Математика

Алгебра и Начало анализа


|Алгебра и начала анализа.                                                |
|[pic]1. Линейная функция y = ax + b, её свойства и график.         |Отве|
|                                                                   |т   |
|[pic]2. Квадратичная функция y = ax2 + bx + c, её свойства и       |Отве|
|график.                                                            |т   |
|[pic]3. Функция y = k/x, её свойства и график, график              |Отве|
|дробно-линейной функции (на конкретном приме-ре).                  |т   |
|[pic]4. Показательная функция y = ax, её свойства и график.        |Отве|
|                                                                   |т   |
|[pic]5. Логарифмическая функция y = logax, её свойства и график.   |Отве|
|                                                                   |т   |
|[pic]6. Функция y = sin(x), её свойства и график.                  |Отве|
|                                                                   |т   |
|[pic]7. Функция y = cos(x), её свойства и график.                  |Отве|
|                                                                   |т   |
|[pic]8. Функция y = tg(x), её свойства и график.                   |Отве|
|                                                                   |т   |
|[pic]9. Функция y = ctg(x), её свойства и график.                  |Отве|
|                                                                   |т   |
|[pic]10. Арифметическая прогрессия, сумма первых n членов          |Отве|
|арифметической прогрессии.                                         |т   |
|[pic]11. Геометрическая прогрессия, сумма первых n членов          |Отве|
|геометрической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей              |т   |
|геометрической прогрессии.                                         |    |
|[pic]12. Решение уравнения sin(x) = a, неравенств sin(x) > a,      |Отве|
|sin(x) < a.                                                        |т   |
|[pic]13. Решение уравнения cos(x) = a, неравенств cos(x) > a,      |Отве|
|cos(x) < a.                                                        |т   |
|[pic]14. Решение уравнения tg(x) = a, неравенств tg(x) > a, tg(x) <|Отве|
|a.                                                                 |т   |
|[pic]15. Формулы приведения (с выводом).                           |Отве|
|                                                                   |т   |
|[pic]16. Формулы синуса и косинуса суммы и разности двух аргументов|Отве|
|(с доказательством).                                               |т   |
|[pic]17. Тригонометрические функции двойного аргумента.            |Отве|
|                                                                   |т   |
|[pic]18. Тригонометрические функции половинного аргумента.         |Отве|
|                                                                   |т   |
|[pic]19. Формулы суммы и разности синусов, косинусов (с            |Отве|
|доказательством).                                                  |т   |
|[pic]20. Вывод формулы корней квадратного уравнения, теорема Виета.|Отве|
|                                                                   |т   |
|[pic]21. Логарифм произведения, степени, частного.                 |Отве|
|                                                                   |т   |
|[pic]22. Понятие производной, ее геометрический смысл и физический |Отве|
|смысл.                                                             |т   |
|[pic]23. Правила вычисления производной.                           |Отве|
|                                                                   |т   |


   1. Функция заданная формулой y = kx + b, где k и b - некоторые числа,
      называется линейной.
   2. Областью определения линейной функции служит множество R всех
      действительных чисел, т.к. выражение kx + b имеет смысл при любых
      значениях х.
   3. График линейной функции y = kx + b есть прямая. Для построения
      графика, очевидно, достаточно двух точек, если k [pic]0.
   4. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y = kx с
      положительным направлением оси Ох, поэтому k называется угловым
      коэффициентом. Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0 - тупой;
      если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
   5. График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного
      переноса графика функции y = kx.
                                    [pic]

Ответ №2. Опр. Квадратичной функцией называется функция, которую можно
задать формулой вида y = ax2 + bx + c, где х - независимая переменная, а, b
и с - некоторые числа, причем а [pic]0.


Графиком квадратичной функции является парабола.


Свойства функции y = ax2(частный случай) при а > 0.


1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.

2. Если х [pic]0, то y > 0. График функции расположен в верхней
полуплоскости.

3. График функции симметричен относительно оси Oy.

4. Функция убывает в промежутке (- [pic]; 0] и возрастает в промежутке [0;
+ [pic]).

5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений
функции [0; + [pic]).


Свойства функции y = ax2 при а < 0.


1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.

2. Если х [pic]0, то y < 0. График функции расположен в нижней
полуплоскости.

3. График функции симметричен относительно оси Oy.

4. Функция убывает в промежутке [0; + [pic]) и возрастает в промежутке (-
[pic]; 0].

5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений
функции (- [pic]; 0].


И, так, график функции y = ax2 + bx + c есть парабола, вершиной которой
является точка (m; n), где m = [pic], n= [pic]. Осью симметрии параболы
служит прямая х = m, параллельная оси y. При а > 0 ветви параболы
направлены вверх, при a < 0 - вниз.
                                    [pic]
                                   Ответ 3
Если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимость
выражается формулой [pic], где [pic]- коэффициент обратной
пропорциональности.
   1. Область определения функции [pic]- есть множество всех чисел, отличных
      от нуля, т. е. [pic].
   2. Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая
      из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая
      кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены
      в I и III координатных четвертях; если же k<.0, то во II и IV
      координатных четвертях.
   3. Заметим, что гипербола не имеет общих точек с осями координат, а лишь
      сколь угодно близко к ним приближается.
                                    [pic]

№ 4. Опр. Функция, заданная формулой y = ax, где а - некоторое
положительное число, не равное еденице, называется показательной.


1. Функция y = ax при а>1

а) область определения - множество всех действительных чисел;

б) множество значений - множество всех положительных чисел;

в) функция возрастает;

г) при х = 0 значение функции равно 1;

д) если х > 0, то ax > 1;

е) если х < 0, то 0< ax <1;


2. Функция y = ax при 0< а <1

а) область определения - множество всех действительных чисел;

б) множество значений - множество всех положительных чисел;

в) функция убывает;

г) при х = 0 значение функции равно 1;

д) если х > 0, то 0< ax <1;

е) если х < 0, то ax > 1.
                                 [pic][pic]
№5.Опр. Функцию, заданную формулой y = loga x называют логарифмической
функцией с основанием а.

Свойства функции y = loga x при a>1:

а) D(f) = R+;

б) E(f) = R;

в) функция возрастает;

г) если x = 1, то loga x = 0;

д) если 0 1, то loga x > 0.

Свойства функции y = loga x при 0 0;

е) если x > 1, то loga x < 0.
                                    [pic]
 №6. Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, противолежащего
острому углу, к гипотенузе называется синусом этого угла (обозначается sin
[pic]).
   1. область определения - множество всех действительных чисел;
   2. множество значений - [-1; 1];
   3. функция нечетная: sin(-x) = -sin(x) для всех [pic];
   4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];
   5. sin(x) = 0 при x = [pic];
   6. sin(x) > 0 для всех [pic];
   7. sin(x) < 0 для всех [pic];
   8. функция возрастает на [pic];
   9. функция убывает на [pic].
                                    [pic]
№ 7.Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, прилежащего к
острому углу, к гипотенузе называется косинусом этого угла (обозначается
cos [pic])
   1. область определения - множество всех действительных чисел;
   2. множество значений - [-1; 1];
   3. функция четная: cos(-x) = cos(x) для всех [pic];
   4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];
   5. cos(x) = 0 при [pic];
   6. cos(x) > 0 для всех [pic];
   7. cos(x) > 0 для всех [pic];
   8. функция возрастает на [pic];
   9. функция убывает на [pic]
                                    [pic]
№8.Опр. Отношение катета, противолежащего острому углу прямоугольного
треугольника, к катету, прилежащему к этому углу, называется тангенсом
(обозначается tg [pic]).
   1. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел
      вида[pic];
   2. множество значений - вся числовая прямая;
   3. функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения;
   4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];
   5. tg(x) = 0 при х = [pic];
   6. tg(x) > 0 для всех [pic];
   7. tg(x) < 0 для всех [pic];
   8. функция возрастает на [pic].
                                    [pic]
№9.Опр. Отношение катета, прилежащего острому углу прямоугольного
треугольника, к катету, противолежащему к этому углу, называется
котангенсом (обозначается ctg [pic])
   1. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел
      вида [pic];
   2. множество значений - вся числовая прямая;
   3. функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения;

   4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];
   5. ctg(x) = 0 при x = [pic];
   6. ctg(x) > 0 для всех [pic];
   7. ctg(x) < 0 для всех [pic];
   8. функция убывает на [pic].
                                    [pic]
                                 Ответ № 10
   1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго,
      равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом,
      называется арифметической прогрессией.
   2. Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между
      любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т.
      е. а2 - а1 = а3 - а2 = ... = ak - ak-1 = ... . Это число называется
      разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d.
   3. Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (аn), достаточно знать
      ее первый член а1 и разность d.
   4. Если разность арифметической прогрессии - положительное число, то
      такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то
      убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все
      ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной
      последовательностью.
   5. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.
      Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и
      только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является
      средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е.
      [pic](1)
   6. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: an = a1 + d(n-
      1). (2)
   7. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид:
      [pic](3)
   8. Если в формулу (3) подставить вместо аn его выражение по формуле (2),
      то получим соотношение [pic]
   9. Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a1 + an
      = a2 + an-1 = ..., т. е. сумма членов, равноудаленных от концов
      прогрессии, есть величина постоянная.
Ответ № 11
   1. Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а
      каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену,
      умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется
      геометрической прогрессией.
   2. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого
      ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 =
      b3:b2 = ... = bn:bn-1 = bn+1:bn = ... . Это число называется
      знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.

   3. Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно
      знать ее первый член b1 и знаменатель q.
   4. Если q > 0 ([pic]), то прогрессия является монотонной
      последовательностью. Пусть, например, b1= -2, q = 3, тогда
      геометрическая прогрессия -2, -6, -18, ... есть монотонно убывающая
      последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между
      собой. В этом случае прогрессия является постоянной
      последовательностью.
   5. Характеристическое свойство геометрической прогрессии.
      Последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и
      только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее
      геометрическое соседних с ним членов, т. е. [pic](1)
   6. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: [pic](2)
   7. Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид:
      [pic], [pic](3)
   8. Если в формулу (3) подставить вместо bn его выражение по формуле (2),
      то получится соот-ношение. [pic], [pic](4)
   9. Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1bn
      = b2bn-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов
      прогрессии, есть величина постоянная.
            Сумма бесконечной геометрической прогресси при [pic]
   1. Пусть (xn) - геометрическая прогрессия со знаменателем q, где [pic]и
      [pic]. Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель
      которой удовлетворяет условию [pic], называется предел суммы n первых
      ее членов при [pic].
   2. Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S. Тогда
      верна формула [pic].
№ 12
            Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a
   1. формула для корней уравнения sin(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic]

      Частные случаи:
   2. sin(x) = 0, x = [pic]
   3. sin(x) = 1, x = [pic]
   4. sin(x) = -1, x = [pic]
   5. формула для корней уравнения sin2(x) = a, где [pic], имеет вид: x=
      [pic]
      Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) < a
   1. Неравенства, содержащие переменную только под знаком
      тригонометрической функции, называются тригонометрическими.
   2. При решении тригонометрических неравенств используют свойство
      монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их
      знакопостоянства.
   3. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a
      (sin(x) < а) используют единичную окружность или график функции y =
      sin(x).

      sin(x) = 0 если х = [pic];

      sin(x) = -1, если x = [pic]>;

      sin(x) > 0, если [pic];

      sin(x) < 0, если [pic].
Ответ № 13
              Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a
   1. Формула для корней уравнения cos(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic].
   2. Частные случаи:

      cos(x) = 1, x = [pic];

      cos(x) = 0, [pic];

      cos(x) = -1, x = [pic]
   3. Формула для корней уравнения cos2(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic].

      Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a
   1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a,
      cos(x) < a используют единичную окружность или график функции y =
      cos(x);
   2. Важным моментом является знание, что:

      cos(x) = 0, если [pic];

      cos(x) = -1, если x = [pic];

      cos(x) = 1, если x = [pic];

      cos(x) > 0, если [pic];

      cos(x) > 0, если [pic].
                                    № 14
               Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a
   1. Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид: [pic].
   2. Частные случаи:

      tg(x) = 0, x = [pic];

      tg(x) = 1, [pic];

      tg(x) = -1, [pic].
   3. Формула для корней уравнения tg2(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic]
       Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a
   1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a,
      tg(x) < a используют единичную окружность или график функции y =
      tg(x).
   2. Важно знать, что:

      tg(x) > 0, если [pic];

      tg(x) < 0, если [pic];

      Тангенс не существует, если [pic].
   № 15
   1. Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых
      значения тригонометрических функций аргументов [pic], [pic], [pic],
      [pic], выражаются через значения sin [pic], cos [pic], tg [pic]и ctg
      [pic].
   2. Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:
|Функция|Аргумент [pic]                                                 |
|[pic]  |                                                               |


  |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |sin [pic] |cos
 [pic] |cos [pic] |sin [pic] |-sin [pic] |-cos [pic] |-cos [pic] |-sin [pic]
  |sin [pic] | |cos [pic] |sin [pic] |-sin [pic] |-cos[pic]  |-cos[pic]  |-
   sin [pic] |sin [pic] |cos [pic] |cos [pic] | |tg [pic] |ctg [pic] |-ctg
  [pic] |-tg [pic] |tg [pic] |ctg [pic] |-ctg [pic] |-tg [pic] |tg [pic] |
 |ctg [pic] |tg [pic] |-tg [pic] |-ctg [pic] |ctg [pic] |tg [pic] |-tg [pic]
|-ctg [pic] |ctg [pic] | |Для облегчения запоминания приведенных формул
      нужно использовать следующие правила:

   1. a) при переходе от функций углов [pic], [pic]к функциям угла
      [pic]название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс
      и наоборот;

      при переходе от функций углов [pic], [pic]к функциям угла
      [pic]название функции сохраняют;

      б) считая [pic]острым углом (т. е. [pic]), перед функцией угла
      [pic]ставят такой знак, какой имеет приводимая функ-ция углов [pic],
      [pic], [pic].
Все вышеприведенные формулы можно получить, пользуясь следующим правилом:

Любая тригонометрическая функция угла 90°n + [pic]по абсолютной величине
равна той же функции угла [pic], если число n - четное, и дополнительной
функции, если число n - нечетное. При этом, если функция угла 90°n + [pic].
положительна, когда [pic]- острый угол, то знаки обеих функций одинаковы,
если отрицательна, то различны.
   № 16
   1. Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:

      [pic][pic]

                 Рис.1                         Рис.2

      Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол [pic]и на угол
      [pic](рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение
      векторов [pic]и [pic]. Пусть координаты точки В равны х1 и y1,
      координаты точки С равны х2 и y2. Эти же координаты имеют
      соответственно и векторы [pic]и [pic]. По определению скалярного
      произведения векторов:

      [pic][pic][pic]= х1х2 + y1y2. (1)

      Выразим скалярное произведение [pic][pic][pic]через тригонометрические
      функции углов [pic]и [pic]. Из определения косинуса и синуса следует,
      что

      х1 = R cos [pic], y1 = R sin [pic], х2 = R cos [pic], y2 = R sin
      [pic].

      Подставив значения х1, х2, y1, y2 в правую часть равенства (1),
      получим:

      [pic][pic][pic]= R2cos[pic] cos[pic] + R2sin[pic] sin[pic] =
      R2(cos[pic] cos[pic] + sin[pic] sin[pic]).

      С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:

      [pic][pic][pic]= [pic][pic]cos [pic]BOC = R2cos [pic]BOC.

      Угол ВОС между векторами [pic]и [pic]может быть равен [pic]-
      [pic](рис.1), [pic]- ([pic] - [pic]) (рис.2) либо может отличаться от
      этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos
      [pic]BOC = cos ([pic] - [pic]). Поэтому

      [pic][pic][pic]= R2 cos ([pic] - [pic]).

      Т.к. [pic][pic][pic]равно также R2(cos[pic] cos[pic] + sin[pic]
      sin[pic]), то

      cos([pic] - [pic]) = cos[pic] cos[pic] + sin[pic] sin[pic].


      cos([pic] + [pic]) = cos([pic] - (-[pic])) = cos[pic] cos(-[pic]) +
      sin[pic] sin(-[pic]) = cos[pic] cos[pic] - sin[pic] sin[pic].

      Значит,

      cos([pic] + [pic]) = cos[pic] cos[pic] - sin[pic] sin[pic].
   2. Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:


      sin([pic] + [pic]) = cos( [pic]/2 - ([pic] + [pic])) = cos(( [pic]/2 -
      [pic]) - [pic]) = cos( [pic]/2 - [pic]) cos[pic] + sin( [pic]/2 -
      [pic]) sin[pic] = sin[pic] cos[pic] + cos[pic] sin[pic].

      Значит,

      sin([pic] + [pic]) = sin[pic] cos[pic] + cos[pic] sin[pic].


      sin([pic] - [pic]) = sin([pic] + (-[pic])) = sin[pic] cos(-[pic]) +
      cos[pic] sin(-[pic]) = sin[pic] cos[pic] - cos[pic] sin[pic].

      Значит,

      sin([pic] - [pic]) = sin[pic] cos[pic] - cos[pic] sin[pic].
   № 17
                            Формулы двойных углов
Формулы сложения позволяют выразить sin 2[pic], cos 2[pic], tg 2[pic], ctg
2[pic] через тригонометрические функции угла [pic].

Положим в формулах

sin([pic] + [pic]) = sin[pic] cos[pic] + cos[pic] sin[pic] ,

cos([pic] + [pic]) = cos[pic] cos[pic] - sin[pic] sin[pic] ,

[pic],

[pic].

[pic]равным [pic]. Получим тождества:
                     sin 2[pic] = 2 sin [pic]cos [pic];

    cos 2[pic] = cos2 [pic]- sin2 [pic]= 1 - sin2 [pic]= 2 cos2 [pic]- 1;

                                [pic]; [pic].

№ 18

                        Формулы половинного аргумента
   1. Выразив правую часть формулы cos 2[pic] = cos2 [pic]- sin2 [pic]через
      одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к
      соотношениям

      cos 2[pic] = 1 - sin2 [pic], cos 2[pic] = 2 cos2 [pic]- 1.

      Если в данных соотношениях положить [pic]= [pic]/2, то получим:

      cos [pic]= 1 - 2 sin2 [pic]/2, cos 2[pic] = 2 cos2 [pic]/2 - 1. (1)
   2. Из формул (1) следует, что

      [pic]  (2), [pic]  (3).
   3. Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим

      [pic]  (4).
   4. В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в
      какой координатной четверти находится угол [pic]/2.
   5. Полезно знать следующую формулу:

      [pic].
№ 19
                 Формулы суммы и разности синусов, косинусов
   Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде
произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое
преобразование, могут быть получены из формул сложения.

   Чтобы представить в виде произведения сумму sin [pic]+ sin [pic],
положим [pic]= x + y и [pic]= x - y и воспользуемся формулами синуса суммы
и синуса разности. Получим:

sin [pic]+ sin [pic]= sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny +
sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy.

   Решив теперь систему уравнений [pic]= x + y, [pic]= x - y относительно x
и y, получим х = [pic], y = [pic].

Следовательно,

      sin [pic]+ sin [pic]= 2 sin[pic] cos[pic] .

Аналогичным образом выводят формулы:

      sin [pic]-sin [pic]= 2 cos[pic] sin [pic];

      cos [pic]+ cos [pic]= 2 cos[pic] cos[pic] ;

      cos [pic]+ cos [pic]= -2 sin[pic] sin [pic].
№ 20

Чтобы найти решение приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0, где
[pic], достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям
равенства прибавить [pic]. Тогда левая часть станет полным квадратом, и мы
получаем равносильное уравнение [pic]= [pic]- q .

Оно отличается от простейшего уравнения x2 = m только внешним видом:
[pic]стоит вместо x и [pic]- q - вместо m. Находим [pic]= [pic]. Отсюба х =
- [pic][pic]. Эта формула показывает, что всякое квадратное уравнение имеет
два корня. Но эти корни могут быть и мнимыми, если [pic]< q . Может также
оказаться, что оба корня квадратного уравнения равны между собой, если
[pic]= q . Возращаемся к обычному виду [pic].

1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна
второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение
корней равно свободному члену, т.е. х1 + х2 = -р, а х1х2 = q .

2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, х1, х2 таковы, что х1 + х2 =
-р и х1х2 = q , то х1 и х2 - корни уравнения x2 + px + q = 0.

№ 21
Опр. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в
которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b.

   Формулу [pic](где b > 0, a > 0 и a [pic]1) называют основным
логарифмическим тождеством.

   Свойства логарифмов:
   1. [pic];
   2. [pic];
   3. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:

      [pic].

      Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

      x = [pic], y = [pic].

      Перемножим почленно эти равенства, получаем:

      xy = [pic][pic][pic]= [pic].

      Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан.
   4. Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя:

      [pic].

      Ход доказательства аналогичен доказательству п.3
   5. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее
      основания:

      [pic].

      При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным
      логарифмическим тождеством.
№ 22
   1. Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения
      приращения [pic]функции в точке х0 к приращению [pic]аргумента, когда
      последнее стремится к нулю. Это можно записать так: [pic].
   2. Из определения производной следует, что функция может иметь
      производную в точке х0 только в том случае, если она определена в
      некоторой окрестности точки х0, включая эту точку.
   3. Необходимым условием существования производной функции в данной точке
      является непрерывность функции в этой точке.
   4. Существование производной функции f в точке х0 эквивалентно
      существованию (невертикальной) касательной в точке (х0 ; f(х0))
      графика, при этом угловой коэффициент касательной равен [pic]. В этом
      состоит геометрический смысл производной.
   5. Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) - это скорость
      изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач
      следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией
      у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как
      скорость, с которой протекает процесс.
№ 23
   1. Производная суммы равна сумме производных, если они существуют:

      [pic].
   2. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 то их производные
      дифференцируемы в этой точке и

      [pic].
   3. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0, а С - постоянная, то
      функция Cu дифференцируема в этой точке и

      [pic].
   4. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 и функция v не равна
      нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в
      точке х0 и

      [pic].




смотреть на рефераты похожие на "Алгебра и Начало анализа"