Математика

Контрольная по теории вероятности


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
                   ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ

                Факультет заочного и послевузовского обучения



                            КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1



       По   дисциплине:  "Теория  вероятностей  и  элементы   математической
                            статистики"



                               Воронеж 2004 г.
                                Вариант – 9.


      Задача № 1.

      №№ 1-20. Техническое устройство, состоящее из трех узлов,  работало  в
течение  некоторого  времени  t.  За  это  время  первый  узел   оказывается
неисправным с вероятностью р1, второй  –  с  вероятностью  р2,  третий  –  с
вероятностью р3. Найти вероятность того, что за время работы:  а)  все  узлы
оставались исправными; б) все узлы вышли из строя; в) только один узел  стал
неисправным; г) хотя бы один узел стал неисправным (см.  исходные  данные  в
таблице).
      p1=0,4       p2=0,6      p3=0,9

      Решение:
      Пусть событие А означает, что  первый  узел  оказался  неисправным,  В
оказался неисправным второй узел и С –  оказался  неисправным  третий  узел,
тогда [pic] - первый узел был исправен в промежуток времени t, [pic]  -  был
исправен второй узел, [pic] - был исправен третий узел.

       а) Пусть событие D означает,  что  все  узлы  оставались  исправными,
тогда [pic]. Поэтому , учитывая независимость событий [pic], [pic] и  [pic],
по теореме умножения вероятностей имеем:
                                    [pic]

       б) Пусть событие Е – все узлы вышли из строя, тогда:
                                    [pic]

       в) Пусть событие F – только один узел стал неисправным, тогда:
                                    [pic]
       События  [pic]  несовместные.  Поэтому,  применяя  теорему   сложения
вероятностей несовместимых событий, получим:
                                    [pic]
[pic]
[pic]

       г) Пусть событие D1 – хотя бы один узел стал неисправным, тогда:
                                    [pic]
[pic].


       Задача № 2


      №39. По линии связи могут быть переданы символы А, В,  С.  Вероятность
передачи символа А равна 0,5; символа В – 0,3; символа С – 0,2.  Вероятности
искажения при передаче символов А, В, С  равны  соответственно  0,01;  0,03;
0,07. Установлено, что сигнал из двух символов принят  без  искажения.  Чему
равна вероятность, что передавался сигнал АВ?
      Решение:
      Пусть событие А – передача символа А, событие В – передача символа  В,
событие С – передача символа С,  событие  [pic]  -  искажение  при  передаче
символа А, событие [pic] и [pic] - искажения при передаче  символов  В  и  С
соответственно.
      По условию вероятности этих событий равны:
                   [pic], [pic] [pic], [pic], [pic], [pic]
      Если события [pic], [pic] и [pic] - искажения при  передаче  символов,
то события [pic], [pic] и [pic] -  отсутствие  искажений  при  передаче.  Их
вероятности:
      [pic]
      Обозначим через D событие, состоящее в  том,  что  были  переданы  два
символа без искажений.
      Можно выдвинуть следующие гипотезы:
         Н1 – переданы символы АА,
         Н2 – символы АВ,
         Н3 – символы ВА,
         Н4 – символы АС,
         Н5 – символы СА,
         Н6 – символы ВВ,
         Н7 – символы ВС,
         Н8 – символы СВ,
         Н9 – символы СС.
      Вероятности этих гипотез:
         [pic]
         [pic]
         [pic]
         [pic]
         [pic]
         [pic]
         [pic]
         [pic]
         [pic]
       Условные вероятности события D  если  имела  место  одна  из  гипотез
будут:
         [pic]
         [pic]
       По формуле  Бейеса  вычислим  условную  вероятность  [pic]  с  учетом
появления события Р:
                                    [pic]
[pic]

      Задача № 3

      №№ 41-60. Найти вероятность  того,  что  в  п  независимых  испытаниях
событие появится: а) ровно k раз; б) не менее k раз; в) не более k  раз;  г)
хотя бы один раз,  если  в  каждом  испытании  вероятность  появления  этого
события равна р (см. исходные данные в таблице).
|n=5  |k=4       |p=0,8 |

       Решение:
       Так  как  число  испытаний  невелико,  то  для   вычисления   искомой
вероятности воспользуемся формулой Бернулли:
                                 [pic], где
                                    [pic]
число сочетаний из п элементов по k, q=1-p. В рассматриваемом случае:

       а) вероятность появления события ровно 4 раза в 5 испытаниях:
                                    [pic]

       б) вероятность появления события не менее 4 раз в 5 испытаниях:
                                    [pic]

       в) вероятность появления события не более 4 раз в 5 испытаниях:
                                    [pic]

       г) вероятность появления события хотя бы один раз в 5 испытаниях:
                                    [pic]


       Задача № 4


       №№ 61-80. Дана плотность распределения f(x)  случайной  величины  Х.
Найти параметр а, функцию распределения случайной  величины,  математическое
ожидание М[Х], дисперсию D[X], вероятность выполнения неравенства х1

смотреть на рефераты похожие на "Контрольная по теории вероятности"