Математика

Остроградский


       Жизнь  М. В. Остроградского.

       Математическая жизнь в академии наук в середине десятых  годов  почти
замерла  и  возродилась  в   конце   двадцатых   с   приходом   в   Академию
Остроградского и Буняковского, особенно первого из них.
       Михаил  Васильевич  Остроградский  родился  26  сентября  1801г.   на
Украине, в деревне Пашенной Кобелякского уезда Полтавской губернии  в  семье
помещика. В 1816 г. он поступил  в  Харьковский  университет.  Остроградский
успешно сдал кандидатские  экзамены,  и  перед  ним,  казалось,  открывалась
прямая дорога к университетской профессуре. Однако  острая  идейная  борьба,
которая в те годы велась в  Харьковском  университете,  помешала  спокойному
течению научной карьеры Остроградского.
       Осиповский  подверг  критике  идеалистическую   немецкую   философию,
сторонники которой имелись и среди  работавших  в  Харьковском  университете
иностранцев.  В  устных  выступлениях  Осиповский  разоблачал  и   высмеивал
мистиков, стоявших во главе  министерства  просвещения  и  учебных  округов.
Свое  враждебное  отношение  к  Осиповскому  реакционная  часть  харьковской
профессуры перенесла и  на  его  лучшего  ученика,  также  не  любившего  ни
метафизики,  ни  мистики  и  бывшего,  надо  полагать,  уже  тогда   “полным
материалистом и атеистом”.
       Когда   ректор   университета    Осиповский    предложил    присвоить
Остроградскому заслуженную  им  степень  кандидата,  в  Совете  университета
произошли резкие  столкновения.  Один  из  реакционных  профессоров,  А.  И.
Дудрович, письменно донес попечителю округа З.  Я.  Корнееву,  что  по  вине
Осиповского     студенты-математики    не    занимаются    богословием,    а
Остроградского обвинил в том, что он, несмотря  на  предписание  начальства,
не слушал богопознания  и  христианского  учения.  Дело  дошло  до  министра
“духовных дел и народного просвещения” А. Н. Голицына, по указанию  которого
Осиповский  был  уволен   из   университета,   Остроградскаму   отказали   в
присуждении  степени  кандидата,  издевательски   предложив   заново   сдать
экзамены, якобы сданные им раньше в неправильном порядке.
       Остроградский мужественно перенес эти испытания и решил, несмотря  ни
на что, посвятить свою жизнь  науке.  Еще  в  Харьковском  университете  его
особенно увлекали вопросы прикладной математики и в 1922 г. он отправился  в
Париж, где работали Лаплас и Фурье, Лежандр и Пуассон, Бине и Коши и  другие
первоклассные ученые, пролагавшие новые пути  в  математике,  математической
физике и механике. Курсы,  читавшиеся  в  Политехнической  школе,  Сорбонне,
Коллеж де Франс были образцовыми и привлекали молодежь из многих стран.
       Быстрые успехи Остроградского завоевали ему дружбу и уважение  многих
французских математиков, как старших поколений,  так  и  сверстников.  Время
парижской жизни явилось для Остроградского не только  “годами  странствий  и
учения”, но  и  интенсивного  творчества.  В  1824-1827  гг.  он  представил
Академии наук в  Париже  несколько  замечательных  мемуаров  на  французском
языке. В  “Замечаниях  об  определенных  интегралах”  (1824)  он  дал  вывод
незадолго  перед  тем  опубликованной  Коши  формулы  для   вычета   функции
относительно  полюса  п-го  порядка,  вывод,  по  сути  дела  совпадающий  с
принятым ныне. В “Доказательстве  одной  теоремы  интегрального  исчисления”
(1826) он разработал весьма важную составную часть общего метода  разделения
переменных для интегрирования уравнений  математической  физики.  В  том  же
году   Остроградский   подготовил   “Мемуар   о   распространении   волн   в
цилиндрическом  бассейне”,  где  развил  исследования   Коши   и   Пуассона,
изучивших  движение  малых  волн  в  бассейне  бесконечной  глубины   и   не
ограниченном стенками, а год спустя “Мемуар о распространении  тепла  внутри
твердых  тел”,  содержавший  новое  сжатое  изложение  метода  разделения  и
решения  новой  задачи  о  распространении  тепла  в  некоторой  треугольной
призме. Из них  только  работа  по  гидродинамике  увидела  свет  в  издании
Парижской Академии, другие же остались в ее архиве. Но и  не  опубликованные
тогда его открытия по математической физике оказали существенное влияние  на
развитие математики. Основные результаты вошли в последующие печатные  труды
самого Остроградского; кроме того, в рукописи или в устном изложении  самого
Остроградского с ними ознакомились тогда же  или  вскоре   Коши,  Пуассон  и
другие.
       Перечисленные работы показывают, что Остроградский в первые  же  годы
парижской жизни не только полностью овладел  новейшим  аппаратом  анализа  и
механики, но существенно развил его  и  мастерски  применил  к  решению  как
весьма общих актуальных  проблем,  так  и  частных  трудных  задач.  Коши  с
высокой похвалой отзывался о работах своего молодого ученика  и  сотрудника.
Например, в  основоположном  мемуаре  по  теории  интегралов  в  комплексной
области  1825  г.,  Коши,  рассказывая  о   своих   предыдущих   результатах
писал:”Наконец, один молодой русский, одаренный большой проницательностью  и
весьма  искусный  в  анализе  бесконечно  малых,  г.  Остроградский,   также
прибегнув  к  употреблению   этих   интегралов   и   их   преобразованию   в
обыкновенные, дал новое  доказательство  формул,  мною  выше  упомянутых,  и
обобщил другие  формулы,  которые  я  представил  в  19-й  тетради  “Журнала
Политехнической  школы”.  Г.  Остроградский  любезно  сообщил  нам   главные
результаты своей работы”. Столь же уважительны отзывы Коши об  Остроградском
в статьях по теории вычетов. Много позднее, в работе, в  которой  установлен
ряд общих свойств интегралов линейных  уравнений  с  частными  производными,
Коши вспоминал  о  парижских  открытиях  Остроградского:”Я  хотел  бы  иметь
возможность  сравнить  полученные  мною  здесь  результаты  с  результатами,
полученными г. Остроградским в мемуаре, в  котором  он  установил  несколько
общих предложений относительно интегрирования линейных уравнений  в  частных
производных. Но я только смутно помню этот мемуар и, так как  не  знаю,  был
ли он где-либо опубликован, я лишен возможности произвести это сравнение”.
          Весной 1828 г.  Остроградский  приехал  в  Петербург  и  здесь  на
протяжении нескольких месяцев представил Академии наук  три  работы.  Первая
содержала оригинальный, основанный  на  новой  концепции  интеграла  (Коши),
вывод уравнения Пуассона, которому  удовлетворяет  объемный  потенциал  поля
тяготения в точке, лежащей внутри притягиваемой массы  или  на  ее  границе.
Следующая  посвящена  вопросу   о  перестановке  порядка  интегрирования   в
двойном интеграле в случае бесконечного разрыва  подынтегральной  функции  и
примыкает к аналогичным  исследованиям  Коши.  Третьей  был  уже  упомянутый
мемуар “Доказательство  одной  теоремы  интегрального  исчисления”,  который
автор  вскоре  взял  обратно  для  переработки  и  затем   опубликовал   для
переработки и затем опубликовал под названием “Заметки по  теории  теплоты”.
Коллинс представил о трудах Остроградского  блестящий  отзыв  и  29  декабря
1828 г. молодой ученый был избран адъюнктом по  прикладной  математике.  Два
года спустя  он был  выбран  экстраординарным  академиком  и  в  1831  г.  –
ординарным.
       Деятельность Остроградского в Академии была весьма разносторонней. Он
сделал более 85 научных сообщений, частью неопубликованных; читал  публичные
лекции; писал подробные отзывы на поступавшие в Академию работы,  участвовал
 в комиссиях по введению григорианского  календаря  и  десятичных  мер  (что
было сделано лишь после великой Октябрьской социалистической революции),  по
водоснабжению Петербурга и  т.  д.,  занимался  по  поручению  правительства
изысканиями по внешней баллистике, и т. д. Вместе с тем Остроградский  много
времени уделял преподаванию. С 1828 г. он  начал  читать  лекции  в  Морском
корпусе   (впоследствии   Морской    академии),    где    преемниками    его
последовательно были В.Я. Буняковский, А.Н. Коркин, А.Н.  Крылов.  С  годами
педагогическая   деятельность   Остроградского   становилась    все    более
интенсивной. Он вел занятия по математике и механике в  Институте  инженеров
путей сообщения,  Главном  инженерном  и  Главном  артиллерийском  училищах,
Главном педагогическом институте. С 1847 г. и до своей смерти он работал  на
посту главного наблюдателя  по  преподаванию  математических  наук  во  всех
военных  заведениях  страны.  Ему  принадлежат   несколько   руководств   по
элементарной и высшей математике.
       Педагогические взгляды Остроградского были весьма прогрессивными.  Он
считал,  что  в  гимназиях  и  кадетских  корпусах   нужны   лаборатории   и
мастерские, где учащиеся приобретали бы трудовые навыки,  производили  опыты
и наблюдения. Он выступал за наглядность  обучения  математике,  особенно  в
раннем возрасте, и критиковал сухое и формальное изложение этого предмета  в
современной ему школе. Он был сторонником  введения  в  специальных  старших
классах средних военных учебных заведений  идеи  функции  и  начал  анализа;
курс  математики,  с  его  точки  зрения,  должен  быть  связан  с   другими
предметами, как физика, в которых  применяются  математические  методы.  Как
видно, в  ряде  пунктов  Остроградский  предвосхитил  идеи  так  называемого
движения за реформу преподавания, возникшего  в  начале  XX  века.  Кое-чего
Остроградский достиг в этом направлении в кадетских корпусах.  Однако  более
широкая реализация педагогических установок Остроградского  стала  возможной
лишь много позднее. Свое общее педагогическое credo  Остроградский   изложил
в написанной совместно с парижским  математиком  и  инженером  И.-О.  Блюмом
(1812-1877) брошюре “Размышления о преподавании”,  вышедшей  на  французском
языке.  Чтение этого блестящего  по  изложению  и  глубокого  по  содержанию
сочинения интересно и в наши дни. Школьное преподавание арифметики,  алгебры
и  геометрии,  -  писали  авторы,  -  ничем  “не   напоминает   о   насущной
необходимости изучения этих предметов для насущной жизни”  и  на  деле  дает
“только тот результат, что их усваивает  очень  небольшое  число  учеников”.
Этому в брошюре ярко противопоставлены  принципы  обучения,   воспитывающего
наблюдательность  и  любознательность,  техническую  сноровку    и   научное
мышление. Для повышения интереса и  привлечения  внимания  учеников  Блюм  и
Остроградский  рекомендовали   использовать   историю   наук   и   биографии
выдающихся людей, “принесших пользу наукам и искусству”:”Это в одно и то  же
время отличная разрядка и средство с помощью живого рассказа запечатлеть  то
или  иное  основное  положение,  либо   удачное   приложение   теоретических
принципов”.
       Школьная математика должна учитывать особенности детского восприятия,
но  следует  избегать  общепринятой  недооценки  возможностей  детей  уже  с
семилетнего возраста. В брошюре разобран вопрос  об  обучении  ребят  до  12
лет, причем только в гимназиях или  специальных  учебных  заведениях;  более
массовые школы, где учат началам чтения, письма и  счета  оставлены  были  в
стороне.
       Остроградский оказал значительное влияние на  развитие  математики  и
механики. Он, в частности, подготовлял условия для  создания  математической
школы, организованной Чебышевым, и сам основал  русскую  школу  механики.  К
его исследованиям примыкают  многие  последующие  работы  по  математической
физике, по теории интегрирования иррациональных функций, по  теории  кратных
интегралов  и  даже  по  теории  вероятностей,  которыми  он  сам  занимался
немного.   Прямыми   учениками   Остроградского   были   создатель    теории
автоматического  регулирования  И.  А.  Вышнеградский   (1831-1895),   автор
классических исследований по теории трения и влияния на  него  смазки  и  по
теории механизмов Н. П.  Петров  (1822-1889)  и  другие.  Все  перечисленные
математики вышли из Главного педагогического  института,  где  Остроградский
преподавал с 1832 по 1859 г..
       Научные заслуги Остроградского были высоко оценены и за  рубежом.  Он
был избран членом-корреспондентом французской Академии наук  в  1856  г.,  а
еще ранее членом Американской академии наук и академий в Турине  и  в  Риме.
Скончался он 1 января 1862 г.
       Кратные интегралы.
       Остановимся несколько подробнее на работах Остроградского по  кратным
интегралам.
       Формула  Остроградского  для  преобразования  тройного  интеграла   в
двойной, которую мы пишем обычно в виде
       [pic]   (1)
       или
       [pic],
       где div A – дивергенция поля вектора А, Аn –  скалярное  произведение
вектора А на единичный вектор внешней нормали n   граничной  поверхности,  в
математической литературе нередко  связывалась  ранее  с  именами  Гаусса  и
Грина. На самом деле в работе Гаусса о притяжении сфероидов можно  усмотреть
только весьма частные случаи формулы (1), например при P=x, Q=R=0  и  т.  п.
Что касается Дж. Грина, то в его труде по теории электричества и  магнетизма
формулы (1) вовсе нет; в нем выведено другое  соотношение  между  тройным  и
двойным интегралами, именно, формула Грина для  оператора  Лапласа,  которую
можно записать в виде
       [pic]     (2)
       Конечно, можно вывести формулу (1) и из (2), полагая
       [pic]  [pic]  [pic]
            и точно так же можно получить формулу (2)  из  формулы  (1),  но
Грин этого и не думал делать.
       Все же вопрос об авторе интегральной формулы (1) оставался не  вполне
ясным. Дело в том, что, как было недавно замечено,  в  мемуаре  Пуассона  по
теории упругости, выводится формула
       [pic]
       где слева стоит интеграл по объему, а справа  интеграл  по  граничной
поверхности, причем [pic] суть направляющие косинусы внешней нормали.
       Парижские   рукописи   Остроградского   свидетельствуют,   с   полной
несомненностью,  что  ему  принадлежит  и  открытие,  и   первое   сообщение
интегральной теоремы (1). Впервые она была высказана и доказана, точно  так,
как  это  делают  теперь  в  “Доказательстве  одной  теоремы   интегрального
исчисления”, представленном  Парижской Академии наук  13  февраля  1826  г.,
после  чего  еще  раз  была  сформулирована   в   той   части   “Мемуара   о
распространении  тепла  внутри  твердых   тел   ”,   которую   Остроградский
представил 6 августа 1827 г. “Мемуар” был дан на отзыв   Фурье  и  Пуассону,
причем последний  его,  безусловно  читал,  как  свидетельствует  запись  на
первых   страницах  обеих  частей  рукописи.  Разумеется,  Пуассону   и   не
приходила мысль приписывать  себе  теорему,  с  которой  он  познакомился  в
сочинении Остроградского за  два  года  до  представления  своей  работы  на
теории упругости.
       Что   касается   взаимоотношения   работ   по   кратным    интегралам
Остроградского  и  Грина,  напомним,  что  в  “Заметке  по  теории  теплоты”
выведена формула, обнимающая собственную формулу Грина, как  весьма  частный
случай. Непривычная теперь символика  Коши,  употребленная  Остроградским  в
“Заметке”, до  недавнего  времени  скрывала  от  исследователей  это  важное
открытие.  Разумеется,   за  Грином  остается  честь   открытия   и   первой
публикации в 1828 г. носящей его имя формулы для операторов Лапласа.
       Открытие формулы преобразования тройного интеграла в двойной  помогло
Остроградскому решить проблему варьирования  п-кратного  интеграла,  именно,
вывести  понадобившуюся  там  общую  формулу  преобразования  интеграла   от
выражения  типа  дивергенции  по   п-   мерной   области   и   интеграл   по
ограничивающей  ее  сверхповерхности  S  с  уравнением  L(x,y,z,…)=0.   Если
придерживаться прежних обозначений, то формула имеет вид
       [pic]
       [pic]  (3)
       Впрочем, Остроградский не применял геометрических образов и терминов,
которыми пользуемся мы: геометрия многомерных пространств в то время еще  не
существовала.
       В “Мемуаре об исчислении вариаций  кратных  интегралов”   рассмотрены
еще два важных вопроса теории  таких  интегралов.  Во-первых,  Остроградский
выводит формулу  замены  переменных   в  многомерном  интеграле;  во-вторых,
впервые  дает  полное  и  точное  описание  приема  вычисления  п-  кратного
интеграла с помощью п последовательных интеграций по каждой из переменных  в
соответствующих пределах. Наконец, из формул, содержащихся в  этом  мемуаре,
легко выводится общее правило дифференцирования  по  параметру  многомерного
интеграла, когда  от  этого  параметра  зависит  не  только  подынтегральная
функция, но и граница области интегрирования. Названное правило вытекает  из
наличных в мемуаре формул настолько  естественным  образом,  что  позднейшие
математики даже отождествляли его с одною из формул этого мемуара.
       Замене  переменных  в  кратных  интегралах   Остроградский   посвятил
специальную работу. Для двойного интеграла соответствующее правило  вывел  с
помощью формальных преобразований Эйлер, для  тройного  –  Лагранж.  Однако,
хотя результат Лагранжа верен, рассуждения его были не точными:  он  как  бы
исходил из того,  что  элементы  объемов  в  старых  и  новых  переменных  –
координатах – между собою  равны.  Аналогичную  ошибку  допустил  вначале  в
только что упомянутом выводе  правила  замены  переменных  Остроградский.  В
статье “О преобразовании  переменных  в  кратных  интегралах”  Остроградский
раскрыл  ошибку  Лагранжа,   а   также   впервые   изложил   тот   наглядный
геометрический  метод  преобразования  переменных   в   двойном   интеграле,
который,  в  несколько  более  строгом  оформлении,  излагается  и  в  наших
руководствах. Именно, при замене переменных  в интеграле [pic]  по  формулам
[pic], [pic], область интегрирования разбивается координатными линиями  двух
систем    u=const,    v=const     на    бесконечно    малые    криволинейные
четырехугольники. Тогда интеграл можно получить, складывая  сначала  те  его
элементы, которые отвечают бесконечно узкой криволинейной полосе,  а  затем,
продолжая суммировать элементы полосами, пока они все  не  будут  исчерпаны.
Несложный подсчет дает для площади, которая с  точностью  до  малых  высшего
порядка может рассматриваться как параллелограмм,  выражение  [pic]   ,  где
[pic], выбирается так, чтобы площадь была положительной. В итоге  получается
известная формула
       [pic].
       Так  дифференциальное  выражение  [pic],  которое   Эйлер   формально
подставлял вместо dydx,  а  следуя  рассуждениям  Лагранжа  для  трехмерного
случая, нужно было  бы  считать  равным  dydx,  приобрело  у  Остроградского
простой и ясный геометрический смысл.

       Дифференциальные уравнения.


       В теории обыкновенных дифференциальных уравнений заслуживают внимания
два  результата  Остроградского.  В  «Заметке  о   методе   последовательных
приближений»,  предложен  метод  решения  нелинейных  уравнений  с   помощью
разложения в ряд по малому параметру, позволяющей  избегать  так  называемых
вековых членов, содержащих аргумент вне  тригонометрических  функций.  Такие
члены   нередко   появляются   при   употреблении    обыкновенных    приемов
интегрирования с помощью степенных рядов; неограниченно возрастая  вместе  с
аргументом, они порождают ошибочные приближения,  а  содержащее  их  решение
оказывается неподходящим. С этим явлением встречались  еще  астрономы  XVIII
в. и  задачей  уничтожения  вековых  членов  занимались  Лаплас,  Лагранж  и
другие. Свой метод, основанный на одновременном разложении по параметру  как
самого решения,  так  и  периода  входящих  в  него  периодических  функций,
Остроградский кратко пояснил на примере:

       [pic],  [pic]  [pic],
       который записал в несколько иной форме:
       [pic],
       совпадающей с данным уравнением при [pic].  Решение  с  точностью  до
величин первого порядка  относительно  [pic],  найденное  обычным  способом,
содержит вековой член:
       [pic];
       решение по способу Остроградского от него свободно:
       [pic],  [pic].
       Найденное приближение  Остроградский  сопоставил  с  точным  решением
уравнения  в  эллиптических  функциях  Якоби.   Остроградский    ограничился
получением  первого  приближения;  в  конце  статьи  он  высказал  намерение
приложить этот  метод  к  движению  планет  вокруг  Солнца.  Намерение  это,
видимо, не осуществилось,  но  как  раз  в  работах   по  определению  орбит
небесных тел идея Остроградского  получила  дальнейшее  развитие.  Одним  из
первых таких трудов явилось  исследование  по  теории  возмущений  шведского
ученого  А.  Линдстедта,  работавшего  в  1879  –  1886  гг.   в   Дерптском
университете.  За этим последовали глубокие исследования А.  Пуанкаре  и  А.
М. Ляпунова и, уже в советский период, Н. М.  Крылова,  который  применил  к
нему и другим, более общим классам линейных неоднородных  уравнений  второго
порядка, содержащих малый  параметр,  несколько  модифицированный  им  метод
Ляпунова. В настоящее время метод  малого  параметра  широко  применяется  к
исследованию нелинейных задач механики, физики и техники.
       Небольшая   “Заметка   о   линейных   дифференциальных    уравнениях”
Остроградского (1839)  содержит  классическую  теорему,  которая  излагается
теперь в любом курсе дифференциальных уравнений. Дано уравнение
       [pic].
       и п его решений [pic], которые предполагаются  линейно  независимыми.
Согласно теореме Остроградского определитель
       [pic]
       выражается через коэффициент при (п-1)-й производной:
       [pic],
       где а – постоянная. Мы называем определитель  [pic] по имени  впервые
рассмотревшего  его  (в  другой  связи  и  более  общей   форме)   польского
математика Г. Вронского (1812). Та же теорема была одновременно получена  из
несколько иных соображений Ж. Лиувиллем (1838).
       Некоторые работы Остроградского были связаны с  конкретными  задачами
современной ему военной техники.  Так,  например,  в  1839-1842  гг.  он  по
поручению   артиллерийского   ведомства   занимался    изучением    стрельбы
эксцентрическими сферическими снарядами, у которых центр фигуры  отличен  от
центра инерции. Этому вопросу Остроградский посвятил три  небольшие  статьи,
из которых одна содержала таблицы интегралов, нужных для  решения  задачи  о
движении снаряда в воздухе при квадратичном законе сопротивления. К  работам
по баллистике  в  свою  очередь  примыкали  исследования  Остроградского  по
приближенным вычислениям, в  том  числе  и  упоминавшаяся  работа  1839  г.,
содержащая вывод остаточного члена формулы суммирования Эйлера-Маклорена.



                                    План:



      1. Жизненный путь М. В. Остроградского.
      2. Кратные интегралы.
      3. Дифференциальные уравнения.
      4. Заключение.



                   МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

                             ИМ. А. А. КУЛЕШОВА



                                   Реферат

                                  на тему:

                             М. В. Остроградский



                                                                   Выполнила

                                                                   студентка
                                                      физико-математического
                                                                  факультета
                                                         V курса, группы “B”
                                                             Семерикова Юлия



                                   МОГИЛЕВ

                                    2002.


смотреть на рефераты похожие на "Остроградский"