Математика

Численное интегрирование определённых интегралов


АННОТАЦИЯ
   В   данной  работе   будут   рассмотрены   три   метода   приближённого
интегрирования  определённого  интеграла:  метод   прямоугольников,   метод
трапеций и метод Симпсона. Все эти методы будут подробно выведены с оценкой
погрешности каждого из них. Для более полного восприятия материала в работу
помещён раздел, в котором подробно расписано решение, всеми тремя методами,
определённого  интеграла.  В  материале  имеются  иллюстрации,  с   помощью
которых, можно более глубоко вникнуть в суть рассматриваемой темы.



                                 СОДЕРЖАНИЕ

    Введение…………………………………………………………3

    Основная часть………………………………………………....4
        -формула прямоугольников………………………………....6
        -формула трапеций…………………………………………..8
        -формула Симпсона…………………………………………10

    Практика……………………………………………………….15

    Заключение…………………………………………………….19

    Список литературы…………………………………………….20



                                  ВВЕДЕНИЕ

    Цель  данной  курсовой  работы   –   изучение   методов   приближённого
интегрирования. Для некоторых подынтегральных функций [pic]  интеграл  можно
вычислить аналитически или найти  в  справочниках.  Однако  в  общем  случае
первообразная  [pic]  может  быть  не  определена:  либо  первообразные   не
выражаются через элементарные функции, либо сами подынтегральные функции  не
являются   элементарными.   Это   приводит   к   необходимости    разработки
приближенных   методов   вычисления   определенных   интегралов.    Наиболее
общеупотребительными   приближенными    методами    вычисления    одномерных
определенных интегралов  являются,  так  называемые,  "классические"  методы
численного интегрирования:  метод  прямоугольников,  метод  трапеций,  метод
парабол  (основанные  на  суммировании  элементарных  площадей,  на  которые
разбивается  вся  площадь  под  функцией  [pic]).  Хотя  эти  методы  обычно
предпочтительней в случае малых размерностей,  они  практически  не  годятся
для  вычисления  многомерных  интегралов,  для  их  вычисления  используются
другие методы, однако в этой работе они рассмотрены не будут.



                               ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ
   I.Определение интеграла и его геометрический смысл.
   В  начале  узнаем,  что  такое  определённый  интеграл.   Возможны  два
различных подхода к определению определённого интеграла.
   ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: приращение  F(b)-F(a)  любой из преобразованных  функций
F(x)+c  при  изменении  аргумента  от  x=a  до  x=b  называют  определённым
интегралом от a до b функции f  и обозначается [pic].
   Причём функция  F является первообразной для функции  f   на  некотором
промежутке D, а числа  а  и  b  принадлежат  этому  промежутку.  Это  можно
записать следующим образом:
   [pic]   (1)
 это формула Ньютона-Лейбница.

   ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2:
   [pic]Если при любой последовательности разбиений отрезка  [a;b]  таких,
что ?=max?xi>0 (n>?) и  при  любом  выборе  точек[pic]  интегральная  сумма
?k=[pic]f(?i) ?xi  стремится к одному и тому же конечному пределу А, то это
число А и есть определённый интеграл, т.е.[pic] limn>? ?k =  lim?>0  [pic]f
(?i) ?xi=A(2).
   Где  ?хi=xi-xi-1  (i=1,2,…,n)  ?=max?xi  –   начало   разбиения   [pic]
произвольная точка из отрезка[xi-1;xi]

сумма всех произведений f(?i)?xi(i=1,…,n). Простыми  словами,  определенный
интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно
возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю.
   ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ:
     [pic]Всякая непрерывная на отрезке [a,b]  функция  f  интегрируема  на
отрезке [a,b], функция f неотрицательна,  но  определённый  интеграл  [pic]
численно равен S криволинейной трапеции, ограниченной графиком  функции  f,
осью абсцисс и прямыми x=a и x=b, S=[pic]f(x)dx.
   II.Приближённые методы вычисления.
   Как мы уже отметили, если функция f непрерывна  на  промежутке,  то  на
этом промежутке существует функция F такая, что  F’=f, то  есть  существует
первообразная для функции f, но не  всякая  элементарная  функция  f  имеет
элементарную первообразную F. Объясним понятие элементарной функции.
   Функции: степенная, показательная, тригонометрическая, логарифмическая,
обратные тригонометрическим называются основными  элементарными  функциями.
Элементарной функцией называется  функция,  которая  может  быть  задана  с
помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических  операций  и
суперпозиций основных элементарных.
   Например следующие интегралы:  ?e-xdx;  ?[pic];  ?dx/ln|x|;  ?(ex/x)dx;
?sinx2dx; ?ln|x|sinxdx существуют, но не выражаются в конечном  виде  через
элементарные функции, то есть относятся к числу интегралов, «не  берущихся»
в элементарных функциях.
   Бывает, что  на  практике  сталкиваются  с  вычислением  интегралов  от
функций, которые заданы табличными и графическими способами, или  интегралы
от функций, первообразные которых  выражаются  через  элементарные  функции
очень сложно, что не  удобно,  долго  и  не  рационально.  В  этих  случаях
вычисление определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница  (1)  сводит
вычисление определённого интеграла от какой-либо функции  к  нахождению  её
первообразной. Значит, если первообразная не  элементарна,  надо  вычислить
определённый интеграл как-то по  другому,  поэтому  прибегают  к  различным
методам приближённого интегрирования.
   В основе приближённых методов интегрирования лежит геометрический смысл
определённого интеграла, который рассмотрен выше.
   Формул приближённого интегрирования существует много. В данной курсовой
работе будет рассмотрено три  метода  приближённого  интегрирования:  метод
трапеций, метод прямоугольников и метод Симпсона.

   1. Формула прямоугольников
   Теперь рассмотрим первый вид приближённого вычисления:

требуется вычислить определённый интеграл: [pic].
   Пусть на отрезке [a,b]  задана  непрерывная  функция  y=f(x).  Разделим
отрезок [a,b], аналогично как в формуле трапеций: точками a=x0,x1,x2,…,xn=b
на n равных частей длины ?х, где ?х=(b-a)/n.
   [pic]Обозначим через y0,y1,y2,…,yn-1,yn значение функции f(x) в  точках
x0, x1, x2…,xn, то есть, если записать в наглядной формуле:
   Y0=f(x0), y1=f(x1), y2=f(x2)…yn,=f(xn).
   В данном способе подынтегральную  функцию  заменяем  функцией,  которая
имеет ступенчатый вид (на рис. выделена).
Составим суммы: y0?x+ y1?x1+ y2?x2…+yn-1?x;  Y1?x+ y2?x+…+yn?x
   Каждое слагаемое этих сумм выражает площадь, полученных прямоугольников
с  основанием  ?х,  которое  является  шириной   прямоугольника,  и  длиной
выраженной через yi: Sпр=a*b=yi?x.
   Каждая из этих сумм является интегральной суммой для  f(x)  на  отрезке
[a,b], и равна площади ступенчатых фигур,  а  значит  приближённо  выражает
интеграл. Вынесем ?x=(b-a)/n из каждой суммы, получим:
   [pic]f(x)dx??x(y0+y1+…+yn-1);
   [pic]f(x)dx??x(y1+y2+…+yn).
Выразив x, получим окончательно:
   [pic]f(x)dx?((b-a)/n)(y0+y1+…+yn-1);(3)
   [pic]f(x)dx?((b-a)/n)(y1+y2+…+yn);(3*)
   Это и есть формулы прямоугольников. Их две, так как можно  использовать
два способа замены подынтегральной  функции.  Если  f(x)-  положительная  и
возрастающая функция, то формула (3) выражает S фигуры,  расположенной  под
графиком, составленной из входящих прямоугольников, а формула (3*)- площадь
ступенчатой фигуры, расположенной  под  графиком  функции  составленной  из
выходящих треугольников.
Ошибка, совершаемая при вычислении интегралов  по  формуле  прямоугольников,
будет тем меньше, чем больше число n (то есть чем меньше шаг  деления)[pic].
Для   вычисления   погрешности   этого    метода    используется    формула:
Pnp=[pic], где [pic] Результат  полученный  по  формуле  (3)  заведомо  даёт
большую площадь  прямоугольника,  так  же  по  формуле  (3*)  даёт  заведомо
меньшую площадь, для  получения  среднего  результата  используется  формула
средних прямоугольников:[pic]         (3**)
    2.Формула трапеций.
    Возьмём  определённый   интеграл   ?f(x)dx,   где   f(x)-   непрерывная
подынтегральная функция,  которую  мы  для  наглядности  будем  предполагать
положительной.  При  вычислении  интеграла  с   помощью   формулы   трапеций
подынтегральная функция f заменяется функцией, график  которой  представляет
собой  ломанную  линию  (на  рисунке  2  красным  цветом),  звенья   которой
соединяют  концы  ординат   yi-1   и   yi   (i=1,2,…,n).[pic]Тогда   площадь
криволинейной трапеции,  ограниченной  линиями  x=a,  x=b,  y=0,  y=f(x),  а
значит  (следуя  из  геометрического  смысла),  и   значение   нужного   нам
интеграла,  приблизительно  равна  сумме   площадей   обычных   трапеций   с
основаниями yi-1 и yi и высотой h=(b-a)/n,  так  как  (если  более  привычно
выражать для нас) h это ?x,a ?x=(b-a)/n при  делении  отрезка  на  n  равных
отрезков  при   помощи   точек   x0=a

смотреть на рефераты похожие на "Численное интегрирование определённых интегралов "