Математика

Функция и ее свойства


                              Русская гимназия



                                  КОНСПЕКТ

                                  на тему:

                                   Функция



                                     Выполнил
                     ученик 10«Ф» класса    Бурмистров Сергей

                                   Руководитель
                                учитель Математики
                                    Юлина О.А.



                               Нижний Новгород
                                  1997 год
                            Функция и её свойства

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому  значению  х
          соответствует единственное значение у.
Переменная х- независимая переменная или аргумент.
Переменная у- зависимая переменная
Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х.
Область определения функции- все  значения,  которые  принимает  независимая
                             переменная.
Область  значений  функции  (множество  значений)-  все  значения,   которые
                                                принимает функция.
Функция является четной- если для любого х из  области  определения  функции
                          выполняется равенство f(x)=f(-x)
Функция является нечетной- если для любого х из области определения  функции
                          выполняется равенство f(-x)=-f(x)
Возрастающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2,
                       выполняется неравенство f(х1)f(х2)

                           Способы задания функции
- Чтобы задать функцию,  нужно  указать  способ,  с  помощью  которого  для
  каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение  функции.
  Наиболее  употребительным  является  способ  задания  функции  с  помощью
  формулы у=f(x), где f(x)-некоторое выражение  с  переменной  х.  В  таком
  случае говорят, что  функция  задана  формулой  или  что  функция  задана
  аналитически.
- На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом
  способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся  в
  таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются
  таблица квадратов, таблица кубов.

                         Виды функций и их свойства

1) Постоянная функция-  функция,  заданная  формулой  у=b,  где  b-некоторое
  число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная  оси
  абсцисс   и   проходящая   через   точку    (0;b)    на    оси    ординат


2) Прямая пропорциональность- функция,  заданная  формулой  у=kx,  где  к(0.
  Число k называется коэффициентом пропорциональности.
                           Cвойства функции y=kx:
 1. Область определения функции- множество всех действительных чисел
 2. y=kx - нечетная функция
 3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Линейная функция- функция, которая задана формулой  y=kx+b,  где  k  и  b-
  действительные числа. Если  в  частности,  k=0,  то  получаем  постоянную
  функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.
                          Свойства функции y=kx+b:
 1. Область определения- множество всех действительных чисел
 2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.
 3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
  Графиком функции является прямая.

4)Обратная пропорциональность- функция, заданная  формулой  y=k/х,  где  k(0
  Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.
                           Свойства функции y=k/x:
 1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля
 2. y=k/x- нечетная функция
 3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+() и  на  промежутке  (-
    (;0). Если k<0,  то  функция  возрастает  на  промежутке  (-(;0)  и  на
    промежутке (0;+().
  Графиком функции является гипербола.
5)Функция y=x2
                              Свойства функции y=x2:
 1. Область определения- вся числовая прямая
 2. y=x2 - четная функция
 3. На промежутке [0;+() функция возрастает
 4. На промежутке (-(;0] функция убывает
  Графиком функции является парабола.

6)Функция y=x3
                           Свойства функции y=x3:
 1. Область определения- вся числовая прямая
 2. y=x3 -нечетная функция
 3. Функция возрастает на всей числовой прямой
  Графиком функции является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем-  функция,  заданная  формулой
  y=xn, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства
  рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции  y=x2;  y=x3.  Их  свойства
  рассмотрены выше.
       Пусть n- произвольное четное число, большее  двух:  4,6,8...  В  этом
  случае функция y=xn обладает теми же  свойствами,  что  и  функция  y=x2.
  График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика  при  |х|>1
  тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем «теснее  прижимаются»
  к оси Х, чем больше n.
        Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В  этом
  случае функция y=xn обладает теми же  свойствами,  что  и  функция  y=x3.
  График функции напоминает кубическую параболу.
8)Степенная функция с целым  отрицательным  показателем-  функция,  заданная
  формулой y=x-n,  где  n-  натуральное  число.  При  n=1  получаем  y=1/х,
  свойства этой функции рассмотрены в п.4.
            Пусть n-  нечетное  число,  большее  единицы:  3,5,7...  В  этом
  случае функция y=x-n обладает  в  основном  теми  же  свойствами,  что  и
  функция y=1/х.
            Пусть n- четное число, например n=2.
                           Свойства функции y=x-2:
 1. Функция определена при всех x(0
 2. y=x-2 - четная функция
 3. Функция убывает на (0;+() и возрастает на (-(;0).
      Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.

9)Функция y=(х
                              Свойства функции y=(х:
 1. Область определения - луч [0;+().
 2. Функция y=(х - общего вида
 3. Функция возрастает на луче [0;+().

10)Функция y=3(х
                           Свойства функции y=3(х:
 1. Область определения- вся числовая прямая
 2. Функция y=3(х нечетна.
 3. Функция возрастает на всей числовой прямой.

11)Функция y=n(х
      При четном n  функция обладает  теми  же  свойствами,  что  и  функция
  y=(х. При нечетном n функция y=n(х обладает теми  же  свойствами,  что  и
  функция y=3(х.



12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция,  заданная
  формулой y=xr, где r- положительная несократимая дробь.
                           Свойства функции y=xr:
 1. Область определения- луч [0;+().
 2. Функция общего вида
 3. Функция возрастает на [0;+().
      На  рисунке  изображен  график  функции  y=x5/2.  Он  заключен   между
  графиками функций y=x2 и y=x3, заданных на промежутке [0;+().Подобный вид
  имеет любой график функции вида y=xr, где r>1.
      На рисунке изображен график функции y=x2/3. Подобный вид имеет график
  любой степенной функции y=xr , где 0

смотреть на рефераты похожие на "Функция и ее свойства"