Математика

Шпаргалка по высшей математике


1. Определители. Основные определения. Вычисление определителей третьего
порядка.
Определитель- число, характеризующее матрицу. Определителем матрицы 1-го
порядка А=(а11)  является единственный элемент этой матрицы. Определителем
2-го порядка называется число, характеризующее матрицу 2-го порядка,
которое находится по следующему правилу: из произведений элементов главной
диагонали вычитается произведение элементов второй диагонали матрицы А.
Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по правилу
Сарруса. Правило Сарруса:  определитель 3-го порядка ((3) равен
алгебраической сумме 6-ти тройных произведений элементов, стоящих в разных
строках и разных столбцах; со знаком «+» берутся произведения, сомножители
которых находятся на главной диагонали и в вершинах треугольников, чьи
основания параллельны главной диагонали, остальные слагаемые берутся со
знаком «-».

2. Свойства определителей.

1) Если к.-л. строка или столбец в матрице состоит из одних нолей, то (
этой матрицы равен 0. 2)При транспонировании матрицы её определитель не
изменяется: (А (=( А’( . 3) Если все элементы к.-л. строки или столбца
матрицы умножить на одно и то же число, то и ( этой матрицы умножится на
это же число. 4) При перестановке местами 2-х строк или столбцов матрицы её
определитель меняет свой знак на противоположный. 5) Если квадратная
матрица содержит 2 одинаковых строки или столбца, то её определитель равен
0. 6)Если 2 строки или 2 столбца матрицы пропорциональны, то её ( равен 0.
7) Сумма произведений элементов к.-л. строки или столбца матрицы и другой
строки или столбца равна 0. 8) Определитель матрицы не изменяется если к
элементам одной строки или столбца прибавить элементы другой строки или
столбца, умноженный на одно и то же число. 9)Если к.-л. столбец или строка
матрицы представляет собой сумму 2-х элементов, то ( этой матрицы может
быть представлен в виде суммы   2-х определителей.

3. Минор.

Минором Мij   квадратной матрицы n-го порядка для элемента аij  называется
определитель (n-1)-ого порядка, полученный с данного вычёркиванием i-ой
строки и    j-ого столбца.

4. Алгебраическое дополнение.

Алгебраическим дополнением Аij для элемента квадратной матрицы аij
называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)i+j .

5. Вычисление определителей любого порядка. Понятие определителя n-ого
порядка.

Определителем квадратной матрицы n-ого порядка называется число, равное
алгебраической сумме n членов, каждый из которых является произведением n-
элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки или столбца (причём
знак каждого члена определяется как (-1)r(j), где r(j)-число инверсий).
Теорема Лапласа: определитель квадратной матрицы равен сумме произведений
элементов к.-л. строки или столбца на их алгебраические дополнения.

6.  Матрицы. Основные определения.

Матрицей размера mxn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m
строк и n столбцов. Вектор-строкой называют матрицу, состоящую из одной
строки. Вектор-столбцом - из одного столбца. Матрица, у которой количество
столбцов равно количеству строк, называется квадратной матрицей     n-ого
порядка. Элементы матрицы, у которых номер строки и номер столбца
совпадает, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.
Если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, то  матрицу называют
диагональной. Если у диагональной матрицы n-ого порядка на главной
диагонали все  элементы равны 1, то матрица называется единичной и
обозначается Е. Матрица любого размера, все элементы которой равны 0,
называется нуль-матрицей.

7. Операции над матрицами.

1)Умножение матрицы на число: условий нет, умножить на число можно любую
матрицу. Произведением матрицы А на число ( называется матрица В, равная
(А, каждый элемент которой находится по формуле:    bij =( x aij. Для того,
чтобы умножить матрицу на число необходимо умножить на это число каждый
элемент матрицы. 2)Сложение 2-х матриц: условие - складывать можно только
матрицы одинакового размера. Суммой 2-х матриц А и В называется матрица
С=А+В, каждый элемент которой находится по формуле Сij=aij+bij. Для того,
чтобы сложить 2 матрицы, необходимо складывать между собой элементы,
стоящие на одинаковых местах. 3)Вычитание 2-х матриц: операция аналогична
сложению. 4)Умножение 2-х матриц: умножение А на В возможно тогда и только
тогда, когда число столбцов А равно числу строк В; произведением матрицы А
размера mxk на матрицу В размера kxn называется матрица С размера mxn,
каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки
матрицы А на соответствующие элементы   j-ого столбца матрицы В.
5)Возведение в степень: возводить в степень можно только квадратные
матрицы; целой положительной степенью квадратной матрицы Аm называется
произведение m-матриц, равных А. 6)Транспонирование: условий нет;
транспонирование-операция, в результате которой строчки и столбцы матрицы
меняются местами с сохранением порядка элемента, при этом элементы главной
диагонали остаются на своих местах.

8. Понятие обратной матрицы и алгоритм её вычисления.

Матрица А-1  называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если
при умножении её на заданную как справа так и слева получатся единичная
матрица. Теорема (необходимое и достаточн.условие сущ-я обратн.матрицы):
обратная матрица А-1  сущ-т и единственна тогда и только тогда, когда
заданная матрица не вырожденная. Матрица называется вырожденной, если её
определитель равен 0, в противном случае она – не вырожденная. Алгоритм:
1)Определитель заданной матрицы. 2)Транспонирование. 3)Алгебраические
дополнения всех элементов транспонированной матрицы. 4) Присоед.матрица А(
(на месте каждого эл-та Ат  его алгебраич.доп-я). 5) А-1= 1/(А (((. 6)
Проверка((А-1  (А=Е.

9. Ранг матрицы. Элементарные преобразования.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от 0 миноров этой
матрицы (rang A=r(A)(. Ранг матрицы не изменяется при проведении
элементарных преобразований. Преобразования: 1)отбрасывание строки или
столбца, состоящих из одних нулей; 2)умножение всех эл-ов к.-л. строки или
столбца матрицы на одно и то же число, отличное от 0; 3)изменение порядка
строк или столбцов матрицы; 4)прибавление к каждому эл-ту к.-л. строки или
столбца эл-ов др. строки или столбца, умноженных на одно и то же число, не
равное 0; 5) транспонирование матрицы.

10. Системы линейных алгебраических  уравнений. Основные определения.
Матричная форма записи.

Линейным ур-ем относительно неизвестных x1,x2,…,xn  называется выражение
вида  a1x1+a2x2+…+anxn=b, где a1,a2,…,an и  b- простые числа, причём
a1,a1,…,an называются коэффициентами при неизвестных, а b- свободным
коэффициентом. Последовательность чисел  k1,k2,…,kn называется решением ур-
я, если при подстановке этих чисел в ур-е оно обращается в верное
равенство. Два линейных ур-я называются равносильными, если их решения
совпадают. Чтобы получить равносильное ур-е из заданного, необходимо
осуществить следующие преобразования: 1) перенос слагаемых из одной части
ур-я в другую; 2) поэлементное умножение всего ур-я на одно и то же число,
отличное от ноля. Решить линейное ур-е –это значит найти все его решения
или установить, что их нет. Система  уравнений называется совместной, если
она имеет хотя бы одно решение. Система ур-ий называется определённой, если
она имеет одно единственное решение, и неопределённой, если решений
множество. Неизвестное x1 называется разрешённым, если к.-н. ур-е системы
содержит неизвестное x1 с коэффициентом, равным 1, а во все др. ур-я
системы неизвестное x1  не входит. Если каждое ур-е системы содержит
разрешённое неизвестное, то такую систему называют разрешённой. Неизвестные
СЛУ, которые не входят в разрешённый набор, называются свободными.
Разрешённая СЛУ всегда совместна, она будет определённой, если число ур-ий
равно числу неизвестных; и неопределённой, если число неизвестных больше,
чем ур-ий. Для того, чтобы определить совместна система или нет, не решая
её, можно воспользоваться теоремой Кронекера-Капелли. Матрица, эл-тами
которой являются коэффициенты при неизвестных системы, называется матрицей
системы. Матрица системы, дополненная столбцом свободных коэффициентов,
называется расширенной матрицей.

11. Правило Крамера.

Правило Крамера: пусть (А-определитель матрицы системы, а (j-определитель
матрицы, полученной из матрицы системы заменой j-ого столбца на столбец
свободных коэффициентов; тогда, если (А(0, то система имеет единственное
решение, определяемое по формуле ( Xj= (j/ (A.

12. Теорема Кронекера-Капелли.

Теорема Кронекера-Капелли: СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг
матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Система ур-ий
называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

13. Решение систем линейных алгебраических ур-ий методом Гаусса.

Метод Гаусса: каждую СЛУ при помощи конечного числа преобразований можно
превратить в разрешённую системы ур-ий или в систему, содержащую
противоречивое ур-е. Противоречивым называется ур-е вида OX1+OX2+...+OXn=b.
Если каждое ур-е системы содержит разрешённое неизвестное, то такую систему
называют разрешённой. Неизвестное x1 называют разрешённым, если к.-н. ур-е
системы содержит неизвестное x1 с коэффициентом, равным 1, а во все другие
ур-я системы неизвестное x1 не входит.

14. Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений.

Этим способом можно решить лишь те системы, в которых число неизвестных
равно числу уравнений. Алгоритм: 1)Записать матрицу системы (А); 2) Найти
обратную матрицу для матрицы системы (А-1); 3) Умножить А-1  на матрицу
свободных коэффициентов (В) ( X=A-1(B.

15. Однородная система линейных алгебраических уравнений.

Система m линейных ур-ий с n переменными называется системой линейных
однородных уравнений, если все свободные члены равны 0. Система линейных
однородных ур-ий всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере,
нулевое решение. Система линейных однородных ур-ий имеет ненулевое решение
тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных
меньше числа переменных, т.е. при rang A ( n. Всякая лин. комбинация
решений системы лин. однородн. ур-ий также является решением этой системы.
Система лин.независимых решений е1, е2,…,еk называется фундаментальной,
если каждое решение системы является линейной комбинацией решений. Теорема:
если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных
однородных уравнений меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная
система решений системы состоит из n-r решений. Поэтому общее решение
системы лин. однордн. ур-ий имеет вид: с1е1+с2е2+…+сkеk, где е1, е2,…, еk –
любая фундаментальная система решений, с1, с2,…,сk – произвольные числа и
k=n-r. Общее решение системы m линейных ур-ий с n переменными равно сумме
общего решения соответствующей ей системы однородн. линейных ур-ий и
произвольного частного решения этой системы.



1 (16).  Скалярные и векторные величины. Основные определения.

В математике используется 2 вида величин: а) скалярные – величины, которые
полностью определяются заданием их числовых значений (длина, площадь,
объём, масса и т.д.); б) векторные – величины, для полного определения
которых помимо численного значения требуются ещё и направления в
пространстве (изображаются при помощи векторов). Вектор – направленный
отрезок на плоскости или в пространстве, имеющий определённую длину, у
которого одна из точек принята за начало, а другая за конец. Координатами
вектора (а являются координаты его конечной точки. Длиной вектора (нормой)
или модулем называется число, равное длине отрезка, изображающего вектор
((a(((x2+y2(+z2)(. Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор
называется нулевым и обозначается (0. ( направление (0 произвольно, не
определено). Для каждого (а, отличного от 0, существует противоположный
-(а, который имеет модуль, равный (а(, коллиниарен с ним, но направлен в
другую сторону. Два вектора (а и(в называются коллинеарными, если они
расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Два вектора
называются равными, если они: 1)имеют равные модули; 2)коллиниарны;
3)направлены в одну сторону.

2 (17). Линейные операции над векторами. Свойства линейных операций.

1)Сложение 2-х векторов: (правило треугольников) суммой 2-х векторов (а и(в
называют вектор (с =(а +(в, начало которого совпадает с началом (а, а конец-
 с концом (в при условии, что начало (в совпадает с концом(а. 2) Сложение
нескольких векторов: (правило многоугольника) сумма 4-х векторов
(а,(в,(с,(d есть вектор(е =(а +(в +(с +(d, начало которого совпадает с
началом (а, а конец- с концом(d. (правило параллелепипеда) сумма 3-х
векторов (а,(в,(с определяется как (d =(а +(в +(с. 3)Вычитание 2-х
векторов: разностью 2-х векторов (а и (в называется сумма (а и -(в
(противоположного). 4) Суммой 2-х векторов одинаковой размерности n
называется вектор, каждая компонента которого равна сумме соответствующих
компонент   слагаемых вектора: ((  = (x +(y, (i=xi + yi   (i.
           5) Произведением (x на действительное число а называется     (в
= а(x, каждая компонента которого равна а((xi.  Cвойства лин. операций над
векторами: 1)коммутативное св-во суммы (переместительное); 2)ассоциативное
св-во суммы (сочетательное);  3)ассоциативное относительно числового
множителя:  ((( (((( ( ((((((; 4)дистрибьютивное (распределительное;
5)существование нулевого вектора, такого, что ((((((( ((( ; 6)для любого ((
существует такой противоположный  -(( , что (((((((((((((; 7)для любого ((
справедливо: (((((((.



3 (18). Векторное пространство, его размерность. Понятие Базиса.

N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n-действительных
чисел, записанных в виде (x=(x1,x2,xi,xn), где Xi-компонента (X. Два N-
мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие
компоненты: (x =(y, если xi=yi (i. Множество векторов с действительными
компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения
вектора на число, удовлетворяющее всем сво-вам суммы( коммутативное,
ассоциативные), называется векторным пространством.  Размерность векторного
пространства равна количеству векторов в базисе этого пространства.
Совокупность n-мерных векторов, рассматриваемая с определёнными в ней
операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется n-
мерным координатным пространством. Система n—мерных лин. независимых
векторов называется базисом Rn (R2-плоскость,R3-пространство), если каждый
вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом
называется совокупность всех лин. независимых векторов системы
пространства. Теорема: для того, чтобы -- 1)2 вектора на плоскости (2)3-в
пространстве) были линейно не зависимы необходимо и достаточно, чтобы они
были не  1) коллиниарны (2) компланарны). Векторы называются компланарными,
если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости. Два
вектора (а и(в называются коллинеарными, если они расположены на одной
прямой или на параллельных прямых. Теорема: если диагональная система
является частью n-мерных векторов, то она же является базисом этой системы.
Теорема: любой вектор системы векторов единственным образов разлагается по
векторам её базиса.



4 (19). Базис на плоскости. Разложение вектора по базису R.

Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом Rn (R2-
плоскость,R3-пространство), если каждый вектор этого пространства R
разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех
лин. независимых векторов системы пространства.

5 (20). Базис в пространстве. Разложение вектора по базису R.

Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом Rn (R2-
плоскость,R3-пространство), если каждый вектор этого пространства R
разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех
лин. независимых векторов системы пространства.

6 (21). Линейные операции над векторами, заданные координатами.

7 (22). Проекция вектора а на вектор b. Направляющие косинусы вектора.

8 (23). Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.

Скалярным произведением 2-х векторов (а и(в называется число, равное
произведению модулей, перемноженных на cos угла между ними: а ((в(((а ((((в
((Cos(, где (-угол(а между(в. Скалярное произведение может быть найдено
также по формуле: (а ((в =((а (( пр.а (в =((в(( пр.в (а( скалярное
произведение 2-х векторов равно произведению модуля одного из них на
проекцию на него другого вектора. Свойства скалярного произведения:
1)Переместительное ((а((в=(в ((а); 2)Сочетательное относительно числового
множителя ((((а ((в)=((а (((в); 3)Распорядительное ( ((а +(в )((с=(а ((с
((в((с); 4)Если скалярное пр-е равно 0, то либо равен 0 один из
перемножаемых векторов, любо Cos угла между ними, т.е. векторы
перпендикулярны.  Скалярное произведение само на себя равно квадрату его
модуля.

9 (24). Скалярное произведение ортов. Скалярное произведение векторов,
заданных координатами.

10 (25). Определение угла между двумя векторами.

11 (26). Условия параллельности и перпендикулярности двух векторов.

12 (27). Векторное произведение.

Векторным произведением вектора (а на вектор (в называется вектор (с,
который определяется следующим образом: 1) модуль (с численно равен площади
параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах
(с(=(а(((в( (Sin(. 2) вектор с перпендикулярен обоим перемножаемым
векторам; 3) направление вектора с таково, что если смотреть из его конца
вдоль вектора а к вектору в, осуществляется против часовой стрелки.
Геометрич. смысл векторного произведения –модуль векторн.пр-я равен площади
параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах. Если векторы
заданы в координатной форме, то их векторн. Произведение находится по
формуле: (а ((в =( i    j   k(

                                   (ax  ay  az(

                                  (bx   by  bz(.

13 (28). Свойства векторного произведения.

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак на
противоположный, сохраняя при этом свой модуль: (а ((в =((в) ((а.
2)Векторн.пр-е обладает сочетательным св-вом относительно числового
(скалярного) множителя: ((((а((в(((((а(((в((а(((((в(. 3)Векторн.пр-е
обладает распределительным св-ом. 4) Если векторн.пр-е 2-х векторов равно 0-
вектору, то либо равен 0 один из перемножаемых векторов, любо синус угла
между ними, т.е. векторы коллиниарны (параллельны). (Для того, чтобы 2
ненулевых вектора были коллиниарны необходимо и достаточно, чтобы их
векторное пр-е было равно нуль-вектору.

14 (29). Векторное произведение ортов.



15 (30). Векторное произведение векторов, заданных проекциями.

16 (31). Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения.
Геометрический смысл смешанного произведения.

Рассмотрим произведение векторов а, в и с, составленное следующим образом:
((а ((в) – векторно, а затем полученной произведение умножают на (с
скалярно. ((а ((в) ((с. Такое произведение называется векторно-скалярным
или смешанным. Оно  представляет собой некоторое число.  Скалярным
произведением двух векторов называется произведение длин двух векторов на
косинус угла между ними.  Смешанное произведение равно определителю 3-го
порядка, в строках которого стоят соответствующие проекции перемножаемых
векторов.



Свойства: 1)если внутри смешанного произведения в векторном произведении
поменять множители местами, то смешанное пр-е поменяет свой знак на
противоположный, т.е. ((а ((в) ((с = - ((в ((а) ((с;  ((а ((в) ((с =  (с (
((а ((в). 2)Для того, чтобы 3 вектора а, в и с были компланарны, необходимо
и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось 0: ((а ((в) ((с=0.
Векторы, параллельные одной плоскости или лежащие в одной плоскости,
называются компланарными.  Геометрич. смысл смешанного произведения:
состоит в том, что смешанное пр-е с точностью до знака равно объёму
параллелепипеда, построенного на этих векторах как на рёбрах.

1 (32). Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении.

Положение каждой точки на оси определяется числом, равным отношению длины
отрезка прямой от точки 0 до заданной точки к выбранной единице длины.
Положение каждой точки на вертикальной оси определяется координатой,
которая называется ордината. Координата на горизонтальной оси называется
абсцисса.  Метод координат на плоскости ставит в соответствие каждой точки
плоскости упорядоченную пару действительных чисел – координаты этой точки.
Расстояние между 2-мя точками возможно найти 2-мя путями: 1)если обе точки
лежат на одной оси, то расстояние между ними по оси ординат (или абсцисс)
равно 0, а по оси абсцисс (ординат) абсолютной величине разности между
абсциссами конца и начала отрезка +рис.; 2) если 2 точки лежат в одной
плоскости, длина отрезка равна квадратному корню из суммы квадратов
разностей соответствующих координат концов отрезков.

Деление отрезков в данном отношении: даны 2 точки М1(((((( и М2((((((.
Требуется найти внутри отрезка точку М с координатами ((;((, такую, что
отрезок М1М2 поделится точкой М в соотношении М1М/М2М=(. Найти координаты
М, удовлетворяющие данному равенству. Решение: М1М/М2М=АА1/АА2. АА1=X-X1,
AA2=X2-X. M1M/M2M=(X-X1)/(X2-X) =(. X-X1=((X2-X), X-X1=(X2-(X.
X+(X=X1+(X2(X (1+() =X1+(X2, X=X1+(X2/1+(.

2 (33). Общее уравнение прямой и его исследование.

Рассмотрим ур-е первой степени с двумя переменными в общем виде: Ax+By+C=0,
в котором коэффициенты А и В не равны одновременно нулю, т.е.А2+В2 (0.
1)Пусть В(0. Тогда ур-е Аx+By+C=0 можно записать в виде y= -Ax/B – C/B.
Обозначим k= -А/В, b= -C/B. Если А(0, С(0, то получим y=kx+b (ур-е прямой,
проходящей ч/з начало координат); если А=0, С(0, то y=b (ур-е прямой,
параллельной оси Оy); если А=0, С=0, то y=0 (ур-е оси Оx). 2)Пусть В=0,
А(0. Тогда ур-е Аx+By+C=0 примет вид x= - C/A. Если С(0, то получим x=a (ур-
е прямой, параллельной оси Оy); если С=0, то x=0 (ур-е оси Оy). Таким
образом, при любых значениях коэффициентов А, В (не равных одновременно
нулю) и С ур-е Ax+By+C=0 есть ур-е некоторой прямой линии на плоскости Оxy.
Это ур-е называется общим ур-ем прямой. Ур-е прямой, заданное  в общем
виде, не даёт представления о расположении прямой на плоскости, но из него
легко находятся все основные хар-ки прямой: 1)k= -A/B; 2)начальная ордината
b= - C/B; 3) отрезки, отсекаемые прямой на осях ординат: Ax+By+C=0    /((-
C)

                                         -Ax/C-By/C=1

                                          a= - C/A; b= - C/B.

3 (34). Уравнение прямой, проходящей через точку М (x, y) перпендикулярно
нормальному вектору n (A, B).

4 (35). Уравнение прямой, проходящей через точку М (x, y) параллельно
направляющему вектору q (l, m).

5 (36). Уравнение прямой, проходящей через две точки         М 1(x1, y1)
М2 (x2, y2).

Это ур-е является частным случаем ур-я пучка прямых. Прямая задана 2-мя
лежащими на ней точками М1 (x1;y1)  и M2(x2;y2), x1(x2, y1(y2(при равенстве
- применение ур-япрямой, проход.ч.з 2 точки, невозможно). Для составления
ур-я прямой М1М2 необходимо ур-е пучка прямых, проходящих ч/з точку М1: y-
y1=k(x-x1). Т.к. точка  M2(x2;y2) лежит на данной прямой, то чтобы выделить
её из пучка, подставим в ур-е пучка прямых координаты М2 и найдём угловой
коэффициент: k=y2-y1/x2-x1.

Теперь ур-е прямой, проходящеё через 2 заданные точки, примет вид: y-y1=(x-
x1) ( y2-y1/x2-x1( y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1.

(др. способ: после ур-я углового коэф-та вывожу: tg (=M2(N/M1(N, M2N=y2-y1;
M1N=x2-x1( tg (=K=y2-y1/x2-x1. Подставим это ур-е в ур-е пучка прямых: y-
y1=(x-x1)(y2-y1/

/x2-x1     ((( y2-y1)( y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1. )



6 (37). Уравнение прямой в отрезках.

Прямая задана отрезками, которые она отсекает на осях координат. Найду ур-е
прямой по заданным отрезкам а(0 и b(0, отсекаемым на осях координат.
Используя ур-е прямой, проходящей через точки А(а;0) и В(0;b) - y-y1/y2-
y1=x-x1/x2-x1—ур-е прямой в отрезках примет вид: y-0/b-0= x-a/0-a  или:
-ay= b(x-a),                              -ay-bx+ab=0  ((ab; -y/b-x/a+1=0
(((-1);

x/a+y/b=1.  А-отрезок, отсекаемый на оси Оx; В-отрезок на оси Оy. Тогда
прямую можно определить как прямую, заданную двумя точками(A(a;b) на осиOx
и B(0:b) на оси Oy. Подставив координаты этих точек в ур-е прямой,
проходящей через две заданные точки, получим ур-е прямой в отрезках.

7 (38). Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Угловой коэффициент прямой- одна из характеристик расположения прямой на
плоскости; её наклон относительно оси Оx (за угол наклона принимается ((,
отсчитываемый от оси Оx против движения  часовой стрелки до этой прямой);
tg угла наклона этой прямой к оси Оx. Если k((, то ( -острый; если  (=0, то
k=0, прямая параллельна оси Оx; если (=90(, то прямая параллельна оси Оy, k-
не существует. Пусть положение прямой в прямоугольной системе координат
задано величиной отрезка, отсекаемого этой прямой на оси Оy и k этой
прямой.  Возьмём произвольную точку М ((;(). Тогда tg угла ( наклона прямой
найдём из прямоугольного треугольника МВN: tg ( = MN/NB= y-b/x. Введём
угловой коэффициент прямой k=tg (; получим k=y-b/x. y=kx+b  -  ур-е прямой
с угловым коэффициентом. В зависимости от величин k и b возможны следующие
варианты расположения прямой: 1) при в(0, прямая пересекает ось Оx выше
начала координат; при в(0, прямая (  Оx ниже начала координат. 2)при k(0,
прямая образует острый угол  с Оx; при k(0,-тупой угол; при k=0-параллельна
оси Оx; при k=(-перпендикулярна Оx.

8 (39). Уравнение прямой, проходящей через данную точку   М (x, y) с данным
угловым коэффициентом k.

9 (40). Нормальное уравнение плоскости.

Нормальное ур-е плоскости: x(Cos () +y(Cos ()+z(Cos ()+(=0, где Cos (, Cos
(, Cos (-направляющие Cos –сы нормального вектора; (-расстояние от начала
координат до плоскости. Общее ур-е приводится к нормальному виду путём
умножения на нормирующий множитель.

10 (41). Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

1)Если прямые параллельны, то они образуют с осью OX одинаковые углы.
Поэтому угловые коэф-ты k1 и k2 этих прямых равны. Обратно, если  k1= k2,
то углы наклона прямых  к оси OX одинаковы, откуда следует, что данные
прямые параллельны. Условием параллельности 2-х прямых яв-ся равенство их
угловых коэффициентов. 2)Формула tg(=k2-k1/1+k1k2 определяет угол ( между
пересекающимися прямыми через tg(. Если (=90, то эта формула оказывается
неприменимой, т.к. tg=90 не существует. Если прямые взаимно
перпендикулярны, то (2=(1+90, откуда tg(2= tg ((1+90)= -Сtg(1. tg(2= - 1/
tg(1. Заменяя tg(1 и Сtg(2 через k1 и k2, находим: k2= 1/ k1 или 1+ k1k2=0.
Обратно, пусть k2= 1/ k1, это значит, что tg(2= -1/tg(1 откуда получаем
(2=(1+90. Следовательно, угол между двумя данными прямыми равен 90, т.е.
прямые взаимно перпендикулярны. Условие перпендикулярности 2-х прямых
состоит в том, что угловые коэф-ты этих прямых обратны по абсолютной
величине и противоположны по знаку:  k2= -1/ k1.

11 (42). Угол между прямыми.

Угол ( между 2-мя параллельными прямыми равен 0, тогда tg(=0; с другой
стороны, из условия параллельности, т.е. из равенства k1= k2, следует, что
k1- k2=0 и по формуле tg(=k2-k1/1+k1k2-угол между 2-мя пересекающимися
прямыми-получаем:  k1-k2/1+k1k2=0.

12 (43). Плоскость в пространстве. Виды уравнений плоскости.

Существуют следующие виды ур-ий плоскости: 1) Общее ур-е плоскости:
Ax+By+Cz+D=0, где (n=(A,B,C)- нормальный вектор плоскости. 2) ур-е
плоскости, проходящей через точку М1(x1;y1;z1) перпендикулярно вектору
(n=(A,B,C): A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0. 3)Ур-е плоскости в отрезках:
x/a+y/b+z/c=1, где  a,b,c-величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях
координат. 4)Нормальное ур-е плоскости: x(Cos () +y(Cos ()+z(Cos ()+(=0,
где Cos (, Cos (, Cos (-направляющие Cos –сы нормального вектора; (-
расстояние от начала координат до плоскости. Общее ур-е приводится к
нормальному виду путём умножения на нормирующий множитель. 5)Ур-е
плоскости, проходящей через три заданные точки: М1(x1;y1;z1), М2(x2;y2;z2),
М3(x3;y3;z3).

(x-x1      y-y1      z-z1(

(x2-x1   y2-y1   z2-z1( =0.

(x3-x1   y3-y1   z3-z1(

13 (44). Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

14 (45). Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой в пространстве.

Взаимное ур-е 2-х прямых в пространстве: а) пусть прямые заданы своими
канонич.ур-ями: x-x1/L1=y-y1/m1=z-z1/n1,

x-x2/L2=y-y2/m2=z-z2/n2; где (q 1(L1;m1;n1), (q2 (L2;m2;n2)- направляющие
векторы. Тогда прямые параллельны, если параллельны их направляющие
векторы:(q1 (((q2 ( L1/L2=m1/m2=n1/n2.  б) пусть прямые заданы аналогично
случаю а). Две прямые ( тогда и только тогда, когда их направляющие векторы
перпендикулярны ((q1((q2).

L1L2+m1m2+n1n2=0.  Существуют следующие виды ур-ий прямой в пространстве:
1)Общее ур-е прямой: прямая задаётся как линия пересечения 2-х плоскостей.

(A1x+B1y+C1z+D1=0

(A2x+B2y+C2z+D2=0, где А1, В1,С1-непропорциональные коэффициентам А2, В2,
С2.

2)Ур-е прямой, проходящей через две точки (выводится аналогично ур-ю прямой
на плоскости):

x-x2/x2-x1=y-y2/y2-y1=z-z2/z2-z1.

3)Каноническое уравнение прямой в пространстве (ур-е прямой, проходящей ч/з
заданную точку М0 (x0;y0;z0), параллельно направляющему вектору (q
(l;m;n)):

x-x0/l=y-y0/m=z-z0/n.

4)Параметрическое ур-е прямой: прямая задаётся при помощи точки, лежащей на
прямой, и направляющего вектора. М0(x0;y0;z0), (q (l;m;n).   (x=x0+lt

                                                        (y=y0+mt

                                                        ( z=z0+nt, t-
параметр.

5)Угол между 2-мя прямыми в пространстве – это, практически, угол между их
направляющими векторами:

Cos(=L1L2+m1m2+n1n2/( L12 +m12+n12  (( L22+m22+n22 .

15 (46). Взаимное расположение прямой и плоскости.

1)Угол между прямой и плоскостью вычисляется по формуле:
Cos(=(Al+Bm+Cn(((A2+B2+C2  ((l2+m2+n2. Где l, m, n- координаты
направляющего вектора прямой; A, B, C- координаты (n. В этом случае прямая
может быть задана каноническим или параметрическим ур-ем прямой, а
плоскость – общим. 2)Прямая и плоскость в пространстве параллельны: тогда и
только тогда, когда скалярное произведение направляющего вектора прямой и
нормального вектора плоскости равно 0. (n(A,B,C)(q (l;m;n)( Ax+By+Cz+D=0
(общее ур-е плоскости); x-x0/l=y-y0/m=z-z0/n. Т.к. (n ((q=0 (Al+Bm+Cn=0.
3)прямая и плоскость в пространстве перпендикулярны: тогда и только тогда,
когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарные
(параллельны). Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их
векторное произведение равно 0 или координаты пропорциональны. Т.к. (n
((q=0, А/l=B/m=C/n. 4)условия, при которых прямая принадлежит плоскости:
а)скалярное произведение(n ((q=0, т.е. Al+Bm+Cn=0; б) при подстановке
координат точки, лежащей на прямой, в общее ур-е плоскости получается
верное равенство( Ax0+By0+Cz0+D=0

                                  (x=x0+lt,

                                  (y=y0+mt,

                                  (z=z0+nt (параметрич. ур-е прямой).

5)точка пересечения прямой и плоскости: для того, чтобы найти координаты
точки пересечения прямой и плоскости в пространстве, необходимо совместно
решить систему, составленную из ур-ий: x-x0/l=y-y0/m=z-z0/n (канонич. ур-е
прямой), Ax+By+Cz+D=0 (общее ур-е плоскости). Для того,чтобы решить такую
систему необходимо перейти от канонич. ур-я к параметрическому:
                         (x=x0+lt,

(y=y0+mt,

(z=z0+nt (параметрич. ур-е прямой)

( Ax+By+Cz+D=0.

16 (47). Кривые второго порядка. Окружность.

Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени
относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где A, 2B, C, 2D, 2E, F- действительные числа.
Кроме того, по крайней мере, одно из этих чисел (0. Окружность-множество
точек, равно удалённых от данной точки (центра). Если обозначить через R
радиус окр., а через С(x0,y0) –центр окружности, то исходя из этого
определения :



Возьмём на окр. произвольную точку М (x,y). По определению, расстояние СМ=
R. Выражу СМ ч/з координаты заданных точек: СМ =( (x-x0)2+(y-y0)2  = R
(R2=(x-x0)2+(y-y0)2  -ур-е окр. С центром в точке С(x0,y0). Это ур-е
называется нормальным ур-ем окружности. Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0-ур-е
второй степени с 2-мя переменными в общем виде. Ax2++Cy2 =(-кривая второго
порядка, где А,В,С не равны 0 одновременно, т.е. А2+В2+С2(0. x2+y2-2x0x-
2y0y+x02+y02-R2=0; B=0, A/1=C/1(A=C(0 (т.к. A2+B2+C2(0, B=0). Получаем ур-
е: Ax2+Ay2+Dx+Ey+F=0- общее ур-е оркужности. Поделим обе части этого ур-я
на А(0 и, дополнив члены, содержащие x,y, до полного квадрата, получаем:
(x+(D/2A))2+(y+(E/2A))2=(D2+E2-4AF)/4A2. Cравнивая это ур-е с нормальным ур-
ем окр., можно сделать вывод, что ур-е: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0-ур-е
действительной окружности, если:1)А=С; 2)В=0; 3) D2+E2-4AF(0. При
выполнении этих условий центр окр. расположен в точке О(-D/2A;-E/2A), а её
радиус R=(D2+E2-4AF/2A.

17 (48). Кривые второго порядка. Эллипс.

Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени
относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где A, 2B, C, 2D, 2E, F- действительные числа.
Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел (0. Эллипс (кривая
эллиптического типа) - кривая 2-го порядка, где коэффициенты А и С имеют
одинаковые знаки.



18 (49). Кривые второго порядка. Гипербола.

Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени
относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где A, 2B, C, 2D, 2E, F- действительные числа.
Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел (0. Кривая 2-го порядка
называется гиперболой (или кривой гиперболического типа), если коэффициенты
А и С имеют противоположные знаки, т.е. АС(0. Кривые 2го порядка
описываются с помощью общего ур-я:

Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где

[pic]

а) Каноническое ур-е параболы: y2=2px или y=ax2


19 (50). Кривые второго порядка. Парабола.

Кривой 2-го порядка называется линия, определяемая уравнением 2-ой степени
относительно текущих декартовых координат. В общем виде ур-е принимает вид:
Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0, где A, 2B, C, 2D, 2E, F- действительные числа.
Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел (0.



-----------------------
2)




смотреть на рефераты похожие на "Шпаргалка по высшей математике "