Математика

Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией


                Министерство образования Российской Федерации
            Башкирский государственный педагогический университет



                                             Кафедра математического анализа



                      Дипломная квалификационная работа

Автор: Гарипов Ильгиз.
Тема: Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией.



  К защите допущен ____________
  Заведующий кафедрой  к.ф. м. н. доцент Сафаров Т.Г.
Руководитель д.физ-мат. наук. профессор Султанаев Я.Т.



                                  Уфа 2001

                                 Содержание

      Стр.

 Введение   3


§ 1 Свойства функции [pic]. 4

§ 2 Свойства функции [pic] и ее производных. 5
   2.1 [pic]     5
   2.2 [pic]     6
   2.3 [pic] где (>0  7
   2.4 [pic]     9

§ 3 Поведение [pic]    11

   3.1 [pic]     11
   3.2  [pic]    11
   3.3 [pic]     12
   3.4 [pic]     13

§ 4 Поведение [pic]    14

   4.1 [pic]     14
   4.2  [pic]    15
   4.3 [pic]     15
   4.4 [pic]     16
Заключение  17
Литература  18



                                  Введение

  Пусть  [pic]  произвольная  функция,  определенная  на  [pic],  и   [pic]
при [pic]
  Введем в рассмотрение функцию [pic] с помощью следующего равенства:

                                 [pic]                       (1)

  Назовем эту функцию усреднением функции [pic]
  Это название оправдано так как из (1) и теоремы о среднем для  интегралов
можем заключить
                               [pic][pic][pic]
                                    [pic]
                        §  2 Свойства функции [pic].

1.  Если [pic], при [pic], то [pic] при [pic]

   Доказательство:

    [pic],  [pic], [pic] [pic] ( N >0, [pic]: [pic] [pic]

2. [pic]                          (2)

3. [pic]         (3)
Дифференцируя формулу (1) по dx  получаем
                 [pic]       (4)
                                                                    [pic](5)

                § 2 Свойства функции [pic] и ее производных.


I) Рассмотрим вид функции [pic] для случаев когда [pic]:

  2.1  [pic]
                                    [pic]
                                    [pic]
  2.2  [pic]

                                    [pic]
                                    [pic]
                                    [pic]
2.3 [pic] где (>0;
                                    [pic]
                                    [pic]
  Разделим интеграл на два интеграла и вычислим их отдельно.
                                    [pic]

  Второй интеграл не оказывает влияния на первый, так как  при [pic]функция
стремится к 0.
  Доказательство:
                                    [pic]
  Рассматривая второй интеграл, мы получаем:
                                    [pic]



  Рассматривая первый интеграл, получаем:
                                    [pic]
                                    [pic]
      Последние два слагаемых полученных при интегрировании содержат в
  произведении [pic], то есть при возрастании x  эти слагаемые будут очень
    быстро уменьшатся и весь интеграл при [pic] становится очень малым по
    сравнению с первой частью. Поэтому можно считать что при [pic] [pic]

  Следовательно:

                                  [pic][pic]
                                    [pic]
2.4. [pic]
                                    [pic]
Наложить на[pic] ограничение, такое чтобы [pic]присутствие [pic] не влияло
на поведение функции.
                                    [pic]
                                    [pic]
Рассматривая полученное выражение можно заметить что
                                    [pic]
становится пренебрежительно малым по отношению к остальной части
как только       [pic].                                 Ограничение №1
В тоже время
                                    [pic]
Становится бесконечно малым как только       [pic].     Ограничение №2

Раскрывая в оставшейся части скобки, по Биному Ньютона получаем, что

                                    [pic]
должен быть очень малым при [pic]то есть
                                    [pic]
так как [pic] ограниченная функция, к 0 должен стремится  [pic].
                                 [pic] [pic]
                                    [pic]
                                  [pic]           Ограничение №3

Учитывая ограничения 1, 2, 3 получаем:

                                    [pic]
Следовательно,  [pic]  ограничение  на  [pic]  удовлетворяющее  поставленной
задаче, при котором присутствие [pic]не влияет на поведение функции [pic].
             § 3 Рассмотрим поведение  функции [pic]для случаев:
  3.1) [pic]
                                    [pic]
                                    [pic]
                                    [pic]
3.2)  [pic]
                                    [pic]
                                    [pic]
                                    [pic]
                                    [pic]
3.3)   [pic]
                                    [pic]
Вычислим отдельно интегральное выражение, стоящее в числителе:
                                   [pic]=
                                   [pic]=
                               [pic]    [pic]
                                 [pic][pic]
                                 [pic][pic]
                                    [pic]
   рассматривая пределы при [pic] видим что на поведение  функции  оказывает
   влияние только главный член [pic]
                                    [pic]
      Поведение данной функции при [pic] эквивалентно поведению функции
                                  [pic]                      (*)
   Вычислим интеграл в знаменателе:
                               [pic]=
                                    [pic]
                               [pic]
                               [pic]                    (**)
   Учитывая (*)и (**) получаем
                                    [pic]
                                    [pic]
   Следовательно, по формуле (2) получаем [pic]

   3.4  [pic]
    [pic]
   Отдельно вычислим числитель и знаменатель:

   [pic]

   [pic]

   По ранее доказанному в пункте 2.4 мы можем сказать что второй интеграл не
   оказывает влияния на поведение функции. Поэтому мы можем утверждать, что
   числитель эквивалентен выражению:

                      [pic]
                                    [pic]
   Вычислим знаменатель:
                                    [pic]
   Разделив интеграл на 2 интеграла, мы получаем:
                                    [pic]
   По пункту 2.4 можем вывести что второй интеграл не влияет на поведение
   функции при [pic]
    Следовательно, знаменатель:
                                    [pic]
                                    [pic]
                                    [pic]
              §4. Рассмотрим поведение второй производной [pic]
   Для облегчения вычислений введем обозначения:
      [pic]
      [pic]
      [pic]
      [pic]
   При этом формула для [pic]примет вид [pic]                      (6)
   4.1 [pic]
   [pic]
   [pic]
   [pic]
   [pic]
   [pic]
  [pic]
  [pic]
  [pic]
  [pic]
  Виду того, что d(x) очень мал то [pic] будет несравним с d(x) т.е.
  [pic]
   4.2 [pic]
  [pic]
  [pic]
  [pic]
  [pic]
  [pic]
  [pic]
  используя равенства, полученные в пункте 2.2 и 3.2, преобразуя данное
  равенство, приходим к выражению:
                                    [pic]
  (Все выкладки приводить не буду в виду их громоздкости и сложности для
  восприятия. Добавлю только что все выкладки, примененные в данном пункте
  полностью повторяют ограничения и эквивалентные выражения, использованные
  в пунктах 2.2 и 3.2).
  Отсюда следует что [pic]

  4.3 [pic]
  [pic]
  [pic]
  Используя данные, полученные в п.3.3 получаем что
  [pic]
  [pic]
  Возвращаясь к п. 3.3 находим:
  [pic]
  [pic]
  [pic]
  Вычисляя [pic]по формуле 6, получаем:
                                    [pic]
  и [pic]

4.4 [pic]
  [pic]
  [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
                                    [pic]
  и [pic]

                                 Заключение
В результате  проведенного  исследования  поведения  усредненной  функции  в
случае осциллирующих коэфициентов, получены данные приведенные  в  следующей
таблице:
|[pic]             |[pic]             |[pic]             |[pic]             |
|[pic]             |[pic]             |[pic]             |[pic]             |
|[pic]             |[pic]             |[pic]             |[pic]             |
|[pic]             |[pic]             |[pic]             |[pic]             |
|[pic]             |[pic]             |[pic]             |[pic]             |





смотреть на рефераты похожие на "Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией "