Математика

Большая коллекция шпор для МАТАНа (1 семестр 1 курс)



|ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ      |СЧЕТНОЕ МНОЖЕСТВО    |                     |
|МНОЖЕСТВ             |- множество          |                     |
|(с)                  |равномощное множеству|                     |
|http://karatel.nm.ru |натуральных чисел.   |                     |
|Под множеством S     |A={0, ±1, ±2,…}.     |                     |
|будем понимать любое |f: A(N (должно быть  |                     |
|собрвние определенных|взаимно однозначное  |                     |
|и различных между    |соответствие),       |                     |
|собой объектов       |a={i/2, i четное;    |                     |
|мыслимое как единое  |(1-i)/2.   |A|=|N|.  |                     |
|целое. Эти объекты   |ТЕОРЕМА О СЧЕТНЫХ    |                     |
|называются элементами|МНОЖЕСТВАХ:          |                     |
|множества S. Для     |1) любое бесконечное |                     |
|любого объекта можно |множество содержит   |                     |
|установить           |счетное подмножество.|                     |
|принадлежит он       |Док-во: А?Ш, т.к. оно|                     |
|множеству или нет.   |бесконечно. Можно    |                     |
|A={1,2,3..},         |выбрать произвольный |                     |
|A={x|p(x)} –         |элемент a1, берем    |                     |
|обозначения.         |остаток A\a1?Ш,      |                     |
|Множества A и В      |выбираем a2,         |                     |
|считаются равными,   |повторяем операцию   |                     |
|если они состоят из  |сколько-то раз       |                     |
|одинаковых элементов |A\a1\a2?0 ( a3…      |                     |
|А=В.                 |Получаем             |                     |
|{1,2,3}={2,1,3}={2,1,|бесконечность и т.д.,|                     |
|1,1,3}. 1) множество |счетное множество.   |                     |
|всех множеств        |2) любое бесконечное |                     |
|содержащих сами себя |подмножество B       |                     |
|- множество всех     |множества А счетно.  |                     |
|множеств, 2)         |Док-во: BcA, мощность|                     |
|множества, которые не||B|?|A|. По теореме 1|                     |
|содержат себя как    |=> CcBcA,            |                     |
|элемент. Рассмотрим  ||N|?|B|?|A|, |C|=|N|.|                     |
|множество второго    |По условию           |                     |
|типа: A={x|xўx}. Если||N|?|B|?|A|=|N|,     |                     |
|А себя не содержит,  ||B|=|N|.             |                     |
|то это одно из таких |3) объединением      |                     |
|множеств, значит оно |конечного или        |                     |
|должно содержаться в |счетного семейства   |                     |
|А – парадокс рассела.|счетных множеств –   |                     |
|                     |есть счетное         |                     |
|                     |множество. A(инд.i)  |                     |
|СООТНОШЕНИЕ МНОЖСТВ  |U[сверху ?, снизу    |                     |
|AcB, если все        |i=1] A. A1 счетно,   |                     |
|элементы А являются  |A1={a11, a12, a13,   |                     |
|элементами множества |a14…}. 1 индекс –    |                     |
|В (А содержит В), А  |номер множества, 2   |                     |
|является             |индекс – номер       |                     |
|подмножеством В. Если|элемента.Берем значит|                     |
|1.АсВ, 2. А?В, то    |матрицу бесконечную  |                     |
|АсВ, то А является   |двумерную и соединяем|                     |
|подмножеством В      |линиями элементы в   |                     |
|{1,2}c{1,2,3},       |следующем порядке    |                     |
|{1}c{1,2}. Множество,|B={a11, a21, a12,    |                     |
|не содержащее        |a13….} т.к. удалось  |                     |
|элементов называется |перегруппировать, то |                     |
|пустым и обозначается|теорема доказана.    |                     |
|Ш. Считается, что    |4) мощность булеана  |                     |
|пустое множество     |множества больше     |                     |
|является             |мощности самого      |                     |
|подмножеством любого |множества.           |                     |
|множества AшcA.      ||M|<|B(M)|. Док-во:  |                     |
|Множество всех       |надо доказать, что 1.|                     |
|подмножеств А        ||M|?|B(M)| <=>       |                     |
|называется множеством|McB(M).              |                     |
|– степенью или       |2. |M|?|B(M)|.       |                     |
|булеаном. А{1,2,3},  |допустим |M|=|B(M)|  |                     |
|B(A)={{Ш},{1},{2},{3}|=> существует        |                     |
|,{1,2},{1,3},{2,3},{1|некоторая функция f: |                     |
|,2,3}} – булеан.     |M(B(M). Рассматриваем|                     |
|УТВЕРЖДЕНИЕ: если    |2 ситуации: а)       |                     |
|множество А состоит  |xЄf(X), б) xўf(x),   |                     |
|из n элементов, то   |xЄM, f(x)ЄB(M).      |                     |
|булеан от А состоит  |Остановимся на б) –  |                     |
|из 2(c.n) элементов. |рассмотрим множество |                     |
|Док-во: 1-входит, 0 –|P={x|xЄf(x)}, ШЄB(M) |                     |
|не входит, 0..2(c.n) |булеану. Существует  |                     |
|и Ш, всего 2(c.n).   |х: Ш=f(x), xўШ. P –  |                     |
|                     |подмножество         |                     |
|ДЕЙСТВИЯ НАД         |множества M =>       |                     |
|МНОЖЕСТВАМИ          |PЄB(M), существует y:|                     |
|Объединием AUB       |P=f(y). Разберемся   |                     |
|называется           |yЄP или yўP =>       |                     |
|множество, все       |yЄf(y)=P             |                     |
|элементы             |противоречие, а      |                     |
|которого являются    |оттуда => yўf(y)=P   |                     |
|элементами А или В   |противоречие =>      |                     |
|(рис.2).             |допущение неверно.   |                     |
|AUB={x|xЄA или xЄB}. |5) мощность булеана  |                     |
|AcAUB, BcAUB.        |счетного множества   |                     |
|Пересечением множеств|равна мощности       |                     |
|A?B называют         |континиума.          |                     |
|множество, все       ||B(N)|=|[0,1]|.      |                     |
|элементы которого    |A=[0,1] – все        |                     |
|являются элементами  |действительные числа |                     |
|обоих множеств А и В.|0-1, B=[0,2],        |                     |
|A?B={x|xЄA и xЄB},   ||A|=|B|, y=2x.       |                     |
|A?BcA, A?BcB (рис.3).|                     |                     |
|Дополнением множества|ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ |                     |
|А называют множество |КОМБИНАТОРИКИ        |                     |
|эементов, не         |Упорядоченные выборки|                     |
|принадлежащих        |n из n элементов, где|                     |
|множеству А.         |все элементы различны|                     |
|А={x|xўA} (рис.4).   |называются           |                     |
|Симметричная разность|перестановками из n  |                     |
|– A+B=(A\B)U(B\A)    |элементов Pn=n!.     |                     |
|(рис.5). Вычитание – |Упорядоченные выборки|                     |
|множество принадлежит|объемом m из n       |                     |
|В и не принадлежит А.|элементов (m называется     |1) 0!=1, 2)          |                     |
|совокупность,        |C[0;m]=C[m;m]=1, 3)  |                     |
|состоящая из 2х      |C[m-n; m]=C[n;m],    |                     |
|элементов х и y,     |C[m-n;               |                     |
|расположенные в      |m]=m!/(m-n)!(m-(m-n))|                     |
|определенном порядке.|!=                   |                     |
|2 пары  и  |=m!/(m-n)!n!=C[r;m], |                     |
|считаются равными т. |4) C[n;m]=C[n;m-1] + |                     |
|и т.т., к. х=U, y=v. |C[n-1;m-1],          |                     |
|Бинарным или         |C[i;n]C[i;m]=        |                     |
|двуместным отношением|=C[m;n]C[i-m;n-m].   |                     |
|? называется         |БИНОМ НЬЮТОНА:       |                     |
|множество            |(x+y)(c.m)=S[m;n=0]C[|                     |
|упорядоченных пар,   |n;m] *               |                     |
|элементы пар         |*x(c.n)*y(c.m-n).    |                     |
|называются           |Док-во: методом      |                     |
|координатами или     |математической       |                     |
|компонентами         |индукции: m=1,       |                     |
|отношения ?. Є? |x+y=1x’+1y’, m-1,    |                     |
|<=> x?y. ОПРЕДЕЛЕНИЕ |покажем, что         |                     |
|2: обастью           |соотношение верно и  |                     |
|определения бинарного|для m.               |                     |
|отношения ? называют |(x+y)(c.m)=(x+y)(x+y)|                     |
|множество            |(c.m-1)=(x+y)S[n=0;m-|                     |
|D(инд.?){x|существует|1] x(c.n)y(c.m-n-1)= |                     |
|y: Є?}. Областью|=xS[n=0;m-1]C[n;m-1] |                     |
|значения ? называется|x(c.n)y(c.m-n-1)+yS[n|                     |
|множество:           |=0;m-1]C[n;m-n]x(c.n)|                     |
|R(инд.?)={y|существуе|y(c.m-n-             |                     |
|т х, Є?}.       |-1)=…пиздец…=C[0;m]x(|                     |
|Примеры:             |c.0)y(c.m)+S[n=1;m-1]|                     |
|1.{<1,2>,<2,4>,<3,3>,|C[n;m]x(c.n)y(c.m-n).|                     |
|<2,1>},              |                     |                     |
|D(инд.?)={1,2,3,2}={1|                     |                     |
|,2,3}={2,3,1},       |РАЗБИЕНИЕ МНОЖЕСТВА  |                     |
|R(инд.?)={2,4,3,1}={1|n-элементов          |                     |
|,2,3,4}. Отношение   |множества. Надо      |                     |
|равенства на         |разбить r1,r2…,r     |                     |
|множестве            |(инд.m) элементов. n!|                     |
|действительных чисел:|– количество         |                     |
|{|x,y –         |перестановок.        |                     |
|действительные и     |n!/r1!…r (инд.n)!    |                     |
|x=y}, {|x,y –   |– количество         |                     |
|целые и существует   |вариантов            |                     |
|z>0: x+z=y}          |подмножеств.         |                     |
|                     |Сочетания с          |                     |
|УПОРЯДОЧЕННАЯ        |повторениями:        |                     |
|ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ   |C(инд.n+r-1)(с.n).   |                     |
|x1,x2…,xn            |Множество всех вершин|                     |
|называются           |V={v1,v2…}.          |                     |
|упорядоченные группы |Ребра: X={x1,x2…}.   |                     |
|или пары.  |Ребро такое может    |                     |
|n-нарным отношением  |быть                 |                     |
|называется множество |обозначено           |                     |
|n-нок. Пусть даны    |x1={v1,v2}. Если в   |                     |
|n-множества A1,A2…An.|графе есть петли     |                     |
|Множество всех n-нок |и/или кратные ребра, |                     |
| таких, что   |то это псевдограф.   |                     |
|x1ЄA1…., xnЄAn.      |Псевдограф без петель|                     |
|A1xA2x…xAn=П[сверху –|– мультиграф.        |                     |
|i, снизу –           |Мультиграф, в котором|                     |
|i=1]A(инд.i); Ai=A.  |не одно ребро не     |                     |
|Обратным отношением  |имеет кратность      |                     |
|для отношения        |больше 1 называется  |                     |
|?={|Є?}    |графом. Если         |                     |
|называется отношение |упорядоченная пара   |                     |
|                     |v1,v2, если все пары |                     |
|?(c.-1)={|Є|являются             |                     |
|?}. Композицией      |упорядоченными, то   |                     |
|отношений ?1 и ?2    |граф называется      |                     |
|называется отношение |ориентированным      |                     |
|?=o?1={|существу|(орграф). Ребра      |                     |
|ет z: Є?1 и     |орграфов называются  |                     |
|Є?2}            |дугами и обозначаются|                     |
|                     |круглыми скобками.   |                     |
|СВОЙСТВА БИНАРНЫХ    |Неорграф G1,G2…      |                     |
|ОТНОШЕНИЙ            |Орграф D1,D2…        |                     |
|1) (?(с.-1))(с.-1)=?,|                     |                     |
|2) (?2 o             |ПОНЯТИЕ СМЕЖНОСТИ,   |                     |
|?1)(c.-1)=?1(c.-1) o |ИНЦЕНДЕНТНОСТИ       |                     |
|?2(c.-1); Бинарное   |x={v,w} – ребро      |                     |
|отношение f          |неорграфа, тогда v,w |                     |
|называется функцией, |– концы ребра. Пусть |                     |
|если из того, что    |x(v,w) орграф, v –   |                     |
|Єf, Єf =>  |начало, w – конец.   |                     |
|y=z. 2 функции       |ОПРЕДЕЛЕНИЕ: если    |                     |
|называются равными,  |вершина v является   |                     |
|если они состоят из  |концом ребра х       |                     |
|одних и тех же       |неорграфа (началом   |                     |
|элементов.           |или концом дуги х    |                     |
|D(инд.f)=X,          |орграфа), то v и х   |                     |
|R(инд.f)=Y. Говорят, |называется           |                     |
|что функция f        |инцидентными.        |                     |
|осуществляет         |Вершины v,w          |                     |
|отображение множества|называются смежными, |                     |
|f: X(Y, X((стрелка с |если есть ребро      |                     |
|перечеркнутым        |{v,w}=x, соединяющее |                     |
|надчеркиванием)Y;    |эти вершины. Степенью|                     |
|                     |вершины v графа g –  |                     |
|n-местной функцией   |число ?(v) ребер     |                     |
|называют отношение f,|графа G, инцедентных |                     |
|если f: x(c.n)(Y или |вершине v. Вершина   |                     |
|Y=f(x1,…,xn(c.n)).   |графа имеет степень  |                     |
|ОПРЕДЕЛЕНИЕ1: функция|0, называется        |                     |
|f: X(Y называется    |изолированной, а     |                     |
|инъективной, если для|степень 1 висячей. В |                     |
|любого x1,x2ЄX,      |неориентированном    |                     |
|Y=f(x1), Y=f(x0)     |псевдографе вклад    |                     |
|=>x1=x2.             |каждой петли         |                     |
|ОПРЕДЕЛЕНИЕ2: функция|инцидентной вершины v|                     |
|f: X(Y называется    |в степень этой       |                     |
|сюръективной, если   |вершины =2. Для      |                     |
|для любого yЄY       |орграфа: полустепенью|                     |
|существует x, f(x)=y.|исхода (захода)      |                     |
|ОПРЕДЕЛЕНИТЕ3:       |вершины v орграфа D  |                     |
|функция называется   |называется число     |                     |
|биективной, если она |?(с.+)(v) – исход,   |                     |
|одновременно и       |?(с. -)(v) – заход.  |                     |
|инъективная и        |В случае псевдографа |                     |
|сюръективная.        |вклад каждой петли   |                     |
|СЛЕДСТВИЕ: говорят,  |смежной вершины v    |                     |
|что биективная       |равен 1.             |                     |
|функция f            |n(G) – количество    |                     |
|осуществляет         |вершин неорграфа,    |                     |
|однозначное          |m(G) – количество    |                     |
|отображение множества|ребер неорграфа, n(D)|                     |
|Х на множество Y.    |для орграфа, m(D) –  |                     |
|ПРИМЕРЫ: X=R         |количество дуг       |                     |
|(действительные R),  |орграфа. Для каждого |                     |
|Y=R, y=e(c.x).       |псевдографа D        |                     |
|Монотонность функции |выполняется следующее|                     |
|говорит о            |равенство S[vЄV]     |                     |
|инъективности –      |?(v)=2m(G),          |                     |
|монотонно возрастает.|S[vЄV]               |                     |
|y=x(c.3)-x –         |?(с.+)(v)=S[vЄV]     |                     |
|сюрьективная,        |?(с.-)(v)=m(D).      |                     |
|y=x(c.3) –           |                     |                     |
|биективная.          |ИЗОМОРФИЗМ.          |                     |
|Композиция 2х функций|ГОМЕОМОРФИЗМ.        |                     |
|– это функция gof.   |G1(V1,X1), G2(V2,X2) |                     |
|                     |называются           |                     |
|=gof, Єgof}|изоморфными, если    |                     |
|=> существует        |существует           |                     |
|некоторая функция,   |биективное           |                     |
|что существует U: xfu|(взаимооднозначное)  |                     |
|и ugy                |отображение ?:V1(V2, |                     |
|y=g[f(x)]            |сохраняющее          |                     |
|существует V: xfV    |смежность, т.е. если |                     |
|=>U=V и Vgz =>y=z,   |{v,w}ЄX1 <=>         |                     |
|z=g[f(x)].           |{?(v),?(w)}ЄX2.      |                     |
|УТВЕРЖДЕНИЕ:         |Орграфы D1(V1,X1),   |                     |
|композиция 2х        |D2=(V2,X2) называются|                     |
|биективных функций – |изоморфными, если    |                     |
|есть биективная      |существует           |                     |
|функция. ОПРЕДЕЛЕНИЕ:|отображение ?:V1(V2, |                     |
|тождественным        |(v,w)ЄX1 <=>         |                     |
|отображением         |(?(v),?(w))ЄX2.      |                     |
|множества Х в себя   |Свойства изоморфных  |                     |
|называется           |графов: - если G1,G2 |                     |
|отображение e(инд.x):|– изоморфны и ?:V1(V2|                     |
|X(x, такое, что для  |– для любого vЄV1,   |                     |
|любых xЄX существует |?(v)=?(?(v)), -      |                     |
|значение функции     |m(G1)=m(G2),         |                     |
|e(инд.x)(x)=x,       |n(G1)=n(G2). Для     |                     |
|foe(инд.x)=f,        |орграфа свойства     |                     |
|e(с.y)of=f.          |аналогичны, для      |                     |
|УТВЕРЖДЕНИЕ:         |любого vЄV1,         |                     |
|отображение f: X(Y   |?(с.-)(v)=?(инд.-)(?(|                     |
|имеет обратное       |v))                  |                     |
|                     |,                    |                     |
|ОТНОШЕНИЕ ЧАСТИЧНОГО |?(с.+)(v)=?(с.+)(?(v)|                     |
|ПОРЯДКА              |), m(D1)=m(D2),      |                     |
|на множестве х, для  |n(D1)=n(D2). Примеры |                     |
|которого 2 любые     |изоморфных графов см.|                     |
|элементы сравнимы    |на рисунке.          |                     |
|называется отношением|УТВЕРЖДЕНИЕ:         |                     |
|линейного порядка.   |изоморфизм групп     |                     |
|Любые x,yЄX либо x?y |является отношением  |                     |
|либо y?x.            |эквивалентности на   |                     |
|Определение: говорят,|множестве            |                     |
|что элемент х        |графов или орграфов. |                     |
|покрывает элемент y, |ОПРЕДЕЛЕНИЕ:         |                     |
|если x?y   и         |операцией по         |                     |
|существует такое, что|разбиению дуги (u,v) |                     |
|x?z?y.               |в орграфе D(v,x)     |                     |
|                     |называется           |                     |
|ДИАГРАММА ХАССЕ      |операция, которая    |                     |
|ПРИМЕРЫ: некое       |состоит из удаления  |                     |
|множество A={1,2,3}  |добавления к V       |                     |
|и его булеан         |вешины w. Орграф D2  |                     |
|B(A)={Ш,{1},{2},{3}, |называется разбиением|                     |
|{1,2},               |орграфа D1           |                     |
|{1,3}, {2,3},        |, если D2 получается |                     |
|{1,2,3}}=X. 1,2,3    |из D1 путем          |                     |
|покрывают Ш.         |последовательного    |                     |
|Множество            |применения интеграции|                     |
|Х={1,2,3,5,6,10,15,30|дуг. Орграфы         |                     |
|}. y делится         |D1,D2(G1,G2)         |                     |
|нацель на х.         |называются           |                     |
|Диаграммы ХАССЕ на   |гомеоморфными, если  |                     |
|рисунке.             |существует их        |                     |
|Если порядок         |подразделение,       |                     |
|линейный, то просто  |которое является     |                     |
|линия будет.         |изоморным. Если      |                     |
|Определение: 2       |степени всех вершин  |                     |
|частично             |равны k, то граф     |                     |
|упорядоченных        |называется регулярным|                     |
|множества Х,Y        |в степени k. Граф    |                     |
|называются           |исходящий из 1       |                     |
|изоморфными, если    |вершины называется   |                     |
|существует биективная|тривиальным.         |                     |
|функция, ?*Х(Y,      |Двудольным называется|                     |
|сохраняющая частичный|граф G(V,X),         |                     |
|порядок, т.е. для    |такой, что он разбит |                     |
|любых x,yЄX, x?y =>  |V1,V2(v1Uv2=v,       |                     |
|?(x)??(y).           |v1?v2?Ш),            |                     |
|                     |каждое ребро         |                     |
|СРАВНЕНИЕ МНОЖЕСТВ   |инцедентно вершине из|                     |
|ОПРЕДЕЛЕНИЕ:         |v1 и v2.             |                     |
|множества А и В      |                     |                     |
|называются           |                     |                     |
|равномощными, если   |                     |                     |
|между АиВ существуют |                     |                     |
|взаимно однозначные  |                     |                     |
|соответствия. 1. A(B,|                     |                     |
||A|=|B|. УТВЕРЖДЕНИЕ:|                     |                     |
|отношение            |                     |                     |
|равномощности        |                     |                     |
|множеств является    |                     |                     |
|отношением           |                     |                     |
|эквивалентности.     |                     |                     |
|Реплексивность –     |                     |                     |
|можно установить     |                     |                     |
|соответствие – сам с |                     |                     |
|собой. Симметрия –   |                     |                     |
|хоть так, хоть эдак. |                     |                     |
|СЛУЧАЙ 1: АиВ        |                     |                     |
|конечное множество:  |                     |                     |
|утверждение:         |                     |                     |
|множества А и В      |                     |                     |
|равномощны т. и т.т.,|                     |                     |
|к. количество        |                     |                     |
|элементов в А равно  |                     |                     |
|количеству элементов |                     |                     |
|в В. Докажем:        |                     |                     |
|допустим 2 множества |                     |                     |
|имеют одинаковые     |                     |                     |
|элементы, имеют      |                     |                     |
|одинаковые индексы   |                     |                     |
|соответствующих друг |                     |                     |
|другу значений.      |                     |                     |
|Множества равномощны.|                     |                     |
|Обратно: допустим    |                     |                     |
|множества равномощны |                     |                     |
|=> существуют взаимно|                     |                     |
|однозначные          |                     |                     |
|соответствия.        |                     |                     |
|Мощность равна       |                     |                     |
|количеству элементов,|                     |                     |
|для конечных         |                     |                     |
|множеств. СЛУЧАЙ2:   |                     |                     |
|бесконечное          |                     |                     |
|множество:           |                     |                     |
|N={1,2,3..}. Пример: |                     |                     |
|множество всех       |                     |                     |
|натуральных чисел. И |                     |                     |
|множество всех четных|                     |                     |
|чисел: M={2,3,4..}.  |                     |                     |
|Теперь установим     |                     |                     |
|равномощность        |                     |                     |
|m(инд.i)=2n(инд.i).  |                     |                     |
|Говорят, что мощность|                     |                     |
|множества А не       |                     |                     |
|превосходит мощность |                     |                     |
|множества В.         |                     |                     |
||A|?|B|, если        |                     |                     |
|существует множество |                     |                     |
|B1cB, что |A|=|B1|.  |                     |                     |
|Мощность А < мощности|                     |                     |
|В, при 1) |A|?|B|, 2.|                     |                     |
||A|?|B|. ТЕОРЕМА:    |                     |                     |
|отношения |A|?|B|,   |                     |                     |
||A|<|B| являются     |                     |                     |
|отношениями линейного|                     |                     |
|порядка. УТВЕРЖДЕНИЕ:|                     |                     |
|ТЕОРЕМА КОНТОрА:     |                     |                     |
|пусть N={1,2..}      |                     |                     |
|множество всех       |                     |                     |
|натуральных чисел, а |                     |                     |
|А=[0,1] множество    |                     |                     |
|всех чисел ближайших |                     |                     |
|отрезку [0,1], тогда |                     |                     |
||N|?|A| и докажем: 1)|                     |                     |
|докажем |N|?|A|,     |                     |                     |
|берем действительные |                     |                     |
|числа a(инд.i)=(1/i),|                     |                     |
|i=1,2,3.. все они    |                     |                     |
|лежат на отрезке     |                     |                     |
|[0,1] значит |N|?|A|.|                     |                     |
|2) допустим, что     |                     |                     |
||N|=|A|, то f:N(A,   |                     |                     |
|тогда                |                     |                     |
|f(1)=0.a11a12a13,    |                     |                     |
|f(2)=0.a21a22a23,…   |                     |                     |
|f(n)=0.an1an2an3.    |                     |                     |
|Число b=0.b1b2b3,    |                     |                     |
|b(инд.i)={1, aij?1;  |                     |                     |
|2, aij=1.            |                     |                     |

-----------------------
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]




смотреть на рефераты похожие на "Большая коллекция шпор для МАТАНа (1 семестр 1 курс) "