Математика

Способы решения систем линейных уравнений


Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная  тема.
Системы уравнений и методы  их  решения  рассматриваются  в  школьном  курсе
математики,  но  недостаточно  широко.  А  для   того,   чтобы   перейти   к
исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с  темой  матриц  и
определителей. Этот же материал вообще в школьной  программе  не  изучается.
Поэтому первая глава моего реферата посвящена теме матриц  и  определителей.
В  ней  я  рассматривала  различные   действия   над   матрицами,   свойства
определителей, метод Гаусса вычисления ранга матрицы,  а  так  же  некоторые
другие   теоретические   вопросы.   Во    второй    главе    непосредственно
рассматриваются системы линейных уравнений и некоторые  методы  их  решения:
правило Крамера, метод Гаусса, а так же теорема Кронекера  –  Капелли.  И  в
той и в другой главах приведены  примеры,  которые  составляют  практическую
часть моего реферата.
Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы  решения
систем линейных уравнений для применения  их  на  практике.  Для  достижения
любой цели необходимо выполнить  какие-то  определенные  задачи.  Мне  нужно
выполнить  следующие  задачи:  исследовать  литературу  по   темам   матриц,
определителей и систем линейных  уравнений;  изучить  современное  состояние
данного вопроса; отобрать и классифицировать исследуемый материал;  а  также
провести практическую часть работы.  Давайте  рассмотрим  некоторые  примеры
важнейших моментов этой работы.
Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

                             a11x1 + a12x2 + …+ a1n xn = b1 ;
                             a21x1 + a22x2 + …+ a2n xn = b2 ;

                             ……………………………………
                             an1x1 + an2x2 + …+ annxn  = bn ;
a). Если (((, то система (1) имеет единственное решение,
которое может быть найдено по формулам Крамера:  x1=[pic], где
определитель n-го порядка (i ( i=1,2,...,n) получается из определителя
системы путем замены i-го столбца свободными членами b1 , b2 ,..., bn.
 б). Если (((, то система (1) либо имеет бесконечное множество решений ,
либо несовместна ,т.е. решений нет. Например:
решить систему уравнений
[pic].
Вычислим определитель системы:
      [pic]
Так как определитель не равен нулю, система уравнений может быть решена по
формулам Крамера. Найдем определители ?x , ?y:

    [pic]                      [pic]


    [pic]                          [pic].

Практическое  значение  правила  Крамера  для  решения  системы  n  линейных
уравнений с п неизвестными невелико, так как при его  применении  приходится
вычислять п +1  определителей  n-го  порядка:  (,  (x1,  (x2,  …,(xn.  Более
удобным является так называемый метод Гаусса. Он применим и  в  более  общем
случае системы линейных уравнений, т. е. когда число уравнений не  совпадает
с числом неизвестных.
Итак, пусть дана система, содержащая m линейных уравнений с п неизвестными:
                                    а11х1 + а12х2 + …+ а1nхn  = b1;
                                    а21х1 + а22х2 + …+ а2nхn  = b2;

.                                    ……………………………………
                                   аm1х1 + аm2х2 + …+ аmnхn = bm
Метод Гаусса решения системы (19) заключается в последовательном  исключении
переменных. Например:


 Решить методом Гаусса систему уравнений
                                    x1 –  2x2 +  x3 +   x4 = –1;
                                  3x1 + 2x2 – 3x3 – 4x4 = 2;
                                  2x1 –   x2 + 2x3 – 3x4 = 9;
                                    x1 + 3x2 – 3x3 –   x4 = –1.

Р е ш е н и е. Составим матрицу В и преобразуем ее. Для удобства  вычислений
отделим вертикальной чертой столбец, состоящий из свободных членов:
                                     1    –2     1     1    –1
                           B =    3      2   –3   –4      2  .
                                     2    –1     2   –3      9
                                     1      3   –3   –1    –1

 Умножим первую строку матрицы В последовательно  на  3,  2  и  1  и  вычтем
соответственно из  второй,  третьей  и  четвертой  строк.  Получим  матрицу,
эквивалентную исходной:

                                    1    –2     1     1    –1
                                    0      8   –6   –7      5
                                    0      3     0   –5    11
                                    0      5   –4   –2      0

Третью строку матрицы умножим на 3 и  вычтем  ее  из  второй  строки.  Затем
новую вторую строку умножим на 3 и на 5 и  вычтем  из  третьей  и  четвертой
строк. Получим матрицу, эквивалентную исходной:

                                   1    –2      1     1    –1
                                   0    –1    –6     8    –28
                                   0      0    –1     0    –3
                                   0      0      0   19    –19

Из коэффициентов последней матрицы составим систему, равносильную исходной:



                                    x1 – 2x2 +   x3 +    x4 = –1;
                          - X2   – 6x3 + 8x4  = –28;
                                     – x3                 = –3;
                                              19x4  = –19.

Решим полученную систему методом подстановки,  двигаясь  последовательно  от
последнего уравнения к  первому.  Из  четвертого  уравнения   x4  =  –1,  из
третьего х3 = 3. Подставив значения х3 и x4 во второе уравнение,  найдем  x2
= 2. Подставив значения x2, x3, x4 в первое уравнение, найдем x1 = 1.
Теорема совместности Кронекера  –  Капелли  звучит  следующим  образом:  Для
того,  чтобы  система  неоднородных  линейных  уравнений  была   совместной,
необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы  системы  был  равен
рангу её основной матрицы. Рассмотрим следующий пример:
Рассмотрим систему
                                  5x1 –   x2 +  2x3 +   x4 = 7;
                                  2x1 +  x2  –  4x3  – 2x4 = 1;
                                    x1 – 3x2 +  6x3  – 5x4 = 0.

Ранг основной матрицы этой системы равен 2, так как сцществует  отличный  от
нуля минор второго порядка этой матрицы, например
                                 5   –1   = 7,
                                 2     1
а все миноры третьего порядка равны нулю.
Ранг расширенной матрицы этой системы равен 3, так как существует отличный
от нуля минор третьего порядка этой матрицы, например
                                5   –1     7
                                2     1     1   = –35.
                                1   –3     0
Согласно критерию Кронекера – Капелли система несовместна, т.е. не имеет
решений.
В процессе работы я узнала много нового: какие действия можно выполнять над
матрицами, какой путь решения систем линейных уравнений наиболее простой и
быстрый, а так же многие другие теоретические вопросы и провела
практические исследования, приводя примеры в тексте.
Тема решения систем линейных уравнений предлагается на вступительных
экзаменах в различные математические вузы, на выпускных экзаменах, поэтому
умение их решать очень важно.
Реферат может использоваться как учащимися, так и преподавателями в
процессе факультативных занятий, как пособие для самостоятельного изучения
по теме „Способы решения систем линейных уравнений ”, а также в качестве
дополнительного материала.




смотреть на рефераты похожие на "Способы решения систем линейных уравнений"