Математика

Шпора



|Билет №1                 | |Вопрос №3                  | |Вопрос №5                |
|Пусть в обл. P плоскости | |Пусть в плоскости XOY      | |Формула Грина.           |
|XOY задана некоторая     | |задана плоскость Д,        | |[pic]                    |
|фун-ия z=f(x;y). Разобъём| |ограничен-ная следующими   | |Теорема: Пусть задана    |
|обл. P на n частичных    | |кривыми: y=(1(x) a ( x ( a | |область Д огран. след.   |
|обл. Рi , где i=1…n,     | |– снизу;                   | |кривыми:                 |
|возмём произвольную точку| |y=(2(x) a ( x ( b – сверху;| |y=(1(x)    a ( x ( b     |
|обл. ((I;(I) ( Рi , ( -  | |x = a – слева; x = b –     | |y=(2(x)    a ( x ( b     |
|наиболь-ший диаметр      | |справа;                    | |x=a   ,   x=b, где ф-ции |
|чатичных обл.            | |Тогда имеет место следующая| |(1 и (2 непрер. на (a,b).|
|Построим частичную сумму | |теорема.                   | |Пусть в этой области     |
|– сумму Римена.          | |Теорема: Если функция      | |задаётся функция P(x,y) –|
|[pic]                    | |f(x;y) задана в области Д  | |непрер. и имеющая непрер.|
|Определение:             | |такова, что существует     | |частную производную:     |
|[pic]                    | |двойной интеграл           | |[pic], тогда имеет место |
|Если существует конечный | |[pic]                      | |след. равенство:         |
|предел и не зависит от   | |для любого фиксированного  | |[pic]                    |
|способа делений области  | |x( [a ; b] существует одно-| |                         |
|на части и от выбора т.  | |мерный интеграл            | |Доказательство:          |
|((I;(I) в каждой из      | |[pic]                      | |Рассмотрим двойной       |
|частичных областей, то   | |то тогда существует        | |интеграл, стоящий справа |
|такой предел принято     | |повторный интеграл         | |в формуле(1). Т.к. под   |
|называть двойным         | |[pic]                      | |интегралом стоит непрер. |
|интегралом по обл. Р и   | |Доказательство:            | |функция, то такой двойной|
|пишут:                   | |[pic]                      | |интеграл существует,     |
|[pic]                    | |Обозначим c=inf (1(x)  a ( | |также существует         |
|В случае, если фун-ия f >| |x ( b; d=max (1(x)  a ( x (| |одномерный интеграл[pic] |
|0 мы приходим к          | |b и рассмотрим             | |и его можно вычислить    |
|геометрическому смыслу   | |прямоугольник              | |через повторный:         |
|двойного интеграла:      | |R=[a,b;c,d](Д.  P=R\Д (раз-| |[pic]                    |
|днойной интеграл – это   | |ность множеств). Построим  | |Теорема: Пусть задана    |
|объём некоторого         | |вспомогательную функцию    | |область Д огран.:        |
|цилиндрического тела,    | |[pic]                      | |[pic]                    |
|сверху ограниченного     | |Рассмотрим                 | |y=(1(x)    с ( x ( d     |
|пов-тью z = (x;y),       | |[pic]                      | |y=(2(x)    c ( x ( d     |
|которая проектируется на | |Получаем следующее         | |x=c   ,   x=d. И пусть в |
|плоскость XOY в обл. Р, а| |равенство:                 | |этой области задаётся    |
|образующие параллельны   | |[pic]                      | |функция Q(x,y) – непрер. |
|OZ. Площадь обл. Р:      | |Замечание: Пусть теперь    | |и имеющая непрер. частную|
|[pic]                    | |область Д ограничена       | |производную: [pic], тогда|
|Двойной интеграл от      | |следующими линиями:        | |имеет место след.        |
|f(x;y) имеет многие      | |[pic]                      | |равенство:               |
|св-ва, аналогичные св-ам | |x=(1(y) c ( y ( d – слева; | |[pic]                    |
|одномерного интеграла.   | |x=(2(y) c ( y ( d – справа;| |                         |
|Св-ва двойного интеграла:| |                           | |Cкладываем формулы (1) и |
|                         | |x = c – сверху; x = d –    | |(2) и получаем следующую |
|1.Необходимым условием   | |снизу.  И пусть            | |формулу Грина для области|
|сущ. Двойного интеграла  | |[pic]                      | |Д:                       |
|явл. ограниченность ф-ции| |Тогда аналогично           | |[pic]                    |
|f в обл. Р, т.е если сущ.| |предыдущему можно показать,| |D    P(x,y), Q(x,y)      |
|интеграл, то f(x;y) –    | |что существует повторный   | |[pic], [pic]             |
|ограниченная.            | |интеграл и                 | |[pic]                    |
|2.Всякая непрырывная     | |[pic]                      | |Вычисление площадей через|
|ф-ция, заданная в обл. Р,| |Если же функция f(x;y)     | |крив интеграл            |
|интегри-руема.           | |такова, что существует     | |                         |
|3.Если ф-ция f(x;y) в    | |двойной интеграл,          | |[pic]                    |
|обл. Р имеет разрывы на  | |существует оба повторных,  | |Применим ф. Грина, т.е.  |
|конечном числе           | |то одновременно имеют место| |выразим его через        |
|непрырывных кривых,      | |формулы (1) и (2) и можно  | |криволинейный интеграл по|
|принадлежащих этой обл., | |пользоваться любой из них. | |границе области.         |
|то f интегрирума по обл. | |                           | |1. Q = x  P = 0[pic]     |
|Р.                       | |                           | |2. Q = 0   P = -y[pic]   |
|4.Сумма Дарбу:           | |                           | |Суммируем  1 и 2 :[pic]  |
|[pic]        [pic]       | |                           | |                         |
|Теорема: Для того, чтобы | |                           | |Пример: Вычислить площадь|
|двойной интеграл от      | |                           | |эллипса                  |
|ограниченной обл. Р      | |                           | |[pic].                   |
|существовал, необходимо и| |                           | |Сделаем замену           |
|достаточно, чтобы        | |                           | |переменных[pic]          |
|выполнялось равенство:   | |                           | |0 ( t ( 2(               |
|[pic]                    | |                           | |[pic]                    |
|5.Аддетивность двойного  | |                           | |                         |
|интеграла, т.е., если    | |                           | |                         |
|задана обл.Р некоторой   | |                           | |                         |
|непрырывной кривой       | |                           | |                         |
|разбита на две обл-ти    | |                           | |                         |
|Р1иР2  не имеющих общих  | |                           | |                         |
|точек, то, если двойной  | |                           | |                         |
|интеграл по обл. Р       | |                           | |                         |
|существует, то существуют| |                           | |                         |
|интегралы относительно по| |                           | |                         |
|двум областям.           | |                           | |                         |
|[pic]                    | |                           | |                         |
|6.Линейность:            | |                           | |                         |
|[pic]                    | |                           | |                         |
|7.Если f(x;y) ( g(x;y)   | |                           | |                         |
|для ((x;y)(P и ф-ции f и | |                           | |                         |
|g интегрируемы, то       | |                           | |                         |
|соответственно           | |                           | |                         |
|справедливо неравенство: | |                           | |                         |
|[pic]                    | |                           | |                         |
|9.Если f(x;y)            | |                           | |                         |
|удовлетворяет нер-вам  m | |                           | |                         |
|( f(x;y) ( M, то         | |                           | |                         |
|справедливо следующее    | |                           | |                         |
|неравенство:             | |                           | |                         |
|[pic]                    | |                           | |                         |
|10.Для двойного интеграла| |                           | |                         |
|имеет место теорема о    | |                           | |                         |
|среднем: если z = f(x;y) | |                           | |                         |
|– ф-ция, заданая в обл. Р| |                           | |                         |
|и такая, что во всех     | |                           | |                         |
|точках этой области      | |                           | |                         |
|выполняется нер-во   m ( | |                           | |                         |
|f(x;y) ( M, где          | |                           | |                         |
|[pic]                    | |                           | |                         |
|то существует число (    | |                           | |                         |
|такое, что справедливо   | |                           | |                         |
|равенство:               | |                           | |                         |
|[pic]                    | |                           | |                         |
|В случае непрырывности   | |                           | |                         |
|ф-ции:                   | |                           | |                         |
|[pic]                    | |                           | |                         |
|Вопрос №6                | |Вопрос №4                  | |Вопрос №2                |
|Неприрывную кривую назыв.| |Пусть заданы 2 плоскости с | |Теорема: Пусть z = f(x,y)|
|простой кривой           | |введенными в прямоугольник | |– ограниченная функция,  |
|(жордановой), если она не| |декартовыми системами      | |заданная на              |
|имеет точек              | |координат                  | |прямоугольнике R =       |
|самопересечения.         | |[pic]                      | |[a,b;c,d], и существует  |
|                         | |XOY и UOV. Пусть в         | |двойной интеграл по этому|
|Областью называется      | |плоскисти XOY задана       | |прямоугольнику  [pic]    |
|всякое открытое связаное | |область DV ограниченная    | |Если для ( X [a,b]       |
|мн-во, т.е. такое мн-во  | |кривой Г, а в плоскости    | |существует одномерный    |
|всякая точка кот. явл.   | |UOV задана область G       | |интеграл                 |
|внутренней и любые две   | |ограниченная кривой L      | |[pic]                    |
|точки этого мн-ва можно  | |Пусть функция              | |то ( повторный интеграл  |
|соединить непрерывной    | |[pic]отображает область G в| |[pic]                    |
|кривой все точки кот.    | |области D, где т.(u,v)( G, | |Доказательство:          |
|принадлежат данному      | |а т.(x,y)(D.               | |[pic]                    |
|мн-ву.                   | |Будем предпологать , что   | |Разобьем отрезки ab и cd |
|                         | |функции x и y такие, что   | |отрезками a=x00,          | |функции переменной х , а y’| |непрерывные функции  m – |
|выполняется равенство:   | |и y входят в уравнение     | |действительное число (0 и|
|[pic]                    | |в 1 степени.               | |(1                       |
|                         | |1.Метод подстановки:       | |разделим уравнение на  ym|
|Пример: [pic]            | |Будем искать решение       | |:                        |
|Определение: диф. ур-е 1 | |уравнения 1 в виде         | |[pic] - приведем его к   |
|порядка разрешённое      | |произведения y=U(x)V(x) при| |линейному                |
|относительно производной | |чём так, что мы            | |Обозначим через [pic] а  |
|называется однородным    | |можем подобрать одну из    | |теперь диференциируем    |
|диф. ур-ем 1 порядка,    | |функций по желанию,        | |[pic]                    |
|если его правая чаcть    | |а вторую так, чтобы        | |теперь подставим в       |
|(функция f(x,y)) является| |удовлетворяла (1) :        | |уравнение                |
|однородной функцией 0-й  | |y’=U’V+UV’ ;               | |[pic]                    |
|степени.                 | |U’V+UV’+UV*P(x)=Q(x) ;     | |получили линейное        |
|Метод решения: Пусть (1) | |U’V+U(V’+V*P(x))=Q(x)      | |уравнение .              |
|является однородным      | |Найдём V ,чтобы V’+VP(x)=0 | |                         |
|уравнением [pic](1).     | |:                          | |Уравнение Рикотти – это  |
|[pic] Пусть [pic]        | |[pic] [pic]                | |диф.  следующего вида    |
|[pic]                    | |[pic] Тогда  U’V=Q(x)      | |[pic]                    |
|2) если [pic]то [pic]    | |[pic]                      | |Где P(x),q(x),r(x) –     |
|т.е. [pic]               | |[pic]  [pic]               | |некоторые непрерывные    |
|                         | |[pic]                      | |функции                  |
|                         | |y’+y cos(x)=1/2 sin(2x)    | |Рассмотрим несколько     |
|                         | |y=UV                       | |случаев                  |
|                         | |U’V+UV’+UVcos(x)=sin(x)cos(| |1) если ф-ции P(x) , Q(x)|
|                         | |x)                         | |и r(x) – явл. Константами|
|                         | |V’+Vcos(x)=0               | |то в этом случае сущ.    |
|                         | |dV/V=-cos(x)dx             | |решением ур-я Рикотти    |
|                         | |ln(V)= -sin(x)             | |т.к. в этом случае ур-е  |
|                         | |V=e-sin(x)                 | |явл. Ур-ем с разделенными|
|                         | |[pic]                      | |переменными .            |
|                         | |sin(x)=t [pic]             | |[pic]                    |
|                         | |[pic]                      | |2) если q(x)=0 имеем лин.|
|                         | |                           | |Ур-ние                   |
|                         | |                           | |3) если r(x)=0 то имеем  |
|                         | |                           | |ур-е Бернулли            |
|                         | |                           | |Если не выполяется ни    |
|                         | |                           | |одно из этих 3 условий , |
|                         | |                           | |то ур-е Рикотти решить   |
|                         | |                           | |нельзя , неразрешимо в   |
|                         | |                           | |квыадратурах . Однако    |
|                         | |                           | |если эти три случая  , но|
|                         | |                           | |возможно найти  хотя бы  |
|                         | |                           | |одно частное решение     |
|                         | |                           | |этого ур-я  то ур-е      |
|                         | |                           | |решается в квадратуре .  |
|                         | |                           | |Установим это : пусть    |
|                         | |                           | |[pic]- явл. Часным       |
|                         | |                           | |решением  ур-я Рикотти   |
|                         | |                           | |т.е.                     |
|                         | |                           | |[pic]                    |
|                         | |                           | |тогда введем новую       |
|                         | |                           | |функцию z=z(x)           |
|                         | |                           | |Положем [pic] ,  [pic]   |
|                         | |                           | |Подставив в уравнение    |
|                         | |                           | |получим                  |
|                         | |                           | |[pic]                    |
|                         | |                           | |а это ур-е Бернулли      |
|                         | |                           | |                         |
|                         | |                           | |                         |
|                         | |                           | |                         |
|                         | |                           | |                         |
|                         | |                           | |                         |
|                         | |                           | |                         |
|                         | |                           | |                         |
|                         | |                           | |                         |
|                         | |                           | |                         |
|                         | |                           | |                         |
|                         | |                           | |                         |



|Билет №23                | |Билет№21.                  | |Билет№19  Уравнения,     |
|Уравнение в полных       | |Метод вариации производной | |приводящиеся к           |
|дифференциалах и их      | |постоянной при решении     | |однородным.              |
|решение                  | |линейного диф. уравнения   | |К таким уравнениям       |
|Пусть задано диф. ур-е   | |1-го порядка.              | |относят уравнения вида:  |
|ел. Вида:                | |                           | |[pic]      где a,в,с -   |
|[pic]                    | |y’+P(x)y=Q(x)   (1)        | |const                    |
|где P(x,y) и Q(x,y) –    | |-задано линейное           | |1)[pic]Введём:[pic] чтобы|
|непрер. Функции  имеющие | |неоднородное уравнение.    | |исчезли с1 и с2          |
|непрерыв часн.           | |Рассмотрим  соотв. ему     | |[pic]      [pic]  После  |
|Производную 2 порядка    | |однородное уравнение       | |нахождения конкретных k и|
|включительно.            | |y’=P(x)y=0   (2).  Найдём  | |h и подстановки их в наше|
|Диф. ур. Назыв. Ур-ем в  | |общее решение:             | |уравнение, с учётом того,|
|полных диф-лах , если    | |[pic]      [pic]           | |что [pic] получаем :[pic]|
|[pic] такое что          | |[pic]  [pic]               | |Это уравнение является   |
|[pic]                    | |                           | |однородным и решается    |
|т.е. ур. В этом случае   | |Будем искать решение в том | |подстановкой [pic]       |
|имеет вид :[pic]         | |же виде, что и однородного,| |2). [pic] Тогда:  [pic]  |
|это уравнение явл полным | |только считая с не         | |[pic] [pic]  Подставим   |
|диф. функции U как ф-ции | |произвольной константой ,а | |:[pic] Сделаем           |
|двух переменных:         | |функцией от х : [pic]      | |замену:[pic]       [pic] |
|[pic][pic]               | |[pic]                      | |[pic]           [pic]    |
|если выполняется         | |                           | |[pic]    [pic] [pic]     |
|равенство тогда то левая | |                           | |1). [pic]Допустим [pic]  |
|часть [pic] а тогда его  | |                           | |[pic]  [pic]             |
|решение                  | |                           | |?(z)=x+c                 |
|[pic] - общий интеграл   | |                           | |?(a2x+b2y)=x+c           |
|диф. Ур.                 | |                           | |                         |
|                         | |                           | |2).  Теперь допустим[pic]|
|Теорема о необходимости и| |                           | |Тогда получим z=c.       |
|достаточности условия    | |                           | |                         |
|того что Ур было ур-ем в | |                           | |                         |
|полных дифференциалах    | |                           | |                         |
|Теорема : Для того чтобы | |                           | |                         |
|ур было ур-ем в полных   | |                           | |                         |
|диф.  в некоторой   Д    | |                           | |                         |
|принадл ХОУ              | |                           | |                         |
|Необх. И дост. Чтобы во  | |                           | |                         |
|всех точках обл. Д выполн| |                           | |                         |
|равенство [pic] если     | |                           | |                         |
|условие выполняется можно| |                           | |                         |
|найти ф-цию [pic] что    | |                           | |                         |
|будет выполняться рав-во | |                           | |                         |
|след. Образом.           | |                           | |                         |
|[pic]                    | |                           | |                         |
|найдем [pic]             | |                           | |                         |
|                         | |                           | |                         |


|Билет №24                | |Вопрос №26.                | |Билет 28.                |
|Интегральный множитель и | |Уравнение вида: f(x,y()=0. | |Ур-ние Логранжа          |
|его нахождение           | |1) Предположим, что данное | |Ур. Лог.имеет следующий  |
|Пусть задано  диф. ур-ние| |уравнение можно разрешить  | |вид[pic]                 |
|в диф. форме вида :      | |относительно y(; y(=fk(x), | |где ф-ция[pic]и          |
|[pic]                    | |k=1,2,…                    | |[pic]непрерывная и       |
|не всякое такое уравнение| |[pic]  Получим совокупность| |сменная производная по   |
|явл. Уравнением в полных | |таких решений. Она является| |своему аргументу.        |
|виференциалах однако     | |общим решением данного     | |Покажем что путём        |
|доказано что для всякого | |уравнения.                 | |диф-ния и введения       |
|такого ур-я может быть   | |[pic]                      | |параметра можно получить |
|подобрана ф-ция          | |[pic]                      | |общее решение            |
|[pic]такая что после     | |……………………………….              | |в параметрической        |
|умножения  левого и      | |[pic]                      | |форме.Пусть у`=p=p(x)    |
|правого ур-я на эту      | |2) Пусть оно не разрешается| |Подставляем в ур.        |
|функцию данное уравнение | |относительно y( и          | |[pic]   (1)              |
|стан ур-ем в полных диф. | |разрешается относительно x.| |Продиф-ем на х           |
|Ф-цияю [pic]назыв        | |Пусть оно эквивал. Такому  | |[pic]                    |
|интегральным множителем  | |x=((y(). Будем искать      | |[pic]                    |
|данного уравнения        | |решение данного уровнение в| |Рассмотрим два случая:   |
|Найдем функцию           | |параметрической форме.     | |[pic]                    |
|определяющую интегр.     | |y(=p=p(x).                 | |[pic]                    |
|Множитель данного        | |Пусть x=((p),       А y    | |[pic][pic]               |
|уравнения:               | |ищем так:                  | |Будем смотреть на это    |
|[pic]                    | |dx=(((p)dp                 | |ур-ние как наур-ние      |
|тогда должно выполн.     | |dy=y(dx=p(((p)dl.          | |от неизв. Ф-ции х,       |
|Рав-во:                  | |Отсюда [pic]               | |которая в свою очередь   |
|[pic]                    | |Тогда общее решение [pic]  | |явл.                     |
|имеем уравнение в частных| |3) Предположим, что ур-ние | |Ф-цией параметра р.Тогда |
|производных относит неизв| |не разрешено не относ. х,  | |имеем обычное            |
|функции Мю.Общего метода | |не относ. y(, но оно может | |инт.ур.относительно      |
|нахожения которой не     | |быть представлено в виде   | |неизв.ф-ции, которую     |
|существует               | |с-мы двух ур-ний,          | |можем найти.             |
|Найдем интегр множитель в| |эквивалентных данному      | |Пусть общим интегралом   |
|случае если он явл ф-цией| |ур-нию: [pic]( ( t ( (     | |этого ур.будут           |
|от одной из перемен.     | |dy=y(dx          dx        | |F(p,е,c)=0  (2)          |
|1)Найдем условие при     | |=(((x)dt                   | |Объеденим (2) и (1)      |
|которых [pic] функция    | |dy=((t)* (((t)dt           | |                         |
|[pic]должна удовлетв     | |Тогда парметрическое       | |[pic]                    |
|равенству                | |решение данное ур-я        | |[pic]                    |
|[pic] ;[pic]будет        | |[pic]                      | |А это и есть общее       |
|зависеть только от Х если| |                           | |решение ,представленое   |
|правая часть ур будет    | |                           | |через параметр Р.        |
|зависеть только от Х     | |                           | |2)[pic] ,тогда Р=0,но    |
|2) Аналогично и          | |                           | |такая constanta,         |
|[pic]=[pic](У)           | |                           | |что удовлет. решению ур. |
|[pic] ;[pic]будет        | |                           | |:[pic]                   |
|зависеть только от Х если| |                           | |Пусть РI(I=1,2,..) будут |
|правая часть ур будет    | |                           | |решением этого ур.       |
|зависеть только от У     | |                           | |Тогда решением           |
|                         | |                           | |первоначального ур.А.    |
|                         | |                           | |будут ф-ции [pic],       |
|                         | |                           | |которые явл. Особыми     |
|                         | |                           | |решениями ур. А.         |
|                         | |                           | |И не могут быть получены |
|                         | |                           | |общим решением.          |
|                         | |                           | |Ур.Клеро.                |
|                         | |                           | |Ур.Клеро имеет вид       |
|                         | |                           | |[pic]где                 |
|                         | |                           | |[pic]-непрер. и          |
|                         | |                           | |симетр.произв.по своему  |
|                         | |                           | |аргументу. Вводим        |
|                         | |                           | |параметр [pic].          |
|                         | |                           | |Тогда [pic]   (3)        |
|                         | |                           | |Диф-ем по Х [pic]        |
|                         | |                           | |Если [pic],то р=е, а     |
|                         | |                           | |тогда                    |
|                         | |                           | |подставляем в (3)и       |
|                         | |                           | |получаем:[pic]           |
|                         | |                           | |[pic]явл. общим решением |
|                         | |                           | |ур. Клеро                |
|                         | |                           | |[pic]тогда имеем         |
|                         | |                           | |параметрическое ур.      |
|                         | |                           | |[pic]общее реш.          |
|                         | |                           | |[pic][pic]    [pic]      |
|                         | |                           | |Пример[pic]              |
|                         | |                           | |Замена [pic]             |
|                         | |                           | |[pic]                    |
|                         | |                           | |                         |
|                         | |                           | |[pic]                    |
|                         | |                           | |общее решение:           |
|                         | |                           | |[pic]                    |


|                         | |Билет 27.                  | |Билет 25.                |
|                         | |Уравнение вида F(y,y`)=0   | |Рассмотрим несколько     |
|                         | |1)Пусть ур-ние разрешимо   | |случаев:                 |
|                         | |относ.                     | |1.Пусть задано следющее  |
|                         | |y`,тогда y`=fk(y) Разрешим | |диф. ур-ние:             |
|                         | |относ. y, где к=1,2….      | |[pic]                    |
|                         | |[pic][pic]k(y) .           | |Это диф. ур-е 1-го       |
|                         | |Пустьfk(y)[pic]0 тогда     | |порядка n-ой степени, где|
|                         | |[pic][pic]                 | |(I (x;y) – некото- рые   |
|                         | |Считаем х-функцией от у.   | |непрырывные ф-ции двух   |
|                         | |[pic].  [pic]              | |переменных в некоторой   |
|                         | |[pic]-это общий интеграл   | |обл. Q ( R2 (i=0,…,n). Мы|
|                         | |данного ур-я .             | |имеем ур-е n-ой степени  |
|                         | |[pic]     общее решен.х.   | |относительно 1-ой        |
|                         | |Пусть fk(y)=0 . Тогда      | |производной, а известно, |
|                         | |решен.данного ур-я         | |что всякое ур-е n-ой     |
|                         | |могут  быть ф-ции          | |степени имеет вточности  |
|                         | |[pic],где[pic]- консты,    | |n-корней, среди которых  |
|                         | |причём                     | |есть как действительные  |
|                         | |такие,которые              | |так и комплексные. Пусть |
|                         | |удовлнтв.условиюF[pic]     | |например это ур-е имеет  |
|                         | |2)Пусть ур-ние не          | |какоето количество m ( n |
|                         | |разр.относ.у,, но разреш.  | |действительных корней.   |
|                         | |отн. y, т.е. пусть         | |Т.к. коэффициенты этого  |
|                         | |наше ур-е эквивал.         | |ур-я являются ф-циями    |
|                         | |Ур-нию[pic]Тогда общее     | |двух переменных, то ясно,|
|                         | |реш.розыскивается в        | |что корни тоже будут     |
|                         | |парометрич. форме.Вводят   | |ф-циями двух переменных. |
|                         | |параметры таким образом    | |Пусть это будут решения  |
|                         | |[pic]                      | |y1=fk(x;y), k=1,2…m.     |
|                         | |а)пусть [pic]тогда         | |Ур-е (1) свелось к m -   |
|                         | |[pic],                     | |ур-ий  1-го порядка.     |
|                         | |а тогда:                   | |Пусть это ур-я, имеющие  |
|                         | |[pic]- общее решение в     | |общий интеграл           |
|                         | |пар-ой форме               | |Fk=(x;y;c)=0, k=1,2…n.   |
|                         | |[pic]                      | |Тогда совокупность всех  |
|                         | |б) пусть у’=0, тогда       | |этих общих интегралов    |
|                         | |у=const                    | |[pic]                    |
|                         | |Решением ур-ния будут ф-ции| |и будет общим решением   |
|                         | |у=[pic]к ,                 | |данного диф. ур-я (1).   |
|                         | |какие удовлет.ур-ние       | |Пример:                  |
|                         | |F([pic]k,0)=0              | |[pic]                    |
|                         | |Пример: решить ур.   [pic] | |Пусть x=0,а ур-ние       |
|                         | |Разреш. относ. У           | |разделим на x            |
|                         | |.тогда[pic]                | |[pic]      [pic]         |
|                         | |[pic]                      | |[pic]      [pic]         |
|                         | |[pic]                      | |[pic]        [pic]       |
|                         | |[pic]; [pic]               | |[pic][pic]               |
|                         | |[pic]                      | |[pic]        [pic]       |
|                         | |                           | |[pic]     [pic]          |
|                         | |                           | |Ур-я вида:   F(y!)=0     |
|                         | |                           | |Пусть заданное диф. ур-е |
|                         | |                           | |явно зависит только от y!|
|                         | |                           | |и не зависит явно от x и |
|                         | |                           | |y. Тогда мы имеем        |
|                         | |                           | |некоторое алгебраическое |
|                         | |                           | |ур-е относительно        |
|                         | |                           | |производных. А такое     |
|                         | |                           | |алгебраическое ур-е пусть|
|                         | |                           | |имеет конечное или       |
|                         | |                           | |бесконечное множество    |
|                         | |                           | |действительных решений   |
|                         | |                           | |относительно производных.|
|                         | |                           | |Т.е. y! = ki , i= 1,2… , |
|                         | |                           | |где ki – некоторые       |
|                         | |                           | |действительные числа. У  |
|                         | |                           | |нас выполняется условие  |
|                         | |                           | |F(ki)(0. Решим ур-е      |
|                         | |                           | |y!=ki; y=kix+c;          |
|                         | |                           | |ki=(y-c)/x. Общий        |
|                         | |                           | |интеграл заданного диф.  |
|                         | |                           | |ур-я                     |
|                         | |                           | |[pic]                    |
|                         | |                           | |Пример:                  |
|                         | |                           | |(y!)4-4(y!)2+1=0         |
|                         | |                           | |k4-4k2+1=0               |
|                         | |                           | |действительные корни есть|
|                         | |                           | |                         |
|                         | |                           | |Значит сразу получаем    |
|                         | |                           | |общее решение            |
|                         | |                           | |[pic]                    |




смотреть на рефераты похожие на "Шпора"