Математика

Преобразование Фурье


Kalmiik-forever
                                   Глава I
                            Преобразование Фурье.

                              §1. Класс Шварца.
Преобразование Фурье отображает класс Шварца на себя.
        Определение.   Следующее   множество    комплекснозначных    функций
действительного переменного называется классом Шварца.
           [pic].
Класс Шварца иногда называют классом быстро убывающих функций.
      Операции обычного сложения и умножения  функции  на  число  превращают
класс Шварца в линейное векторное пространство:
((,((S(R), a, b(К выполнено a(+b((S(R).
      Отметим несколько простых свойств функций из класса Шварца.
     1) Если ((x)(S(R),то [pic]
     2) Если ((x)(S(R),то ((x) ограничена на R.
     3) Если ((x)(S(R),то ((x)=x((x)(S.
     4) Если ((x)(S(R) и P(x) – многочлен, то P(x)((x)(S.
     5) Если ((x)(S(R),то [pic].
      Доказательство. Первые два свойства сразу следуют из неравенств
                                   [pic].
      Докажем свойство 3). Во первых, (=x((C?(R). Далее,
                                   [pic].
Свойство 4) получается из 3) последовательным  применением.  В  самом  деле,
если P(x)=a0+a1x+…+anxn, то по свойству 3) имеем  xi((S(R),  потому  функция
P(x)((x)=a0(+a1(x()+a2(x2()+…+an(xn() принадлежит классу  Шварца  ввиду  его
линейности.
      Свойство 5) доказывается аналогично свойству 3).

                    §2. Одномерное преобразование Фурье.
      Определение. Функция
                             [pic]                            (1)
называется преобразованием Фурье функции ((x)  и  обозначается  F[(].  Ясно,
что не для всякой функции ((x)  интеграл  (1)  сходится,  и  потому  не  для
всякой функции определено преобразование Фурье.
      Если [pic] (интеграл Лебега), то будем  говорить,  что  (  принадлежит
пространству L1(R).
      Предложение 1. Преобразование Фурье функции ((x) из  L1(R)  определено
и ограничено по модулю на действительной оси.
      Доказательство следует из равенства [pic] и (1):
                                    [pic]
      Следствие. Преобразование Фурье определено для функций ((S(R).
      Доказательство. Достаточно  доказать,  что  S(R)(L1(R).  Заметим,  что
если ((S(R), то  по  свойству  4)  функция  (1+x2)((S(R)  и,  следовательно,
ограничена, а (1+x2)-1(L1(R). Поэтому функция (1+x2)((1+x2)-1(L1(R).

             §3. Свойства преобразований Фурье функций из S(R).
      1) [pic]
      Доказательство  получается  дифференцированием  в   (1)   под   знаком
интеграла.   Это   законно,   так    как    интеграл,    полученный    после
дифференцирования, мажорируется интегралом
                                    [pic]
сходимость которого вытекает из свойства 3): x((x)(S(R)(L1(R).
      2) Если ((S(R), то F[(](C((R).
      Так как -ix((S, то доказательство немедленно вытекает из 1).
     3) [pic]
      Доказательство. Очевидно
                                    [pic]
теперь можно интегрировать по частям
                                    [pic]
Это и доказывает свойство 3).
      Предложение 2. Преобразование Фурье  функции  из  класса  Шварца  есть
снова функция из класса Шварца.
      Доказательство. Многократно применяя свойства 1) и 3), устанавливаем
                                    [pic]
По свойствам 4) и 5) класса Шварца функция
                                    [pic]
лежит в классе Шварца S(L1 , и  тогда,  по  предложению  пункта  2,  функция
[pic]  ограничена  некоторой  постоянной,   которую   мы   обозначим   Cn,m.
Предложение доказано.

                     §4. Обратное преобразование Фурье.
      Определение. Функция
                                    [pic]
называется обратным преобразованием Фурье функции  ((y)  и  обозначается  F-
1[(].
      Нетрудно проверить, что обратное преобразование Фурье функций из  S(R)
обладает свойствами, аналогичными прямому:
     1) [pic]
     2) [pic]
     3) [pic]
      Докажем, что F-1[F[(]]=( для любой функции ((S. Для этого потребуется
      Лемма.  Пусть  непрерывная  функция  h(y)(L1(R)  имеет   почти   всюду
ограниченную производную. Пусть
                                    [pic]
такой набор  точек,  что  на  интервалах  (yi,yi+1)  функция  h  класса  C2,
i=1,2,…,n. Тогда для  всех  x,  отличных  от  yi,  i=1,2,…,n+1,  справедливо
соотношение
                                    [pic]
      Доказательство. Так как h(y)(L1 , то для всякого  (>0  найдется  такое
А, что
                                    [pic]
при всех t>0. Заметим, что
                 [pic]            (3)
Тогда
                                    [pic]
Второе слагаемое в (4) заменой z= t(x - y) приводится к виду
                                    [pic]
и, следовательно, стремится к нулю при [pic]  в  силу  сходимости  интеграла
(3). Для доказательства леммы осталось показать, что первое слагаемое в  (4)
также стремится [pic].
Введем обозначение
                                    [pic]
Если h класса C2 в окрестности точки x, то из равенства
                                    [pic]
следует дифференцируемость функции g(y) в точке y = x. Итак, g(y) – кусочно-
диференцируемая функция. Интегрируя по частям, устанавливаем
                                    [pic]
при [pic] Лемма доказана.
      Предложение 3. F-1[F[(]]=( для любого ((S(R).
      Доказательство.
                                    [pic]
Внутренний интеграл сходится  равномерно  по  y([-n,  n],  поэтому  возможна
замена порядка интегрирования.
                                    [pic]
Теперь утверждение следует из леммы.
      Из доказанного предложения вытекает, что преобразование Фурье взаимно-
однозначно отображает класс Шварца  в  себя.  Покажем  что  это  отображение
“на”. Определим оператор J переводящий функцию ((x) в функцию  ((-x).  Тогда
очевидно равенство F=2(JF-1, откуда, умножая справа на FJ/2(  и  используясь
равенством  JJ=1,  будем  иметь  [pic],  где  1  справа  надо  понимать  как
тождественное отображение в S(R). Последнее равенство  означает,  что  любая
функция из S(R) есть преобразование Фурье некоторой функции.

                   §5. Класс Шварца в многомерном случае.
      Мультииндексом (=((1,…,(n) будем  называть  набор  из  неотрицательных
целых чисел. Порядком мультииндекса будем называть число [pic]

                                  Глава II
                 Задача Коши для уравнения теплопроводности.
         §1. Постановка задачи коши для уравнения теплопроводности.

      Требуется найти функцию u(x,t), непрерывную при t[pic]0  и  x[pic]R  и
класса C2 при t>0, удовлетворяющую уравнению
                                 [pic]             (1)
при t>0, x[pic]R и начальному условию
                                 u(x,0)=((x).                 (2)
Задача  (1),(2)  имеет,  вообще  говоря,  много  решений.   Поэтому   обычно
накладывают дополнительное условие, которому должно удовлетворять решение.
      Теорема (Тихонова). Пусть u(x,t) – решение задачи (1),(2)  с  функцией
((x)(0. Пусть ((>0 существует постоянная C>0 такая, что
                                  [pic]
при всех x(R и t(0. Тогда u(0.
      Из этой теоремы  следует,  что  при  среди  функций,  растущих,  грубо
говоря, медленнее чем [pic] при любом (>0, не  может  найтись  более  одного
решения задачи (1),(2).
      Эту теорему мы приводим без доказательства, но  ниже  докажем  теорему
единственности при более сильных ограничениях.

                        §2. Формальный поиск решения.
      Применим преобразование Фурье
                             [pic][pic]      (3)
Выкладки  этого  пункта  будем  проделывать,  не  заботясь  об  обосновании.
Дифференцируя (3) по t, устанавливаем:
                                  [pic]
Кроме того, по свойству 3) преобразования Фурье
                       [pic]
Учитывая (1), имеем
                             [pic]           (4)
Решая это обыкновенное дифференциальное уравнение с параметром y, находим
                             [pic][pic]
Где g(y) – произвольная функция. Используя (2), определяем g(y):
                       [pic]

      §3. Решение задачи Коши с начальной функцией из класса Шварца.
      Теорема 2. Если ((S(R), то формула
                             [pic]           (5)
дает решение задачи (1), (2), бесконечно дифференцируемое при t(0.
      Доказательство. Так как [pic], то  [pic]  при  любом  t(0  и  обратное
преобразование Фурье в формуле  (5)  определено.  Дифференцируя  (5)  по  t,
имеем
            [pic]      (6)
так  как  [pic],  то  интеграл  (6)   сходится   равномерно   при   t(0,   и
дифференцирование  законно.  Совершенно  так  же  доказывается   бесконечная
дифференцируемость функции u(x,t) по t и x.
      Дифференцируя (5) дважды по x, устанавливаем:
                 [pic] (7)
Из формул (6),(7) вытекает, что функция u(x,t) удовлетворяет уравнению  (1).
Справедливость условия (2) очевидна. Теорема доказана.

      §4. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности.
      Преобразуем формулу (5) к более  удобному  ”явному”  виду.  Для  этого
запишем ее в интегралах
                       [pic]
меняем порядок интегрирования
                       [pic]      (8)
В формуле (8) внутренний  интеграл  есть  преобразование  Фурье  от  функции
[pic] при значении аргумента –(x-z), поэтому из (9.2) имеем
                 [pic]
Подставляя это в (8), получим
            [pic]      (9)
Функцию
                       [pic]
называют  фундаментальным   решением   уравнения   теплопроводности.   Легко
проверяются следующие свойства этой функции:
      [pic]

§5. Решение задачи с непрерывной ограниченной начальной функцией.
      Теорема 3. Пусть ((z) ограничена и  непрерывна  на  вещественной  оси.
Тогда формула (9) дает решение задачи (1),(2).
      Доказательство. Продифференцируем (9) под знаком интеграла
            [pic]      (10)
Чтобы обосновать законность такого  дифференцирования,  достаточно  показать
равномерную сходимость по x интеграла (10), для чего произведем замену
                                    [pic]
                                    [pic]
      Из ограниченности функции ( следует равномерная  сходимость  интеграла
как по x(R, так и по t>(.
      Совершенно так же доказывается бесконечная дифференцируемость  функции
u(x, t) по x и t при t>0. Из свойства 3) фундаментального  решения  следует,
что u есть решение уравнения (1).
      Для доказательства (2) снова сделаем замену переменной  интегрирования
в (9):
                                    [pic]
Так как последний интеграл  сходится  равномерно  по  x  и  t,  то  возможен
предельный переход под знаком интеграла
                                    [pic]
Теорема доказана.

      §6. Единственность решения в классе ограниченных функций.
      Теорема 4.  Пусть  ограниченная  функция  u(x,  t)  является  решением
задачи (1), (2) с начальной функцией ((0. Тогда u(x, t)(0.
      Доказательство. Рассмотрим функцию
                        ((x, t)=((x2+3a2t)+(u(x, t),
где (>0, ( - любого знака. Легко проверить, что
                      [pic]       (11)
Так как функция u ограничена, то функция v(x, y)  в  области  t>0  достигает
минимума в некоторой точке  (x0,  t0).  Покажем,  что  v(x0,  t0)(0.  Пусть,
напротив v(x0,  t0)<0.  Тогда,  очевидно,  t0>0,  так  как  v(x,  0)(0.  Как
необходимые условия минимума имеем соотношения
                                    [pic]
которые противоречат (11).
      Итак, v(x, t)(0 при всех x и t(0. При фиксированных x и  t,переходя  к
пределу при ((0 в неравенстве
                           ((x2+3a2t)+(u(x, t)(0,
получаем  (u(x,  y)(0.  Ввиду  произвольности   знака   (   отсюда   следует
u=0.Теорема доказана



смотреть на рефераты похожие на "Преобразование Фурье "