);  используя
соответствующие свойства определителя, получим:
                      [pic]  ([pic]),
откуда и получаются формулы Крамера.

      Замечание. Проверка того, что значения  неизвестных,  определяемые  по
формуле Крамера удовлетворяют системе (1), (т.е. образуют решение  системы),
производится одним из известных способов.



          §2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел.

Матрица вида:
                  [pic]
- называется циклической матрицей или циркулянтом (третьего порядка),  а  ее
определитель  –   циклическим   определителем.   Циклическим   определителем
некоторые авторы называют также циркулянтом.
Пусть дан циклический определитель (Циркулянт)
                       [pic].
Прибавив первые две строки к третьей, получим:

           [pic].
      Вынесем общий множитель [pic] из последней строки:

                 [pic].
Так как

[pic],
то
      [pic].
С другой стороны, по определению детерминанта имеем:
                      [pic]
Следовательно, выполняется тождество

                                                                    [pic](1)
Имеет место следующее предложение.
Предложение 1. Уравнение
                                  [pic]                                  (2)
не имеет решений в натуральных числах [pic]
      Доказательство: Если [pic]- вещественные положительные числа,  не  все
равные между собой, то

                                            [pic]                        (3)
Пусть [pic]- не все равные между собой положительные числа. Тогда
существуют положительные числа [pic] и [pic], не все равные между собой,
такие, что [pic]. К этим числам применим тождество (1). Так как не все
числа [pic] между собой равны, то последний сомножитель правой части
тождества (1) есть число положительное и, следовательно,
                      [pic],

                                            [pic].                       (4)
Так как [pic], то неравенство (4) дает неравенство (3). (Неравенство (3)
можно переписать в виде [pic]; получим известный факт о том, что среднее
арифметическое трех положительных, не равных между собой чисел больше их
среднего геометрического).
      Пусть [pic] и [pic]- натуральные числа, удовлетворяющие уравнению
(2). Представляются две возможности: либо числа [pic] все равны между
собой, либо не все эти числа равны друг другу.
      В первом случае все они должны быть равны 1, так как она
положительные и [pic], и мы имели бы:
           [pic]- противоречие.
      Значит, не все три числа [pic] равны между собой; поэтому в силу
неравенства (3) имеем

                 [pic],

откуда
                      [pic].
Таким образом, доказано что уравнение

                      [pic]
не имеет решений в натуральных числах [pic].

Предложение 2. Уравнение
                            [pic]
разрешимо в натуральных числах [pic].
      Доказательство: удовлетворяют нашему уравнению. Если не все три числа
[pic] между собой равны, то как мы видели в ходе доказательства Предложения
(1), выполняется неравенство

                            [pic]
- противоречие. Таким образом, должно быть [pic], и из нашего уравнения
следует, что каждое из этих чисел равно 1, так что [pic].
Поэтому получаем

                      [pic].
      Итак, мы доказали, что заданное уравнение имеет бесконечно много
решений в натуральных числах [pic].

Предложение 3. Произведение двух чисел, каждое из которых является суммой
двух квадратов, представимо в виде суммы двух квадратов.
      Доказательство: Рассмотрим следующее произведение двух циклических
матриц (второго порядка)

           [pic]
где [pic]- мнимая единица. Переходя к определителям, получим равенство

                                                       [pic].            (5)

Предложение 4. Если число представляемое в виде суммы двух квадратов,
делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то частное
также является суммой двух квадратов.
      Доказательство: Пусть число [pic] делится на простое число [pic] вида
[pic]:
                                   [pic].
Требуется доказать, что частное [pic] имеет вид  [pic].
Предположим, что задача уже решена, т.е.

                                       [pic],                            (6)
и с помощью анализа попробуем найти искомые числа [pic] и [pic].
Гипотетическое равенство (6) подсказывает целесообразность рассмотрения
матричных равенств.

                 [pic]
и
                 [pic]
перемножив правые части этих равенств, получим:

           [pic]

           [pic]
отсюда имеем:

                      [pic]

                      [pic]


                                  [pic]                                  (7)

                                  [pic]                                  (8)

                                                               [pic].    (9)

Так как [pic]- простое число и [pic] делит [pic], то равенство (9)
показывает, что [pic] или [pic] делится на [pic].
      Пусть [pic]. Тогда из тождества
      [pic],
верного в силу (5) следует, что на [pic] делится и число [pic], а поскольку
[pic]- простое, [pic], так что в силу (7) [pic]- целое число. Таким
образом, в рассматриваемом случае имеем:

      [pic]
и Предложение 4 доказано.
Если же [pic], т.е. в силу (8) [pic]- целое, то, рассуждая как и выше,
можем написать:

      [pic];
отсюда следует, что [pic], т.е. [pic]- целое. В этом случае

           [pic].



                     §3. Матричный вывод формулы Кардано

В этом параграфе предлагается новый подход  к  выводу  формулы  Кардано  для
корней кубического произведения уравнения.
      Пусть дано любое кубическое уравнение

                                       [pic]   [pic].                    (1)
Если [pic]- его корень, то [pic], поэтому
[pic], т.е. [pic] есть корень уравнения, получающегося из (1) делением  всех
коэффициентов т правой части на [pic], и обратно. Поэтому  (1)  эквивалентно
уравнению.

                                       [pic].                            (2)
Таким образом, можно  сказать,  что  решение  любого  кубического  уравнения
сводится к решению кубического уравнения со  старшим  коэффициентом,  равным
1, т.е. уравнения вида

                                       [pic],                            (3)
которое  получается  из  (2)  после  переобозначения  коэффициентов;   такое
уравнение называется унитарным. Если к уравнению (3) применить подстановку
                                  [pic],                                 (4)
получим:

[pic]
[pic]
[pic], т.е.
                 [pic],                                                  (5)
где [pic] и [pic] определяются по  заданным  коэффициентам  [pic]  уравнения
(3). Уравнение (5) эквивалентно уравнению (3), поэтому достаточно  научиться
решать уравнения типа (5). В силу этого, обозначив через [pic]  неизвестное,
мы видим, что решение любого кубического уравнения вида

                                       [pic],                            (6)
называется  приведенным  или  (неполным)  кубическим   уравнением.   Покажем
теперь, как можно найти все корни уравнения (6). Для этого  заметим,  что  в
силу тождества (1) §2,  полученного  с  использованием  циркулянта  третьего
порядка имеет место тождество

                                                             [pic] ,     (7)
где [pic]- любые числа, [pic]- один из корней третьей  степени  из  единицы,
так что [pic] (проверка тождества опирается на равенство  [pic]).  Попробуем
теперь отождествить наше уравнение (6) с уравнением
                                  [pic],                                 (8)

т.е. положим

                      [pic]
где [pic]и [pic] пока неизвестны. Чтобы вычислить их, имеем систему

                      [pic]
которая показывает (в силу  теоремы  Виета),  что  [pic]  и  [pic]  являются
корнями квадратного уравнения
                      [pic]
т.е.

      [pic]   [pic]
и поэтому

                                       [pic]   [pic]                     (9)
Таким образом, уравнение (6) эквивалентно уравнению (8), в котором [pic] и
[pic] определяются по формулам (9). В свою очередь, уравнение (8) в силу
(7) равносильно уравнению

           [pic]
и теперь получаем:
                                            [pic]  [pic]  [pic]         (10)
где [pic] и [pic] определяются по (9). При этом надо иметь ввиду, что
кубические корни из (9) имеют по три значения и их необходимо комбинировать
с учетом равенства [pic]; если одна пара значений [pic] и [pic] выбрана
указанным образом, то все три корня определяются по формулам (10).
Сказанное можно представить и по другому; можно сказать, что значения
неизвестного [pic] определяются из равенства

                                 [pic]
т.е.

                                                 [pic]                  (11)
причем остается в силе сказанное относительно комбинаций значений этих
кубических радикалов.
      Формула (11) и есть знаменитая формула Кардано.



                                 ЛИТЕРАТУРА

   1. Ф. Бахман, Э. Шмидт. n- угольник «Мир», М., 1973 г.
   2. Э. Чезаро. Элементарный учебник алгебраического анализа  и  исчисления
      бесконечно малых ч. 1 М.Л., 1936 г.
   3. В. Серпинский. 250 задач по элементарной теории чисел. М., 1968 г.
   4. Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика ? «Просвещение», М.,   1967
      г.
   5. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1976 г.
   6. Эдвардс. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую  теорию
      чисел. «Мир», М., 1980 г.



смотреть на рефераты похожие на "О некоторых применениях алгебры матриц"