Математика

Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ)


Кольцом называется числ. множ.  На котором выполняются три опер-ии: слож,
умнож, вычит.

Полем наз. Числ множ. На котором выполняются 4 операции: слож, умнож,
вычит, деление(кроме деления на 0).


Впопрос 1.

Система натуральных чисел. Принцип мат. Индукции.
Аксиомы Пиано: 1.В N cущ. ! элем. a’  непосредст. следующий за а. 2.Для люб-
го числа а из N сущ-т ! эл-т а’ непосредственно следующий за а. 3. Для  люб.
элем-та из N  сущ. не более  1  эл-та  за  которым  непосредственно  следует
данный эл-т. 4. Пусть М ? N и выполн-ся: 1. 1€ М  2. если а€М  след-но  а’€M
тогда М=N
опр:  Любое  множество  N  для   эл-тов   которого   установлено   отношение
‘непосредственно  следовать   за’   удавлет-щее   аксиомама   Пиано   наз-ся
множеством натуральных чисел.
Алгебр-ие операц-и на N: 1. Сложение – это алг. опер-я определенная на  N  и
обладающая свойствами: 1.(для люб.  а)  а+1=а’  2.  (для  люб.  а,b)   a+b’=
(a+b)’  (a+b-сумма, а,b -слогаемые) Т.Сложение  нат.  чисел  сущ  и  !.   2.
Умножение: 1. для люб а а*1=а 2. для люб а,b   a*b’=ab+a  T/  Умножение  нат
чисел сущ. и !.
Свойства сложения: 1. для люб. а,b^N a+b=b+a (комут-ть) 2. Длб люб.  a,b,c^N
(a+b)+c=a+(b+c) (ассац-ть)
Свойства  умнож-я:  1.(Для  люб.  а,b^N)  ab=ba  2.  (для  люб.  a,b,c   ^N)
(ab)c=a(bc) 3.(a,b,c^N) a(b+c)=ab+ac
Операции вычитания и деления  лишь  частично  выполняются  на  N.  Отношение
порядка на N: На N введем отношение ‘<’ cледующим образом: ab.)  3Сложение  монотонно  на  N  4.   Умножение
монотонно.  5.  N  бесконечное  и  ограниченное  снизу  еденицей.  6.  Любое
непустое подмножество множ. N содержит наименьший эл-т.  7.  N  дискретно  8
Выполняется принцип Архимда (Va,b^N) (сущ. n^N) a*n>b



Вопрос 2.
Простые числа. Беск-ть мн-ва простых чисел. Канонич. разложение составного
числа и его !.
Всякое число р€N, р>1 не имеющее др. натур-х делит-й, кроме 1  и  р,  наз-ся
простым. Всякое число р€N?1 и не явл-ся простым, наз-ся составным.  Число  1
не явл-ся ни простым, ни сост-м. Мн-во N можно разбить на:  простые,  сост-е
и 1. Св-ва: 1. Наим-й делитель всякого нат-го числа есть число  простое.  2.
Нат-е число n и простое число р либо взаимнопростые, либо р|n.  3.  Если  р-
простое и р|a1*a2*…*an , то р|a1 или р|a2 …или р|an. 4. Если р|р1*р2*…*рn  и
р, р1, р2… рn – простые числа, то р=р1 или р=р2 или… р=рn.
Наим-й простой делитель нат-го числа n не превос-т ?n. Док-во: пусть р-наим-
й простой дел-ль n. Покажем р??n. р|n => n=р*q (1), р?q. Заменим в (1) q  на
р: n?р2, т.к. р2?n, р??n. +
Всякое нат-е число n>1 либо  явл-ся  простым,  либо  м.б.  предст-а  в  виде
произв-я простых множ-й n=р1*р2*…*рr, r?1 (1) и (1) явл-ся ! с точностью  до
порядка следования множ-й. (1) наз-ся разл-м числа  n  на  простые  множ-ли.
Док-во: 1. док-во сущ-я предст-я (1): Если n –число простое, то +. Пусть  n-
сост-е и р1 его натур-й дел-ль. Как было док-но р1  число  простое  и  можно
записать: n=р*n1, где р?n1. Если n1 число  простое, то +;  если  n1  сост-е,
то р2 – его наименьший простой делитель. n1=р2*n2, n=р1*р2*n2. Если n2 сост-
е, то рассуждаем аналог. Это можно прод-ть  пока  не  придем  к  какому-либо
ns=1. То, что после конечного числа шагов такое ns  должно  получ-ся  =>  из
того, что n>n1>n2>…>ns мн-во нат-х чисел,  т.е.  все  эти  числа  меньше  n.
Итак, через конеч-е число шагов число n можно пред-ть в виде (1). 2.  Док-во
!: Предпол-м, что сущ-т 2 разлож-я числа n на простые  множ-ли  n=p1*p2*…*pr
и n=q1*q1*…*qs, где р1, …рr, q1,…qs простые числа.  p1*p2*…*pr=  q1*q2*…*qs.
Нужно показ-ть r=s. Левая часть делит-ся на р1 => на р1  делит-ся  и  правая
часть. Учит-я, что в правой части стоят также простые числа, то по  свойству
простых чисел р совпадает с одним из них. Пусть р1=q1, тогда  после  сокращ-
я: p2*…*pr= q2*…*qs. Аналог. рассуж-я, убеждаемся, что р2 совп-т с одним  из
множ-й q. Пусть р2=q2, после сокр-я: p3*…*pr= q3*…*qs и т.д. Предпол-м,  что
r?s. Пусть r  считать  закон-м
как только найдено число >?m.



Вопрос 3.
Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком. НОД и НОК двух чисел.
На N вып-ы опер-и “+” и “*”, но опер-я “-” вып-ся частично, т.е. ур-е  а+х=в
в N не всегда разреш-о. Это одна из причин разширения N. При расщ-и одной с-
ы чисел до др-й должны вып-ся несколько треб-й: 1) NЄZ. 2) +,*  должны  вып-
ся в Z, причем рез-ы опер-й для чисел из N в N и Z должны совп-ть. 3) +,*  -
комут-ы, ассоц-ы и связ. дистр-м законом. 4) в Z должна вып-ся  опер-я  “-”.
т.е. ур-е а+х=в одноз-о разрешимо в Z для люб-х  а,вЄZ.  5)  Z  должно  быть
миним. расш-м из всех расш-й мн-ва N облад-е св-ми 1-4.
Число в делит а, если сущ-т qЄZ, что а=b*q. Отношение  “b  делит  а”  наз-ют
отношением   делимости   и   зап-т   b|а.   Св-ва:    1)    (Ґа)(а|a).    2)
(Ґa,b,c)(a|b^b|c=>a|c). 3) (Ґа)(а|0). 4) (Ґа)(0?a).  5)  (Ґа)(1|a^-1|a).  6)
a|b^b|a=>          b=±a.          7)          (Ґx)(а|b=>a|b*x).           8)
(Ґx1,x2,…xr)(b|a1^b|a2…^b|ar=>b|(x1a1+x2a2+…+xrar)).9)(Ґа,b)(b|a=>|b|<|a|).
10) (Ґа,b)(b|a^a>0^b>0=>bb|(-a)=>(-b)|a.
Теорема о делении с остатком. Разделить целое число a  на  bЄZ,  это  значит
найти 2 таких q и rЄZ, что a=b*q+r (1)  0?r<|b|,  q-  неполное  частное,  r-
остаток. (Ґa,bЄZ^b#0 сущ-т !q, r, что a=b*q+r, 0?r<|b|). Док-во: 1)  Возм-ть
дел-я с ост-м. 2 случая: 1. aЄZ, b>0,  т.е.  bЄN.  Рассм.  всевоз-е  кратные
числа b.Пусть b*q наиб. кратные числа b не превыш-е a,  т.е.  b*q?a0, т.е. –bЄN и имеем случай 1. т.е. сущ-
т q,rЄZ, что a=(-b)*q+r, 0?r<|-b| => a=b*(-q)+r,  0?r<|b|.  2)  !-ть  дел-я.
Пусть деление a на b не !, т.е. сущ-ют 2  неполных  частных  q1,  q2  и  два
остатка  r1,   r2,   тогда   a=b*q1+r1,   0?r1<|b|,   a=b*q2+r2,   0?r2<|b|.
b*q1+r1=b*q2+r2; b*(q1-q2)=r2-r1 => b|(r2-r1). Но т.к. 0?r1<|b|  и  0?r2<|b|
=> |r2-r1|<|b|.  b|(r2-r1)^ |b|>|r2-r1| => r2-r1=0. т.е. r1=r2, но  и  тогда
q1=q2.+ Следствие. ҐaЄZ^bЄN сущ-т !q, r, что a=b*q+r, 0?r с|d.
Алгоритм Евклида. Пусть Ґa,bЄZ, b#0.  т.к.  отнош-е  делимости  сохр-ся  при
измен-и знаков чисел, то НОД(a,b)=НОД(a,-b). Поэтому  огран-ся  случ-м  aЄZ,
bЄN.  Делим  a  на  b  c  остатком  a=b*q+r1.  Если  r1=0,  т.е.  a=b*q,  то
НОД(a,b)=b. Пусть r#0, 0НОД(a/m,b/m)=(НОД(a,b))/m.  Числа
а1,а2,…аr наз-ся  взамно-простыми  числами,  если  НОД(а1,а2,…аr)=1.  Всякое
целое число, кот. делится и на a, и на b, наз-ся  общим  кратным  делителем.
Наим.  из  всех  натур-х  ОК  наз-ся  НОК.  Св-ва  НОК:  1.   НОК(a,b)=   их
произведению, деленному на НОД. 2. Совокуп-ть ОК 2-х чисел совп. с  совокуп-
ю кратных их НОК. 3. Числа (НОК(a,b)/a) и  (НОК(a,b)/b)  взаимно-просты.  4.
Если a,b вз.-пр., то НОК(a,b)=a*b. 5. (ҐmЄN) НОК(a*m,b*m)=НОК(a,b)*m.
Нахождение НОД и НОК Чтобы найти НОД нужно взять произведение общих  простых
множ-й, вход-х в канонич-е разлож-е этих чисел, причем каждый такой  простой
множ-ль нужно взять с наим. показ-м.  НОК  тоже  самое,  но  каждый  множ-ль
взять с наиб. показ-м.



Вопрос 4.
Система рацион-х чисел.
Если рассм. мн-во Z, то в Z ур-е a*x=b  не  всегда  разрешимо.  =>  расшир-е
кольца целых чисел до поля Q-рац-х чисел. (Др. причина – измерение  отрезков
не всегда  выр-ся  целым  числом).  При  этом  должны  вып-ся  усл-я:  1.  Z
подкольцо кольца Q. 2. ур-е a*x=b, a#0 одноз-но разреш. Ґa,bЄQ. 3. Q  должно
быть миним. расш. с-ы Z. С-а Q явл-ся полем, кот. наз-ся поле рац-х чисел.
Рассм. мн-во Q={p/q| pЄZ,qЄN}. на мн-ве дробей рассм. отнош.  равносильности
“~”: p/q~k/l ( p*l=k*q. Покажем, что это  отнош-е  эквивал-ти.  1.  a/b~a/b.
т.к. a*b=a*b (рефл-ть). 2. a/b~c/d => c/d~a/b (сим-ть). Проверим  a/b~c/d  (
a*b=b*c => c*b=d*a ( c/d~a/b. 3. a/b~c/d ^  c/d~e/f  =>  a/b~e/f  (тран-ть).
a/b~c/d  ^  c/d~e/f  =>  a*d=c*b  ^  c*f=d*e  =>  a*d*c*f=c*b*d*e.   a*f=b*e
=>a/b~e/f. Если с=0, то все 3 др. 0, т.е. равн-ы. Отнош-е равн-ти  дроби  на
Q явл-ся отнош-м экв-ти => равнос-е дроби также явл-ся эквив-ми.
Св-во экв-х дробей: 1. a/b~(a*c)/(b*c) c#0. Всякому отнош-ю эквивл-ти  соот-
т разбиение на классы экв-ти. Класс эквив-х дробей наз-ся рац-м числом. Рац-
е число хар-ся Ґ из своих представителей. Дроби, вход-е  в  один  и  тот  же
класс пред-т ! рац-е  число  =>  считаются  равными.  p/q,  где  q?0  наз-ся
несократ-й записью, если НОД(a,b)=1. Для Ґ положит-го q  сущ-т  !  запись  в
виде несократ-й дроби. Введем на Q отнош-е «меньше» так, что q0.
Легко  видеть,  что  отн-е  «<»  явл-ся  отн-м  строгог  порядка,  т.е.  оно
антиреф.,  антисим.,  транзит.  И  явл-ся  отнош-м  линейного   порядка,т.е.
Ґq1,q2ЄQ вып-ся ! из: q1q2. Можно показ-ть, что  для  отнош-я
«<» вып-ся монот-ть сложения и монот-ть умнож-я:  1.  (Ґq1,q2,cЄQ)(q1
q1+c0 => q1*c0.  Найдем:  q2*c-q1*c=c*(q2-q1)>0  (т.к.c>0,  q2-q1>0).  q2*c-
q1*c>0 => q1*c--->>N.  Q-полтно,
т.е. что между Ґ 2 пац-ми числами нах=ся беск-но  много  рац-х  чисел.  4.Q-
поле рац-х чисел. 5. Поле Q явл-ся лин.-упор-м полем.
При обращ-и обыкнов-й несокр-й a/b  в  десят-ю  возм-ы  случаи:  1)  Если  в
разлож. знамен. b на простые множ-ли встреч-ся только 2 или  5,  то  несокр.
дробь a/b обращ-ся в конеч. дес-ю. 2) Если НОД(b,10)=1, то  a/b  представима
в виде бескон-й чисто период-й десят-й  дроби.  3)  Если  в  разлож-и  b  на
простые множ-ли кроме 2 и 5 встреч-ся  другие  числа,  то  дробь  обращся  в
смешан-ю период-ю десят-ю дробь.


Вопрос 5.
Поле комплексных чисел(к.ч.). Геом-е  предс-е  к.ч.  и  операции  над  ними.
Тригон-я форма к.ч.
Х1+1=0 (1) не разрешимо в R – причина расширения с-ы R до с-ы чисел, в  кот-
й (1) имело бы реш-е. В кач-ве строит-го матер-ла можно взять  точки  плоск-
ти: M={(a,b)|a,bЄR}. Т.к. точки плос-т нам не приход-сь умн-ть  и  склад-ть,
то опер-ции над ними можно задать так,  чтобы  мн-во  было  полем,  содерж-е
поле  R   и   в   кот-м   (1)   имело   бы   реш-е:   (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d);
(a,b)*(c,d)=(a*c-b*d,a*d+b*c) и (a,b)=(c,d) ( a=c ^ b=d. Можно  док-ть,  что
слож-е и умнож-е комут-ы, ассоц-ы и связ-ы дист-м законом.  Для  них  вып-ся
обратные  опер-ции:  вычит-е,  делен-е,   кроме   дел-я   на   0,т.е.   ур-я
(c,d)+(x,Y)=(a,b) и (c,d)*(x,y)=(a,b),  где  (c,d)?(0,0)  одноз-но  разр-мы.
Нейтр-й Эл-т относ-о слож-я: 0=(0;0). Нейтр-й Эл-т отн-о  умнож-я:  1=(1;0).
1) С-а M=(M,0,1,+,-,*) поле. 2) M явл-ся расш-м поля R, т.е. R’  содер-ся  в
M изоморф-е полю R.  R’={(a,0)|aЄR}.  R’-подполе  поля  M,  т.е.R’  замкнуто
относ-о всех опер-й кольца и Ґ эл-а ?0 из R’ обратный Эл-т также ЄR’.  3)  R
изоморфно R’. Можно уст-ть биект-е отобр-е: ?:R   R’; ?: a   (a,0) и  вып-ся
2 усл-я: образ суммы двух эл-в = сумме образов,  образ  произв-я  2  эл-в  =
произв-ю образов. С – поле к.ч.  Покажем,  что  (1)  разреш.  Возьмем  точку
i=(0,1): (0,1)*(0,1)=(-1,0)?-1. i – корень ур-я (1), мнимая единица,  расп-я
на  ОУ.  Запись:  (a,b)=a+b*i  алгеб-я,  ?=|?|*(cos?+i*sin?)   триг-я,   где
|?|=[pic]; cos?=a/|?|; sin?=b/|?|. 1. Чтобы умнож-ть 2 к.ч. в  триг-м  виде,
нужно переем-ть их модули и сложить аргументы (углы).  2.  Разд-ть  2  к.ч.:
разд-ть их модули и вычесть аргум-ы. 3. Чтобы возвести к.ч. в целую  полож-ю
степень, нужно воз-ти в эту степень модуль и аргумент умнож-ть  на  показ-ль
степени. 4. Чтобы извлечь из к.ч. корень n степени нужно извлечь  корень  из
модуля и (аргумент +2Пк)/n, где  кЄZ.  Придавая  к  разл-е  знач-я,  получ-т
серии повтор-ся знач-й, т.е. к=0,1,…n-1.


Вопрос 6.
Мн-ны от одной переменной.
Пусть А=(А,0,1,+,-,*) – обл-ть  целостности.  Построим  с  пом-ю  его  новое
комут-е кольцо A[x], основанное на мн-ве,, которое  есть  мн-во  бесконечных
послед-й,  облад-х   св-м:  в  них  лишь  конечное  число  коэф-в  ?0,  т.е.
A[x]={(a0,a1,…)|a0,a1,…ЄA},  ai?0  конеч-е  число.  Такие   посл-ти   наз-ся
полиномами от 1 неиз-го. Равенство полиномов и  операции  над  ними  опре-ся
так:    1.    (a0,a1,…)=(b0,b1,…)    (    a0=b0    и    a1=b1     и….     2.
(a0,a1,…)+(b0,b1,…)=(a0+b0, a1+b1…). 3.  (a0,a1,…)*(b0,b1,…)=(a0b0,  a1b1…).
4.  0=(0,0,0,…).  5.  1=(1,0,0,…).  6.  -(a0,a1,…)=(-a0,   -a1…).   Нетрудно
проверить: 1) с-а (A[x],0,+,-) аддитивная абелева группа, 2)  с-а  A[x],1,*)
– мультипликативный моноид, 3) + и *  связаны  дистрибутивным  законом.  С-а
A[x]=(A[x],0,1,+,-,*)  –  комут-е  кольцо.  Другой  вид   записи   полинома:
f(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm. Слагаемые в  записи  f(x)  наз-ся  одночлекнами,  а
f(x) наз-ся мн-м от 1 неизв-го. Эл-ы аЄА наз-ся мн-ми нулевой  степени.  Св-
ва.  Пусть  А  –  обл-ть  целостности.  Кольцо  полиномов  от   1   неизв-го
A[x]=(A[x],у, 1,+, -,*) – обл-ть  целостности.  =>  Если  степень  f(x)=n  и
степень g(x)=m =>  степень  f(x)g(x)=n+m.  Пусть  А  –  обл-ть  целостности.
Делителем единицы кольца полиномов A[x] явл-ся делители единицы кольца А.  В
обл-ти цел-ти A[x] других делителей единицы нет.
Рассм-м кольцо мн-на Р[x] над полем Р. Мы знаем, что Ґ числов-е поле  явл-ся
обл-ю целостности с бескон-м числом эл-в. В кольце полиномов Р[х] теорема  о
делении с остатком имеет место для Ґf(x), g(x)ЄP[x], что g(x)?0.  Мн-н  f(x)
делится на мн-н  g(x)?0,  если  сущ-т  мн-н  n(x)ЄP[x],  что  f(x)=g(x)n(x).
Деление не всегда будет выполнимо  в  кольце  Р[x].  Св-ва.  1.  Ґf(x)ЄP[x],
f(x)|f(x). 2. f(x), g(x)ЄP[x], g(x)|f(x) и f(x)|g(x) => f(x) и  g(x)  ассоц-
ы, f(x)=cg(x), cЄP[x]. 3. g(x)|f(x)  и  ?(x)|g(x)  =>  g(x)|(f(x)±?(x)).  4.
Если f1(x), f2(x),…, fk(x) делятся на g(x),  для  Ґc1,  c2,…ckЄР,  то  сумма
[c1f1(x)+c2f2(x),…,ckfk(x)]  делится  на  g(x).  5.   Если   g(x)|f1(x)   =>
f1(x)f2(x)…fk(x)    делится     на     g(x).     6.     Если     f1(x)|g(x),
f2(x)|g(x),…fk(x)|g(x)  =>  g(x)|[   n1(x)f1(x)+   n2(x)f2(x)+…+nk(x)fk(x)],
ni(x),  fi(x),  gi(x)ЄP[x],  i=1,2,…k.  7.  Если  n(x),  f(x),  g(x)ЄP[x]  и
n(x)|f(x) и g(x)|n(x), то g(x)|f(x). 8. Мн-ны нулевой степени из  Р[х]  явл-
ся делителями Ґf(x)ЄP[x]. 9.  Мн-ны  cf(x),  где  с?0  и  только  они  будут
делителями мн-на f(x) имеюш-ми такую же степень, что и f(x).  10.  ҐДелитель
f(x), cf(x),  c?0  будут  делителями  и  для  другого  мн-на.  Пусть  Ґf(x),
g(x)ЄP[x]. Общим делителем мн-в f(x), g(x) явл-ся такой мн-н d(x)ЄP[x],  что
d(x)|f(x) и d(x)|g(x). Нод(f(x),  g(x))  наз-ся  мн-н  D(x)  такой,  что  1.
D(x)=ОД(f(x), g(x)), 2. d(x)|D(x), где d(x)=ҐОД(f(x),  g(x)).  Покажем,  что
НОД сущ-т для Ґмн-в f(x), g(x)ЄP[x]?0. пусть степень f(x)  ?  степени  g(x).
Делим f(x) на g(x)  с  остатком  f(x)=g(x)q(x)+r1(x).  Если  r1(x)=0,  тогда
НОД(f(x), g(x))=q(x). Если r1(x)?0, то степень r1(x)< степени g(x),  но  >0.
Делим g(x) на r1(x)  с  остатком  g(x)=r1(x)q1(x)+r2(x).  Если  r2(x)?0,  0<
степень  r2(x)  <  степень   r1(x),   делим   r1(x)   на   r2(x)   с   ост-м
r1(x)=r2(x)q2(x)+r3(x). и т.д. Т.к. степень  остатков  понижается  оставаясь
не отриц-й, то через конечное число шагов мы  придем  к  остатку  rk(x),  на
который  разделится  предыд-й  остаток.  Этот  процесс   наз-ся   Алгоритмом
Евклида. Итак, применяя алгор-м Евкл-а для мн-в  f(x)  и  g(x)  мы  получили
совокупность  f(x)  =  g(x)q(x)+r1(x),  g(x)  =  r1(x)q1(x)+r2(x),  r1(x)  =
r2(x)q2(x)+r3(x) … rk-2(x)  =  rk-1(x)qk-1(x)+rk(x),  rk-1(x)  =  rk(x)qk(x)
(1). Док-м, что послед-й ?0 остаток rk(x)  в  алгоритме  Евк-а  явл-ся  НОД.
Будем рассм-ть (1) снизу вверх: rk(x)|?k-1(x), rk(x)|?k(x)  и  ?k(x)|?k-1(x)
=> rk(x)|rk-2(x)…, rk(x)|rk-2(x) и rk(x)|r1(x) => rk(x)|g(x), rk(x)|r1(x)  и
rk(x)|g(x) => rk(x)|f(x). Получим, что rk(x)|f(x)  и  ?k(x)|g(x)  =>  ?k(x)=
ОД(f(x),g(x)). Покажем, что rk(x)=НОД(f(x),  g(x)).  Пусть  n(x)  -  Ґдругой
ОД(f(x),  g(x)).  Рассм-м  (1)  сверху  вниз:  n(x)|f(x)  и   n(x)|g(x)   =>
n(x)|r1(x), n(x)|g(x) и n(x)|r1(x) => n(x)|r2(x),  n(x)|r1(x)  и  n(x)|r2(x)
=>  n(x)|r3(x)…  n(x)|rk-2(x)  и  n(x)|rk-1(x)  =>   n(x)|rk(x).   Получили:
n(x)|rk(x)=ОД(f(x), g(x)) => rk(x)=НОД(f(x), g(x)).  Итак,  мы  док-ли,  что
последний ?0 остаток в алгор-е Евклида явл-ся НОД  для  мн-в  f(x)  и  g(x).
Нетрудно убелиться, что НОД мн-в f(x) и g(x) явл-ся ! с точностью  до  мн-ля
нулевой степени. Действительно, пердположим,  что  D1(x)=НОД(f(x),  g(x))  и
D2(x)=НОД(f(x), g(x)). Т.к. D1(x)=НОД(f(x), g(x))  =>  D2(x)|D1(x),  а  т.к.
D2(x)=НОД(f(x),  g(x)),  то  имеем  D1(x)|D2(x).  Получим:   D2(x)|D1(x)   и
D1(x)|D2(x) => св-во 2 D1(x)=cD2(x). Алгоритм Евклида показываем,  что  если
f(x) и g(x) имеют оба рац-е коэф-ы или оба действ-е коэф-ы, то и  коэф-ы  их
НОД будут соотв-о или рац-ми, или дейст-ми. Если D(x)=НОД(f(x),  g(x)),  где
f(x), g(x)ЄP[x],  то  сущ-т  ?(x),  ?(x)ЄP[x],  что  f(x)?(x)+g(x)?(x)=D(x).
Обратимся к алгор-у Евклида для мн-на f(x) и g(x):  f(x)  =  g(x)q(x)+r1(x),
g(x) = r1(x)q1(x)+r2(x), r1(x) = r2(x)q2(x)+r3(x)  …  rk-2(x)  =  rk-1(x)qk-
1(x)+rk(x), rk-1(x) =  rk(x)qk(x).  Перепишем  все  рав-ва  алго-а  Евклида,
кроме послед-го  (1).  Выразим  остаток  из  каждого  равенства  r1(x)=f(x)-
g(x)q(x),  r2(x)=g(x)-r1(x)q1(x),   r3(x)=r1(x)-r2(x)q2(x)…rk(x)=rk-2(x)-rk-
1(x)qk-1(x) (1).  Перепишем  первое  рав-во  (1):  r1(x)=f(x)*1+g(x)(-q(x)).
Обозначим  ?1(x)=1,  ?1(x)=-q(x),  тогда  имеем   r1(x)=f(x)?1(x)+g(x)?1(x).
Теперь  второе  из  (1):  r2(x)  =  g(x)-r1(x)q1(x)  =  g(x)-(f(x),?1(x)   +
g(x)?1(x)) q1(x) = g(x)-f(x)?1(x)q1(x)-g(x)?1(x)q1(x) = f(x)(-?1(x)q1(x))  +
g(x)(1-?1(x)q1(x))  =  f(x)?2(x)+g(x)?2(x).  r2(x)  =   f(x)?2(x)+g(x)?2(x).
Подставим полученное выражение для r1(x) и r2(x) в выражение  для  r3(x)  из
(1).    Получим,    проделывая     аналогичные     преобразования     r3(x)=
f(x)?3(x)+g(x)?3(x).    и    т.д.    опускаясь    ниже    получим     rk(x)=
f(x)?k(x)+g(x)?k(x). Как было док-но выше rk(x) явл-ся НОД мн-в f(x) и  g(x)
, причем НОД определен с точностью до множ-ля нулевой сиепени.  Умножая  обе
части последнего равенства на с: crk(x)= f(x)(c?k(x))+g(x)(c?k(x)).

Вопрос 7.
Неприводимые над полем многочлены.
Мн-н f(x)ЄP[x] наз-ся неприводимым над полем Р, если  он  не  разлагается  в
произведение  многоч-в  положительной  степени  над  полем  Р.  Мн-н  наз-ся
приводимым над полем Р, если он разлагается в  произведение  мн-в  положит-й
степени. Вопрос приводимости зависит от  того  поля,  над  которым  мы   его
рассматриваем. Н-р, 1)f(x)=x2-2 неприводим над  полем  Q,  но  приводим  над
полем R. 2) f(x)=x2+1 неприводим над R, приводим над C. 3)?(x)=x+1  непривд-
м ни над одним числовым полем. Над полем ком-х чисел неприво-м  только  мн-ы
1-й степени. Над  полем  дейст-х  чисел  неприводимы  мн-ны  1-й  степени  и
квадратный трехчлен, у которого дискр-т <0. Иначе в поле рац-х чисел.  Здесь
Ґ n нат-го можно подобрать мн-н n-й степени неприводимого над полем Q  рац-х
чисел. Критерий Эйзенштейна. Если для f(x)=a0xn+a1xn-1+…an-1x+an,  f(x)ЄQ[x]
можно подобрать р – простое число, что 1) р|a0(черта) – не делится на р,  2)
все остальные коэф-ы делятся на р: p|a1,  p|a2,…p|an  3)  p|an,  но  p2|an(с
чертой) – не делится на р, то f(x)  неприводима над полем Q. Если для  мн-на
f(x)  нельзя подобрать р простое число, чтобы вып-сь требование  Эйз-на,  то
мн-н может быть как приводимым, так и не приводимым над полем Q.  Св-ва.  1.
p1(x), p2(x)ЄP[x] неприводимы над полем P и  p2(x)|p1(x) => эти мн-ны отлич-
ся друг от друга множ-м нулевой степени. (Док-во. Т.к. p1(x)  -  неприводим,
то в p1(x) = p2(x)g(x) один из множ-й есть мног-н  нулевой  степени  g(x)=c-
const. Т.о. p1(x) = p2(x)c. Мног-ны p1(x), p2(x)  явл-ся  ассоциированными.)
2. Ґf(x)ЄP[x], p(x)ЄP[x] – непривомн-н => либо f(x),  p(x)  взаимно  просты,
либо p(x)|f(x). (Док-во. Т.к. p(x) неприводимый мн-н, то возм-ы 2  случая:1)
НОД(f(x),p(x))=c-const,   тогда   f(x),   p(x)   –   взаимно   просты.    2)
НОД(f(x),p(x))=D(x), где D(x)=cp(x), но тогда т.к. D(x)|f(x)  =>  cp(x)|f(x)
=> p(x)|f(x)). 3) Если произ-е p(x)|f(x)g(x), где p(x),  f(x),  g(x)ЄP[x]  и
p(x) – непривод-м над полем P, р(x)|f(x)  или  p(x)|g(x).  Это  св-во  можно
распрост-ть и на случай произвольного числа множ-й.
Теорема. Ґ мн-н f(x)ЄP выше нулевой степени явл-ся неприводимым над полем  Р
или разлагается  в  произведение  неприводимых  мн-в.  f(x)=p1(x)p2(x)…pn(x)
(*), где pi(x) – неприводимые  мн-ны  над  полем  Р,  i=1,2,…n,  причем  это
разложение явл-ся ! с точностью до порядка.  Док-во.  1)  Док-м  возможность
представления  (*).  Пусть  мн-н  f(x)  выше  нулевой  степени.  Если   f(x)
неприводим, то теорема док-на. Если f(x) приводим, то f(x)=f1(x)f2(x).  Если
оба мн-на f1(x) и f2(x) неприводимы над полем Р,  то  теорема  док-на,  если
хотя бы 1 из них приводим над полем Р, то его разлагают в произведение множ-
й положит-й степени. и т.д.  Этот  процесс  конечен,  т.к.  степень  мн-й  в
разложении f(x) уменьшается, оставаясь  положит-ми  и  их  может  быть  лишь
конечное число. Итак, в  конце  концов  мн-н  f(x)  будет  предст-н  в  виде
произвед-я непривод-х мн-й, т.е. в виде (*). 2)  Док-м  !  разложения  мн-на
f(x)   на   непривод-е   мн-ли.   Пусть   f(x)   допускает   2   разложения:
f(x)=p1(x)p2(x)…pn(x) (1)  и  f(x)=  q1(x)q2(x)…qn(x)  (2).  p1(x),  …pn(x),
q1(x),…,qn(x) неприводимые над полем Р мн-ны. Левые части равны =>  равны  и
правые части. p1(x)p2(x)…pn(x)=q1(x)q2(x)…qn(x) (3). Левая часть делится  на
р1(х) => и правая часть  делится.  Т.к.    р1(х)  неприводим,  то  на  р1(х)
разделится хотя бы один мн-ль  правой  части.  Пусть  р1(х)|q1(x).   А  т.к.
р1(х)  и  q1(x)  неприво-ы  и  один  из  них  дел-ся  на  другой,   то   они
ассоциированы, т.е. q1(x)=ср1(х). Подставляя это выр-е в (3) и сокращая  обе
части  на  р1(х):  p2(x)…pk(x)=c1q2(x)q3(x)…ql(x)  (4).  Аналогично   расс-я
относительно  p2(x)  из  (4):  p3(x)…pk(x)=c1с2  q3(x)q4(x)…ql(x).  И   т.д.
утверждаем, что k=l. Предположим противное. Пусть k и через всю с-у столб-в матницы   ?,  т.е.  справед-о  (2).  =>  Веркор
(?1,?2,…?n) – реш-е с-ы (1).
Метод Гаусса – м-д последов-го исключения неизв-х. Сводится к  привед-ю  с-ы
лин-х ур-й к ступен-у виду, при этом получ-ся с-а равнос-я  данной.  Если  в
рез-те элем-х преоб-й получ-но ур-е с коэф-ми в левой части =0  ,  а  своб-е
члены ?0, то с-а несовм-на. Если и своб-е члены =0, то  это  ур-е  удаляется
из с-ы. С-а лин-х ур-й явл-ся опред-й, т.е. имеет ! реш-е, если  ступ-я  с-а
лин-х ур-й имеет треуг-й вид. В этом  случ-е   послед-е  Ур-е  с-ы  содержит
только  1  неизв-ю.  Если  ступ-я   с-а   имеет   вид   трапеции,   то   с-а
неопределенная. Тогда в послед-м Ур-и с-ы несколько  неизв-х  (k V, ??(?)=?*xЄV,  ?ЄP,  xЄV.
С-а V – наз-ся век-м прост-м над полем Р, а эл-ы мн-ва V –  векторами  =  a,
b,c,…x, y, если 1. (V, ?, +,-)- аддит-я абел-я группа,  2.  (?*?)*a=?*(?*?),
Ґ?,?ЄP,aЄV.   3.   (?+?)*a=?*a+?*a,    Ґ?,?ЄP,aЄV.    4.    ?*(a+b)=?*a+?*b,
Ґa,bЄV,Ґ?ЄP. 5.  1*a=a,  Ґa.  Например,  ариф-е  вект-е  прост-во  n  мерных
векторов V=Pn, мн-во C- к.ч. есть век-е прост-во над полем R действ-х  чисел
относ-о опер-й “+” к.ч. и “*” их на дейст-е число.  Простейшие св-ва.  Пусть
V=(V,?,+,-,??) – вектор-е прост-во. Р – поле скаляров. Ґa,bЄV, Ґ?,  ?ЄP.  1.
a+b=a => b=0. 2. 0*?=?. 3. ?*?=?. 4. a+b=? => b=(-1)*a=-a. 5. ?*a=?*b ^  ??0
=>a=b. 6. ?*a=? => ?=0 или a=?. 7. ?*a=?*a ^ a?? => ?=?. Пусть  V  –  вект-е
прост-во над Р, a1,a2,…amЄV, с-а  вект-в  a1,a2,…am  наз-ся  лин-о  незав-й,
если ?1*a1+?2*a2*…?m am=?  возм-но при всех коэф-х = 0. a1,a2,…am  –  лин-но
завис-ы, если ?1*a1+?2*a2*…?m am=? возм-но хотя бы при 1 коэф-е ?i?0.  Вект-
е прост-во наз-ся конечномерны, если оно породж-ся конечным мн-м вект-в  или
сущ-ют  a1,a2,…amЄV,  что   V   –   лин-я   оболочка   порожд.   этим   мн-м
V=L(a1,a2,…am). Базисом (базой)  конеч-го  век-го  прос-ва  наз-ся  непуст-я
конеч-я лин-но незав-я с-а векторов порожда-я это прост-во. ???не доконца.


Вопрос 12.
Линейные преобразования век-х прост-в.
Пусть u и v векторные простр-ва над полем Р. Отобр-е  ?:  u(v  наз-ся  лин-м
отображ-м или  гомоморфизмом,  если  Ґа,bЄu,Ґ?ЄP:  1.  ?(a+b)=?(a)+?(b).  2.
?(?a)=??(a). Если бы лин-е отоб-е u  на  v было бы биективным, то тогда  его
наз-и бы изоморфизмом вект-х прост-в. Мн-во всех лин-х отображ-й прост-ва  u
в v обозн-ся Hom(u,v). Св-ва. 1. Всякий лин-й опер-р ? в прост-ве v  оставл-
т неподвижный нулевой вектор,т.е.?(?)= ?. 2. ?(-x)=-?(x).  3.  Всякий  лин-й
опре-р ? в прост-ве v переводит Ґ лин-ю комбин-ю произвольно выбранных вект-
в a1,a2,…am прост-ва V  прост-ва  в  лин-ю  комбин-ю  образов  этих  вект-в,
причем   с   теми   же   самыми   коэф-ми,   т.е.    ?(?1a1+?2a2+…?mam)    =
?1?(a1)+?2(a2)+…+?m?(am).  Док-во.  Применим  метод   мат-й   индукции.   1)
Проверим   справ-ть   при   m=2.   ?(?1a1+?2a2)    =    ?(?1a1)+?(?2a2)    =
?1?(a1)+?2(a2). 2)  Предположим  справ-ть  утвер-я  для  m-1  вектора,  т.е.
?(?1a1+?2a2+…?m-1am-1) =  ?1?(a1)+?2(a2)+…+?m-1?(am-1).  3)  Док-м  справ-ть
данного  утвер-я  для  m  век-а,  т.е.   ?(?1a1+?2a2+…+   ?m-1am-1+?mam)   =
?[(?1a1+?2a2+…?m-1am-1)+  ?mam]  =  ?(?1a1+?2a2+…?m-1am-1)  +    ?(?mam)   =
?1?(a1)+?2(a2)+…+?m-1?(am-1)+?m?(am). 4. Совокупность L  всех  образов  ?(a)
вектора а вектор-го  простр-ва  v,  получ-е  при  данном  преоб-ии  ?,  есть
некоторое подпростр-во вект-го простр-ва v.
Пусть ? некоторая лин-я опре-я прос-ва vn. Выберем  в  прос-ве  vn   некот-й
базис  e1,e2,…en.  Тогда  опре-р  ?  переводит  век-ы   базиса   в   векторы
?(e1),?(e2),…?(en). Каждый из этих век-в !  образом  выраж-ся  через  век-ры
базиса: ?(e1) =  ?11*e1+?21*e2+…+?n1*en,  ?(e2)  =  ?12*e1+?22*e2+…+?n2*en,…
?(en)         =         ?1n*e1+?2n*e2+…+?nn*en.         Матрица          A?=
k–й столбец которой явл-ся коорд-ми



столбца век-ра ?(ek) относительно базиса e1,e2,…en, наз-ся матрицей   лин-го
опрер-ра ? в базисе e1,e2,…en. Т.о. при фиксир-м базисе  e1,e2,…en,  каждому
лин-у опрер-у ? прост-ва vn соответ-т вполне опред-я матрица  n–го  порядка.
И наоборот, каждая матрица  n–го  пор-ка  явл-ся  матрицей  некот-го  вполне
опред-го лин-го опре-ра ? прост-ва vn в базисе e1,e2,…en.
Совокупность ?(vn) образов всех век-в прост-ва vn при действии  оператора  ?
наз-ся областью значений опер-ра ?. Размерность области значений ?(vn)  наз-
ся рангом лин-го опер-а  ?.  Ядром  линей-го  опер-а  ?  прост-а  Vn  наз-ся
совокупность всех век-в  прост-ва  Vn  отображ-ся  операторов  ?  в  нулевой
вектор т. Ker ?= {aЄVn|?(a)=т}. Размерность ядра Ker ?  опер-ра  ?  прост-ва
Vn наз-ся дефектом этого опер-ра. Сумма ранга  и  дефекта  лин-го  опер-а  ?
прост-ва Vn = размерности  этого  прост-ва.  Если  век-р  b  ?0  переводится
оператором ? в пропорц-й самому себе,т.е. ?(b) =  ?0b,  где  ?0  –  действ-е
число, то b наз-ся собст-м вектором опер-а ?, а ?0 собственным знач-м  этого
опер-ра. Причем гов-т, что собст-й век-р b относ-я  к  собств-у  знач-ю  ?0.
Нулевой век-р не считается собственным для опер-ра .  Матрица  А-?Е,  где  Е
един-я матрица n пор-ка  наз-ся  харак-й  матрицей  матрицы  А  (по  главной
диагонали от Эл-в «-«?). Многочлен n степени |А-?Е|  наз-ся  харак-м  мног-м
матрицы А, а его корни, которые могут быть как компл-е так и действ-е,  наз-
ся характер-ми корнями этой матрмцы.  ?0ЄR  был  собств-м  значением  лин-го
опер-а ? (  ?0  было  характ-м  корнем  опер-ра  ?.   Лин-е  преоб-е  наз-ся
невыроженным, если определитель матрицы А?0.  Рассм-м  преоб-е  x1=y1,…xn=yn
(I). Это преоб-е наз-ся тождеств-м. Оно ведет себя точно также как  число  1
при арифм-м умнож-и,т.е. (ҐS) S*I=I*S=S. Т.е. преоб-е  I  это  нейтр-й  эл-т
относ-о умнож-я преоб-я. Обратным преоб-м преобразованию S наз-ся преоб-е S-
1 такое, что S*S-1=S-1*S=I. Подпрост-во L явл-ся инвариантным относ-о преоб-
я ? пространства Vn, если образ Ґ век-ра из снова есть вектор L.


Вопрос 13.
Определители.
Опред-м (детерминантом) n-го порядка составл-м из n2 чисел матрицы А  наз-ся
алгеб-я  сумма  всевозм-х  членов,  каждый  из  которых  представл-т   собой
произвед-е n эл-в, каждый из которых взят по 1 из каждой строки  и  столбца,
взятый со знаком (-1)t , где t число инверсий перестановки вторых  индексов,
при усл-и, что первые  индексы  расположены  в  натуральном  порядке.  ?=?(-
1)ta1?a2?…an?, ?,?,…? n! перестан-к 1,2,…n. Правило Саррюса.


Св-ва опред-й. 1. Равноправность сторк  и  столбцов  (транспонирование).  2.
Опред-ль n-го порядка, у которого 2 строки  (2  столбца)  одинаковы  =0.  3.
Если все Эл-ты какого-либо столбца (строки) опред-ля n порядка * на  одно  и
то же число m, то и значение опред-я  *m.  4.  Если  все  Эл-ты  какого-либо
столбца (строки) опред-я n-го пор-ка облад-т общим множителем, то его  можно
вынести за знак опред-ля. 5. Опред-ль n-го  пор-ка,  у  которого  Эл-ты  2-х
строк (столбцов) соответ-о пропорциональны ,=0. 6. Если все Эл-ты  k  строки
(столбца) опред-я n-го пор-ка явл-ся суммой 2-х слагаемых, то  такой  опред-
ль = сумме 2-х опред-й n-го пор-ка. В одном  из  них  k-я  строка  (столбец)
состоит из первых слаг-х, а в другом  -  из  вторых  слаг-х,  все  остальные
строки (столбцы) те же, что и в данном опред-е. 7.  Если  в  опред-е  какая-
либо строка есть линейная комбинация других строк, то такой опред-ль =0.  8.
Если к Эл-м  какой-либо  строки  (столбца)  опред-я  n-го  пор-ка  прибавить
соответ-ие Эл-ты другой строки (столбца) умноженные на одно и то  же  число,
то значение  опред-я  не  изменится.  9.  Если  поменять  местами  2  строки
(столбца)  в  опред-е  n-го  пор-ка,  то  опред-ль  сменит  свой   знак   на
противоположный, а его абсол-я величина не изменится. Минором Мij Эл-та  aij
опред-я n-го пор-ка наз-ся  опрде-ль  n-1  порядка,  который  получается  из
опред-я вычеркиванием i строки и j столбца.  Алгебаическим  дополнением  Aij
Эл-та aij наз-ся произ-е (-1)i+j*Mij.
Теорема. Какую бы строку (столбец) опред-я n пор-ка мы  не  взяли,  значение
опред-я = сумме произв=й  Эл=в  этой  строки  (столбца)  на  их  же  алгеб-е
дополнения.      ?=ai1Ai1+      ai2Ai2+…ainAin       (i=1,2,…n)(1).       ?=
a1jA1j+a2jA2j+…anjAnj  (2).  Док-во.  В  силу  справ-ти  строк  и   столбцов
ограничимся выводом разлож-я по строкам (1). 1) мы знаем, aijAij есть  также
член опред-я, причем в опред-ль входит с тем же знаком, что и в это  произв-
е. Т.о. Ґ слагаемое (1) состоит из членов опред-я. 2) Никакие 2 слагаемых  в
(1) не содержат общих  членов  (всего  Ґ  слаг-й  содержит  (n-1)!  членов).
Действительно, пусть aikAik и ailAil из (1) содержат  общий  член,  тогда  в
него будут входить мн-ли aik ,ail, чего не может  быть,  т.к.  из  i  строки
взяты 2 эл-та. Итак  (1)  состоит  из  всех  различных  членов  опред-я.  3)
ai1Ai1+ai2Ai2+…ainAin (3). Док-м, что (3)  исчерпывает  все  члены  опред-я,
т.е. Ґ член опред-я обязательно входит в (3). Рассм-м произв-е членов опред-
я:  (4)  a1?a2?…ai-1?aijai+1?…an?,  ?,?,…?  пробегают  n!  перестан-к  чисел
1,2,…n.  aija1?a2?…ai-1?ai+1?…an?,  ?,?,…?  пробегают  n!  перестан-к  чисел
1,2,…n. Но произведение a1?a2?…ai-1?ai+1?…an?член минора  Мij  =>  входит  в
алгеб-е доп-е Aij => член (4) входит  в  произвеление  aijAij.+  1)  Если  в
опред-е  пор-ка все эл-ы I строки, кроме эл-а aij , =0, то такой опред-ль  =
произв-ю его эл-та на его алгеб-е допол-е. 2) Если  в опред-е n  пор-ка  все
эл-ты лежащие ниже главной диагонали =0, то опрд-ль = произв-ю  диагональных
эл-в. 3) Сумма произведений эл-в какой-либо  строки  на  алгеб-е  дополнения
соответствующих эл-в другой строки = 0.
Формулы Крамера. Если ??0, то опред-ль имеет ! решение хn=?n/?.


Вопрос 14
Основ-ы св-ва срав-й. Приложение теории срав-й к выводу признаков
делимости.
Отнош-е сравним-ти в кольце цел-х чисел: 1 опр. a?b(mod m) ( m|(a-b). 2
опр. a?b(mod m) ( a=b+m*t, tЄZ. 3 опр. a?b(mod m)(a=m*q1+z ^ b=m*q2+r. Из
опр. 3 =>что сравнимые по (mod m) числа явл-ся равноостаточными при делении
на m. Док-во: 1) опр. 1(2. Пусть a?b (mod m) в смысле опр.1, т.е. m|(a-b)
=> сущ-т tЄZ, a=b+m*t, т.е. a?b(mod m) в смысле опр.2. Пусть a?b(mod m) в
смысле опр.2, т.е. a=b+m*t => a-b=m*t => m|(a-b), т.е. a?b(mod m) в смысле
опр.1. 2)Док-м, что опр.1(опр.2. Пусть a?b(mod m) в смысле опр.3, т.е.
a=m*q1+r ^ b=m*q2+r => a-b=m*(q1-q2), где q1-q2ЄZ => m|(a-b) => a?b(mod m)
в смысле опр.1. Пусть a?b(mod m) в смысле опр.1, т.е. m|(a-b). Пусть
a=m*q1+r1, b=m*q2, 0?r1r2. m|(a-
b) по усл. и m|m*(q1-q2) => m|(r1-r2). m|(r1-r2) и 0?r1-r2 r1-r2=0 =>
r1=r2, т.е. a?b(mod m)  в смысле опр.3. т.к. отеош-е равнос. явл-ся эквивал-
ти, т.е. оно симмет-о, тран-о, рефл-о, то опр.1(опр.2 ( опр.3. Сл-е 1. Если
a=m*q+r, 0?r a?r(mod m). Сл-е 2. Если m|a => a=0(mod m). Сл-е 3. ҐtЄZ,
m*t?0(mod m).  Св-ва срав-й: 1)Отнош-е сравнимости в Z явл-ся отнош-м эквив-
ти. 2)Сравнимые числа по mod m можно почленно складывать, вычитать. Док-во:
a1?b1(mod m) => a1=b1+m*t1, t1ЄZ. a2?b2(mod m) => a2=b2+m*t2, t2ЄZ.
a1±a2=(b1±b2)+m*(t1±t2) => ( по опр.2) (a1+a2)?(b1±b2)(mod m). Сл-е 1.Слаг-
е можно из одной части сравн-я переносить в др-ю, изменив знак на против-й.
2. К Ґ части сравн-я можно прибавить число кратное модулю.  3)Сравн-е числа
по mod m можно почл-о перем-ть. a1?b1(mod m) и a2?b2(mod m) => a1*a2?b1*b2
(mod m). Док-во: a1?b1(mod m) =>(по опр.2) a1=b1+m*t1, t1ЄZ. a2?b2(mod m)
=>(по опр.2) a2=b2+m*t2, t2ЄZ. a1*a2=b1*b2+m*(t1*b2+t2*b1+m*t1*t2) =>
a1*a2?b1*b2(mod m) tЄZ. Сл-е 1. a1?b1(mod m) и a2?b2(mod m) и … an?bn(mod
m) => a1*a2*…an=b1*b2*…bn(mod m). 2. a?b(mod m) => an?bn(mod m). ҐnЄN. 3.
a?b(mod m) => k*a?k*b(mod m), ҐkЄZ. 4. Выраж-я сост-е путем умнож-я, выч-я,
слож-я срав-х чисел, срав-ы между собой по тому же модулю. 5. f(x)=a0*xn+
a1*xn-1+…+ an-1*x+an, мн-н с цкл-ми коэф-ми Ґх1,х1,...ЄZ, тогда x1?x2(mod
m) => f(x1)?f(x2)(mod m). 6. В сравн-х по mod m числах можно замен-ть слаг-
е и множ-ли с сран-ми с ними числами. 4)На общий делитель взаим-о простой с
mod m можно разд-ть обе части сравнения, оставив mod без измен-я.
a*d=b*d(mod m) и  НОД(d,m)=1 => a?b(mod m). Док-во. a*d=b*d(mod m)=> m|(a*d-
b*d) => m|d*(a-b). т.к. НОД(d,m)=1, то m|(a-b) => a?b(mod m). Замтим, что
если усл-е взаим-ной простоты не выпол-ся, то сокр-е обеих частей на одно и
то же число можно привести к нарушению срав-ти. 5)a*d?b*d(mod m*d) =>
a?b(mod m), dЄN. Док-во. a*d?b*d(mod m*d) => m*d|(a*d-b*d) => m*d|d*(a-b)
=> m|(a-b) => a?b(mod m). 6) a?b(mod m1) и a?b(mod m2) => a?b(mod[m1,m2]),
[m1,m2]=НОК(m1,m2). Признак дел-ть на 3. m=3. a=an10n+ an-110n-1+… a110+a0.
10?1(mod 3), 102?1(mod 3), 103?1(mod 3),… 10n?1(mod 3). R3=a0r0+ a1r1+…+
anrn= a0 *1+ a1 *1+ …+an 1= a0+ a1+…+an. 3|a (3|R3. Признак дел-ти на 11:
a=an10n+ an-110n-1+… a110+a0. r0=1. 10?-1(mod 11), 102?1(mod 11), 103?-
1(mod 11),… 10n?(-1)n(mod 11). a?R11(mod 11). R11=a0r0+ a1r1+…+ anrn= a0
-a1+ …+(-1)n an = (a0+ a2+…)-(a1+a3+…). 11|a (11|R11, т.е. число дел-ся на
11 ( на 11 дел-ся раз-ть суммы цифр числа стоящих на неч-й и чет-х местах.


Вопрос 15
Полная и приведенная с-а вычетов. Теор-а Эйлера и Ферма.
Все числа сравнимые с a по  mod  m  объединим  в  одно  мн-во,  кот-е  наз-м
классом-вычитов по mod m. Обозн-м ?={xЄ|x?a(mod m)}.  Ґ  предст-ль  мн-ва  ?
наз-м вычитом. Рассм-м класс вычитов  по  mod  m:  ?={xЄ|x?a(mod  m)}.  Т.к.
сравн-е числа,т.е. все числа Є-щие одному и тому же классу вычитов по mod  m
имеют одинак-е ост-ки при делении на m, то и  все  различ-е  классы  вычитов
можно обоз-ть с пом-ю этих ост-в,т.к. при делении Z на m  получ-ся  m  ост-в
0,1,…, m-1, то и мн-во Z распад-ся на  m  классов  0,1,...m-1  (с  черт-ми).
Обоз-м мн-во всех классов-вычитов по mod m через Zm. Св-ва  классов-вычитов:
1. ?={a+m*t|ҐtЄZ}. 2. xЄ? ^ xЄ? => ?=?. 3. ҐбЄ? => б(с чер-й)=?. 4.  a?d(mod
m) => ???. 5. a?0(mod m) => aЄ0(чер-й). 6. a=m*q+r, 0?r из того, что соотв-е опре-и на этом мн-ве ком-ы,  ассоц-ы  и
св-я дист-м законом. Нетру-о пров-ть, что  класс  0(с  чер-й)  нейтр-й  Эл-т
относ-о «+», 1(с чер-й) нейтр-й эл-т  относ-о  «*».  Т.о.  мн-во  Zm  явл-ся
кольцом относ-о «+», «*» классов-вычитов по mod m и кольцо  Zm=(Zm,0(с  чер-
й), 1(с чер-й), +,-,*) наз-ся кольцом классов-вычитов по mod m.  Т.к.  число
классов-вычитов всегда конечно и =m,то все кольца конечны.
Если из Ґ класса-вычитов по mod m взять по одному представ-ю, то получ-я  с-
а вычетов наз-я полной с-й вычитов по mod m. Н-р:1. полная с-а наим-х  неот-
х вычитов по mod m Rm={0,1,2,..m-1}, пол-я с-а  наим-х  полож-х  вычитов  по
mod m Rm+={1,2,…m}, пол-я с-а абсолютно наим-х вычитов по mod m.
Ґ совокуп-ть m целых чисел х1, х2, …хm попарно не  сравн-х  между  собой  по
mod образ-т полную с-у вычитов по mod m.
(1-я теор-а). Если в лин-й форме а*х+b, где а и mзам-но просты,  переем-я  х
пробег-т все знач-я из полной с-ы вычитов  по  mod  m,  то  и   лин-я  форма
пробегает все знач-я некот-й полной с-ы вычитов по mod m. Док-во. Пусть  х={
х1,  х2,  …хm}  произ-я  полная  с-а  вычетов  по  mod  m.  Док-м,  что  с-а
x’={aх1+b1, aх2+b2, …aхm+bm} также полная с-а вычитов.  С-а  х’  содержит  m
чисел(вычитов) и все эти вычеты попарно не сравнимы  между  собой.  Допустим
противное: пусть axi+b?axj+b(mod m), 1?i, j?m, i?j. Тогда  по  св-ву  срав-й
axi?axj(mod m). А т.к. НОД(a,m)=1 (по усл-ю), то xi?xj(mod m). Это привит  к
тому, что xi ,xj входят в полную с-у вычитов по mod m, т.е. в Х.  Итак,  с-а
х’ состоит из m чисел и все они попарно не срав-ы между собой =>  х’  явл-ся
полной с=й вычитов по mod m.+
Если из Ґ класса взаимно простых с  mod m взять по 1 предст-ю,  то  получ-ая
с-а чисел наз-ся привед-й с-й вычитов по mod m. Функцией Эйлера ?(m)  наз-ся
число по mod m взамно простых с  m  или  число  нат-х  чисел   ?(p)=p-1. 2) m=p? =>  ?(m)=m(1-1/p).  3)
m=p1?1* p2?2 *…pk?k => ?(m)=m(1-1/p1) (1-1/p2) …(1-1/pk).
Признак прив-й с-ы. С-а чисел a1 ,a2…as (1) образует  привед-ю  с-у  вычитов
по mod m, если: 1) s= ?(m); 2) числа из (1)  попарно  не  сравнимые  по  mod
m,т.е ai не срав-ы с aj(mod m), i?j, i,j=1,2,..s; 3) НОД(ai,m)=1,  i=1,2,…s.
(Док-во. В силу усл-я 3) числа с-ы (1) нах-ся в классах  взаимно  простых  с
mod m, причем в силу усл-я 2) они лежат в разных классах. Т.к.  число  чисел
в с-е (1)= ?(m) и число классов взаимно простых  с  mod  m=?(m),  то  всякое
число из (1) попадает в ! класс взаимно простых по mod m=>  с-а  (1)  явл-ся
привед-й с-й вычитов.)
(2-я теорема) Если в лин-й форме ax, a и  m  взаимно  просты,  переменная  х
пробегает все значения из приведенной с-ы вычитов  по  mod  m,  то  и  лин-я
форма ax пробегает все знач-я  из  некот-й  привед-й  с-ы  вычитов.  Док-во.
Пусть Х={x1,x2,..x?(m)} привед-я  с-а  вычитов  по  mod  m.  Тогад  х’={ax1,
ax2,..ax?(m)} привед-я с-а вычитов по mod m.  Проверим  3-е  усл-е  признака
привед-й с-ы: 1) в с-е х’ ?(m) чисел, т.к. вместо х мы можем  подст-ть  ?(m)
чисел; 2) Эти числа Є по mod m разным классам,т.к. вместо  х  берутся  числа
из разных классов. В этом случае числа ax (даже ax+b)  попарно  не  сравнимы
между собой по mod m.3) ax взаимно просты с  mod  m.  НОД(a,m)=1  по  усл-ю.
НОД(xi,  m)=1,  i=1,2…  ?(m),  т.к.  xi  взяты  из  привед-й  с-ы   вычитов.
НОД(axi,m)=1. i=1,2,… ?(m) => с-а х’ обр-т привед-ю с-у вычитов по mod m.
Теорема Эйлера. Если а и m взаимно просты, т.е. НОД(а,m)=1, то а?(m)  ?1(mod
m). Док-во. Восп-ся теоремой: если в лин-ю форму ах вместо х будем  подст-ть
вычиты из некот-й привед-й с-ы вычитов по mod m, то и лин-я форма  пробегает
также все знач-я привед-й с-ы вычитов по mod m. Рассм-м привед-ю с-у  наим-х
полож-х вычитов по mod m: r1,r2,…rk,  k=?(m),  тогда  ar1,ar2,…ark  -  также
привед-я с-а  вычитов.  Ґ  вычит  последней  с-ы  заменим  наим-м  положит-м
вычитом.  ar1?r1’(mod  m),  ar2?r2’(mod  m)…  ark?rk’(mod  m).   Перемножим:
ak(r1r2…rk)?r1’r2’…rk’(mod m) (1). Но r1r2…rk=r1’r2’…rk’. В левой  и  правой
частях стоит произв-е всех вычитов из привед-й с-ы наим-х  полож-х  вычитов.
Эти произв-я взаимно просты с mod m, т.к. Ґ множ-ль с mod m  взаимно  прост.
=> ak?1(mod m), т.к. k= ?(m) => а?(m) ?1(mod m)+
Теорема Ферма. Если m=p простое число и НОД(а,р)=1, то ар-1?1(mod  m).  Док-
во. Если m=p,то ?(p)=p-1, тогда по теор-е  Эйлера  ар-1?1(mod  m).+  След-е.
Для ҐаЄZ, Ґp -простое число, ap?a(mod m).

Вопрос 16.
Бинарные отнош-я. Отнош-я экв-ти и разбиение на классы. Фактор мн-ва.
Прямое  произведение  2-х  мн-в:   A*B={(a,b)|aЄA,bЄB}.   Декартов   квадрат
A*A={(a,b)|a,bЄA}=A2.  Бинарное  отнош-е,  зад-е  на  паре  мн-в  A   и   B:
?[pic]A*B. Бинарное отнош-е, зад-е на мн-е A: ?[pic]A2.
Св-ва бин-х отнош-й: Пусть ? бин-я отнош-е опред-е на А, т.е.  ?[pic]А2.  1.
? рефлек-о: (Ґ?ЄА) (а?а). 2. ? симмет-о: (Ґa,bЄA) (a?b =>  b?a).  3.  транз-
ть: (Ґа,b,cЄA) (a?b ^ b?c => a?c). Бинарное отнош-е ?  опред-е  на  мн-ве  А
наз-ся отнош-м эквивал-ти, если оно реф-но, симмет-но и тран-но. Н-р: 1.  А-
мн-во прямых на плос-ти, ? –отнош-е параллел-ти. 2. Отнош-е подбие фигур  на
А точек пл-ти.
С-а  S={A1,A2,…An} непустых подмн-в мн-ва А наз-ся  разбиением  мн-ва  А  на
классы, если ҐаЄА попад-т в ! подмн-во из системы S.Тогда  –разбиение  А  на
классы,  если   вып-ся   1)Ai?Ш,   i=1,2,…n   2)   A1[pic]   A2[pic]…   An=A
3)Ai[pic]Aj=Ш, i?j.
Теорема. Ґ разбиению мн-ва А на классы соответствует  отношение  эквивал-ти.
Док-во. Пусть S={A1,A2,…An} разбиение мн-ва А. Определим на А бинар-е отнош-
е ? т.о.: а?b ( a,bЄAi (*). AiЄS. Покажем, что так опред-е отнош-е ?  явл-ся
отнош-м экв-ти, т.е. оно рефл-о, сим-о, тран-о. 1)Из (*) => а?а, т.к. Ґ  эл-
т нах-ся в 1 подмн-ве с самим собой. 2) Из (*)  =>  b,aЄAi  (  b?a.  a?b  =>
b?a.3)Пусть а?b ^ b?c  =>  a,bЄAi^  b,cЄAj?Ш,  что  противоречит  требованию
3)разбиения => Ai=Aj. A,bЄAi ^ b,cЄAi => a,cЄAi. а?b ^ b?c => a?c.+ Пусть  ?
отношение эквив-ти опред-е на мн-ве А. Выберем в А все элы, нах-ся в  отнош-
и ? с эл-ми а, образ-е из них мн-во обозн-м [a]. [a]={x|xЄA,x?a}. Мн-во  [a]
наз-ся смежным классом мн-ва А по отнош-ю эквив-ти ?.
Теорема. Если ? отнош-е эквив-ти на мн-ве А, то с-а всех смежных классов мн-
ва А явл-ся разбиением мн-ва А.Док-во.Пусть ? отнош-е эквив-ти на А.  Рассм-
м смежный класс ҐаЄА, [a]={x|xЄA,x?a}. Покажем, что  с-а  разлож-я   смежных
классов обр-т разбиение мн-ва А. Т.к.  ?  рефлек-о,  т.е.  а?а  =>  [a]?  Ш.
Возьмем   произв-й    aЄA,    aЄ[a]    =>    aЄ[a][pic][b][pic][c][pic]…т.е.
А[pic][a][pic][b][pic][c][pic]…Т.к.          [a][pic]A,           [b][pic]A,
[c][pic]A…=>[a][pic][b][pic][c][pic]…  [pic]A.  Из  этих  2-х  включений  =>
[a][pic][b][pic][c][pic]…=A.  Покажем,  что   Ґa,bЄA,   a?b(с   чертой)   =>
[a][pic][b]=Ш. Предположим: пусть [a][pic][b]?Ш => сущ-т сЄ[a]  ^  cЄ[b]  =>
a?c ^ c?b => но это  противоречит  усл-ю  a?b(с  чертой)  =>  Ґa,bЄA,  a?b(с
чертой) => [a][pic][b]=Ш.+ Мн-во всех смежных классов  мн-ва  А  по  отнош-ю
эквивал-ти наз-ся фактор-мн-во А по отнош-ю ?. Обозн. А|?.

Вопрос 17.
Группа. Прост-е св-ва групп. Подгруппы. Изоморфизмы гомомор-ы групп.
Если  А?Ш,  то  n-мерной  алгеб-й  опре-й  наз-ся  «отношение  Аn  (А,  т.е.
(?1,?2,…?n)(( ?1,?2,…?n)ЄAn. Алгеб-й  с-й  наз-ся  не  пустое  мн-во  А,  на
котором опред-а совокуп-ть алгеб-х опер-й и отнош-й (А,[pic]f, [pic]p),  где
А основное мн-во,[pic]f совокуп-ть алг-х опер-й, [pic]p совокуп-ть  отнош-й.
Бинар-я  опер-я  (*)  на   мн-ве   А   наз-ся   ассоц-й,   если   (Ґa,b,cЄA)
(a*b)*c=a*(b*c).  Бин-я  опер-я  (*)  опред-я  на  А  наз-ся  комут-й,  если
(Ґa,bЄA) a*b=b*а. Полугруппой наз-ся с-а (А,*), сост-я из А?Ш и бин-й  опер-
и (*) опре-й на А, кот-я ассоц-а. Если (*) доп-о комут-а, то  полугр-а  наз-
ся комут-й или абелевой. Моноидом наз-ся с-а (А,е,*), сост-я из А?Ш,  выд-го
эл-та е и бин-й опер-и (*) опре-й на А, если выпол-ся 1) * - ассоц-а,  2)  е
– нейт-й Эл-т относ-о *. Группой наз-ся с-а G=(G,e,*,’), где G?Ш, e -  выд-й
эл-т, *- бинар-я опер-я, ' – унар-я опер-я, причем: 1)* ассоц-а, 2)e-  нейт-
й эл-т относ-о *,т.е. (ҐaЄA) a*e=e*a=a, 3) (ҐaЄA) (сущ-т a’ЄG)  a*a'=a'*a=e.
Если * ком-а, то группа абелева. Если * в  группе  обозн-ть  «+»,  то  имеем
аддит-ю группу, нейт-й Эл-т – «0», симмет-й для а: (-а)-  против-й.  Если  *
обоз-м *(точка), то имеем мультип-ю группу. Св-ва групп.  1)  Всякая  группа
имеет ! нейтр-й эл-т. Док-во. Всякая группа явл-ся  моноидом,  а  в  моноиде
нейт-й эл-т !. 2) Ґэл-та аЄG сущ-т ! симмет-й Эл-т. 3) (Ґa,bЄG) a*x=b (1)  и
 x*a=b (2) одноз-но раз-ы. Док-во. 1.  Рассм-м  (1).  x0  –  реш-е  (1),т.е.
a*x0=b. x0=е*x0=(a’*a)*x0=a’*(a*x0)=a’*b. x0=a’*b. Этот Эл-т опре-й  одно-о,
т.к. Ґa одноз-о опред-н a’ и * есть отоб-е. *:A2(А, т.е.  (a’,b)ЄA2.  Одно-м
соотв-т Эл-т из мн-ва А. В данном случае x0. (a’,b)(x0. Ур-е a*x=b  имеет  !
реш-е x0=a’*b. 2.Рассм-м (2). (x*a)*a’=b*a’. x*(a*a’)=b*a’. x*e=b*a’.  4)  В
группе  имеет  место  правило  сокр-я  a*c=b*c  =>  a=b.  c*a=c*b  =>a=b  5)
(a*b)’=b’*a’. 6) (а’)’=a.
Подмн-во А группы G наз-ся подгруппой этой  группы,  если  оно  само  явл-ся
группой относ-но установ-й на G опер-и. Чтобы установить явл-ся ли  подмн-во
А группы G группой нужно проверить 2 усл-я: для мульт-й  группы:  1.  Ґa,bЄA
=> abЄA 2. ҐaЄA => a-1ЄA.; для аддит-й группы: 1. Ґa,bЄA =>  a+bЄA  2.  ҐaЄA
=> -aЄA. Группа G и G’ наз-ся изоморфными,  если  можно  установить  взаимно
одноз-е  отобр-е  ?:  G  (  G’,  G=(G,e,*,’),  G’=(G’,e’,*,’),  при  котором
?(a*b)=?(a)*?(b). Группа G наз-ся циклич-й, если  все  ее  Эл-ы  могут  быть
предст-ы в виде целых степеней некоторого  ее  Эл-та  а.  Этот  Эл-т  наз-ся
образующим Эл-м.
Произ-е хА, ҐхЄG, A n=kj => n|k.+

Вопрос 18.
Кольца и поля.
Кольцом наз-ся с-а А=(А,0,1,+,-,*), А?Ш, 0,1 –выд-е Эл-ты, +,* бинар-е опре-
и, - унар-я опер-я, если 1) (А,0,+,-)  аддит-я  абел-я  группа,  2)  (А,1,*)
мульт-й моноид, 3)  a(b+c)=ab+ac,  (b+c)a=ba+ca,  Ґa,b,cЄA.  Кольцом  наз-ся
числ. множ., на котором выполняются три опер-и:  слож-е,  умнож-е,  вычит-е.
Св-ва колец. 1). A+b=a => b=0. 2)  a+b=0  =>  b=-a.  3)  a*0=0*a=0.  Док-во.
a*0+ab=a(0+b)=ab. a0+ab = ab => a0 = 0. 0a+ba = a(0+b) = ba. 0a+ba =  ba  =>
0a = 0. 4) a(-b) = (-a)b = -ab. Док-во. a(-b)+ab = a(-b+b) = a0=0.  a(-b)+ab
= 0 => a(-b) = -ab. 5) (-a)(-b) = ab. Док-во. (-a)(-b) = (-a)(-b)+0 = (-a)(-
b)+a(-b)+ab = ((-a)(-b)+a(-b))+ab = (-a+a)(-b)+ab = 0(-b)+ab =  0+ab  =  a(-
b)+ab = 0 => a(-b) = -ab. 6) a(b-c) = ab-ac. Док-во. a(b-c)  =  a(b+(-c))  =
ab+a(-c)  = ab-ac. Полем наз-ся коммут-е кольцо, в котором 0?1 для  Ґ  Эл-та
а?0 сущ-т обратный Эл-т. Р(Р,0,1,+,-,*) – поле, если 1) (Р,0,1,+,-,*) комут-
е кольцо 0?1. 2) ҐаЄЗ, а?0 сущ-т а-1ЄР. Если Р  –  числовое  мн-во,  то  для
поля можно дать опред-е. Эл-ты a,bЄA, где А кольцо, наз-ся  делителями  нуля
в кольце, если a?0, b?0, но ab=0.
Полем наз. числ множ.  на  котором  выполняются  4  операции:  слож,  умнож,
вычит, деление (кроме деления на 0). Св-ва полей. 1. ab = 1 => a?0,b =  a-1.
2. ac = bc ^ c?0 => a = b. 3. ab = 0 => a = 0 или b = 0. 4.  a?0  ^  b?0  =>
ab?0 , a/b = ab-1. 5. a/b = c/d ( ad =  bc.  6.  a/b±c/d  =  (ad±bc)/bd.  7.
(a/b)*(c/d) = (ac)/(bd). 8. a/b = (ac)/(bc), c?0. 9.  a/b+(-a/b)  =  0.  10.
(a/b)*(b/a) = 1.



смотреть на рефераты похожие на "Шпаргалки по геометрии, алгебре, педагогике, методике математики (ИГПИ) "