Математика

Структура сходящихся последовательностей



    Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся.
Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.

    Определение:       Последовательность {xn} называется сходящейся,  если
существует  такое  число  а,   что   последовательность    {xn-а}   является
бесконечно малой. При этом число а  называется  пределом  последовательности
{xn}.

    В  соответствии   с   этим   определением   всякая   бесконечно   малая
последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.

    Можно, также, дать еще одно определение сходящейся  последовательности:
Последовательность {xn} называется сходящейся, если существует  такое  число
а, что для любого положительного числа ( можно указать номер  N  такой,  что
при n(N все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству:
           |xn-a|<(.

При этом число а называется пределом последовательности.

             Некоторые свойства сходящихся последовательностей:

    ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

    Доказательство: Пусть a и b  –  пределы  сходящейся  последовательности
{xn}.  Тогда,  используя  специальное   представление   для   элементов   xn
сходящейся последовательности {xn}, получим xn=а+(n, xn=b+(n, где (n и (n  –
элементы бесконечно малых последовательностей {(n} и {(n}.
    Вычитая данные соотношения, найдем  (n-(n=b-a.  Так  как  все  элементы
бесконечно малой последовательности {(n-(n} имеют одно и  то  же  постоянное
значение  b-a,  то  (по  теореме:  Если  все   элементы   бесконечно   малой
последовательности {(n} равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0,  т.е.
b=a. Теорема доказана.

    ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.

    Доказательство: Пусть {xn} - сходящаяся последовательность  и  а  –  ее
предел. Представим ее в следующем виде:

           xn=а+(n,

где (n- элемент бесконечно  малой  последовательности.  Так  как  бесконечно
малая последовательность  {(n}  ограничена  (по  теореме:  Бесконечно  малая
последовательность ограничена.), то найдется такое число  А,  что  для  всех
номеров n справедливо неравенство |(n|(А. Поэтому | xn | ( |a| + A для  всех
номеров n, что и означает ограниченность  последовательности  {xn}.  Теорема
доказана.

    Ограниченная последовательность может и не быть  сходящейся.  Например,
последовательность  1,  -1,  1,  -1,  …  -  ограничена  ,  но  не   является
сходящейся. В  самом  деле,  если  бы  эта  последовательность  сходилась  к
некоторому числу а, то каждая  из  последовательностей   {xn-a}  и  {xn+1-a}
являлась бы бесконечно малой. Но  тогда  (по  теореме:  Разность  бесконечно
малых последовательностей есть бесконечно малая  последовательность.)  {(xn-
a) – (xn+1-a)}={xn– xn+1} была бы  бесконечно  малой,  что  невозможно  т.к.
|xn– xn+1| = 2 для любого номера n.

    ТЕОРЕМА:  Сумма  сходящихся  последовательностей  {хn}  и   {yn}   есть
сходящаяся  последовательность,  предел   которой   равен   сумме   пределов
последовательностей {хn} и {yn}.

    Доказательство:   Пусть   а    и    b    –    соответственно    пределы
последовательностей {хn} и {yn}. Тогда:

           xn=а+(n,    yn=b+(n,

где {(n} и {(n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn  +
yn) - (а + b) =(n+(n.
    Таким образом, последовательность {(хn + yn)  -  (а  +  b)}  бесконечно
малая, и поэтому последователдьность  {хn  +  yn}  сходится  и  имеет  своим
пределом число а+b. Теорема доказана.

    ТЕОРЕМА: Разность  сходящихся  последовательностей  {хn}  и  {yn}  есть
сходящаяся  последовательность,  предел  которой  равен  разности   пределов
последовательностей {хn} и {yn}.

    Доказательство:   Пусть   а    и    b    –    соответственно    пределы
    последовательностей {хn} и {yn}.Тогда:

           xn=а+(n,    yn=b+(n,

где {(n} и {(n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn  -
yn) - (а - b) =(n-(n.
    Таким образом, последовательность {(хn - yn)  -  (а  -  b)}  бесконечно
малая, и поэтому последователдьность  {хn  -  yn}  сходится  и  имеет  своим
пределом число а-b. Теорема доказана.

    ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {хn} и  {yn}  есть
сходящаяся последовательность, предел которой  равен  произведению  пределов
последовательностей {хn} и {yn}.

    Доказательство:   Пусть   а    и    b    –    соответственно    пределы
последовательностей    {хn}    и    {yn},    то    xn=а+(n,    yn=b+(n     и
xn(yn=a(b+a((n+b((n+(n((n. Следовательно,

           xn(yn-а(b=a((n+b((n+(n((n.

(в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на  бесконечно
малую  есть   бесконечно   малая   последовательность.)   последовательность
{a((n+b((n+(n((n} бесконечно малая,  и  поэтому  последовательность  {xn(yn-
а(b} тоже бесконечно малая, а значит последовательность {xn(yn}  сходится  и
имеет своим пределом число а(b. Теорема доказана.

    ЛЕММА: Если последовательность {yn} сходится и имеет отличный  от  ноля
предел b, то, начиная с  некоторого  номера,  определена  последовательность
[pic], которая является ограниченной.

    Доказательство: Пусть [pic]. Так как b(0, то  (>0.  Пусть  N  –  номер,
соответствующий этому (, начиная с которого выполняется неравенство:
           |yn-b|<( или |yn-b|<[pic]

из  этого  неравенства  следует,  что  при   n(N   выполняется   неравенство
|yn|>[pic]. Поэтому при n(N имеем  [pic].  Следовательно,  начиная  с  этого
номера  N,  мы  можем  рассматривать   последовательность   [pic],   и   эта
последовательность ограничена. Лемма доказана.

    ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {xn}  и  {yn}  при
условии,   что   предел   {yn}   отличен   от    ноля,    есть    сходящаяся
последовательность,    предел    которой     равен     частному     пределов
последовательностей {xn} и {yn}.

    Доказательство: Из доказанной  ранее  леммы  следует,  что,  начиная  с
некоторого номера N, элементы последовательности {yn}  отличны  от  ноля   и
последовательность [pic] ограничена. Начиная с  этого  номера,  мы  и  будем
рассматривать  последовательность   [pic].   Пусть   а   и   b   –   пределы
последовательностей {xn}  и  {yn}.  Докажем,  что  последовательность  [pic]
бесконечно малая. В самом деле, так как xn=а+(n,   yn=b+(n, то
           [pic][pic].

Так как последовательность  [pic]  ограничена,  а  последовательность  [pic]
бесконечно мала,  то  последовательность  [pic]  бесконечно  малая.  Теорема
доказана.

    Итак, теперь можно сказать, что арифметические операции над сходящимися
последовательностями приводят к таким же  арифметическим  операциям  над  их
пределами.

    ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности  {xn},  начиная  с
некоторого номера, удовлетворяют неравентству xn(b (xn(b),  то  и  предел  а
этой последовательности удовлетворяет неравенству а(b (a(b).

    Доказательство: Пусть все  элементы  xn,  по  крайней  мере  начиная  с
некоторого номера, удовлетворяют неравенству  xn(b.  Предположим,  что  аb, однако при этом предел а может  оказаться  равным
b. Например, если xn=1/n, то xn>0, однако [pic].
    Следствие 1: Если элементы xn и  уn  у  сходящихся  последовательностей
{xn} и {yn}, начиная с некоторого номера,  удовлетворяют  неравенству  xn  (
уn, то их пределы удовлетворяют аналогичному неравенству
           [pic].
    Элементы   последовательности   {yn-xn}   неотрицательны,   а   поэтому
неотрицателен и ее предел [pic]. Отсюда следует, что
           [pic].

    Следствие 2:  Если  все  элементы  сходящейся  последовательности  {xn}
находятся на сегменте [a,b], то и  ее  предел  с  также  находится  на  этом
сегменте.
    Это выполняется, так как а(xn(b, то a(c(b.

    ТЕОРЕМА: Пусть {xn}  и  {zn}-  сходящиеся  последовательности,  имеющие
общий предел а. Пусть, кроме того, начиная  с  некоторого  номера,  элементы
последовательности   {yn}удовлетворяют    неравенствам    xn(yn(zn.    Тогда
последовательность {yn} сходится и имеет предел а.

    Доказательство: достаточно доказать,  что  {yn-a}  является  бесконечно
малой.  Обозначим  через  N’  номер,   начиная   с   которого,   выполняются
неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же  номера,
будут выполнятся также неравенства xn-а ( yn-а ( zn-а. Отсюда  следует,  что
при n(N’ элементы последовательности {yn-a} удовлетворяют неравенству

           |yn-a| ( max {|xn-a|, |zn-a|}.

Так как [pic] и [pic], то для любого (>0  можно  указать  номера  N1   и  N2
такие,   что   при   n(N1    |xn-a|<(,   а   при   n(N2    |zn-a|<(.    Итак
последовательность {yn-a} бесконечно малая. Теорема доказана.

    Итак,  мы  показали   неравенства,   которым   удовлетворяют   элементы
сходящихся  последовательностей,  в  пределе  переходят  в   соответствующие
неравенства для пределов этих последовательностей.

                                   ПРИМЕРЫ
    1. Последовательность [pic] сходится и имеет своим пределом ноль.  Ведь
       каково бы ни было  (>0,  по  свойству  Архимеда  вещественных  чисел
       существует такое натуральное число n(, что n(>[pic].  Поэтому  [pic]
       для всех n(n(, а это означает, что [pic].

    2. Последовательность [pic] сходится и [pic], что следует из того, что
           [pic], и того, что [pic].

                                   ЗАДАЧИ

ЗАДАЧА № 1

   Пусть числовая последовательность а1, а2, а3, … удовлетворяет условию

                  [pic]      (m, n = 1, 2, 3, … ),

   тогда последовательность

                  [pic],…

   должна либо расходиться к [pic], причем предел этой последовательности
   будет равен ее нижней грани.

РЕШЕНИЕ:

   Видим частный случай теоремы у M. Fekete. Достаточно рассмотреть случай,
   когда нижняя грань ( конечна. Пусть (>0 и [pic](+(. Всякое целое число n
   может быть представлено в форме n=qm+r, где r=0 или 1, или 2, …, или m-1.
   Полагая единообразие а0=0, имеем:

                       an=aqm+r(am+am+…+am+ar=qam+ar,
                                   [pic],
                                    [pic]

ЗАДАЧА № 2

   Пусть числовая последовательность а1, а2, а3, … удовлетворяет условию

                  [pic]

   тогда существует конечный предел

                  [pic],

   причем

                  [pic]      (n = 1, 2, 3, … ).
РЕШЕНИЕ:

   Из неравенств 2am-12  и
   [pic].
   Разобьем числовую прямую на l интервалов точками

           -(, m+(, m+2(, …, M-2(, M-(, +(.

   Выберем такое N, чтобы  для  n>N  выполнялось  неравенство  |sn-sn+1|<(.
   Пусть, далее, sn1 (n1>N)  лежит в первом интервале и sn2 (n2>  n1)  –  в
   последнем. Тогда  числа  конечной  последовательности  [pic]  не  смогут
   “перепрыгнуть”  ни  один  из  l-2  промежуточных  интервалов  длиной  (.
   Аналогично рассуждаем и в том случае, когда последовательность будет  не
   «медленно восходящей», а «медленно нисхожящей».

ЗАДАЧА № 4

   Пусть для  последовательности  t1,  t2,  …  ,  tn,  …  существует  такая
   последовательность стремящихся к нулю положительных  чисел  [pic]…,  что
   для каждого n

                       [pic].


   Тогда числа t1, t2, … , tn, …лежат всюду плотно между их нижним и
   верхним пределами.

РЕШЕНИЕ:

   Существуют в сколь угодно большом удалении  конечные  последовательности
   [pic],   произвольно   медленно   нисходящие   от    верхнего    предела
   последовательности к ее нижнему пределу.

ЗАДАЧА № 5

   Пусть v1, v2, … ,  vn,  …  -  положительные  числа,  v1  (  v2  (  v3  …
   Совокупность предельных точек последовательности

                 [pic], …

   заполняет замкнутый  интервал  (длина  которого  равна  нулю,  если  эта
   последовательность стремится к пределу).

РЕШЕНИЕ:

                 [pic]

ЗАДАЧА № 6

   Числовая последовательность, стремящаяся к [pic], имеет наименьший член.

РЕШЕНИЕ:

   Какое бы число мы  ни  задали,  слева  от  него  будет  находиться  лишь
   конечное число членов последовательности, а  среди  конечного  множества
   чисел существует одно или несколько наименьших.

ЗАДАЧА № 7

   Сходящаяся  последовательность  имеет   либо   наибольший   член,   либо
   наименьший, либо и тот и другой.

РЕШЕНИЕ:

   При совпадении верхней и нижней граней рассматриваемой
   последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому они различны. Тогда
   по крайней мере одна из них отличается от предела последовательности.
   Она и будет равна наибольшему, соответственно наименьшему, члену
   последовательности.

ЗАДАЧА № 8

   Пусть l1, l2, l3, … , lm, … - последовательность положительных  чисел  и
   [pic], тогда существует бесконечно  много  номеров  n,  для  которых  ln
   меньше всех предшествующих ему членов последовательности l1, l2, l3, … ,
   ln-1.

РЕШЕНИЕ:

   Пусть задано целое положительное число m и ( – наименьшее из  чисел  l1,
   l2,  l3,  …  ,  lm;  (>0.  Согласно  предположению   в   рассматриваемой
   последовательности  существуют члены, меньше чем (. Пусть n – наименьший
   номер, для которого ln<(. Тогда:

                 n>m;  ln0),
                 s1, s 2, s 3, … , s m, … (s1>0, sm+1>sm, m=1, 2, 3, …)

   обладают тем свойством, что

                 [pic], [pic].

   Тогда существует бесконечно много номеров n,  для  которых  одновременно
   выполняются неравенства

                 ln>ln+1,   ln>ln+2,    ln>ln+3, …
                 lnsn>ln-1sn-1, lnsn>ln-2sn-2, … lnsn>l1s1,

РЕШЕНИЕ:

   Будем называть lm «выступающим» членом последовательности, если lm
   больше всех последующих членов. Согласно предположению в первой
   последовательности содержится бесконечно много выступающих членов; пусть
   это будут:

                 [pic],…   [pic]

   Каждый невыступающий член lv заключается (для v>n1) между двумя
   последовательными выступающими членами, скажем nr-10.    Согласно    предположению    в    рассматриваемой
   последовательности  существуют члены, меньше чем (. Пусть k – наименьший
   номер, для которого [pic]<(. Тогда:

                 k>m;  [pic].

ЗАДАЧА № 11

   Если числовая последовательность [pic],… стремится к [pic] и А превышает
   ее наименьший член, то существует  такой  номер  n  (возможно  несколько
   таких), n(1, что n отношений

                       [pic]

   все не больше А, а бесконечное множество отношений

                       [pic],…

   все не меньше А.

РЕШЕНИЕ:

   Имеем [pic]. Пусть минимум последовательности

                       L0-0,  L1-A,  L2-2A, L3-3A, …

   Будет Ln-nA; тогда

                       Ln-u-(n-u)A( Ln-nA;         Ln+v-(n+v)A( Ln-nA,

   u=1,  2,  …,  n;  v=1,  2,  3,  …;  n=0  исключено  в  силу  предложений
   относительно А.

ЗАДАЧА № 12

   Пусть относительно числовой последовательности l1, l2, l3,  …  ,  lm,  …
   предполагается лишь, что

                       [pic].

   Пусть, далее,  А>l1.  Тогда  существует  такой  номер  n,  n  (  1,  что
   одновременно выполняются все неравенства

                       [pic]

                                   [pic].

   Если А((, то также n((.

РЕШЕНИЕ:

   Пусть

                 l1+l2+l3+…+lm=Lm,      m=1, 2, 3, …; L0=0.

   Так как L1-A<0, то L0-0 не  является  минимумом  в  предыдущем  решении.
   ln+1(A;  поэтому  ln+1,  а  следовательно  и  n  должны   стремиться   к
   бесконечности одновременно с А.

ЗАДАЧА № 13

   Пусть числовая последовательность l1, l2, l3, … ,  lm,  …  удовлетворяет
   условиям

                       [pic],      [pic]

   Пусть, далее, l1>A>0. Тогда  существует  такой  номер  n,  n  (  1,  что
   одновременно выполняются все неравенства

                  [pic]
                                                               [pic].

   Если А(0, то также n(0.

РЕШЕНИЕ:

   Положим

                 l1+l2+l3+…+lm=Lm,      m=1, 2, 3, …; L0=0.

   Тогда [pic]. Последовательность

                 L0-0,  L1-A,  L2-2A, L3-3A, …, Lm-mA, …

   стремится к -(. Пусть ее наибольший член будет Ln-nA. Тогда интересующие
   нас неравенства будут выполняться для этого номера n.
   В последовательности L0,  L1,  …,  Lm,  …  содержится  бесконечно  много
   членов, превышающих все предыдущие. Пусть Ls будет один  из  них.  Тогда
   числа:

                 [pic]

   все  положительны:   коль   скоро   А   меньше   наименьшего   из   них,
   соответствующий А номер n больше или равен s. Точки (n, Ln) должны  быть
   обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху полигоном.


смотреть на рефераты похожие на "Структура сходящихся последовательностей "