Математика

Сборник Лекций по матану

      Глава 2. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной
                                 переменной


                            §1. Основные понятия

      Пусть D — некоторое множество чисел. Если  задан  закон,  по  которому
каждому  числу  x  из  множества  D  ставится  в  соответствие  единственное
определенное число y, то будем говорить, что на множестве D задана  функция,
которую назовём f. Число  y  —  это  значение  функции  f  в  точке  x,  что
обозначается формулой y = f(x).
      Число  x  называется  аргументом   функции,   множество   D — областью
определения  функции,  а  все  значения  y  образуют  множество  E,  которое
называется множеством значений или областью изменения функции.
      Функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве G, если для
любых чисел х1 и х2 из множества G, таких что x1 < x2,  выполняется  условие
f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).
      Так как между  множеством  действительных  чисел  и  множеством  точек
числовой  оси   можно   установить   взаимно-однозначное   соответствие,   в
дальнейшем  изложении  понятиям  “число  х”  и  “точка  х  числовой  оси”  в
некоторых случаях будет придаваться один и тот же  смысл.  Например,  вместо
“значение функции  при  значении  аргумента,  равном  х1”  будет  говориться
“значение функции в точке  х1”.  В  нижеследующем  определении  можно  везде
заменить выражение “точка х” на выражение “число х”.
      Пусть ( —  некоторое  положительное  число.  (-окрестностью  точки  x0
называется  множество  всех  точек   x,   принадлежащих   промежутку   (x0 -
 (, x0 + (), кроме самой точки  x0.  Принадлежность  точки  x  (-окрестности
точки [pic] можно выразить с помощью двойного неравенства

                              0 < (x – x0( < (.

Число ( называется радиусом окрестности.

                     §2. Предел и непрерывность функции

      Рассмотрим функцию y = x2 в точке  x0 = 2.  Значение  функции  в  этой
точке равно 4.
      Отметим  одну  особенность  поведения  функции в  этой точке.  Можно
[pic]
 выбрать какое-либо положительное число ( и  построить  (-окрестность  точки
y0 = 4. Очевидно, что найдется такая окрестность точки x0 = 2 (на рисунке  1
эта  окрестность  имеет  радиус  ()  ,  что  если  x  будет  лежать  в  этой
окрестности,  то  соответствующее  значение  y,  равное  x2,  попадет  в  (-
окрестность точки y0 = 4.  Это  заключение  справедливо  для  любого,  сколь
угодно малого числа (. Здесь точка x0 = 2 выбрана  произвольно.  Можно  было
бы для  данной  функции  выбрать  любую  другую  точку  и  сделать  подобное
заключение.
      Рассмотрим функцию [pic]. Эта функция не определена  в  точке  x0 = 2.
При x0 ( 2 её можно преобразовать:

                                   [pic].

[pic]
График  функции  представлен  на  рисунке  2.  Хотя  исходная   функция   не
определена в точке x0 = 2 и естественно не  равна  3  в  этой  точке,  точка
y0 = 3 имеет характерную особенность. Выбрав положительное  число  (,  можно
утверждать, что если  рассматривать  значения  x,  расположенные  достаточно
близко к точке x0 = 2 (или лежащие в  некоторой  окрестности  точки  x0 = 2,
причем радиус этой окрестности зависит от (), то соответствующие значения  y
попадут в (-окрестность точки y0 = 3. Всё  сказанное  остаётся  справедливым
независимо от того, насколько малым выбрано положительное число (.
      Введем понятие предела функции. Число A  называется  пределом  функции
y = f(x) в точке x0 (иногда говорят, при  x,  стремящемся  к x0),  если  для
любого положительного числа ( можно найти такое положительное число  (,  что
для всех x из (-окрестности точки x0 соответствующие значения y  попадают  в
(-окрестность точки y = A.
      Можно сформулировать определение предела функции по-другому.  Число  A
называется  пределом  функции  y = f(x)  в  точке  x0,   если   для   любого
положительного числа ( можно найти такое  положительное  число  (,  что  для
всех x, удовлетворяющих условию
      0 < (x – x0( < (,
выполняется условие

                                (y – A( < (.

      Тот  факт,  что  A  есть  предел  функции  y = f(x)  в  точке  x = x0,
записывается формулой
[pic]
                                   [pic].

      Как видно из второго из рассмотренных выше примеров, для  того,  чтобы
функция  имела  предел  в  точке  x = x0,  не  требуется,  чтобы  она   была
определена в этой точке.
Рассмотрим функцию [pic]. Очевидно, что если x > 0, то y = 2x;  если  x < 0,
то y = –2x; при x = 0 функция не определена.
      График функции изображен на рисунке 3. Легко  убедиться  в  том,  что,
согласно приведенному выше определению предела, эта функция  в  точке  x = 0
предела не имеет.
      Функция y = f(x) называется  непрерывной  в  точке  x = x0,  если  она
определена в этой точке и ее значение f(x0) равно  пределу  функции  в  этой
точке: [pic].
      Функция y = x2 непрерывна в точке x = 2, как и во всех точках числовой
оси. Функция [pic] не является непрерывной в точке x = 2. Функция  [pic]  не
является непрерывной в точке x = 0.
      [pic]Функция,  непрерывная  в  каждой  точке   открытого   промежутка,
называется непрерывной на этом промежутке.
      Приведем свойства предела функции.
      1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.
      2. [pic], если C —  постоянная функция.
      3. Если существует[pic] и C — постоянная функция, то

                                   [pic].

      4. Если существуют[pic] и [pic], то существует [pic], равный [pic],  а
также  существует  [pic],  равный   [pic].   Если   при   этом   [pic],   то
существует[pic], равный [pic].
      Введем определения так называемых “односторонних пределов”.
      Число B называется  пределом  функции  f(x)  в  точке  a  справа  (это
записывается в виде формулы [pic] ), если для любого положительного числа  (
найдется положительное число (, такое что из из условия 0 < x – a < (  будет
следовать (B –f(x) ( < (.
      Согласно приведенному определению [pic].  Отметим,  что  обыкновенного
предела функция [pic] в точке x = 0 не имеет.
      Число С  называется  пределом  функции  f(x)  в  точке  b  слева  (это
записывается в виде формулы [pic] ), если для любого положительного числа  (
найдется положительное число ( такое, что из   условия  0 < b – x < (  будет
следовать (C – f(x)( < (.
      Очевидно, что функция [pic] (её график, изображен на рисунке 3)  имеет
два односторонних предела в точке x = 0:

                               [pic];  [pic].

      Функция f(x) называется непрерывной в точке a  справа  (непрерывной  в
точке b слева), если

                               [pic]  ([pic]).

      Функция [pic] непрерывна справа в точке x=0.
      Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке  [a,  b],  если
она непрерывна на открытом промежутке (a, b), непрерывна справа в точке a  и
непрерывна слева в точке b.
      Достаточно просто можно доказать теорему, связывающую понятия  предела
функции  в  точке  и   односторонних   пределов.   Мы   ограничимся   только
формулировкой теоремы.
      Для того, чтобы выполнялось равенство [pic], необходимо и  достаточно,
чтобы одновременно выполнялись два равенства:

                                [pic]; [pic]

      В дальнейшем нам понадобятся  понятия  предела  функции  в  бесконечно
удалённых  точках.  Рассмотрим  сначала  функцию   f(x),   определенную   на
полубесконечном промежутке (х0; ().  Число  А  называется  пределом  функции
f(x) при х, стремящемся к бесконечности:

      [pic],

если для любого положительного  числа  (  можно  найти  такое  положительное
число  M  (зависящее  от  (),  что  для  всех  чисел  х,  превосходящих   М,
выполняется условие:

      (f(x) – A( < (.

      Пусть теперь функция f(x) определена на полубесконечном промежутке

(–(; х0). Число А называется пределом функции  f(x)  при  х,  стремящемся  к
минус бесконечности:

      [pic],

если для любого положительного  числа  (  можно  найти  такое  положительное
число M  (зависящее  от  (),  что  для  всех  чисел  х,  меньших,  чем  – М,
выполняется условие:

      (f(x) – A( < (.

      Отметим два, так называемых, "замечательных предела".
      1. [pic]. Геометрический смысл этой формулы  заключается  в  том,  что
прямая [pic] является  касательной к графику  функции [pic] в точке [pic].
      2. [pic]. Здесь e — иррациональное число, приблизительно равное 2,72.
      Приведем пример применения понятия  предела  функции  в  экономических
расчетах. Рассмотрим обыкновенную финансовую сделку: предоставление  в  долг
суммы S0 с условием, что через период времени T будет возвращена  сумма  ST.
Определим величину r относительного роста формулой

      [pic].     (1)

Относительный рост можно выразить в процентах, умножив  полученное  значение
r на 100.
      Из формулы  (1) легко определить величину ST:
      ST = S0(1 + r)
При расчете по долгосрочным кредитам,  охватывающим  несколько  полных  лет,
используют схему сложных процентов. Она состоит в том, что если за  1-й  год
сумма S0  возрастает  в  (1 + r)  раз,  то  за  второй  год  в  (1 + r)  раз
возрастает  сумма  S1 = S0(1 + r),  то  есть   S2 = S0(1 + r)2.   Аналогично
получается S3 = S0(1 + r)3. Из  приведенных  примеров  можно  вывести  общую
формулу для вычисления роста суммы за n лет при  расчете  по  схеме  сложных
процентов:
      Sn = S0(1 + r)n.
      В  финансовых  расчетах  применяются  схемы,  где  начисление  сложных
процентов производится несколько раз в году. При этом оговариваются  годовая
ставка  r  и  количество  начислений  за  год  k.  Как  правило,  начисления
производятся  через  равные  промежутки  времени,  то  есть  длина   каждого
промежутка Tk составляет [pic] часть года. Тогда для срока в T лет (здесь  T
не обязательно является целым числом) сумма ST рассчитывается по формуле

      [pic] (2)

      Здесь [pic] — целая часть  числа  [pic],  которая  совпадает  с  самим
числом, если, например, T - целое число.
      Пусть годовая ставка равна r и производится n начислений в  год  через
равные промежутки времени. Тогда за год сумма S0 наращивается  до  величины,
определяемой формулой

      [pic] (3)

      В теоретическом анализе и в  практике  финансовой  деятельности  часто
встречается  понятие  “непрерывно  начисляемый  процент”.  Чтобы  перейти  к
непрерывно начисляемому проценту, нужно в формулах (2) и  (3)  неограниченно
увеличивать соответственно, числа  k  и  n  (то  есть  устремить  k  и  n  к
бесконечности) и вычислить, к какому пределу будут стремиться функции ST   и
S1. Применим эту процедуру к формуле (3):

                                      [pic].

Заметим, что предел в фигурных скобках  совпадает  со  вторым  замечательным
пределом.  Отсюда  следует,  что  при  годовой  ставке  r   при   непрерывно
начисляемом проценте сумма  S0  за  1  год  наращивается  до  величины  S1*,
которая определяется из формулы

      S1* = S0er.      (4)

      Пусть теперь сумма S0 предоставляется в долг с начислением процента  n
раз в год через равные промежутки времени. Обозначим re годовую ставку,  при
которой в конце года сумма S0 наращивается до величины S1* из  формулы  (4).
В этом случае будем говорить, что re — это  годовая  ставка  при  начислении
процента n раз в год, эквивалентная  годовому  проценту  r  при  непрерывном
начислении. Из формулы (3) получаем
                                   [pic].
Приравнивая  правые  части  последней  формулы  и  формулы  (4),  полагая  в
последней T = 1, можно вывести соотношения между величинами r и re:

                               [pic],  [pic].

Эти формулы широко используются в финансовых расчётах.



смотреть на рефераты похожие на "Сборник Лекций по матану"