Математика

Пирамида и призма


Общий исторический обзор
      Первые  геометрические  понятия  возникли  в  доисторические  времена.
Разные формы материальных тел наблюдал человек в природе: формы  растений  и
животных, гор и извилин рек, круга и серпа Луны и т. п.  Однако  человек  не
только пассивно наблюдал природу, но практически осваивал и  использовал  ее
богатства.   В   процессе   практической    деятельности    он    накапливал
геометрические   сведения.   Материальные   потребности   побуждали    людей
изготовлять  орудия  труда,  обтесывать  камни  и  строить  жилища,   лепить
глиняную посуду и натягивать тетиву на лук. Конечно, десятки и  сотни  тысяч
раз натягивали люди свои луки изготовляли разные предметы с прямыми  ребрами
и т. п.,  пока  постепенно  дошли  до  отвлеченного  понятия  прямой  линии.
Примерно то же можно сказать  о  других  основных  геометрических  понятиях.
Практическая деятельность  человека  служила  основой  длительного  процесса
выработки   отвлеченных   понятий,   открытия   простейших    геометрических
зависимостей и соотношений.

      Начало  геометрии  было  положено  в  древности  при   решении   чисто
практических  задач.  Со  временем,  когда  накопилось  большое   количество
геометрических фактов, у людей  появилось  потребность  обобщения,  уяснения
зависимости одних элементов от  других,  установления  логических  связей  и
доказательств. Постепенно создавалась геометрическая наука. Примерно в VI  -
V вв. до н. э. в Древней Греции в геометрии  начался  новый  этап  развития,
что объясняется высоким уровнем, которого достигла  общественно-политическая
и  культурная  жизнь  в  греческих  государствах.  Произведения,  содержащие
систематическое изложение геометрии, появились в Греции еще в V до н.э.,  но
они были вытеснены “Началами” Евклида.

      Геометрические знания примерно в  объеме  современного  курса  средней
школы были изложены  еще  2200  лет  назад  в  “Началах”  Евклида.  Конечно,
изложенная в “Началах” наука геометрия не могла быть создана  одним  ученым.
Известно,  что  Евклид  в  своей   работе   опирался   на   труды   десятков
предшественников, среди которых были Фалес и Пифагор, Демокрит и  Гиппократ,
Архит, Теэтет, Евдокс и  др.  Ценой  больших  усилий,  исходя  из  отдельных
геометрических   сведений,   накопленных   тысячелетиями   в    практической
деятельности людей, эти великие ученые сумели на протяжении 3 -  4  столетий
привести геометрическую науку к высокой ступени  совершенства.  Историческая
заслуга Евклида состоит в том, что он,  создавая  свои  “Начала”,  объединил
результаты своих  предшественников,  упорядочил  и  привел  в  одну  систему
основные геометрические знания того времени. На протяжении двух  тысячелетий
геометрия изучалась в том объеме, порядке и стиле, как она была  изложена  в
“Началах” Евклида. Многие  учебники  элементарной  геометрии  во  всем  мире
представляли (а многие и поныне представляют) собой лишь  переработку  книги
Евклида. “Начала” на протяжении  веков  были  настольной  книгой  величайших
ученых.

      В XVII в. Декарт благодаря методу координат сделал возможным  изучение
свойств геометрических фигур с  помощью  алгебры.  С  этого  времени  начала
развиваться аналитическая геометрия.  В  XVII  -  XVIII  вв.  зарождается  и
разрабатывается  дифференциальная  геометрия,  изучающая  свойства  фигур  с
помощью методов математического анализа. В XVIII- XIX вв. развитие  военного
дела  и  архитектуры  привело  к  разработке  методов  точного   изображения
пространственных  фигур  на  плоском  чертеже,  в  связи  с  чем  появляются
начертательная  геометрия,  научные  основы  которой   заложил   французский
математик Г. Монж, и проективная геометрия, основы которой  были  созданы  в
трудах французских математиков Д. Дезарга и  Б.  Паскаля  (XVII  в.).  В  ее
создании важнейшую роль сыграл другой французский математик - Ж. В.  Понселе
(XIX в.).

      Коренной перелом в геометрии впервые произвел в первой половине ХIХ в.
великий русский  математик  Николай  Иванович  Лобачевский,  который  создал
новую, неевклидову геометрию, называемую ныне геометрией Лобачевского.

      Открытие  Лобачевского  было  началом  нового   периода   в   развитии
геометрии. За ним последовали новые открытия немецкого математика Б.  Римана
и др.

В  настоящее  время  геометрия  тесно  переплетается  со   многими   другими
разделами математики. Одним  из  источников  развития  и  образования  новых
понятий  в  геометрии,  как  и  в  других  областях   математики,   являются
современные задачи естествознания, физики и техники.



                  Первоначальное понятие о многогранниках.
                        Многогранники и их элементы.
                                       Проблемы нам создают не те вещи,
                                       которых мы не знаем, а те, о которых
                                  мы
                                       ошибочно полагаем, что знаем.
                                                                  В. Роджерс
|Определение. Многогранником называется тело,|                              |
|поверхность которого является объединением  |                              |
|конечного числа многоугольников.            |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|В соответствии с общим определением         |                              |
|выпуклого множества, многогранник является  |                              |
|выпуклым[1], если вместе с любыми двумя     |                              |
|своими точками он содержит соединяющий их   |                              |
|отрезок. На рисунке показаны выпуклый и,    |                              |
|соответственно, невыпуклый многогранники.   |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|Многоугольник, принадлежащий поверхности    |                              |
|многогранника, называется его гранью, если  |                              |
|он не содержится ни в каком другом          |                              |
|многоугольнике, также принадлежащем         |                              |
|поверхности многогранника.                  |                              |
|Стороны граней называются рёбрами           |                              |
|многогранника, а вершины – вершинами        |                              |
|многогранника.                              |                              |
|Отрезки, соединяющие вершины многогранника, |                              |
|не принадлежащие одной грани, называются    |                              |
|диагоналями этого многогранника.            |                              |
|Определение. Многогранник называется        |                              |
|правильным, если все его грани – равные     |                              |
|правильные многоугольники и из каждой его   |                              |
|вершины выходит одинаковое число рёбер.     |                              |
|                   |Грани|Вершины |Рёбра |                              |
|Тетраэдр           |4    |4       |6     |                              |
|Куб                |6    |8       |12    |                              |
|Октаэдр            |8    |6       |12    |                              |
|Додекаэдр          |12   |20      |30    |                              |
|Икосаэдр           |20   |12      |30    |                              |
|Призма n-угольная  |2n   |3n      |n+2   |                              |
|Пирамида n-угольная|n+1  |2n      |n+1   |                              |
|Теорема Эйлера.                             |Для числа граней Г, числа     |
|                                            |вершин В и числа рёбер Р      |
|                                            |любого выпуклого многогранника|
|                                            |справедливо соотношение:      |
|                                            |Г+В – Р=2                     |
|Принцип Кавальери:                          |Если два тела могут быть      |
|                                            |расположены так, что любая    |
|                                            |плоскость, параллельная       |
|                                            |какой-нибудь данной плоскости |
|                                            |и пересекающая оба тела, даёт |
|                                            |в сечении с ними равновеликие |
|                                            |фигуры, то объёмы таких тел   |
|                                            |равны.                        |


                                   Призма.
|Определение. Призма – многогранник,         |                              |
|составленный из двух равных многоугольников |                              |
|A1A2…An и B1B2…Bn, расположенных в          |                              |
|параллельных плоскостях, и n                |                              |
|параллелограммов.                           |                              |
|Два равных многоугольника, лежащие в        |                              |
|параллельных плоскостях, называются         |                              |
|основаниями призмы (A1A2…An и B1B2…Bn).     |                              |
|Остальные грани призмы, являющиеся          |                              |
|параллелограммами, называются её боковыми   |                              |
|гранями (AnA1B1Bn)                          |                              |
|Рёбра, не лежащие в основании призмы,       |                              |
|называются боковыми рёбрами (A1B1; A2B2 …   |                              |
|AnBn)                                       |                              |
|Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь  |                              |
|точки одного основания к плоскости другого  |                              |
|основания, называется высотой призмы (h).   |                              |
|Диагональная плоскость – плоскость,         |                              |
|проходящая через диагональ основания и      |                              |
|боковое ребро призмы.                       |                              |
|Диагональное сечение – фигура, полученная   |                              |
|при пересечении диагональной плоскости с    |                              |
|поверхностью призмы.                        |                              |
|Перпендикулярное сечение – сечение призмы   |                              |
|плоскостью, перпендикулярной её боковым     |                              |
|рёбрам.                                     |                              |
|В призму можно вписать сферу тогда и только тогда, если в перпендикулярное |
|сечение призмы можно вписать окружность, диаметр которой равен высоте      |
|призмы.                                                                    |
|Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к |                              |
|основаниям, то есть если основания служат   |                              |
|нормальными сечениями боковой поверхности,  |                              |
|то призма называется прямой, в противном    |                              |
|случае – наклонной. Высота прямой призмы    |                              |
|равна её боковому ребру. Плоские углы       |                              |
|основания являются плоскими углами          |                              |
|двугранных углов между боковыми гранями.    |                              |
|                                            |                              |
|Прямая призма называется правильной, если её|                              |
|основания – правильные многоугольники. У    |                              |
|такой призмы все боковые грани – равные     |                              |
|многоугольники.                             |                              |
|В правильную призму можно вписать сферу     |                              |
|тогда и только тогда, когда её высота равна |                              |
|диметру окружности, вписанной в основание.  |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|Площадь боковой поверхности призмы – это    |Sбок=Рп*/g/, где Рп – периметр|
|сумма площадей всех её боковых граней.      |перпендикулярного сечения, /g/|
|                                            |- длина бокового ребра        |
|Площадь полной поверхности призмы – сумма   |Sполн=Sбок+2Sосн              |
|площадей всех её граней                     |                              |
|Объём призмы. Объёмом геометрического тела  |V=Sосн*h                      |
|называется величина части пространства,     |                              |
|занимаемого этим телом.                     |                              |
|Доп. справка: в геометрии принято:          |                              |
|За единицу объёма принимают объём куба с    |                              |
|ребром единичной длины.                     |                              |
|Равные тела имеют равные объёмы             |                              |
|Объём объединения нескольких                |                              |
|неперекрывающихся (т.е. не имеющих общих    |                              |
|внутренних точек) тел равен сумме их объёмов|                              |
|                                            |                              |
|Если одно тело содержит другое, то объём    |                              |
|первого тела не меньше объёма второго       |                              |
|Теорема. Площадь боковой поверхности прямой |Sбок=Pосн*h                   |
|призмы равна произведению периметра         |                              |
|основания на высоту призмы.                 |                              |
|Частным случаем призмы является             |                              |
|параллелепипед – призма, основанием которой |                              |
|служат параллелограммы.                     |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|Основные свойства параллелепипеда:          |Противоположные грани         |
|                                            |параллелепипеда попарно равны |
|                                            |и параллельны.                |
|                                            |Все четыре диагонали          |
|                                            |параллелепипеда пересекаются в|
|                                            |одной точке и делятся ею      |
|                                            |пополам.                      |
|                                            |сумма квадратов всех          |
|                                            |диагоналей параллелепипеда    |
|                                            |равна сумме квадратов всех его|
|                                            |рёбер.                        |
|                                            |квадрат диагонали             |
|                                            |прямоугольного параллелепипеда|
|                                            |равен сумме квадратов трёх его|
|                                            |измерений.                    |
|Если все грани параллелепипеда являются     |                              |
|прямоугольниками, то параллелепипед         |                              |
|называется прямоугольным. В нём все         |                              |
|диагонали равны между собой.                |                              |
|Если боковые рёбра параллелепипеда          |                              |
|перпендикулярны основанию, то параллелепипед|                              |
|является прямым.                            |                              |
|Куб также является частным случаем призмы.  |                              |
|Куб есть прямоугольный параллелепипед с     |                              |
|равными рёбрами.                            |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|Объём параллелепипеда                       |V=S*h                         |
|Объём прямоугольного параллелепипеда        |V=abc                         |
|Объём куба                                  |V =a3                         |
|Диагональ прямоугольного параллелепипеда    |d2=a2+b2+c2, где d –          |
|                                            |диагональ, a,b,c – рёбра      |



                                  Пирамида.

                                       Слово «пирамида» в  геометрию  ввели
                                  греки,


                                       которые, как полагают, заимствовали
                                  его

                                       у египтян, создавших самые
                                  знаменитые
                                       пирамиды в мире. Другая теория
                                       выводит
                                       этот термин из греческого слова
                                       «пирос»
                                       (рожь) – считают, что греки выпекали
                                       хлебцы,
                                       имевшие форму пирамиды.
|Определение. Пирамида – это многогранник,   |                              |
|одна из граней которого – произвольный n –  |                              |
|угольник A1A2…An, а остальные грани –       |                              |
|треугольники с общей вершиной.              |                              |
|Этот n – угольник A1A2…An называется        |                              |
|основанием пирамиды.                        |                              |
|Остальные (треугольные) грани называются    |                              |
|боковыми гранями (A2PA3, …, AnPA1)          |                              |
|Общая вершина всех боковых граней называется|                              |
|вершиной пирамиды (P).                      |                              |
|Рёбра пирамиды, не принадлежащие основанию, |                              |
|называются её боковыми рёбрами (PA1, PA2, …,|                              |
|PAn)                                        |                              |
|Объединение боковых граней пирамиды         |                              |
|называется её боковой поверхностью.         |                              |
|Перпендикуляр, проведённый из вершины       |                              |
|пирамиды к плоскости основания, называется  |                              |
|высотой пирамиды (РН).                      |                              |
|Пирамида называется правильной, если её     |                              |
|основание – правильный многоугольник, а     |                              |
|отрезок, соединяющий вершину пирамиды с     |                              |
|центром основания, является её высотой.     |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|Высота боковой грани правильной пирамиды,   |                              |
|проведённая из её вершины, называется       |                              |
|апофемой этой пирамиды (РЕ). Все апофемы    |                              |
|равны друг другу.                           |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|Если в основании пирамиды лежит n-угольник, |                              |
|то пирамида называется n-угольной.          |                              |
|Треугольная пирамида называется тетраэдром. |                              |
|Тетраэдр называется правильным, если все его|                              |
|рёбра равны (т.о. все грани правильного     |                              |
|тетраэдра – равные правильные треугольники).|                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|Некоторые свойства правильной пирамиды:                                    |
|Все боковые рёбра равны между собой                                        |
|Все боковые грани – равные равнобедренные треугольники                     |
|Все двугранные углы при основании равны                                    |
|Все плоские углы при вершине равны                                         |
|Все плоские при основании равны                                            |
|Апофемы боковых граней одинаковы по длине                                  |
|В любую правильную пирамиду можно вписать сферу                            |
|Площадью полной поверхности пирамиды        |Sполн=Sбок+Sосн               |
|называется сумма площадей всех её граней.   |                              |
|Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма|                              |
|площадей её боковых граней.                 |                              |
|Площадь боковой грани                       |Sбок.гр.=1/2*m*/g/, где m –   |
|                                            |апофема, /g/ - основание грани|
|Теорема. Площадь боковой поверхности        |Sбок=1/2 * (Pосн* m), где m – |
|правильной пирамиды равна половине          |апофема, Р – периметр         |
|произведения периметра основания на апофему.|многоугольника основания.     |
|Объём пирамиды.                             |V=(1/3)*Sосн*h                |

                             Усечённая пирамида.
|Определение. Усечённая пирамида –           |                              |
|многогранник, гранями которого являются     |                              |
|n-угольники A1A2…An и B1B2…Bn (нижнее и     |                              |
|верхнее основания), расположенные в         |                              |
|параллельных плоскостях, и n                |                              |
|четырёхугольников A1A2B2B1, A2A3B3B2, …,    |                              |
|AnA1B1Bn.                                   |                              |
|Усечённая пирамида является частным случаем |                              |
|пирамиды.                                   |                              |
|Основания усечённой пирамиды – основание    |                              |
|исходной пирамиды и многоугольник,          |                              |
|полученный при пересечении её плоскостью    |                              |
|(A1A2…An и B1B2…Bn).                        |                              |
|Отрезки A1B1, A2B2, …, AnBn называются      |                              |
|боковыми рёбрами усечённой пирамиды.        |                              |
|Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь  |                              |
|точки одного основания к плоскости другого  |                              |
|основания, называется высотой усечённой     |                              |
|пирамиды (СН).                              |                              |
|Боковые грани усечённой пирамиды – трапеции.|                              |
|Усечённую пирамиду с основаниями A1A2…An и  |                              |
|B1B2…Bn обозначают так: A1A2…AnB1B2…Bn.     |                              |
|Усечённая пирамида называется правильной,   |                              |
|если она получена сечением правильной       |                              |
|пирамиды плоскостью, параллельной основанию.|                              |
|Основания правильной усечённой пирамиды –   |                              |
|правильные многоугольники, а боковые грани –|                              |
|равнобедренные трапеции.                    |                              |
|                                            |                              |
|                                            |                              |
|Высоты этих трапеций называются апофемами   |                              |
|(КК1)                                       |                              |
|Свойства усечённой пирамиды:                |Боковые рёбра и высота        |
|                                            |пирамиды разделятся секущей   |
|                                            |плоскостью на пропорциональные|
|                                            |отрезки                       |
|                                            |В сечении получится           |
|                                            |многоугольник, подобный       |
|                                            |многоугольнику, ежащеему в    |
|                                            |основании                     |
|                                            |Площади сечения и основания   |
|                                            |будут относится между собой,  |
|                                            |как квадраты их расстояний от |
|                                            |вершины пирамиды              |
|Теорема. Если две пирамиды с равными высотами пересечь плоскостями,        |
|параллельными основаниям, на одинаковом расстоянии от вершины, то площади  |
|сечений будут пропорциональны площади оснований.                           |
|Площадь поверхности усечённой пирамиды      |S=(1/2)*m*(P+P1), где m –     |
|                                            |апофема                       |
|Теорема. Площадь боковой поверхности        |Sбок=1/2*(Рв+Рн)* m, где m –  |
|правильной усечённой пирамиды равна         |апофема, Рв, Рн – периметр    |
|произведению полусуммы периметров оснований |верхнего и нижнего оснований  |
|на апофему.                                 |                              |
|Объём усечённой пирамиды:                   |V=(1/3)*h*(S1+?S1S2+S2), где  |
|                                            |S1, S2 – площади оснований.   |
|Площадь боковой грани                       |Sбок.гр.=1/2*m*(g+g1), где m –|
|                                            |апофема, g, g1 – основания    |
|                                            |боковой грани                 |



                                  Тетраэдр.
|Определение. Тетраэдр – поверхность, |                                     |
|составленная из четырёх              |                                     |
|треугольников. Любая грань может быть|                                     |
|принята за основание пирамиды.       |                                     |
|Тетраэдр является частным случаем    |                                     |
|пирамиды.                            |                                     |
|Тетраэдр состоящий из треугольников  |                                     |
|ABC, DAB, DBC, DCA обозначается так: |                                     |
|DABC                                 |                                     |
|Треугольники, из которых состоит     |                                     |
|тетраэдр, называются гранями.        |                                     |
|Стороны треугольников, из которых    |                                     |
|состоит тетраэдр, называются рёбрами.|                                     |
|Вершины треугольников, из которых    |                                     |
|состоит тетраэдр, называются         |                                     |
|вершинами тетраэдра.                 |                                     |
|Два ребра тетраэдра, не имеющие общих|                                     |
|вершин, называются противоположными. |                                     |
|Иногда выделяют одну грань тетраэдра |                                     |
|и называют её основанием, а три      |                                     |
|другие – боковыми гранями.           |                                     |
|Медианы тетраэдра – отрезки,         |                                     |
|соединяющие его вершины с центроидами|                                     |
|противоположных граней.              |                                     |
|Тетраэдр, все грани которого равны,  |                                     |
|называется равногранным.             |                                     |
|Свойства равногранного тетраэдра:    |описанный параллелепипед             |
|                                     |равногранного тетраэдра –            |
|                                     |прямоугольный                        |
|                                     |развёртка тетраэдра, полученная при  |
|                                     |разрезании его по трём сходящимся в  |
|                                     |одной вершине рёбрам, - треугольник  |
|                                     |у него имеются три оси симметрии     |
|                                     |все трёхгранные углы равны           |
|                                     |все медианы (тетраэдра) равны        |
|                                     |все высоты (тетраэдра) равны         |
|                                     |центры вписанной и описанной сфер и  |
|                                     |центроид совпадают                   |
|                                     |радиусы описанных окружностей граней |
|                                     |равны                                |
|                                     |периметры граней равны               |
|                                     |площади граней равны                 |
|Тетраэдр, в вершине которого сходятся|Для него выполняется своего рода     |
|три взаимно перпендикулярных ребра,  |«теорема Пифагора»:                  |
|называется прямоугольным             |S2=S21+S22+S23                       |
|Тетраэдр, составленный из четырёх    |                                     |
|равносторонних треугольников,        |                                     |
|называется правильным.               |                                     |
|Объём правильного тетраэдра.         |V=(a3*?2)/12                         |
|Радиус описанной сферы в правильном  |R=(a*?6)/4                           |
|тетраэдре                            |                                     |
|Высота правильного тетраэдра         |H=(a*?6)/3                           |
|Площадь поверхности правильного      |S=a2*?3                              |
|тетраэдра                            |                                     |
|Радиус вписанной окружности          |r = (a*?6)/12                        |
|правильного тетраэдра                |                                     |



                       Список используемой литературы
   1. Стереометрия 10, А. Калинин, Д. Терешин, М.,1996
   2. Геометрия 10 – 11, Л. Атанасян, М., 1994
   3. Школьная шпаргалка, О. Бекетова, С. – Петербург, 1995
   4. Математика в кармане, В. Герцев, М., 1996

-----------------------
[1] В дальнейшем под многогранником будет пониматься выпуклый.



смотреть на рефераты похожие на "Пирамида и призма "