Математика

Приложения производной

Лицей информационных технологий



                                   Реферат

                         Производная и ее приложения



                                       Выполнил: ученик 11А класса
                                                                  Новиков А.
                                       Проверила: Шекера Г.В.



                                 г.Хабаровск
                                    2004



                                 Содержание


Введение……………………………………………………………………………………….…3


1. Понятие производной……………………………………………………....………………....4


2. Геометрический смысл производной…………………….………………….......……..4


3. Физический смысл производной……………………………………………………….…….5


4. Правила дифференцирования………………………………………………………….……..6


5. Производные высших порядков……………………………………………………….……..7


6. Изучение функции с помощью производной


   6.1.Возрастание и убывание функции. Экстремум функции……………………………..8


   6.2.Достаточные условия убывания и возрастания функции.


      Достаточные условия экстремума функции………………..…………………...…….11

   6.3 .Правило нахождения экстремума………………………………………………….....12

   6.4.Точка перегиба графика функции………………………………………………...…...12


   6.5.Общая схема исследования функции и построение ее графика……………………..15


   6.5. Касательная и нормаль к плоской кривой…………………………..………………..15


7.Экономическое приложение производной.


   7.1.Экономическая интерпретация производной………………………………...……….16


   7.2. Применение производной в экономической теории...………………………..……..19


   7.3. Использование производной для решения задач по экономической
   теории….…...21


8. Применение производной в физике…………………………………………………….…..23


9. Применение производной в алгебре


   9.1. Применение производной к доказательству неравенств…………………………....25


   9.2. Применение производной в доказательстве тождеств………………………….…...28


   9.3. Применение производной для упрощения алгебраических


      и тригонометрических выражений……………………………………………….……29


   9.4.Разложение выражения на множители с помощью производной…………………...30


   9.5. Применение производной в вопросах существования корней
   уравнений………....31


Заключение……………………………………………………………………………………...32

Список литературы……………………………………………………………………………..33
                                  Введение

   Понятие функции является одним из основных  понятии  математики.  Оно  не
возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а,  как  и  другие
фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и  исторического
развития.  Идея  функциональной  зависимости  восходит   к   древнегреческой
математике. Например, изменение площади,  объема  фигуры  в  зависимости  от
изменения  ее  размеров.  Однако  древними   греками   идея   функциональной
зависимости осознавалась интуитивно.
   Уже в 16 - 17 в. в, техника, промышленность, мореходство поставили  перед
математикой  задачи,  которые  нельзя  было   решить   имеющимися   методами
математики постоянных  величин.  Нужны  были  новые  математические  методы,
отличные от методов элементарной математики.
   Впервые  термин  "функция"  вводит  в  рассмотрение  знаменитый  немецкий
математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот  термин  (определения  он
не  дал  вообще)  он  употребляет  в  узком  смысле,  понимая  под  функцией
изменение ординаты кривой в зависимости  от  изменения  ее  абсциссы.  Таким
образом, понятие функции носит у него "геометрический налет". В  современных
терминах  это  определение  связано  с  понятием  множества  и  звучит  так:
«Функция   есть  произвольный  способ  отображения  множества  А  =  {а}  во
множество В  =  {в},  по  которому  каждому  элементу  а[pic]А  поставлен  в
соответствие  определенный  элемент  в[pic]В.  Уже  в  этом  определении  не
накладывается никаких ограничений на закон соответствия  (этот  закон  может
быть задан Формулой, таблицей, графиком,  словесным  описанием).  Главное  в
этом определении: [pic]а[pic]А[pic]!b[pic]B. Под элементами множеств А  и  В
понимаются при этом элементы произвольной природы.
   В математике XVII в. самым же большим достижением  справедливо  считается
изобретение дифференциального  и  интегрального  исчисления.  Сформировалось
оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших учеников. Введение  в
математику  методов  анализа  бесконечно   малых   стало   началом   больших
преобразований. Но наряду с интегральными  методами  складывались  и  методы
дифференциальные.   Вырабатывались   элементы   будущего   дифференциального
исчисления при решении  задач,  которые  в  настоящее  время  и  решаются  с
помощью  дифференцирования.  В  то  время  такие  задачи  были  трех  видов:
определение  касательных  к  кривым,  нахождение  максимумов   и   минимумов
функций,  отыскивание   условий   существования   алгебраических   уравнений
квадратных корней.
   Первый в мире печатный курс дифференциального  исчисления  опубликовал  в
1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия  и  10  глав,  в  которых
излагаются определения постоянных  и  переменных  величин  и  дифференциала,
объясняются употребляющиеся обозначения dx, dy, и др.
   Появление анализа бесконечно малых  революционизировало  всю  математику,
превратив ее в математику переменных величин.
   Исследование  поведения  различных  систем  (технические,  экономические,
экологические  и  др.)  часто  приводит  к  анализу  и  решению   уравнений,
включающих  как  параметры   системы,   так   и   скорости   их   изменения,
аналитическим выражением  которых  являются  производные.  Такие  уравнения,
содержащие производные, называются дифференциальными.
   В  своей  же  работе  я  хочу  подробнее   остановится   на   приложениях
производной.



1. Понятие производной

  При решении различных задач геометрии, механики, физики и других  отраслей
знания возникла необходимость с помощью  одного  и  того  же  аналитического
процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию,  которую  называют
производной  функцией  (или  просто  производной)  данной  функции  f(x)   и
обозначают символом
                                    [pic]
  Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую
функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех
шагов:

  1) даем аргументу x приращение ? x и определяем соответствующее
приращение функции ? y = f(x+? x) -f(x);

  2) составляем отношение[pic]
  3) считая x постоянным, а ? x (0, находим[pic], который обозначаем через
f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь
от того значения x, при котором мы переходим к пределу.

  Определение: Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x
называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при
условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот
предел существует, т.е. конечен.

  Таким образом, [pic],  или  [pic]
  Заметим, что если при некотором значении x, например  при  x=a,  отношение
[pic]при ? x(0 не стремится к конечному пределу, то в этом  случае  говорят,
что функция f(x) при x=a (или в точке  x=a)  не  имеет  производной  или  не
дифференцируема в точке x=a.

2. Геометрический смысл производной.


Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки
x0

[pic]

  Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции -
точку А(x0, f (х0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)).
Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ?АВС: АС = ?x;          ВС =?у;
tg?=?y/?x .
  Так как АС || Ox, то (ALO = (BAC = ? (как соответственные при
параллельных). Но (ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному
направлению оси Ох. Значит, tg? = k - угловой коэффициент прямой АВ.
  Теперь будем уменьшать ?х, т.е. ?х> 0. При этом точка В будет
приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться.
Предельным положением секущей АВ при ?х> 0 будет прямая (a), называемая
касательной к графику функции у = f (х) в точке А.
Если перейти к пределу при ?х > 0 в равенстве tg? =?y/?x, то получим[pic]
или tg( =f '(x0), так как [pic] (-угол наклона касательной к положительному
направлению оси Ох [pic], по  определению производной. Но tg( = k - угловой
коэффициент касательной, значит,  k = tg( = f '(x0).
  Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:
  Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к
графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.


3. Физический смысл производной.


  Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в
любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость
за промежуток времени [t0; t0+ ?t] равна отношению расстояния, пройденного
за этот промежуток времени, на время, т.е.
Vср = ?x/?t. Перейдем к пределу в последнем равенстве   при ?t > 0.

lim Vср (t) = ((t0) - мгновенная скорость в момент времени t0,  ?t > 0.

а lim  = ?x/?t = x'(t0) (по определению производной).

Итак, ((t) =x'(t).
  Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции
y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x0
  Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной
функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от
времени.
((t) = x'(t) - скорость,
a(f) = ('(t) - ускорение, или
a(t) = x"(t).
  Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно
найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:
? = ?(t) - изменение угла от времени,
? = ?'(t) - угловая скорость,
?  = ?'(t) - угловое ускорение, или ? = ?"(t).
  Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно
найти линейную плотность неоднородного стержня:
m = m(х) - масса,
x ( [0; l], l - длина стержня,
р = m'(х) - линейная плотность.
С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических
колебаний. Так, по закону Гука
F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины.
Положив ?2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника
х"(t) + ?2x(t) = 0,
где ? = ?k/?m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).
Уравнение вида у" + ?2y = 0 называется уравнением гармонических колебаний
(механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений
является функция
у = Asin(?t + ?0) или у = Acos(?t + ?0), где
А - амплитуда колебаний, ? - циклическая частота,
?0 - начальная фаза.


4. Правила дифференцирования



|(C)’= 0      С=const                |[pic]                               |
|[pic]                               |[pic]                               |
|(cos x)'=-sin x                     |[pic]                               |
|(sin x)'=cos x                      |[pic]                               |
|(tg x)'=[pic]                       |(ах)'=аx ln a                       |
|(ctg x)'=-[pic]                     |(ех)'=ex                            |
|[pic]                               |                                    |

[pic]                                    [pic]
[pic]                                     [pic]
Производная степенно-показательной функции
[pic], где [pic].
[pic].
 Логарифмическое дифференцирование. Пусть  дана  функция  [pic].  При  этом
предполагается, что функция [pic]  не  обращается  в  нуль  в  точке  [pic].
Покажем один из способов нахождения производной функции  [pic],  если  [pic]
очень  сложная  функция  и  по  обычным  правилам  дифференцирования   найти
производную затруднительно.
 Так как по первоначальному предположению [pic] не равна нулю в точке,  где
ищется ее  производная,  то  найдем  новую  функцию  [pic]  и   вычислим  ее
производную
 [pic]     (1)
 Отношение [pic] называется логарифмической производной функции  [pic].  Из
формулы (1) получаем
 [pic].    Или   [pic]
Формула (2) дает простой способ нахождения производной функции [pic].


5. Производные высших порядков

  Ясно, что производная[pic]функции y =f (x) есть также функция от x: [pic]

  Если функция f '  (x)  дифференцируема,  то  её  производная  обозначается
символом y'' =f '' (x) и называется  второй  производной  функции  f(x)  или
производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением  [pic]можем
написать [pic]
  Очень удобно  пользоваться  также  обозначением  [pic],  указывающим,  что
функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза.

  Производная второй производной, т.е. функции y''=f  ''  (x)  ,  называется
третьей производной функции y=f(x) или  производной  функции  f(x)  третьего
порядка и обозначается символами [pic].
  Вообще  n-я  производная  или  производная  n-го  порядка  функции  y=f(x)
обозначается символами [pic]
  Дифференцируя производную первого  порядка,  можно  получить  производную
второго порядка, а, дифференцируя полученную функцию,  получаем  производную
третьего порядка и т.д. Тогда возникает вопрос: сколько  производных  высших
порядков можно получить в случае произвольной функции.
  Например:
  1)   [pic];  [pic];  [pic]; ...;
  [pic];   [pic].
  Разные функции ведут себя по-разному при многократном  дифференцировании.
Одни  имеют  конечное  количество  производных  высших  порядков,  другие  –
переходят  сами  в  себя,  а  третьи,  хотя  и  дифференцируемы  бесконечное
количество раз, но порождают новые функции, отличные от исходной.
  Однако  все  сформулированные  теоремы  о  производных  первых   порядков
выполняются для производных высших порядков.

6. Изучение функции с помощью производной


6.1.Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.

  Определение 1. Функция f(x) называется  возрастающей  в  интервале  (a,b),
если при возрастании аргумента x в этом интервале  соответствующие  значения
функции f(x) также возрастают, т.е. если f(x2) > f(x1) при x2 > x1.
|[pic]                        |
|Рис.1 (а)                    |
|[pic]                        |
|Рис.1 (б)                    |


  Из этого определения следует, что у возрастающей в интервале (a,b)
функции f(x) в любой точке этого интервала приращения ?x и ?y имеют
одинаковые знаки.

  График возрастающей функции показан на рисунке1(а).

  Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f (x2) ?
f (x1), то функция f (x) называется неубывающей в интервале (a, b ). Пример
такой функции показан на рисунке 2(а). На интервале [ x0 , x1 ] она
сохраняет постоянное значение C

  Определение 2. Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b )
если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения
функции f (x) убывают, т.е. если f(x2) < f(x1) при x2 > x1.
  Из этого определения следует, что у убывающей в интервале ( a, b )
функции f (x) в любой точке этого интервала приращения ?x и ?y имеют разные
знаки.  График убывающей функции показан на рисунке 1(б).

  
Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое  неравенство  f(x2) ?  f(x1),
то функция f (x) называется  невозрастающей  в  интервале  ( a, b ).  Пример
такой функции показан на рисунке  2(б).  На  интервале  [  x0  ,  x1  ]  она
сохраняет постоянное значение C.
                      Теорема 1. Дифференцируемая и возрастающая в интервале
                    ( a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого
                    интервала неотрицательную производную.

                        Теорема 2. Дифференцируемая и убывающая в интервале
                    ( a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого
                    интервала неположительную производную.
                      Пусть данная непрерывная функция убывает при
                    возрастании x от x0 до x1, затем при возрастании x от x1
                    до x2 - возрастает, при дальнейшем возрастании x от x2
                    до x3 она вновь убывает и так далее. Назовем такую
                    функцию колеблющейся.

                      График колеблющейся функции показан на рисунке 3.
                    Точки A, C, в которых функция переходит от возрастания к
                    убыванию, так же, как и точки B, D, в которых функция
                    переходит от убывания к возрастанию, называются точками
                    поворота или критическими точками кривой y = f (x), а их
                    абциссы - критическими значениями аргумента x

                      В той точке, где функция переходит от возрастания к
                    убыванию, ордината больше соседних с ней по ту и другую
                    сторону ординат. Так, ордината точки A больше ординат,
                    соседних с ней справа и слева и достаточно к ней
                    близких, т.е. значение функции в точке A, абсцисса
                    которой равна x0, больше значений функции в точках,
                    абсциссы которых достаточно близки к x0 : f (x0) > f
                    (x0+?x).
                      На рисунке 4(a) изображена функция f (x), непрерывная
                    в интервале ( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она
                    возрастает, на интервале [ x0 , x1 ] - сохраняет
                    постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале
                    [ x1 , b ) - убывает. Во всех точках, достаточно близких
                    к x0 (или x1 ), значения функции f (x) удовлетворяют
                    нестрогому неравенству f (x0)?f (x).
Значение f (x0) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное
неравенство, называется максимальным значением функции f (x) или просто
максимумом.

  Определение 3. Максимумом функции f (x) называется такое значение f (x0)
этой функции, которое не меньше всех значений функции f (x) в точках x,
достаточно близких к точке x0 , т.е. в точках x,
принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки x0 .

  Так, на рисунке 3 показаны два максимума: f (x0) и f (x2) .

  В той точке, где функция переходит от убывания к возрастанию, ордината
меньше ординат в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и
слева от нее. Так ордината точки B меньше ординат в точках соседних и
достаточно близких к точке x1 справа и слева. Значение функции в точке,
абсцисса которой равна x1 , меньше значений функции в точках, абсциссы
которых достаточно мало отличаются от x1 : f (x1) < f (x1+?x).
  На  рисунке  4(б)  изображена  функция  f  (x),  непрерывная  в  интервале
( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она  убывает,  на  интервале  [ x0 , x1 ]  -
сохраняет постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в  интервале  [ x1 , b )
- возрастает. Во всех точках, достаточно близких к x0 (или  x1  ),  значения
функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x0)?f (x).
  Значение f (x0) функции  f  (x),  при  котором  выполняется  вышеуказанное
неравенство, называется минимальным  значением  функции  f  (x)  или  просто
минимумом.

  Определение 4. Минимумом функции f (x) называется такое  значение  f  (x0)
этой функции, которое не больше всех значений функции  f  (x)  в  точках  x,
достаточно близких к точке x0 , т.е. в точках x, принадлежащих некоторой
достаточно малой окрестности точки x0 .

  Так, на рисунке 3 показаны два минимума: f (x1) и f (x3) .

  По определению наибольшим значением функции f (x) на интервале [ a, b ]
является такое значение f (x0), для которого для всех точек интервала
[ a, b ] выполняется неравенство f (x0)?f (x), а наименьшим значением
функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение f (x0), для
которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f (x0)?f
(x).

  Из этих определений следует, что функция может достигать своего
наибольшего или наименьшего значения как внутри интервала [ a, b ] , так и
на его концах a и b. Здесь же максимум и минимум функции f (x) были
определены соответственно как наибольшее и наименьшее значения в некоторой
окрестности точки x0 .

  Если в точке x0 функция f (x) достигает максимума или минимума, то
говорят, что функция f (x) в точке x0 достигает экстремума (или
экстремального значения).

  Функция f (x) может иметь несколько экстремумов внутри интервала
[ a, b ], причем может оказаться, что какой-нибудь минимум будет больше
какого-нибудь максимума. Таким образом, наибольшее значение функции f (x)
на интервале [ a, b ] - это наибольший из экстремумов функции внутри этого
интервала и наибольшее из значений функции на концах интервала.

  Аналогично наименьшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это
наименьший из экстремумов функции внутри этого интервала и наименьшее из
значений функции на концах интервала.
 Например функция, изображенная на рисунке 3, достигает наибольшего
значения f (x) в точке x2 , наименьшего - в точке x1 интервала [ x0, x3 ].
На рисунке 5 изображена функция, имеющая бесконечное число минимумов и
максимумов.
   Теорема 3 (необходимый признак экстремума). Если функция f  (x)  имеет  в
точке x0 экстремум, то ее производная в данной точке или равна нулю  или  не
существует.

    Но функция f (x) может иметь экстремумы и в тех точках x0, в которых  ее
производная не существует. Например функция y = | x | в  точке  x0  =  0  не
дифференцируема,  но  достигает  минимума.  Точки   такого   типа   называют
угловыми. В них кривая не имеет определенной касательной.
|[pic]                    |
|Рис. 6                   |


  На рисунке 6 изображена функция f (x), не имеющая в точке x0 производной
[f' (x0) = ?] и достигающая в этой точке максимума. При x > x0 и x < x0   
 f' (x) > +?, при x > x0 и x > x0     f' (x) > -?. Значит касательная
кривой y = f (x) при x = x0 перпендикулярна к оси Ox. Такие точки
называются точками возврата кривой y=f(x).

  Таким образом, необходимым признаком существования в точке x0 экстремума
функции f (x) является выполнение следующего условия: в точке x0
производная f' (x) или равна нулю, или не существует.

  Этот признак не является достаточным условием существования экстремума
функции f (x) в точке x0 : можно привести много примеров функций,
удовлетворяющих этому условию при x = x0 , но, однако, не достигающих
экстремума при x = x0.

  Например, производная функции y = x3 при x0 = 0 равна нулю, однако эта
функция при x0 = 0 не достигает экстремального значения.

6.2.Достаточные условия убывания и возрастания функции. Достаточные условия
экстремума функции.

   Теорема 4.Если  функция  f(x)  имеет  в  каждой  точке  интервала  (a, b)
неотрицательную производную, то она является  неубывающей  функцией  в  этом
интервале.

   Теорема 5. Если функция  f(x)  в  каждой  точке  интервала  (a, b)  имеет
неположительную производную, то она является невозрастающей функцией в  этом
интервале.
   Теорема 6. (первый достаточный признак экстремума). Если производная
f '(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x0 или не существует и при
переходе через x0 меняет свой знак, то функция f(x) имеет в этой точке
экстремум (максимум, если знак меняется с "+" на "-", и минимум, если знак
меняется с "-" на "+").

    Теорема 7. (второй достаточный признак существования экстремума
функции). Если в точке x0 первая производная f '(x) функции f(x) обращается
в нуль, а её вторая производная f ''(x) отлична от нуля, то в точке x0
функция f(x) достигает экстремума (минимума, если f ''(x) > 0, и максимума,
если f ''(x) < 0). Предполагается, что f ''(x) непрерывна в точке x0 и ее
окрестности.
 6.3 .Правило нахождения экстремума
 1°. Чтобы найти экстремум функции, надо:
 1) найти производную данной функции;
 2)  приравнять  производную  нулю  и  решить  полученное   уравнение;   из
полученных корней отобрать действительные и расположить  их  (для  удобства)
по их величине от меньшего  к  большему;  в  том  случае,  когда  все  корни
оказываются мнимыми, данная функция не имеет экстремума;
 3) определить знак производной  в  каждом  из  промежутков,  отграниченных
стационарными точками (  стационарными  точками  называют  точки  в  которых
производная равна 0);
 4) если производная положительна в промежутке,  лежащем  слева  от  данной
стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от  нес,  то
данная точка есть точка максимума функции, если же производная  отрицательна
слева и положительна справа от данной стационарной точки,  то  данная  точка
есть точка минимума функции; если производная имеет один и тот же  знак  как
слева, так  и  справа  от  стационарной  тонки,  то  в  этой  точке  нет  ни
максимума, ни минимума, функции;
 5) заменить в данном выражении функции аргумент  значением,  которое  дает
максимум или минимум функции; получим значение соответственно максимума  или
минимума функции.
 Если функция имеет точки разрыва, то эти  точки  должны  быть  включены  в
число  стационарных  точек,  разбивающих  Ох  на   промежутки,   в   которых
определяется знак производной.

  6.4.Точка перегиба графика функции.

   Будем говорить, что кривая  y = f(x)  в  точке  x0  обращена  выпуклостью
вверх, если существует такая  окрестность  точки  x0  ,  что  часть  кривой,
соответствующая этой окрестности,  лежит  под  касательной  к  этой  кривой,
проведенной в точке A с абсциссой x0. (см. Рисунок 1а).
|Рисунок 1                                    |


   Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью
вниз, если существует такая окрестность точки x0 , что часть кривой,
соответствующая этой окрестности, лежит над касательной к этой кривой,
проведенной в точке A с абсциссой x0. (см. Рисунок 1б).

   Из определения выпуклости вверх (вниз) кривой y = f(x) в точке x0
следует, что для любой точки x из интервала (x0 - h, x0 + h), не
совпадающей с точкой x0, имеет место неравенство f(x) - y < 0   ( f(x) -
 y > 0) где f(x) - ордината точки M кривой y = f(x), y - ордината точки N
касательной                                  y - y0 = f '(x0 )(x - x0 ) к
данной кривой в точке A. (смотри рисунок 1, а, б).

   Ясно, что и наоборот, если для любой точки x интервала (x0 - h, x0 + h),
не совпадающей с x0, выполняется неравенство  f(x) - y < 0    (f(x) -
 y > 0),
то кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью вверх (вниз).

   Будем называть кривую y = f(x) выпуклой вверх (вниз) в интервале  (a, b),
если она выпукла вверх (вниз) в каждой точке этого интервала.

   Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх в интервале (a, b), то  с
увеличением аргумента x угловой коэффициент  касательной  к  этой  кривой  в
точке с абсциссой x будет уменьшаться.
|[pic]                                 |
|Рисунок 2.                            |


   В самом деле, пусть абсцисса x1 точки A меньше абсциссы x2 точки B  (рис.
2). Проведем касательные t1 и t2 соответствено в  точках  A  и  B  к  кривой
y = f(x). Пусть a и j - углы наклона касательных t1 и t2. Тогда  из  рис.  2
видим, что j - внешний угол треугольника ECD, а поэтому он  больше  угла  a.
Следовательно tg? > tg? или f '(x1 ) > f '(x2 ).

   Таким образом мы показали, что если в интервале  (a, b)  кривая  y = f(x)
обращена выпуклостью вверх, то с увеличением аргумента x функция  y = f '(x)
убывает. Поэтому вторая производная f ''(x) функции  f(x),  как  производная
убывающей фунции f '(x), будет  отрицательна  или  равна  нулю  в  интервале
(a, b):  f ''(x)?0.
|[pic]                             |
|Рисунок 3.                        |


   Если  кривая  y = f(x)   обращена   выпуклостью   вниз,   то   из   рис.2
непосредственно видно, что tg? > tg? т.е. f '(x2 ) > f '(x1 ), а  поэтому  в
интервале (a, b) производная f '(x)  возрастает.  Тогда  вторая  производная
f ''(x) функции f (x),  как  производная  возрастающей  в  интервале  (a, b)
функции f '(x), будет положительна или равна нулю: f ''(x)?0.

   Докажем, что и наоборот, если f ''(x)?0 в некотором интервале (a, b),  то
в  этом  интервале  кривая  y = f (x)  обращена  выпуклостью   вверх;   если
f ''(x)?0  в  интервале  (a, b),  то  в  этом  интервале   кривая   обращена
выпуклостью вниз.

   Запишем  уравнение  касательной   y - y0 = f '(x0 )(x - x0 )   к   кривой
y = f (x) в точке  x0,  где  a < x0 b,  в  виде  y = y0 + f '(x0 )(x - x0 ).
Очевидно, y0 = f(x0 ), а потому последнее уравнение можно  записать  в  виде
               y = f(x0 ) + f '(x0 )(x - x0 ).      (1)
   Но, согласно формуле Тейлора, при n = 2 имеем:
                                [pic]     (2)
Фиксируя x в интервале (a, b) и вычитая почленно из уравнения (2)  уравнение
(1), получим:[pic]   (3)
   Если f ''[x0 + ?(x - x0 )]?0, где 0 < ? < 1, то имеем  f(x) - y ? 0
откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вверх.

   Если f ''[x0 + ?(x - x0 )]?0, то имеем  f(x) - y ? 0 откуда следует, что
кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вниз.

   Так как была зафиксирована произвольная точка x интервала (a, b), то
высказанное выше утверждение доказано.
|[pic]                      |
|Рисунок 4.                 |


   Точка кривой, в которой кривая меняет направление изгиба, т.е. переходит
от выпуклости вверх к выпуклости вниз или наоборот, называется точкой
перегиба кривой (рис.4).  (В этом определении предполагается, что в точке
перехода кривой от выпуклости вверх к выпуклости вниз (или наоборот)
имеется единственная касательная).

   Теорема 8. Пусть функция f(x) имеет непрерывную вторую производную
f ''(x) и пусть A[x0 ; f(x0 )] - точка перегиба кривой y = f(x). Тогда
f ''(x0 ) = 0 или не существует.

   Доказательство. Рассмотрим для определенности случай, когда кривая
y = f(x) в точке перегиба A[x0 ; f(x0 )] переходит от выпуклости вверх в
выпуклости вниз (рис.4). Тогда при достаточно малом h в интервале (x0 -
 h, x0 ) вторая производная f ''(x) будет меньше нуля, а в инетрвале
(x0, x0 +h) - больше нуля.

   Но f ''(x) - функция непрерывная, а потому, переходя от отрицательных
значений к положительным, она при x = x0 обращается в нуль: f ''(x0 ) = 0.
|[pic]                         |
|Рисунок 5.                    |


   На  рис.5  изображен  график  функции  [pic].  Хотя  при  x0 = 0  имеется
касательная и точка перегиба, все же вторая  производная  f ''(x)  не  равна
нулю, она даже не существует в этой точке. В самом деле, имеем [pic]
Итак, f ''(0) не существует. Но тем не менее точка O(0; 0) является точкой
перегиба, так как при x < 0   f ''(x) > 0 и кривая выпукла вниз, а при
x > 0   f ''(x) < 0 и кривая выпукла вверх.

   Таким образом в случае непрерывности второй производной f ''(x)
обращение в нуль или несуществование ее в какой-нибудь точки кривой
y = f(x) является необходимым условием существования точки перегиба. Однако
это условие не является достаточным.
   Теорема 9. Если вторая производная f ''(x) непрерывна и меняет  знак  при
x = x0, то точка A[x0 ; f(x0 )] является  точкой  перегиба  кривой  y = f(x)
при условии, конечно, что в точке A существует касательная.

   Доказательство.  Пусть  например  f ''(x) < 0   при   x0 - h < x < x0   и
f ''(x) > 0 при x0 < x < x0 + h.  Тогда  в  интервале  (x0 - h; x0 )  кривая
y = f(x)  обращена  выпуклостью  вверх,  а  в  интервале   (x0 ; x0 + h)   -
выпклостью вниз  (смотри  рис.4),  т.е.  точка  A[x0 ;  f(x0 )]  есть  точка
перегиба кривой, что и требовалось доказать.

6.5.Общая схема исследования функции и построение ее графика.

   1. Находим область определения функции f(x)

   2. Находим точки пересечения кривой y = f(x) с осями координат и наносим
их на чертеж.

   3. Определяем, симметрична ли кривая y = f(x) относительно осей
координат и начала координат.

   4. Исследуем функцию y = f(x) на непрерывность. Если функция имеет в
точке x0 разрыв, то отмечаем ее на чертеже.

   5. Находим асимптоты кривой, если они имеются.

   6. Находим максимум и минимум функции и отмечаем на чертеже точки кривой
с максимальной и минимальной ординатами.

   7. Исследуем кривую y = f(x) на выпуклость вверх или вниз, находим точки
перегиба кривой и отмечаем их на чертеже.

   8. Вычерчиваем кривую y = f(x).

6.6. Касательная и нормаль к плоской кривой.

   Пусть  даны  кривая  y = f(x)  и  точка  M (x1 ; y1)  на  ней.  Требуется
составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок).

   Как известно, угловой коэффициент  k  касательной  к  кривой  y = f(x)  в
точке  M (x1 ; y1)  равен  значению  f '(x1)  производной  y' = f '(x)   при
x = x1/  Следовательно,  уравнение  касательной  можно   записать   в   виде
уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном  направлении,  т.е.
в виде       y - y1 = f '(x1)(x - x1)
   Нормалью   называется   прямая,   проходящая    через    точку    касания
перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен  [pic],  а
уравнение записывается в виде [pic]



7.Экономическое приложение производной.


7.1.Экономическая интерпретация производной

      В экономической теории активно  используется  понятие  «маржинальный»,
что означает «предельный». Введение этого понятия в  научный  оборот  в  XIX
веке позволило создать совершенно новый инструмент исследования  и  описания
экономических явлений -  инструмент,  посредством  которого  стало  возможно
ставить и решать новый класс научных проблем.
      Классическая экономическая теория Смита, Рикардо, Милля  обычно  имела
дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность  труда
и т.д. Но  постепенно  сложился  иной  подход.  Существенные  закономерности
оказалось можно обнаружить в области предельных величин.
      Предельные или пограничные величины характеризуют  не  состояние  (как
суммарная  или  средняя  величины.),  а  процесс,  изменение  экономического
объекта. Следовательно, производная выступает  как  интенсивность  изменения
некоторого экономического объекта (процесса)  по  времени  или  относительно
другого исследуемого фактора.
      Надо  заметить,  что  экономика  не  всегда   позволяет   использовать
предельные  величины  в  силу   прерывности   (дискретности)   экономических
показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.).  В
то же время во многих случаях можно отвлечься от дискретности  и  эффективно
использовать предельные величины.
      Рассмотрим  ситуацию:  пусть  y  -  издержки  производства,  а   х   -
количество продукции,  тогда  (x-  прирост  продукции,  а  (y  -  приращение
издержек производства.
      В  этом   случае  производная  [pic]  выражает   предельные   издержки
производства  и  характеризует   приближенно   дополнительные   затраты   на
производство дополнительной единицы  продукции  [pic],где  MC  –  предельные
издержки  (marginal  costs);  TC  –  общие  издержки  (total  costs);  Q   -
количество.
      Геометрическая интерпретация предельных издержек -  это  тангенс  угла
наклона касательной к кривой в данной точке (см. рис.).
      Аналогичным  образом   могут   быть   определены   и   многие   другие
экономические величины, имеющие предельный характер.
      Другой пример - категория предельной выручки (MR— marginal revenue)  —
это дополнительный доход, полученный при переходе от  производства  n-ной  к
(n+1)-ой единице продукта.

Она представляет собой первую производную от выручки: [pic].
При этом R= PQ,  где R–выручка (revenue); P–цена (price).
Таким образом  [pic], ( MR= P.
      Это равенство  верно  относительно  условий  совершенной  конкуренции,
когда экономические агенты каждый по отдельности не  могут  оказать  влияния
на цену.
      Обратимся к теориям потребления: кардиналистской и ординалистской.
      Кардиналистский (количественный)  подход  к  теории  цен  предполагает
равное влияние величин полезности товара и затрат  на  его  производства  на
формирование цены. В  основе  рассматриваемого  подхода  -  исследования  А.
Маршалла.
      Ординалистский (Порядковый) подход  к  теории  цен  разрабатывался  И.
Фишером, В. Парето. Суть данного подхода состоит  в  том,  что  потребители,
имеющие  определенный  уровень  доходов,  сравнивают  между  собой  цены   и
полезность различных наборов экономических благ и  отдают  предпочтение  тем
наборам,  которые  при  сравнительно   низких   ценах   имеют   максимальную
полезность для конкретного потребителя.
       В соответствии с первой, суммарную полезность U для любого  субъекта,
если в экономике существует n потребительских благ в объемах  х1,  x2,…  хn,
можно выразить в виде кардиналистской функции полезности:
    U= U(х1, x2,… xn).
Предельные  полезности  MU  товаров  выступают   в   качестве   ее   частных
производных: [pic]. Они показывают, на сколько  изменяется  полезность  всей
массы  благ,  достающихся  субъекту,   при   бесконечно   малом   приращении
количества блага  i (i=1,2…n)
      В  ординалистской  теории  полагается,   что   потребитель   оценивает
полезность не отдельных благ, а потребительских  наборов;  что  он  способен
сопоставить полезности наборов товаров.
      Ординалистская функция полезности исследована  подробно,  значительный
вклад  в  ее  изучение  внес   Дж.   Хикс.   После   его   трудов   началось
прогрессирующее  вытеснение  понятия  "предельная   полезность"   категорией
предельной нормы замещения (MRS – marginal rate of substitution).
      Предположим, что происходит замещение товара y товаром х при  движении
сверху вниз вдоль кривой безразличия. Предельная норма  замещения  товара  y
товаром x показывает, какое количество товара x необходимо для  того,  чтобы
компенсировать потребительскую утрату единицы товара  y.
Они определяются так:       [pic].
      Т.к. dy отрицательно, знак  "-" вводится, чтобы MRS была больше нуля.
Итак, предельная норма замещения геометрически  есть  касательная  к  кривой
безразличия  в  данной  точке.  Значение  предельной  нормы   замещения   по
абсолютной  величине  равно  тангенсу  угла  наклона  касательной  к  кривой
безразличия.
      Приведем еще один пример элементарного анализа на микроуровне, который
имеет аналог и на макроуровне.
      Любой  индивид  свой  доход  Y  после  уплаты  налогов  использует  на
потребление  C  и сбережение  S.  Ясно,  что  лица  с  низким  доходом,  как
правило, целиком используют его на потребление, так  что  размер  сбережения
равен нулю. С ростом дохода  субъект  не  только  больше  потребляет,  но  и
больше сберегает.  Как  установлено  теорией  и  подтверждено  эмпирическими
исследования, потребление и сбережение зависят от размера дохода:
Y= C(Y) + S(Y).
      Зависимость  потребления  индивида  от  дохода   называется   функцией
склонности к потреблению или функцией потребления.
      Использование производной позволяет определить  такую  категорию,  как
предельную склонность к потреблению  MPC  (marginal  property  to  consume),
показывающую долю прироста личного потребления в приросте дохода: [pic].
      По мере увеличения доходов MPC уменьшается. Последовательно  определяя
сбережения при каждом значении дохода, можно построить функцию склонности  к
сбережению или функцию сбережения.     Долю прироста сбережений  в  приросте
дохода  показывает   предельная   склонность   к   сбережению   MPS(marginal
propensity to save):   [pic].
С увеличением доходов MPS увеличивается.
      Еще одним примером  использования  производной  в  экономике  является
анализ   производственной   функции.   Поскольку   ограниченность   ресурсов
принципиально не устранима,  то  решающее  значение  приобретает  отдача  от
факторов производства. Здесь также  применима  производная,  как  инструмент
исследования.  Пусть  применяемый  капитал  постоянен,   а   затраты   труда
увеличиваются. Можно ввести в экономический  анализ  следующую  категорию  -
предельный  продукт   труда   MPL(marginal   product   of   labor)   –   это
дополнительный продукт,  полученный  в  результате  дополнительных  вложений
труда (L – labor) при неизменной величине капитала:[pic].
Если вложения осуществляются достаточно малыми порциями, то [pic],  т.к.  dY
- результат, dL - затраты, то MPL – предельная производительность труда.
      Аналогично,  MPk  -  предельный  продукт  капитала  -   дополнительный
продукт, полученный в результате  дополнительных  вложений  капитала  K  при
неизменной величине труда:[pic].
      Если вложения осуществляются малыми порциями, то [pic].
MPk - характеризует предельную производительность капитала.
    Для исследования экономических процессов и  решения  других  прикладных
задач часто используется понятие эластичности функции.
Определение:   Эластичностью  функции  Еx(y)  называется  предел   отношения
относительного приращения функции y к относительному  приращению  переменной
x при (x(0:
           [pic].
Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов  изменится
функция y= f(x), при изменении независимой переменной x на 1%.
Приведем  несколько  конкретных  иллюстраций   такой   зависимости.   Прямой
коэффициент эластичности спроса по цене устанавливает, на сколько  процентов
увеличивается (уменьшается) спрос Q на товар i при  уменьшении  (увеличении)
его цены P на 1%:      [pic].
      Перекрестный коэффициент эластичности спроса по цене [pic] показывает,
на  сколько  процентов  изменится  спрос  на  товар  i  при   однопроцентных
колебаниях цены  товара j (j = 1,2,…n):      [pic].
      Количественную  сторону  взаимодействия  дохода  и   спроса   отражает
коэффициент эластичности спроса по доходу,  который  указывает,  на  сколько
процентов изменится спрос на i-тый товар Qi если доход,  предназначенный  на
текущее потребление, изменится на 1%:  [pic].
   Можно привести и другие примеры использования производной при фокусировке
различных категорий и закономерностей. Дальнейшее  раскрытие  экономического
смысла   хотелось   бы   осуществить   через   рассмотрение    экономической
интерпретации математических теорем.



7.2. Применение производной в экономической теории.

   Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно  заметить,  что
многие, в том  числе  базовых  законы  теории  производства  и  потребления,
спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.

   Вначале   рассмотрим   экономическую    интерпретацию    теоремы:    если
дифференцируемая на промежутке X функция y= f(x) достигает  наибольшего  или
наименьшего  значения  во  внутренней  точке   x0   этого   промежутка,   то
производная функции в этой точке равна нулю, то есть f’(x0) = 0.
Один из базовых законов теории производства звучит так: "Оптимальный для
производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных
издержек и предельного дохода".

   То есть уровень выпуска Qo является оптимальным для  производителя,  если
MC(Qo)=MR(Qo),  где MC - предельные издержки, а MR - предельный доход.
   Обозначим функцию прибыли за П(Q). Тогда П(Q) = R(Q)  —  C(Q),  где  R  –
прибыль, а C – общие издержки производства.
   Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при  котором
прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Qo, при котором  функция
П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке  П’(Q)  =  0.
Но П’(Q)=R’(Q) - C’(Q), поэтому R’(Qo) = C’(Qo), откуда следует, что  MR(Qo)
= MC(Qo).
Другое  важное  понятие  теории  производства   -   это   уровень   наиболее
экономичного производства, при  котором  средние  издержки  по  производству
товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит:  “оптимальный
объем производства определяется равенством средних и предельных издержек”.
   Получим это условие как следствие сформулированной выше теоремы.  Средние
издержки AC(Q) определяются как [pic], т.е. издержки по производству всего
товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины
достигается в критической точке функции y=AC(Q), т.е. при условии [pic],
откуда TC’(Q)Q—TC(Q) = 0 или [pic], т.е. MC(Q)=AC(Q).
   Понятие  выпуклости  функции   также   находит   свою   интерпретацию   в
экономической теории.
   Один из наиболее  знаменитых  экономических  законов  -  закон  убывающей
доходности  -  звучит  следующим  образом:   "с   увеличением   производства
дополнительная  продукция,  полученная  на  каждую  новую  единицу   ресурса
(трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает".
   Иными словами, величина [pic], где (y - приращение выпуска  продукции,  а
(x - приращение ресурса, уменьшается при увеличении x. Таким образом,  закон
убывающей  доходности  формулируется  так:  функция  y=   f(x),   выражающая
зависимость выпуска продукции  от  вложенного  ресурса,  является  функцией,
выпуклой вверх.
   Другим базисным понятием экономической теории является функция полезности
U= U(x), где  х  - товар, а U – полезность  (utility).  Эта  величина  очень
субъективная для каждого отдельного потребителя, но  достаточно  объективная
для общества в целом. Закон убывающей полезности звучит  следующим  образом:
с ростом количества товара, дополнительная полезность от  каждой  новой  его
единицы  с  некоторого  момента  убывает.   Очевидно,   этот   закон   можно
переформулировать  так:  функция  полезности  является  функцией,   выпуклой
вверх. В  такой  постановке  закон  убывающей  полезности  служит  отправной
точкой для математического исследования теории спроса и предложения.

7.3. Использование производной для решения задач по экономической теории.

    Задача 1.
     Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен
ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента.
Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может
превышать 90 т. в день.
    Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут
наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:
К=-х3+98х2+200х. Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200
Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции
У= -х2+98х+200. На промежутке [20;90].
Вывод: x=49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на
концах промежутках и в критической точке.
f(20)=1760   f(49)=2601      f(90)=320.
    Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки
максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день
минимально, следовательно можно посоветовать работать заводу на предельной
мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как
дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции
нельзя будет увеличить выпуск продукции.

Задача 2.

    Задача: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции
в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от
объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x^3+600x -1000. Исследовать
потенциал предприятия.
    Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100
функция достигает максимума.
    Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема
производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем
накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства
приводит к сокращению финансовых накоплений.
Задача 3.
   Спрос-это зависимость между ценой единицы товара и количеством товара,
которое потребители готовы купить при каждой возможной цене, за
определенный период времени и при прочих равных условиях.
Зависимость спроса от цены описывается функцией [pic],
Данная функция исследуется с помощью производной: [pic]
Производная меньше нуля, если   P>=0.

Определим точку перегиба функции. Такой точкой является точка (0,5;0,6),
т.е. при P<1/2 спрос убывает медленнее, а при P>1/2 спрос убывает все
быстрее.


[pic]

Задача 4.
Выручка от реализации товара по цене p составляет: [pic]
 (Денежных единиц), где [pic]. Исследуем эту функцию с помощью производной.
Производная этой функции: [pic] положительна, если p<1/2 и отрицательна для
p>1/2, это означает, что с ростом цены выручка в начале увеличивается (
несмотря на падение спроса) и  p=1/2 достигает максимального значения
[pic], дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, т.как оно ведет к
сокращению выручки. Темп изменения выручки выражается второй производной.
[pic]
[pic] темп положительный              [pic]темп отрицательный
На промежутке (0,1/2) функция возрастает все медленнее, то есть дальнейшее
повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом
для [pic], а затем темп убывания становится положительным и для P>0,9
выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном
увеличении цены.
Для наглядной демонстрации выше сказанного составим таблицу и построим
график.
|p         |(0, 1/2)   |1/2     |[pic]     |[pic]     |[pic]     |
|U'(p)     |+          |0       |-         |-0,47     |-         |
|U''(p)    |-          |        |-         |0         |+         |
|U (p)     |возрастает |0,3     |убывает   |0,2 точка |убывает   |
|          |выпукла    |max     |выпукла   |перегиба  |вогнута   |


Вывод:
На промежутке (0, 1/2) функция возрастает все медленнее.
Соответствующая часть графика выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее
повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным
темпом[pic], а затем темп убывания V(p) становится положительным. Для р >
0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном
увеличении цены. На промежутке [pic]функция U(p) вогнута. В точке
[pic] график перегибается (см. на рисунке):
[pic]



8. Применение производной в физике

В физике производная применяется  в основном для вычисления  наибольших  или
наименьших значений для каких-либо величин.
Задача 1.
Лестница длиной 5м приставлена к стене таким образом, что верхний  ее  конец
находится на  высоте  4м.  В  некоторый  момент  времени  лестница  начинает
падать,  при  этом  верхний  конец  приближается  к  поверхности   земли   с
постоянным ускорением      2 м/с2. С  какой  скоростью  удаляется  от  стены
нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец находится на  высоте
2м?
[pic]



Пусть верхний конец лестницы в момент времени t находится на высоте y(0)=
4м, а нижний на расстоянии x(t) от стенки.


Высота y(t) описывается формулой:  [pic],так как движение равноускоренное.


В момент t: y(t) = 2, т.е. 2 = 4 - t2, из которого [pic];


В этот момент    [pic]    по т. Пифагора, т.е. [pic]


Скорость его изменения [pic]


Ответ:[pic]



Задача 2


Дождевая капля падает под действием силы тяжести; равномерно испаряясь так,
что ее масса m изменяется по закону   m(t) = 1 - 2/3t. (m изменяется в
граммах, t - в секундах). Через сколько времени после начала падения
кинематическая энергия капли будет наибольшей?



Скорость капли   [pic]  , её кинетическая энергия в момент t равна [pic]


Исследуем функцию  [pic] на наибольшее с помощью поизводной: [pic]


[pic]=0 t1=0  t2=1 (t>0)



При t =1 функция Ek(t) принимает наибольшее значение, следовательно
кинетическая энергия падающей капли будет наибольшей через 1сек.


Задача 3


   Источник тока с электродвижущей силой Е=220 В и внутренним сопротивлением
r = 50 Ом подключен к прибору с сопротивлением R.Чему должно быть равно
сопротивление R потребителя, чтобы потребляемая им мощность была
наибольшей?


По закону Ома сила тока в цепи есть  [pic]  [pic]


выделяемая в потребителе мощность P=I2R, то есть [pic]


Исследуем функцию P(R) на наибольшее с помощью производной: [pic]   P’(R) =
0 :  r - R = 0, R = r = 50; При R = 50 функция P(R) принимает наибольшее
значение. Следовательно, потребляемая мощность будет наибольшей при
сопротивлении R =50 Ом.


Ответ: 50 Ом


 9. Применение производной в алгебре


 9.1. Применение производной к доказательству неравенств.

 Одно из простейших  применений  производной  к  доказательству  неравенств
основано на связи между возрастанием и убыванием  функции  на  промежутке  и
знаком ее производной. С помощью теоремы Лагранжа доказана теорема:
 Теорема  1.   Если  функция   [pic]на   некотором   интервале   [pic]имеет
производную [pic]всюду на [pic], то [pic]на [pic]монотонно возрастает;  если
же  [pic] всюду на [pic], то [pic]на [pic]монотонно убывает.
 Очевидным следствием (и обобщением) этой теоремы является следующая:
  Теорема 2.  Если  на  промежутке  [pic]  выполняется  неравенство  [pic],
функция  [pic]и  [pic]непрерывны  в  точке  [pic]  и  [pic],  то  на   [pic]
выполняется неравенство [pic].
 Предлагаю несколько задач на доказательство  неравенств  с  использованием
этих теорем.
  Задача 1. Пусть [pic].Докажите истинность неравенства [pic]. (1)[pic]
 Решение: Рассмотрим на [pic] функцию [pic]. Найдем ее производную:  [pic].
Видим, что [pic]при [pic]. Следовательно, [pic] на [pic]  убывает  так,  что
при [pic]  [pic]. Но [pic]   [pic]  Следовательно  неравенство  (1)    [pic]
верно.
 Задача 2. Пусть [pic] и [pic]положительные числа,  [pic]  Тогда  очевидно,
что [pic], [pic]. Можно ли гарантировать, что неравенство [pic] (2)
 верно а) при  [pic]; б)  при [pic]?
 Решение: а) Рассмотрим функцию [pic]. Имеем: [pic]
 Отсюда видно, что  при  [pic]функция  [pic]возрастает.  В  частности,  она
возрастает  на  интервале  [pic]   Поэтому   при   [pic]   неравенство   (2)
справедливо.
 б) на интервале [pic] [pic], т.е. [pic] убывает. Поэтому при любых [pic] и
[pic], для которых [pic],  неравенство  (2)  неверно,  а  верно  неравенство
противоположного смысла:  [pic]
 Задача 3. Доказать неравенство: [pic] при [pic]    (3).
 Воспользуемся теоремой 2. [pic] и [pic], верно неравенство  [pic]:   [pic]
на промежутке [pic]и выполнимо условие [pic]  где  [pic],  в  данном  случае
равно 0. Следовательно неравенство (3) верно.
 Задача 4. Доказать неравенство: [pic]  [pic]  (4).
 Решение: [pic],   [pic];  [pic]
 Неравенство [pic] при любых [pic] верно. Значит неравенство (4) верно.
 Задача 5. Доказать, что если [pic], то [pic]   (5).
 Решение: Пусть [pic] Тогда
 [pic]
 Чтобы  найти,  при  каких  значениях  [pic]  функция   [pic]положительная,
исследуем ее производную [pic]. Так как при [pic] [pic] то [pic]
 Следовательно, функция [pic]возрастает при [pic]. Учитывая,  что  [pic]  и
[pic] непрерывна, получаем  [pic], при [pic].
 Поэтому  [pic] возрастает на рассматриваемом  интервале.  Поскольку  [pic]
непрерывна и [pic] то [pic] при [pic]. Неравенство (5) верно.
 Задача 6. Выясним, что больше при [pic]:   [pic]   или  [pic].
 Решение: Предстоит сравнить с числом 1 дробь [pic].
 Рассмотрим на [pic] вспомогательную функцию [pic].
 Выясним, будет ли она монотонна на отрезке  [pic].  Для  этого  найдем  ее
производную (по правилу дифференцирования дроби):
 [pic]
  [pic] при [pic].
 В силу теоремы 1 функция [pic] вырастает на отрезке [pic].  Поэтому,   при
[pic]  [pic]  т.е. [pic]
 [pic]  при  [pic].
 При решении задачи (6) встретился полезный методический прием, если  нежно
доказать   неравенство,   в  котором  участвует  несколько  букв,  то  часто
целесообразно одну из букв (в данном примере это была буква  [pic])  считать
применимой (чтобы подчеркнуть это  обстоятельство,  мы  ее  заменяли  буквой
[pic], а значение остальных букв (в  данном  случае  значение  буквы  [pic])
считать  фиксированными.  Иногда  приходится  при   решении   одной   задачи
применить  указанный прием несколько раз.
 Задача  7.  Проверить,  справедливо  ли  при  любых  положительных   [pic]
неравенство: [pic]    (6).
 Решение: Пусть [pic] Рассмотрим функцию
 [pic].
 При [pic] имеем [pic].
 Отсюда  видно  (теорема  1),  что  [pic]  убывает  на  [pic]  Поэтому  при
[pic]имеем [pic] т.е. мы получили неравенство:
 [pic]  (7).
 Теперь  рассмотрим  другую  вспомогательную  функцию    [pic].  При  [pic]
имеем: [pic]
 Следовательно, [pic]убывает на [pic], т.е. [pic] при [pic] значит,   [pic]
 (8),
 Из неравенств (7) и (8) следует неравенство (6). Для  выяснения истинности
неравенств иногда удобно  воспользоваться  следующим  утверждением,  которое
непосредственно вытекает из теоремы 1:
 Теорема 3: Пусть функция [pic] непрерывна на [pic]и  пусть  имеется  такая
точка с из [pic], что [pic]на [pic] и [pic]на [pic]. Тогда при любом  х   из
[pic] справедливо неравенство [pic] причем  равенство имеет место  лишь  при
[pic].
 Задача 8. Проверьте, справедливо ли для всех действительных  х   следующее
неравенство: [pic][pic]
 Решение: Выясним, где функция  возрастает, а где убывает. Для этого найдем
производную:
                                   [pic].
 Видно, что [pic] на [pic] и [pic] на [pic]. Следовательно, в силу  теоремы
3  т.е. неравенство (9) справедливо, причем равенство имеет место  лишь  при
[pic].



 9.2. Применение производной в доказательстве тождеств.


 Доказательства тождества можно  достигнуть  иногда,  если  воспользоваться
одним очевидным замечанием:
 Если на некотором интервале функция тождественно равна постоянной,  то  ее
производная на этом интервале постоянно равна нулю:
 [pic] на [pic] на [pic].
 Задача 1. Проверить тождество:
 [pic]    (1)
 Доказательство: Рассмотрим функцию
 [pic]
 Вычислим ее производную (по х):
                                    [pic]
 Поэтому (замечание) [pic]. Следовательно, [pic] что равносильно  тождеству
(1).
 Задача 2. Проверить тождество:
                          [pic]                 (2)
 Доказательство: Рассмотрим функцию
 [pic]
 Докажем, что [pic]
 Найдем ее производную:
                                    [pic]
 [pic][pic][pic]
Значит[pic]. При х=0 [pic],следовательно,тождество (2) верно.
 В связи с рассмотренными примерами  можно  отметить,  что  при  нахождении
постоянной, интегрирования С полезно  фиксировать  значения  переменной,  по
которой  производится  дифференцирование,  таким  образом,  чтобы   получить
возможно более простые выкладки.



 9.3. Применение производной для упрощения алгебраических и
тригонометрических выражений.

 Прием  использования  производной  для  преобразования  алгебраических   и
тригонометрических  выражений  основан  на  том,  производная  иногда  имеет
значительно более простой вид, чем исходная  функция,  благодаря  чему,  она
легко интегрируется, что и позволяет найти искомое преобразование  исходного
выражения:
Задача 1 Упростить выражение: [pic]
 Решение: Обозначив данное выражение [pic] будем иметь:
                                    [pic]
 [pic]
 [pic]       [pic]
 Таким образом, заданное выражение (1) равно [pic].
   Задача 2. Упростить выражение:
 [pic]
 Решение:  Обозначив это выражение через [pic], будем иметь:
 [pic]
отсюда [pic].
и при [pic]получаем:   [pic]
 Так что [pic]
Задача 3. Упростить запись функции:
 [pic]                (2)
 Решение: Применение обычного аппарата тригонометрии приведёт к
относительно громоздким выкладкам. Здесь удобнее воспользоваться
производной:
 [pic]
 Отсюда [pic]
 Найдём [pic]: [pic]
 Таким образом функция (2) равна [pic]
Задача 4. Упростить запись многочлена:
 [pic]           (3)
 Решение: Обозначим многочлен (3) через [pic] и найдём последовательно
первую и вторую производные этой функции:
 [pic]
 [pic]
 Ясно, что [pic] Поэтому [pic], где [pic], найдём [pic]: при [pic] [pic],
[pic].

 9.4.Разложение выражения на множители с помощью производной.

Задача 1. Разложить на множители выражение:
 [pic]                      (1)
 Решение: Считая [pic]переменной, а [pic] и  [pic] постоянными
фиксированными (параметрами) и обозначая заданное выражение через [pic],
будем иметь:
 [pic]
 Поэтому [pic]               (2)
  где [pic]- постоянная, т.е. в данном случае - выражение, зависящее от
параметров [pic] и [pic]. Для нахождения [pic] в равенстве [pic] положим
[pic] тогда [pic].
 Получим [pic]
Задача 2. Разложить на множители выражение:
 [pic]                      (3)
 Решение: Поскольку переменная [pic] входит в данное выражение в наименьшей
степени, рассмотрим его, как функцию [pic] и будем иметь:
 [pic]
 [pic] получим:
 [pic]
 Таким образом, исходное выражение (3) равно [pic]
Задача 3. Разложить на множители выражение:
 [pic]
 Решение: Обозначив данное выражение через [pic] и считая [pic] и [pic]
постоянными, получим:
 [pic]откуда [pic], где [pic] зависит только от [pic] и [pic]. Положив в
этом тождестве [pic], получим [pic] и
 [pic]
 Для разложения на множители второго множителя используем тот же приём, но
в качестве переменной рассмотрим [pic], поскольку эта переменная входит в
меньшей степени, чем [pic]. Обозначая его через [pic] и считая [pic] и
[pic]постоянными, будем иметь:
 [pic]
 отсюда: [pic]
 [pic]
 [pic]
 Таким образом исходное выражение (4) равно
 [pic]

 9.5. Применение производной в вопросах существования корней уравнений.

 С помощью производной можно определить сколько решений имеет уравнение.
Основную роль здесь играют исследование функций на монотонность, нахождение
её экстремальных значений. Кроме того, используется свойство монотонных
функций:
 Задача 1. Если функция [pic] возрастает или убывает на некотором
промежутке, то на этом промежутке уравнение [pic] имеет не более одного
корня.
 [pic]                                 (1)
 Решение: Область определения данного уравнения - промежуток [pic]
определение на этом промежутке функцию [pic], положив
 [pic]
 Тогда, на [pic]
 [pic]
 [pic]         [pic] [pic] ( [pic],
 и таким образом функция [pic]- возрастающая, так что данное уравнение (1)
не может иметь более одного решения.
  Задача 2. При каких значениях [pic] имеет решения уравнение
 [pic]                           (2)
 Решение: область определения уравнения - отрезок [pic], рассмотрим функцию
[pic], положив [pic]
 Тогда на открытом промежутке [pic]
 [pic]
 [pic], так что [pic]- единственная критическая точка функции [pic],
являющаяся, очевидно, точкой максимума. Поскольку [pic] [pic] то [pic]
примет наибольшее значение при [pic], а наименьшее значение - при [pic].
 Так как функция [pic] непрерывна, то её область значений представляет
собой отрезок [pic], между её наименьшим и наибольшим значением. Другими
словами, исходное уравнение (2) имеет решения при [pic].

                                 Заключение

   Настоящая работа даёт учащимся новый подход к  многим  преобразованиям  в
математике, которые стандартным путём трудно  разрешимы  или  разрешимы,  но
громоздкими способами. Рассмотренные подходы  нестандартного  характера  для
учащихся покажутся новыми и необыкновенными,  что  расширит  их  кругозор  и
повысит интерес к производной.
   Итак, геометрический смысл производной: производная функции  в  точке  x0
равна угловому коэффициенту касательной к  графику  функции,  проведенной  в
точке с абсциссой x0.
   Физический смысл производной: производная функции y = f(x) в точке     x0
- это скорость изменения функции f (х) в точке x0
   Экономический смысл производной: производная выступает как  интенсивность
изменения  некоторого  экономического  объекта  (процесса)  по  времени  или
относительно другого исследуемого фактора.
   Производная находит широкое приложение в физике для  нахождения  скорости
по известной функции координаты от времени, ускорения по  известной  функции
скорости от времени; для нахождения наибольших и наименьших величин.
   Производная  является  важнейшим  инструментом  экономического   анализа,
позволяющим углубить геометрический  и  математический  смысл  экономических
понятий,  а   также   выразить   ряд   экономических   законов   с   помощью
математических формул.
   Наиболее актуально использование производной  в  предельном  анализе,  то
есть при исследовании предельных величин  (предельные  издержки,  предельная
выручка,   предельная   производительность   труда   или   других   факторов
производства и т. д.).
   Производная применяется в  экономической  теории.  Многие,  в  том  числе
базовые, законы теории производства  и  потребления,  спроса  и  предложения
оказываются прямыми следствиями математических теорем
   Знание   производной   позволяет   решать   многочисленные   задачи    по
экономической теории, физике, алгебре и геометрии.



                                    [pic]

-----------------------


[pic]

Рис.5

                                  Рис.2 (а)



 +

 –

50

Е’
E

[pic]

[pic]

 +

 –

1

E’
E

[pic]



                                  Рис.4 (б)

                                  Рис.4 (а)

Рис. 3

                                  Рис.2 (б)

f(x)

                                    [pic]

а

б

[pic]

[pic]



С

С

B

Q

C(t)

E

A




смотреть на рефераты похожие на "Приложения производной"