Математика

Справочник по геометрии (7-9 класс)


[pic]



                                                                   Выполнил:
                                                            ученик 9А класса
                                                         средней школы № 135
                                                            Матвеев Евгений.
                                                       Руководитель проекта:
                                                              Очеретина Т.В.



                               Казань 2004 г.
                                  7 класс.
                                  Глава I.
                           Точки, прямые, отрезки.

Через любые две точки                                       Если две прямые
имеют общую
можно провести прямую,                                  точку, то они
пересекаются.
и притом только одну.

[pic]                                                         [pic]
Прямая а и точки А и В.

                            Прямая а и b пересекаются в точке О.

               Две прямые либо имеют только одну общую точку,
                         либо не имеют общих точек.


                                    Угол.

Угол – это геометрическая фигура,                 Угол называется
развёрнутым, которая состоит из точки и двух лучей,          если обе его
стороны
 исходящих из этой точки.                              лежат на одной
прямой.
         [pic]                                       [pic]
 Угол с вершиной О и сторонами h и k.                       Развёрнутый
угол с вершиной С

                            и сторонами p и q.


Развёрнутый угол = 180є;                                 Неразвёрнутый угол
< 180є .

Луч, исходящий из вершины угла и                  Два угла, у которых одна
общая
делящий его на два равных угла,                     сторона общая, а две
другие
называется биссектриса угла.                       являются продолжениями
одна



другой, называются смежными.
Два угла,  называются вертикальными,
если стороны одного угла являются              Сумма смежных углов = 180є.
продолжениями сторон другого.

Две пересекающиеся прямые
Вертикальные углы равны.                            называются
перпендикулярными,

если они образуют 4 прямых угла.



                                 Глава I I.
                                Треугольники.

Треугольник – геометрическая фигура,                   РАВС = АВ+ВС+СА.
кот-ая состоит из 3 точек, не лежа-
щих на 1 прямой, соединённых отрезками.
              [pic]                           В равных треугольниках против
      Треугольник  с вершинами А, В, С и            соответственно равных
сторон
      Сторонами а, b, c.                                         лежат
равные углы, также против

соответственно равных равных

углов лежат равные стороны.

Теорема: Если 2 стороны и угол            Теорема: Из точки, не лежа-
 между ними 1-го треугольника                 щей на прямой, можно провести
 соответственно равны 2 сторонам         перпендикуляр к этой, и притом
и углу между ними другого                          только один.
 треугольника, то треугольники равны.

Отрезок, соединяющий вершину треуг-       Отрезок бисс-сы угла треуг-ка,
ка с серединой противоположной сто-        соединяющий вершину треуг-ка
     роны, называется медианой треуг-ка.     с точкой противоположной сторо-
                                                        ны, называется бисс-
                                                               сой треуг-ка.
Перпендикуляр, проведённый из верши-
ны треуг-ка к прямой, содержащей          Треуг-к, у кот-го 2 стороны
равны,
противоположную сторону, называ-       называется равнобедренным.
ется высотой треуг-ка.
             [pic]                           Теорема: В равнобедренном
треуг-ке
       ВН - высота треуг-ка АВС.                    углы при основании
равны.

Теорема: В равнобедренном       Высота равнобедренного треуг-ка, про-
треуг-ке бисс-са, проведённая        ведённая к основанию, является
медианой
к основа-нию, является                   и бисс-сой.
медианой и высотой.
                                                            Медиана,
проведённая к основанию, явля-
                                                           ется высотой и
бисс-сой.



Теорема: Если сторона и 2              Теорема: Если три стороны 1го
прилежащих к ней угла 1го                  треуг-ка соответственно равны
3ём
треуг-ка соответственно рав-           сторонам другого треуг-ка, то такие
ны стороне и 2 прилежащим к         треуг-ки равны.
ней углам другого треуг-ка, то
такие треуг-ки равны.

Определение: Окружность называется геометр-ая фигура, состоя-щая из всех
точек, располож-ых на заданном расс-нии от данной точки.



                                Глава I I I.
                            Параллельные прямые.

Определение: Две прямые    Теорема: Если при пересечении 2 пря-
на плоскости параллельны,        мых секущей накрест лежащие углы рав-
если они не пересекаются.         ны, то прямые параллельны.

[pic]                   Теорема: Если при пересечении 2 пря-
Накрест лежащие – 3 и 5, 4 и 6.                    мых секущей
соответственные углы рав-
Односторонние – 4 и 5, 3 и 6.                       ны, то прямые
параллельны.
Соответственные – 1 и 5, 4 и 8,2 и 6, 3 и 7.

Теорема: Если при пересече-   Теорема: Если две параллельные пря-
нии 2 прямых секущей сумма      мые пересечены секущей, то накрест
 односторонних углов равна        лежащие углы равны.
180є, то прямые параллельны.
                                                           Теорема: Если
две прямые пересечены
Теорема: Если две парал-        секущей, то сумма односторонних углов
лельные прямые пересечены        равна 180є.
секущей, то соответствен-
ные углы равны.



                                  Глава IV.
                         Соотношения между сторонами
                           и углами треугольника.

Теорема: Сумма углов       Внешний угол треуг-ка = сумме двух углов тре-

 треуг-ка = 180є.                      уг-ка, не смежных с ним.

В любом треугольнике либо   Теорема: В треуг-ке против большей сто-
все углы острые, либо два      роны лежит больший угол, против большего
два угла острые, а третий    угла лежит большая сторона.
тупой или прямой.

В прямоугольном треуг- ке гипотенуза    Если два угла треуг-ка равны, то
больше катета.                                           треуг-к –
равнобедренный.

Теорема: Каждая сторона      Для любых 3 точек А,В,С, не лежащих на
треугольника меньше суммы      одной прямой, справедливы неравенства:
2 других сторон.                             АВ радиуса, то пря-      ности перпендикулярна к r, прове-
мая и окружность не имеют общих      дённому в точку касания.
точек.

Теорема: Если прямая проходит
Отрезки касательных к окружнос-        через конец r, лежащий на окруж-
ти, проведённые из 1ой точки, рав-        ности, и перпендикулярна к этому
ны и составляют равные углы с              r, то она является касательной.
прямой, проходящей через эту точ-
ку и центр окружности.                          Дуга является
полуокружностью.
Угол с вершиной в центре окруж-         Если дуга АВ окружности с центром
ности — её центральный угол.              О < полуокружности или является

полуокружностью, то её градусная
Сумма градусных мер 2ух дуг ок-          мера считается равной градусной
ружности с общими концами =            мере центрального угла АОВ. Если же
= 360°.                                                      дуга АВ >
полуокружности, то её
                                                                  градусная
мера считается =
Угол, вершина кот-го лежит на          = 360°–<АОВ.
окружности, а стороны пересе-
кают окружность, называется           Теорема: Вписанный угол измеряя-
вписанным углом.                                   ется Ѕ дуги, на кот-ую
он опирается.

Луч ВО совпадает с 1ой из сто-          Луч ВО делит угол АВС на 2 угла,
если
рон угла АВС.                                         луч ВО пересекает
дугу АС.

Луч ВО не делит угол АВС на 2          Вписанные углы, опирающиеся на 1 и
ту
угла и не совпадает со сторона-        же дугу, равны.
ми этого угла, если луч ВО не
пересекает дугу АС.                             Вписанный угол, опирающийся
на полу-
                                                                окружность,
-- прямой.



Теорема: Если 2 хорды ок-            Теорема: Каждая точка бисс-сы
ружности пересекаются, то            неразвёрнутого угла равноудалена
произведение отрезков 1ой                от его сторон. Каждая точка, ле-
хорды = произведению отрез-           жащая внутри угла и равноудалённая
ков другой хорды.                                 от сторон угла, лежит на
его бисс-се.

Бисс-сы 3-угольника пересека-           Серединным перпендикуляром к
отрезку
ются в 1ой точке.                                называется прямая,
проходящая через
                                                               середину
отрезка и перпендикулярная
Теорема: Каждая точка се-        к нему.
рединного перпендикуляра к
отрезку равноудалена от концов     Серединные перпендикуляры к сторо-
этого отрезка. Каждая точка,        нам 3-угольника пересекаются в 1ой
равноудалённая отконцов отрез-    точке.
ка, лежит на серединном перпен-
дикуляре.                                               Теорема: в любой 3-
угольник мож-
                                                                но вписать
окружность.
Теорема: Высоты 3-угольника
(или их продолжения) пересека-      В 3-угольник можно вписать только 1у
ются в 1ой точке.                               окружность.


Теорема: Около любого треу-      В любом вписанном 4-угольнике сумма
гольника можно онисать окруж-    противоположных углов = 180°.
ность.

Если сумма противоположных  углов 4-угольника = 180°, то около него можно
описать окружность.



                                  Глава IX.
                                  Векторы.

Физические величины, характери-      Определение: Отрезок, для кот-
зуещиеся направлением в прост-         го указано, какой из его концов счи-
ранстве – векторные.                           тается началом, а какой –
концом,
                                                                 называется
вектором.
Длина (модуль) – длина АВ.
                                                                 Длина
нулевого вектора = 0.
Нулевые векторы называются
 коллинеарными, если они лежат        Если 2 вектора направлены одинаково,
либо на одной прямой, либо на             то эти векторы – сонаправлены.
параллельных прямых; нулевой
вектор считается коллинеар-             Если 2 вектора направлены противопо-

ным любому вектору.                           ложно, то они противоположно
напра-
                                                                влены.
Определение: Векторы,
называются равными, если               От любой точки М можно отложить
они сонаправлены и их дли-              вектор, равный данному вектору г, и

ны равны.                                             притом только один.

Теорема: для любых векторов ?, ? и ? справедливы равенства:
   1. ? + ? = ? + ? (переместительный закон);
   2. ( ? + ? )+ ? = ? +( ? + ? ).

Теорема: Для любых векто-          Произведение любого вектора на число
ров ? и ? справедливо равенство:       0 есть нулевой вектор.
? – ? = ? + ( - ? ).

Для любого числа k и любого векто-    ( kl )?=k( l? ) (сочетательный
закон);
ра ? векторы ? и k? коллинеарны.       ( k+ l )?=k?+l?(1ый рспред-ный
закон);
                                                                k(?+?
)=k?+k?.

Теорема: Средняя линия тра-
пеции параллельна основаниям
и = их полусумме.



                                  9 класс.

                                  Глава X.
                              Метод координат.

Лемма: Если векторы ? и ?           Теорема: Любой вектор можно раз-
коллинеарны и ?=0, то сущес-          ложить по 2ум данным неколлинеар-
твует такое число k, что ?=k?.       ным векторам, причём коэффициен-
                                                                ты
разложения определяются един-
Каждая координата суммы 2ух         ственным образом.
векторов = сумме соответству-
ющих координат этих векторов.       Каждая координата произведения век-
                                                                тора на
число = произведению соот-
Каждая координата разности           ветствующей координаты вектора
2ух векторов = разности соот-          на это число.
ветствующих координат век-
тора на это число.                               Координаты точки М =
соответству-
                                                                ющим
координатам её радиус-вектора.
Каждая координата вектора =
разности соответствующих ко-       Каждая координата середины отрезка
ординат его конца и начала.              равна полусумме соответствующих ко-

                                                              ординат его
концов.



                                  Глава XI.
                         Соотношения между сторонами
                            и углами 3-угольника.
                           Скалярное произведение
                                  векторов.

Для любого угла ? из промежут-        tg угла ?(?=90°) называется отношение

ка 0° 0, причём а2>0 при а=0.
                       аb=bа (переместительный закон).
                 ( а+ b )с=ас+ bс (распределительный закон).
                    ( kа )b=k( ab) (сочетательный закон).


смотреть на рефераты похожие на "Справочник по геометрии (7-9 класс) "