Математика

Механические колебания в дифференциальных уравнениях


Министерство образования Российской Федерации
   Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова



                                   РЕФЕРАТ
                                  на тему:
           “МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ”



                                             Выполнил: студент гр. МХТ-02
                                                 Казаков Василий Васильевич

                                             Проверила:
                                                 Абрамова Ирина Михайловна



                              Магнитогорск 2003
                                 Содержание
   1) Гармонические колебания
   2) Затухающие колебания
   3) Вынужденные колебания без учета сопротивления среды
   4) Вынужденные колебания с учетом сопротивления среды



      Колебаниями  называются процессы, которые характеризуются определенной
повторяемостью во времени. Колебательные процессы широко распространены в
природе и технике, например качания маятника часов, переменный
электрический ток и т.д. При колебательном движении маятника изменяется
координата центра масс, в случае переменного тока колеблются напряжение и
сила тока. Физическая природа колебаний может быть разной, однако различные
колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и
одинаковыми уравнениями. Рассмотрим механические колебания.
                          Гармонические колебания.
      Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых
изменяющаяся величина изменяется по закону синуса (косинуса).
      Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в
естественном состоянии равна [pic]. Груз слегка оттянут книзу и затем
отпущен. Найдем закон движения груза, пренебрегая массой пружины и
сопротивлением воздуха.
                                   Решение
      Направим ось Ох вниз по вертикальной прямой, проходящей через точку
подвеса груза. Начало координат О выберем в положении равновесии груз, то
есть в точке, в которой вес груза уравновешивается силой натяжения пружины.

      Пусть ( означает удлинение пружины  в данный момент, а (ст—статическое
удлинение, т.е. расстояние от конца нерастянутой пружины до положения
равновесия. Тогда (=(ст+х, или (-(ст=х.
      Дифференциальное уравнение получим из второго закона Ньютона: F=ma,
где m=P/g—масса груза а—ускорение движения и F—равнодей-ствующая
приложенных к грузу сил. В данном случае равнодействующая слагается из силы
натяжения пружины и силы тяжести.
      По закону Гука сила натяжения пружины  пропорциональна её удлинению:
Fупр=-с(, где с – постоянный коэффициент пропорциональности называемый
жесткостью пружины.
                                    [pic]

      Так как в положении равновесия сила равновесия сила натяжения пружины
уравновешивается весом тела, то P= с(ст. Подставим в дифференциальное
уравнение выражение Р и заменим  (-(ст через х, получится уравнение в виде:
                                    [pic]
      или, обозначив с/m через k2,
                  [pic]                                                  (1)
      Полученное уравнение определяет так называемые свободные колебания
груза. Оно называется уравнением гармонического осциллятора. Это линейное
дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Его характеристическое уравнение:
                                    [pic]
      имеет мнимые корни [pic], соответственно этому общее решение
                                    [pic]
      Для выяснения физического смысла решения удобнее привести его к другой
форме, введя новые произвольные постоянные. Умножив и разделив на [pic],
получим:
                                    [pic]
      Если положить
                              [pic] [pic] [pic]
      то
                                            [pic]                        (2)
      График гармонических колебаний имеет вид:
                                    [pic]
      Таким образом, груз совершает гармонические колебания около положения
равновесия.
      Величину А называют амплитудой колебания, а аргумент [pic] — фазой
колебания. Значение фазы при t=o т.e.  величина  [pic], называется
начальной фазой колебания. Величина [pic] есть частота колебания. Период
колебания [pic]  и частота k зависят только от жесткости пружины и от массы
системы. Так как с = Р/(ст = mg/(ст, то для периода можно получить также
формулу:
                                    [pic]
      Скорость движения груза получается дифференцированием решения по t:
                                    [pic]
      Для определения амплитуды и начальной фазы необходимо задать начальные
условия. Пусть, например, в начальный момент t = 0 положение груза x=x0 и
скорость (=(0. Тогда [pic] [pic], откуда
                             [pic],        [pic]
      Из формул для амплитуды и начальной фазы видно, что в отличие от
частоты и периода собственных колебаний они зависят от начального состояния
системы. При отсутствии начальной скорости ((0=0) амплитуда А=х0, а
начальная фаза (=(/2 и, таким образом,
                             [pic]  или    [pic]



                            Затухающие колебания.
      Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуды которых из-за
потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшают-
ся. Найдем закон движения груза в условиях предыдущей задачи, но с учетом
сопротивления воздуха, которое пропорционально скорости движения.
                                   Решение
      К силам, действующим на груз, прибавляется здесь сила сопротивления
воздуха [pic] (знак минус показывает, что сила R направлена противоположно
скорости (). Тогда дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Ox
имеет вид
                                    [pic]
      или если положить [pic], [pic], то
               [pic]                                                     (3)
      Это уравнение также является линейным однородным уравнением второго
порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:
                                    [pic]
       имеет корни
                [pic]                                                    (4)
      Характер движения целиком определяется этими корнями. Возможны три
различных случая. Рассмотрим сначала случай, когда [pic]. Это неравенство
имеет место, когда сопротивление среды невелико. Если положить [pic], то
корни (4) имеют вид [pic]. Тогда общее решение можно записать в виде
                                    [pic]
      или, преобразовав, умножая и деля на [pic], получим:
                                    [pic]
      положим, что
                             [pic] [pic] [pic],
      тогда
               [pic]                                                     (5)
      График зависимости отклонения от положения равновесия от времени
имеет вид:
                                    [pic]
      Если заданы начальные условия: [pic] при t = 0, то можно определить А
и (. Для этого находим
                                    [pic]
и   подставляем  t = 0  в  выражения   для [pic]и [pic] получим систему
уравнений
                                    [pic]
      Разделелив обе части второго уравнения на соответствующие части
первого получим
                                    [pic]
       откуда
                       [pic]    или  [pic] а    [pic]
      Так как
                                    [pic]
      то
                                    [pic]
      Решение (5) показывает, что имеют место затухающие колебания. Действии-
тельно, амплитуда колебания [pic] зависит от времени и является монотонно
убывающей функцией, причем [pic] при [pic].
      Период затухающих колебаний определяется по формуле
                                    [pic]
      Моменты времени, в которые груз получает максимальное отклонение от
начала координат (положения равновесия), образуют арифметическую прогрессию
с разностью, равной полупериоду Т/2. Амплитуды затухающих колебаний
образуют убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем, равным [pic]
или [pic]. Эта величина называется декрементом затухания и обычно
обозначается буквой D. Натуральный логарифм декремента lnD = - пТ/2
называется логарифмическим декрементом затухания.
      Частота колебаний [pic]в этом случае меньше, нежели в предыдущем
([pic]), но, как и там, не зависит от начального положения груза.
      Если сопротивление среды велико и [pic], то, положив [pic], получим
корни (4) в виде [pic] Так как [pic], то оба корня отрицательны. Общее
решение уравнения в этом случае имеет вид
                      [pic]                                              (6)
      Отсюда видно, что движение апериодическое и не имеет колебательного
характера. Аналогичный характер будет иметь движение и в случае [pic],
когда общее решение имеет вид
              [pic]                                                      (7)
      Легко заметить,  что  в обоих  последних  случаях при [pic] имеем
                                 [pic].
      Если заданы начальные условия [pic] и [pic], то в случае, когда [pic],
имеем [pic], а [pic]. Решая эту систему относительно [pic] и [pic], получим
                              [pic],      [pic]
      и, следовательно

                                    [pic]
                                    [pic]
      В случае же, когда [pic], получаем [pic], [pic] и следовательно,
                                    [pic]



            Вынужденные колебания без учета сопротивления среды.
      Вынужденными колебаниями называют колебания, вызванные внешней
периодической возмущающей силой.
      Пусть груз весом Р подвешен на вертикальной пружине, длина которой в
ненагруженном состоянии равна [pic]. На груз действует периодическая
возмущающая сила [pic] где Q и р — постоянные. Найдем закон движения груза,
пренебрегая массой пружины и сопротивлением среды.
                                   Решение
      Как и для гармонических колебаний, получаем уравнение
                                    [pic]
Полагая, как и прежде, [pic] и, кроме того, [pic] перепишем уравнение в
виде
                     [pic]                                               (8)
      Это—неоднородное линейное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами, причем однородным уравнением, соответствующим уравнению
(8), является (1). Поэтому [pic]; остается найти х. Если предположить, что
[pic], то частное решение х, нужно искать в виде [pic], где М и N —
коэффициенты, подлежащие определению. Итак,
      [pic][pic]
      Производя вычисления, получаем
                               [pic]    [pic]
      откуда М=0 и [pic] Полученное таким образом частное решение
               [pic]                                                     (9)
      определяет так называемые вынужденные колебания, созданные возмущаю-
щей силой [pic]. Вынужденные колебания, имеют тот же период, что и
возмущающая сила, совпадают с ней по фазе (т. е. имеют одинаковую начальную
фазу) при k>p, либо отличаются на (, если k

смотреть на рефераты похожие на "Механические колебания в дифференциальных уравнениях "