Математика

Теорема сложения вероятностей. Закон равномерной плотности вероятностей


                МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

              ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

           Кафедра: «____________________________________________»



                                   Реферат

                     по дисциплине «Теория вероятностей»



                                    Тема:

                       «Теорема сложения вероятностей.
                  Закон равномерной плотности вероятности»



                                        Работу выполнила: студентка II курса
                                             заочного отделения группы ПИЭ-1
                                                              Колосова Олеся
                                                                  Шифр-01302

                                                            Работу проверил:

                                    Тверь
                                    2003

СОДЕРЖАНИЕ:
   1. Введение………………………………………………………3-4с.
   2. Теорема сложения вероятностей…………………………..4-7с.
   3. Закон равномерной плотности вероятности……………..7-
   4. Заключение……………………………………………………



                                 1. ВВЕДЕНИЕ
     Случай, случайность — с ними мы встречаемся повседневно: случайная
   встреча, случайная поломка, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд
   можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут лет места для
   математики—какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила
   интересные закономерности—они позволяют человеку уверенно чувствовать
   себя при встреча со случайными событиями.
     Как наука теория вероятности зародилась в 17в. Возникновение понятия
   вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего
   значительное распространение в ту эпоху, когда заметно росли торговые
   связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр.
   Слово «азарт», под которым обычно понимается сильное увлечение,
   горячность, является транскрипцией французского слова hazard, буквально
   означающего «случай», «риск». Азартными называют те игры, а которых
   выигрыш зависит главным образом не от умения игрока, а от случайности.
   Схема азартных игр была очень проста и могла быть подвергнута
   всестороннему логическому анализу. Первые попытки этого рода связаны с
   именами известных учёных—алгебраиста Джероламо Кардана (1501- 1576) и
   Галилео Галилея (1564—1642). Однако честь открытия этой теории, которая
   не только даёт возможность сравнивать случайные величины, но и
   производить определенные математические операции с ними, принадлежит двум
   выдающимися ученым—Блезу Паскалю (1623—1662) и Пьеру Ферма. Ещё в
   древности было замечено, что имеются явления, которые обладают
   особенностью: при малом числе наблюдений над ними не наблюдается никакой
   правильности, но по мере увеличения числа наблюдений всё яснее
   проявляется определенная закономерность.

                      2. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Непосредственный подсчёт случаев, благоприятствующих данному событию, может
оказаться затруднительным. Поэтому для определения вероятности события
бывает выгодно представить данное событие в виде комбинации некоторых
других, более простых событий. Приведём теоремы, с помощью которых можно по
вероятностям одних случайных событий вычислять вероятности других случайных
событий, каким – либо образом связанных с первыми. Начнём с теорем, которые
образуют группу с общим названием «теоремы сложения».
Теорема 1. Пусть А и В – два несовместных события. Тогда вероятность того,
что осуществится хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их
вероятностей:     P(A U B)=P(A)+P(B).
Доказательство.
Обозначим исходы, благоприятные для события А, через а1,а2,…,аm , а для
события В – через b1,b2,…,bn. Вероятности этих исходов обозначим
соответственно через p1,p2,…,pm и q1,q2,…,qn . Тогда событию A U B
благоприятны все исходы a1,a2,…,am , b1,b2,…,bn . В силу того что события А
и В несовместны, среди этих исходов нет повторяющихся. Поэтому вероятность
события АUB равна сумме вероятностей этих исходов. т.е.
P(AUB)=p1+p2+…+pm+q1+q2+…+qn.
Но p1+p2+pm=P(A), q1+q2+qn=P(B), а потому
P(AUB)=P(A)+P(B).
Теорема доказана.
    Пример 1. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность выбить 10 очков равна
0,3 , а вероятность выбить 9 очков равна 0,6. Чему равна вероятность выбить
не менее 9 очков?
   Решение. Событие А «выбить не менее 9 очков» является объединением
событий В - «выбить 10 очков» и С – «выбить 9 очков». При этом события В и
С несовместны, так как нельзя одним выстрелом выбить сразу и 9, и 10 очков.
Поэтому по теореме 1 имеем:
P(A)=P(B)+P(C)=0,3+0,6=0.9.
Если события А1, А2, … ,Аn попарно несовместны, то событие A1U … UAn-1
несовместно с событием An . В самом деле,
(A1U…UAn-1) I An =(A1?? An)U…U(An-1 ??  An) .
Но при sв
основные числовые характеристики закона распределения плотности  вычисляются
по общим формулам и они равны
                                    [pic]

     Приведем примеры подобных случайных величин:
Пример 1. Произведено взвешивание тела на точных весах, но в распоряжении
взвешивающего имеются только разновески весом не менее 1г.; результат
взвешивания показывает, что вес тела заключен между k и (k+1/2) граммам.
Допущенная при этом ошибка X , очевидно, есть случайная величина,
распределенная с равномерной плотностью на участке [pic]г.
Пример 2. Вертикально поставленное симметричное колесо (см.Рисунок№1)
приводится во вращение и затем останавливается вследствие трения.
Рассматривается случайная величина ? –угол, который после остановки будет
составлять с горизонтом фиксированный радиус колеса ОА. Очевидно величина ?
распределена с равномерной плотностью на участке (0,2 ?)
     [pic]
     Пример 3. Поезда метрополитена идут с интервалом 2 мин. Пассажир
   выходит на платформу в некоторый момент времени. Время Т, в течении
   которого ему придется ждать поезда, представляет собой случайную
   величину, распределенную с равномерной плотностью на участке (0,2) минут.
     Рассмотрим случайную величину X, подчиненную закону равномерной
   плотности на участке ? до ? (см.Рисунок №2), и напишем для нее выражение
   плотности распределения f(x).
     Плотность f(x)постоянна и равна с на отрезке (?,?); вне этого отрезка
   она равна нулю: [pic].
     Так как площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице: с (?-
    ?)=1,
                [pic],
     и плотность распределения f(x) имеет вид:
-----------------------

Рисунок №1




смотреть на рефераты похожие на "Теорема сложения вероятностей. Закон равномерной плотности вероятностей"