Математика

Элементарные конформные отображения


                                    ЕЛЕЦ
                  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ.



                               КУРСОВАЯ РАБОТА
                         ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

                 Тема: «Элементарные конфортные отображения»



                                            Выполнила: студентка группы М-31
                                           физико-математического факультета
                                                               Е.Г. Петренко


                                                       Научный руководитель:
                                                                О.А. Саввина



                                   1998 г.
                 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек [pic]и
[pic]. Если задан закон [pic], ставящий в соответствие каждому [pic] точку
(или точки) [pic], то говорят, что на множестве [pic]задана функция
комплексной переменной со значениями в множестве [pic]. Обозначают это
следующим образом: [pic]. (Часто говорят также, что [pic]отображает
множество [pic]в множество [pic].)
  Задание функции [pic] эквивалентно заданию двух действительных функций
[pic] и тогда [pic] , где [pic], [pic]. Как и в обычном анализе, в теории
функций комплексной переменной очень важную роль играют элементарные
функции. Рассмотрим некоторые из них.
    1. [pic] [pic] - линейная функция. Определена при всех [pic].
Отображает полную комплексную плоскость [pic]на полную комплексную
плоскость [pic] . Функция [pic]и обратная ей [pic]- однозначны. Функция
[pic]поворачивает плоскость [pic]на угол, равный [pic], растягивает
(сжимает) ее в [pic] раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на
величину [pic]. Непрерывна на всей комплексной плоскости.
    2.  [pic]. Определена на всей комплексной плоскости, причем [pic],
[pic]. Однозначна, непрерывна всюду, за исключением точки [pic]. Отображает
полную комплексную плоскость [pic]на полную комплексную плоскость [pic],
причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же
окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят
в точки, лежащие вне ее, и наоборот.
    3.  [pic] - показательная функция. По определению [pic], т.е. [pic],
[pic], [pic]. Из определения вытекают формулы Эйлера:
                        [pic]   ; [pic];       [pic];
Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней.
[pic]периодична с периодом [pic]. Отображает каждую полосу, параллельную
оси [pic], шириной [pic] [pic]в плоскости [pic]в полную комплексную
плоскость [pic]. Из свойств [pic]отметим простейшие: [pic] , [pic]
      4.  [pic]- логарифмическая функция (натуральный логарифм). По
определению: [pic].   [pic]Выражение    [pic]      называется главным
значением [pic], так что [pic]. Определен для всех комплексных чисел, кроме
[pic]. [pic] - бесконечно-значная функция, обратная к [pic]. [pic], [pic]
    5.  [pic] [pic]- общая показательная функция. По определению, [pic].
Определена для всех [pic], ее главное значение [pic], бесконечно-значна.
    6. Тригонометрические функции [pic];[pic];[pic];[pic]  По определению,
[pic];   [pic];
                                 [pic] ;       [pic]
    7.  Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же
функциями действительной переменной, а именно:
                           [pic] , [pic]
  Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.

                             Задачи с решением.
1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: [pic],
[pic], [pic], [pic],
  Решение. По определению,    [pic],[pic], [pic]; если [pic], то очевидно,
[pic], [pic],
                    [pic],  [pic],  [pic]
                  [pic],   [pic], [pic], [pic]
                  [pic], [pic], [pic], [pic]
  Найти суммы:
                     1)      [pic]
                     2)      [pic]
  Решение. Пусть:      [pic], а
                                  [pic]. Умножим вторую строчку на [pic],
сложим с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим: [pic]
[pic]; Преобразуя, получим:
              [pic],     [pic]
  3. Доказать, что:      1) [pic]        2)[pic]
                                       3)[pic]           4)[pic]
  Доказательство:
  1) По определению, [pic]
  2) [pic]
  3) [pic] ; [pic]
Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного
аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций:
1) [pic]; 2) [pic]; 3) [pic];
Решение: [pic] и, учитывая результаты предыдущего примера, получим:
[pic], [pic], [pic],
[pic]
Напомним, что [pic]
  2) [pic]
  [pic],  [pic],
  [pic]
  3) [pic]
  [pic]  , [pic]  ,
             [pic] , [pic] .
  Найти действительные и мнимые части следующих значений функций:
[pic]  ; [pic]  ; [pic]
  Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:
  [pic] ;  [pic] ;  [pic] ; [pic];
                [pic] ; [pic]
  Вычислить:      1) [pic];          3) [pic]  ;               5) [pic];
                2) [pic];     4) [pic] ;       6) [pic] ;
  Решение. По определению, [pic], [pic]
1)[pic],          [pic],       [pic],
                                          [pic]
2) [pic],       [pic],        [pic],
                                          [pic]
3) [pic],          [pic],       [pic], [pic]
4)[pic],      [pic],   [pic],
                                          [pic]
 5)[pic], [pic],  [pic],
                                           [pic]
 6)[pic],      [pic],   [pic],      [pic]
  Найти все значения следующих степеней:
      1) [pic];        2) [pic] ;       3)[pic] ;         4)[pic];
  Решение. Выражение  [pic] для любых комплексных [pic] и [pic]определяются
формулой [pic]
1) [pic]
2)[pic]
3)  [pic]
4) [pic].
8. Доказать следующие равенства:
                            1)   [pic];
                            2)  [pic];
                            3)   [pic]
Доказательство:   1) [pic], если [pic], или [pic] , откуда  [pic], или
[pic].
Решив это уравнение, получим [pic], т.е. [pic] и [pic]
2) [pic], если [pic], откуда  [pic], или [pic], следовательно,
             [pic],     [pic]
3) [pic], если [pic], откуда [pic], или
     [pic].
Отсюда  [pic], следовательно, [pic]




смотреть на рефераты похожие на "Элементарные конформные отображения"