Математика

Шпоры по Вышке (ИГЭА, Препод Дыхта В.А.)




|Осн. понятия    |Сходящиеся и    |Экспонента или  |Предел ф-ции в  |Пределы ф-ции на|
|Грани числовых  |расходящиеся    |число е         |точке           |бесконечности   |
|мн-в            |посл-ти         |Ф-ции одной     |Свойства предела|Два             |
|Числовые        |Св-ва сходящихся|переменной      |ф-ции в точке   |замечательных   |
|последовательнос|посл-тей        |Обратные ф-ции  |Односторонние   |предела         |
|ти              |Теорема «Об     |                |пределы ф-ции в |Б/м ф-ции и их  |
|Непр. ф-ции на  |единственности  |                |т-ке:           |сравнения       |
|пр-ке           |пределов»       |                |Предел ф-ции в  |Непрерывные     |
|                |Теорема         |                |т-ке            |ф-ции.          |
|                |«Сходящаяся     |                |Предел и        |Непрерывность.  |
|                |посл-ть         |                |непрерывность   |                |
|                |ограничена»     |                |функции         |                |
|                |Теорема «О      |                |Предел.         |                |
|                |сходимости      |                |Односторонний   |                |
|                |монотон.        |                |предел.         |                |
|                |посл-ти»        |                |                |                |
|1. Осн. понятия |4. Сходящиеся и |6. Экспонента   |Предел ф-ции в  |11. Пределы     |
|Мат.модель –    |расходящиеся    |или число е     |точке           |ф-ции на        |
|любой набор     |посл-ти         |Р-рим числ.     |y=f(x) X        |бесконечности   |
|кр-ний;         |Большое внимание|посл-ть с общим |опр. ( {xn} (X, |Они нужны для   |
|неравенств и    |уд-ся выяснению |членом          |xn(x0           |исследования    |
|иных мат.       |вопроса:        |xn=(1+1/n)^n (в |f(xn)(A,=> f(x) |поведения ф-ции |
|Соотношений,    |обладает ли     |степени n)(1) . |в т. x0 (при ,  |на переферии.   |
|которая в       |данная посл-ть  |Оказывается, что|xn(x0) предел = |Опр. ф-ция f(x) |
|совокупности    |сл-щим св-вом   |посл-ть (1)     |А               |имеет предел    |
|описывает       |(сходимости) при|монотонно       |А=lim(x(x0)f(x) |число А при x(+(|
|интересующий нас|неогранич.      |возр-ет,        |или f(x)(A при  |если ( {xn}     |
|объект.         |Возрастании     |ограничена      |x(x0            |которая (к +(   |
|Мн-во вещест.   |номеров посл-ти |сверху и сл-но  |Т-ка x0 может ( |соответствующая |
|чисел           |эл-ты посл-ти   |явл-ся          |и ( мн-ву Х.    |ей              |
|разбивается: на |сколь угодно    |сходящейся,     |                |последовательнос|
|рационал. и     |близко          |предел этой     |Свойства предела|ть {f(xn)}(A в  |
|иррац. Рац. –   |приближаются к  |пос-ти наз-ся   |ф-ции в точке   |этом случае мы  |
|число, которое  |некоторому числу|экспонентой и   |1) Если предел в|пишем           |
|можно           |а или же этого  |обозначается    |т-ке сущ-ет, то |lim(x(+()f(x)=A.|
|представить в   |св-ва нет.      |символом        |он единственный |Совершенно      |
|виде p/q где p и|Опр Если для    |е(2,7128…       |2) Если в тке х0|аналогично с -(.|
|q – цел. числа. |любого ( >0     |Док-ть          |предел ф-ции    |                |
|Иррац. – всякое |найдется такой  |сходимость      |f(x)            |Опр. Будем      |
|вещественное    |номер N, для    |посл-ти (1)     |lim(x(x0)f(x)=A |говорить что    |
|число, которое  |любого n        |Для док-ва      |lim(x(x0)g(x)(B=|ф-ция f(x) имеет|
|не явл.         |>N:(xn-a(< (    |введем вспом-ю  |> то тогда в    |пределом число А|
|рационал.       |Все посл-ти     |ф-цию           |этой т-ке (     |при x(( {f(xn)} |
|Любое вещ. число|имеющие предел  |y=(1+x)^1/x, x>0|предел суммы,   |сходится к А    |
|можно           |наз-ся          |Ясно что при    |разности,       |Бесконечные     |
|представить в   |сходящимися, а  |знач.           |произведения и  |пределы ф-ции   |
|виде бесконеч.  |не имеющее его  |x=1,1/2,1/3,…,1/|частного.       |Вводятся как    |
|десят. Дроби а, |наз-ся          |n,… значение    |Отделение этих  |удобные         |
|а1,а2…аn… где а |расходящимися.  |ф-ции y         |2-х ф-ций.      |соглашения в    |
|–люб. число, а  |                |совпадает с     |а)              |случае, когда   |
|а1, а2 … аn     |Связь сходящихся|соответствующими|lim(x(x0)(f(x)(g|конечные пределы|
|числа, приним.  |посл-тей и б/м. |эл-ми (1).      |(x))=A(B        |не (-ют.        |
|целые знач.     |Дает сл. теорему|Док-м что ф-ция |б)              |Р-рим на        |
|Некоторые       |                |у монотонно     |lim(x(x0)(f(x)(g|премере:        |
|числовые        |Теорема Для того|убывает и огран.|(x))=A(B        |lim(x(o+)(1/x)  |
|множества.      |чтобы посл-ть xn|сверху =>       |в)              |Очевидно не     |
|Мн-ва –         |имела пределом  |монотонное возр.|lim(x(x0)(f(x):g|сущ-ет, т.к. для|
|первичное       |число а         |посл-ти (1) и   |(x))=A/B        |( {xn}(+о       |
|понятие, на     |необходимо,     |ограниченность  |г) lim(x(x0)C=C |посл-ть         |
|уровне здравого |чтобы эл-ты этой|ее сверх.       |д)              |{f(xn)}={1/xn}, |
|смысла, его не  |посл-ти можно   |Поскольку lg x  |lim(x(x0)C(f(x)=|а числ. посл-ть |
|возможно точно  |было представить|явл-ся монотонно|C(A             |сводятся к +(.  |
|определить.     |в виде xn=a+(n, |возр., но       |Док-во xn(x0, ( |Поэтому можно   |
|Для описания    |где посл-ть     |монотонное убыв.|lim(x(x0)f(x)=A |записать        |
|мн-в единая     |{(n}(0, т.е.    |ф-ции у и ее    |по опр.  f(xn)(A|lim(x(o+)1/x=+( |
|символика, а    |является б/м.   |огранич. сверху |{f(xn)}         |что говорит о   |
|именно, если в  |Док-во          |эквивалентны    |Односторонние   |неограниченных  |
|мн-во А входят  |а) Допустим, что|том, что ф-ция  |пределы ф-ции в |возрастаниях    |
|только эл. х,   |xn(a и укажем   |lgy, которая    |т-ке:           |предела ф-ции   |
|которые обладают|посл-ть (n      |равняется       |Опр. А - предел |при приближении |
|некоторым св-вом|удовл. равенству|1/хlg(1+x) (2)  |ф-ции f(x)      |к 0.            |
|S(x), то тогда  |xn=a+(n. Для    |имеет те же     |справа от точки |Аналогично с -(.|
|мн-во А         |этого просто    |самые св-ва,    |х0, если f(x)(A |                |
|описывается     |положим (n=xn-a,|т.е. 0x0|Более того      |
|А={х( вып-ся усл|тогда при       |тогда           |                |символы +( и -( |
|S(x)}.          |n(((xn-a( равно |1/x1(lg(1+x1)>1/|Формально это   |употребляются в |
|Подмн-ва – если |растоянию от xn |x2( (lg(1+x2)   |означает, что   |качестве предела|
|А и В 2 мн-ва и |до а ( 0 => (n  |(3). Огранич.   |для любой       |ф-ции в данной  |
|все эл-ты мн-ва |б/м и из        |сверху (        |посл-ти {xn}(x0,|т-ке лишь       |
|А сод-ся в В, то|равенства       |M:1/xlg(1+x)(lgM|вып-ся условие  |условно и       |
|А наз-ся        |преобразования  |(x>0 (4).       |xn>x0, f(x)(A.  |означают        |
|подмн-вом В, А  |определяю (n    |Возьмем любую   |Обозначим       |например, что   |
|В, если в В     |получаем        |лин. ф-цию вида |f(x0+0) и f(x0+)|если {xn}(x0 то |
|сод-ся эл-ты    |xn=a+(n.        |y=kx которая    |lim(x(x0+0)f(x)(|{f(xn)}(((,(    |
|отличные от     |                |превосходит     |                |12. Два         |
|эл-тов мн-ва А, |Свойство б/м    |lg(1+x) при всех|И также с       |замечательных   |
|то В строго шире|Если {xn},{yn}- |x>0.            |минусами.       |предела         |
|А, то А наз-ся  |любые посл-ти,  |tg(1=(lg(1+x1))/|Признак (       |1)              |
|собственным     |то их сумма     |x1              |предела         |lim(x(0)sin/x=1 |
|подмн-вом В.    |{xn+yn}, это    |(1>(2=>tg(1>tg(2|Т-ма Для того   |                |
|А(В. А=В- мн-ва |есть пос-ть с   |                |чтобы f(x) имела|2) Явл.         |
|совпадают.      |общим членом    |tg(2=(lg(1+x2))/|предел в т-ке х0|обобщением      |
|Операции с      |xn+yn.          |x2              |необх., тогда в |известного      |
|мн-воми А       |Аналогично с    |Поскольку (1>(2,|этой т-ке ф-ция |предела о       |
|В={х!х принадл. |разностью,      |то tg(1>tg(2, а |f имеет         |посл-ти.        |
|либо А, либо В} |частным и       |это равносильно |совпадающ. Между|Справедливо сл. |
|– обьединение   |умножением.     |равенству (3).  |собой одностор. |предельное      |
|мн-в А и В.     |Т-ма о св-вах   |Поскольку       |предел          |соотношение:    |
|А( В={х(х(А и   |б/м             |y>lg(1+x) (x>0  |(f(x0+)=f(x0-)  |lim(n(()(1+1/n)^|
|х(В} пересечение|а) {xn}и{yn}-б/м|=> kx>          |(1), которые    |n=e (1)         |
|мн-в А и В.     |пос-ти, б/м     |>lg(1+x) (x>0   |равны пределу   |lim(n(0)(1+x)^1/|
|А\ В={х(х(А, но |1) их сумма,    |Принимая во     |ф-ции.          |x=e (2)         |
|х(В}дополн. к   |разность и      |внимания ф-ции у|Док-во. f(x)    |t=1/x => при х(0|
|м-ву В во мн-ве |произведение    |с пос-ть xn     |имеет в т-ке х0 |t(( из предела  |
|А               |являются б/м    |приходим к      |предел А, тогда |(2) => lim(x(() |
|Числовые мн-ва  |2) Произведение |нужному         |f(x)(A          |(1+1/x)^x=e (3) |
|                |любой огранич.  |утверждению.    |независимо от   |Док-во          |
|R,N,Z,Q -       |посл-ти на б/м  |Число е явл-ся  |того            |1)x(+( n x:n=[x]|
|стандартные     |являются б/м    |неизбежным      |приближается ли |=> n(x   |
|обозначения мн-в|!О частном не   |спутником       |х к х0 по       |1/(n+1)<1/x<1/n |
|на числ. прямой.|говорят, т.е.   |динамических    |значению больше |Посколько при   |
|(а,в)= {х(а<х<в}|частное б/м     |процессов: почти|х0 или меньше   |ув-нии основания|
|– интервал из R |может не быть   |всегда          |это означает    |и степени у     |
|(открытый       |б/м.            |показатели      |равенство (1)   |показательной   |
|промежуток, т.к.|Посл-ть {xn}    |изменяющиеся во |                |ф-ции, ф-ция    |
|не содержит     |явл. б/б, если  |времени         |Предел ф-ции в  |возрастает, то  |
|границ)         |для любого числа|характеризующие |т-ке            |можно записать  |
|[а,в] –         |с>0 сущ-ет номер|такие процессы  |Число А наз-ся  |новое           |
|замкнутый       |N для всех      |зависят от      |пределом ф-ции в|неравенство     |
|промежуток  сод.|номеров n>N     |времени через   |т-ке х0 если    |(1/(n+1))^n((1+1|
|гранич. т-ки.   |(xn(>c.         |экспонициальную |((>0 найдется   |/n)^x(          |
|(а,в] –         |!Понятие б/б не |ф-цию y=e^x и ее|такое число В>0,|(1+1/n)^(n+1)   |
|полуинтервал.   |совпадает с     |модификации.    |для всех х      |(4)             |
|Окрестностью    |неограниченной: |Пр-р: если      |отличных от х0 и|Рассмотрим      |
|т-ки х наз-ся   |посл-ть может   |ставка сл-ных % |(х-х0)<0 должно |пос-ти стоящие  |
|любой интервал  |быть неогранич.,|равна r и       |(f(x)-A(<(      |справа и слева. |
|содержащий т-ку |но не является  |инвестор положил|( ( >0 из       |Покажем что их  |
|х, необязательно|б/б.            |в банк          |(х-х0(<( должно |предел число е. |
|симметричную.   |Пример          |первоначальный  |быть            |Заметим (х(+(,  |
|2. Грани        |1,1/2,3,1/4,5,1/|вклад равный Р  |Пусть           |n(()            |
|числовых мн-в   |6,7… явл.       |причем %        |(f(x)-x0(<(,    |lim(n(()(1+1/(n+|
|Пусть Х –       |неогранич., т.е.|начисляются m   |если (=(, то    |1))=lim(n(()(1+1|
|непустое мн-во  |принимает сколь |раз в год (r-   |(х-х0(<( =>     |/(n+1))^n+1-1=  |
|веществ. чисел. |угодно большие  |годовая  ставка)|(f(x)-x0(<(     |lim(n(()(1+1/(n+|
|Мн-во Х назся   |по модулю       |тогда через n-  |                |1))^n+1(lim(n(()|
|огран.          |значения, однако|лет наращенная  |Свойства        |1/(1+1/(n+1))=e |
|сверху(снизу),  |в ней имеются   |сумма нач-ся по |пределов.       |lim(n(()(1+1/n)^|
|если сущ-ет     |эл-ты со сколь  |ф-ле сл. % при m|Непрерывность   |n+1=            |
|число с такое,  |угодно большими |кратном их      |ф-ции.          |lim(n(()(1+1/n)^|
|что для любого х|номерами        |начислению.     |Ф-ция f(x)      |n(              |
|Х вып-ся        |принимающие     |Sn=P(1+r/m)^mn  |непрерывна в    |lim(n(()(1+1/n)=|
|неравенство     |дробные знач. и |(5) Предположим |т-ке х0 если    |e(1=e           |
|с(х(х(с). Число |сколь угодно    |теперь % нач-ся |предельное      |2) x(-(. Сведем |
|с наз-ся        |малые по модулю.|непрерывным     |значение в этой |эту ситуацию к  |
|верхн.(нижн.)   |                |образом, т.е.   |т-ке равно      |пред. Случаю    |
|гранью мн-ва Х. |                |число периодов  |самому знач. в  |путем замены    |
|Мн-во, огран.   |Св-ва сходящихся|нач-ния         |этой точке.     |переменной y=-x |
|сверху и снизу  |посл-тей        |неограничено    |Предел и        |=> y(+(, при    |
|наз-ся          |Теорема «Об     |ув-ся. Мат-ки   |непрерывность   |x(-(.           |
|ограниченым     |единственности  |это соотв-ет    |функции         |lim(x(-()(1+1/x)|
|Если мн-во имеет|пределов»       |тому, что       |Пусть ф-ция f(x)|^x=lim(y(+()(1-1|
|1 верхнюю грань |Если посл-ть xn |выражение (5)   |определена на   |/y)^-y=         |
|то она имеет их |сходится, то она|надо р-равать,  |некотором пр-ке |lim(y(+()((y-1)/|
|бесчисленное    |имеет           |как общий член  |Х* и пусть точка|y)^y=lim(y(+()(1|
|мн-во.          |единственный    |посл-ти Xm, а   |х0(Х или х0(Х.  |+1/(y-1))^y=e   |
|Пример X=R+ -   |предел.         |непрерывному    |Опр. Число А    |3) Пусть x((    |
|ограничено      |Док-во (от      |нач-нию соот-ет |наз-ся пределом |произвольным    |
|снизу, но не    |противного)     |наращенная ф-ция|ф-ции f(x) в    |образом это     |
|сверху, значит  |{xn} имеет два  |lim(n(()P(1+r/m)|точке х=х0, если|означает при    |
|не ограничено.  |разл. Предела a |^mn=Pe^rn       |для ( (>0 ( (>0 |любом любом     |
|Точные грани    |и b, а(b. Тогда |Lg(e)x имеет    |такое, что для  |выборе посл-ти  |
|числовых мн-в   |согласно        |спец.           |всех х(Х, х(х0, |xn сходящихся к |
|Пусть мн-во Х   |определению     |Обозначение lnx.|удовлетвор.     |(( мы должны    |
|ограничено      |пределов любая  |                |неравенству     |иметь в силу (3)|
|сверху, если это|из окрестностей |Принцип         |(х-х0(<(,       |соотношение     |
|мн-во содержит  |т. а содержит   |вложенных       |выполняется     |lim(x(()(1+1/xn)|
|макс число, т.е.|все эл-ты       |отрезков        |неравенство     |^xn=e (5)       |
|наименьшую из   |посл-ти xn за   |Пусть на        |(f(x)-A(<(.     |Условие 5~3, т.е|
|своих верхних   |исключением     |числовой прямой |Пример Используя|расшифровка 3 на|
|граней, то это  |конечного числа |задана посл-ть  |определение,    |языке посл-ти.  |
|число назся макс|и аналогичным   |отрезков        |док-ть что ф-ция|Выделим из      |
|мн-ва Х и       |св-вом обладает |[a1,b1],[a2,b2],|f(x)=C(C-некотор|посл-ти xn 2    |
|обозначается    |любая           |…,[an,bn],…     |ое число) в     |подпосл-ти:     |
|Х*=maxX. Если   |окрестность в   |Причем эти      |точке           |{x‘n}(+(,       |
|мн-во содержит  |точке b. Возьмем|отрезки удовл-ют|х=х0(х0-любое   |{x‘‘n}(-(. Для  |
|мин число Х* ,  |два радиуса (=  |сл. усл.:       |число) имеет    |каждой посл-ти  |
|то оно min мн-ва|(b-a)/2, т.к.   |1) каждый       |предел, равный  |по доказанному в|
|Х               |эти окрестности |посл-щий вложен |С, т.е. lim     |п.1 и п.2       |
|Пример Х=[0,1)  |не пересекаются,|в предыдущий,   |(x(x0)C=C       |справедливо     |
|то max[0,1) не  |то одновременно |т.е.            |Возьмем любое   |предельное      |
|(. min [0,1)=0  |они не могут    |[an+1,bn+1]([an,|(>0. Тогда для  |соотношение 5   |
|Число Х* наз-ся |содержать все   |bn], (n=1,2,…;  |любого числа (>0|если заменить   |
|точной верхн.   |эл-ты начиная с |2) Длины        |выполняется     |xn(x‘nx‘‘n. По  |
|гранью, мн-ва Х,|некоторого      |отрезков (0 с   |треюуемое       |т-ме о связи    |
|если во-первых  |номера. Получим |ростом n, т.е.  |неравенство     |13. Б/м ф-ции и |
|оно явл. верхн. |противоречие    |lim(n(()(bn-an)=|(f(x)-C(=(C-C(=0|их сравнения    |
|гранью этого    |теор. док-на.   |0. Посл-ть с    |<(, =>          |Опр. Ф-ция ((х) |
|мн-ва, а        |Теорема         |указанными      |lim(x(x0)C=C    |наз-ся б/м  если|
|во-вторых при   |«Сходящаяся     |св-вами наз-ют  |Свойства        |ее предел в этой|
|сколь угодном   |посл-ть         |вложенными.     |пределов.       |т-ке равен 0 из |
|уменьшении Х*   |ограничена»     |Теорема  Любая  |Непрерывность   |этого           |
|получ. число    |Пусть посл-ть   |посл-ть         |ф-ции.          |определения     |
|перестает быть  |{xn}(а ( >о     |вложенных       |Теорема. Пусть  |вытекает        |
|верх. гранью    |N:(n>N(xn-a(<(  |отрезков        |ф-ции f(x) и    |следующее св-во |
|мн-ва.          |эквивалентна    |содержит единную|g(x) имеют в    |б/м ф-ций:      |
|Верхн. грань –  |а-(N |т-ку с          |т-ке х0 пределы |а)              |
|supX=x*, а нижн.|=> что каждый из|принадлежащую   |В и С. Тогда    |Алгебраическая  |
|грань infX=x*   |членов посл-ти  |всем отрезкам   |ф-ции           |сумма и         |
|Теорема. Любое  |удовлетворяет   |посл-ти         |f(x)(g(x),f(x)g(|произведение б/м|
|непустое        |неравенству(xn((|одновременно, с |x) и  f(x)/g(x) |ф-ций есть б/м  |
|ограниченное    |c = max         |общая точка всех|(при С(0) имеют |ф-ции.          |
|сверху (снизу)  |{(a-((,(a+((,(xn|отрезков к      |в т-ке х0       |б) Произведение |
|числ. мн-во     |(,…,(xn-1(}     |которой они     |пределы, равные |б/м ф-ции на    |
|имеет точную    |Теорема «Об     |стягиваются.    |соответственно  |ограниченную    |
|верх(ниж) грань.|арифметических  |Док-во          |В(С, В(С, В/С,  |ф-цию есть б/м  |
|                |дейсьвиях»      |{an}-посл-ть    |т.е.            |ф-ция, т.е. если|
|Таким образом у |Пусть посл-ть   |левых концов    |lim[f(x)(g(x)]= |((х)(0 при х(х0,|
|огран. мн-ва обе|{xn}(a,{yn}(b   |отрезков явл.   |B(C,            |а f(x)          |
|грани (, док-во |тогда           |монотонно не    |lim[f(x)(g(x)]= |определена и    |
|основано на     |арифметические  |убывающей и     |B(C,            |ограничена ((   |
|непрерывности   |операции с этими|ограниченной    |lim[f(x)/g(x)]= |С:(((х)((С)=>   |
|мн-ва действит. |посл-тями       |сверху числом   |B/C             |((х)((х)(0 при  |
|чисел.          |приводят к      |b1.             |Теорема также   |х(х0            |
|3. Числовые     |посл-тям также  |{bn}-посл-ть    |верна если х0   |Для того чтобы  |
|последовательнос|имеющие пределы,|правых концов   |явл. ((, ((, (  |различать б/м по|
|ти              |причем:         |монотонно не    |Опр. Ф-ция f(x) |их скорости     |
|Если для каждого|а) предел       |возрастающей,   |наз-ся          |стремления к 0  |
|нат. числа n    |lim(n(()(xn(yn)=|поэтому эти     |непрерыной в    |вводят сл.      |
|определено      |a(b             |посл-ти явл.    |точке х=х0, если|понятие:        |
|некоторое       |б) предел       |сходящимися,    |предел ф-ции и  |1) Если         |
|правило         |lim(n(()(xn(yn)=|т.е. сущ-ют     |ее значение в   |отношение 2-х   |
|сопоставляющее  |a(b             |числа           |этой точке      |б/м ((х)/((х)(0 |
|ему число xn, то|в) предел       |с1=lim(n(()an и |равны, т.е.     |при х(х0 то     |
|мн-во чисел     |lim(n(()(xn/yn)=|с2=lim(n(()bn =>|lim(x(x0)f(x)=f(|говорят что б/м |
|х1,х2, … ,хn, … |a/b, b(0        |c1=c2 => c  - их|x0)             |( имеет более   |
|наз-ся  числовой|Док-во:         |общее значение. |Теорема Пусть   |высокий порядок |
|последовательнос|а)xn(yn=(а+(n)((|Действительно   |ф-ции f(x) и    |малости чем (.  |
|тью и           |b+(n)=(a(b)+((n(|имеет предел    |g(x) непрерывны |2) Если         |
|обозначается    |(n) Правая часть|lim(n(()(bn-an)=|в т-ке х0. Тогда|((х)/((х)(A(0   |
|{xn}, причем    |полученная в    |lim(n(()(bn)-   |ф-ции f(x)(g(x),|при х(х0        |
|числа образующие|разности        |lim(n(()(an) в  |f(x)(g(x) и     |(A-число), то   |
|данную посл-ть  |представляет    |силу условия 2) |f(x)/g(x) также |((х) и ((х)     |
|наз-ся ее эл-ми,|сумму числа a+b |o=              |непрерывны в    |наз-ся б/м      |
|а эл-т хn общим |б/м посл-тью,   |lim(n(()(bn-an)=|этой т-ке.      |одного порядка. |
|эл-том посл-ти .|поэтому стоящая |с2-с1=> с1=с2=с |10. Предел.     |3) если         |
|                |в левой части   |Ясно что т. с   |Односторонний   |((х)/((х)(1 , то|
|!Порядок        |xn+yn имеет     |общая  для всех |предел.         |((х) и ((х)     |
|следования      |предел равный   |отрезков,       |Опр.Числом А    |наз-ся          |
|эл-тов оч.      |a(b. Аналогично |поскольку (n    |наз-ся предел   |эквивалентными  |
|важен,          |др. св-ва.      |an(c(bn. Теперь |f(x) в т-ке х0, |б/м (((х)~((х)),|
|перестановка    |б)              |докажем что она |если для любой  |при х(х0.       |
|хотя бы 2-х     |xn(yn=(а+(n)((b+|одна.           |окрестности А(  |4) Если         |
|эл-тов приводит |(n)=ab+(nb+a(n+(|Допустим что (  |окрестность     |((х)/(^n(х)(А(0,|
|к др. посл-ти.  |n(n             |другая с‘ к     |(х0):(x(окрестно|то ((х) наз-ся  |
|Основные способы|(n(b – это      |которой         |сти (x0)        |б/м n-ного      |
|задан. посл-ти: |произведение    |стягиваются все |выполняется     |порядка         |
|а) явный, когда |const на б/м    |отрезки. Если   |условие         |относительно    |
|предъявляется   |а((n(0, (n(n(0, |взять любые не  |f(x)(окрестности|((х).           |
|ф-ла позволяющая|как произведение|пересекающиеся  |.               |Аналогичные     |
|по заданному n  |б/м.            |отрезки с и с‘, |Теорема Все     |определения для |
|вычислить любой |=> поэтому в    |то с одной      |определения     |случаев: х(х0-, |
|эл-т n, т.е.    |правой части    |стороны весь    |предела         |х(х0+, х(-(,    |
|xn=f(n), где f- |стоит сумма     |«хвост» посл-тей|эквивалентны    |х(+( и х((.     |
|некоторая ф-ция |числа а(b+ б/м  |{an},{bn} должен|между собой.    |14. Непрерывные |
|нат. эл-та.     |посл-ть. По т-ме|нах-ся в        |Опр. Число А    |ф-ции.          |
|б) неявный, при |О связи         |окрестностях    |называется      |Непрерывность.  |
|котором задается|сходящихся      |т-ки с‘‘(т.к. an|пределом ф-ции  |Опр. f(x)       |
|некоторое       |посл-тей в б/м  |и bn сходятся к |f(x) справа от  |непрерывны Х0 и |
|рекуррентное    |посл-ти в правой|с и с‘          |т.х0(правым     |при этом ее     |
|отношение и     |части xn(yn     |одновременно).  |предело f(x0))  |предел в этой   |
|несколько первых|сводится к a(b  |Противоречие    |если f(x)(A при |т-ке сущ-ет и   |
|членов посл-ти. |Практический    |док-ет т-му.    |х(х0, х>x0      |равен знач.     |
|Пример:         |вывод состоит в |Принцип         |Формально это   |ф-ции в этой    |
|а) xn=5n x1=5,  |том, что нахожд.|вложенных       |означает, что   |т-ке, т.е.      |
|x2=10           |пределов        |отрезков        |для любой       |lim(x(x0)f(x)=f(|
|б) x1=-2 xn=4n-1|посл-тей        |Т-ма. Любая     |посл-ти         |x0)-непрерывност|
|–3, n=2,3…      |заданных сл.    |пос-ть вложенных|сходящейся к х0 |ь ф-ции в т-ке. |
|х2=-11, х3=-47  |выражениями     |отрезков        |при xn>x0       |Из определения  |
|                |можно сводить к |содержит        |выполняется     |вытекает что в  |
|Ограниченные    |более простым   |единств. т-ку   |условие f(xn)(A |случае          |
|последовательнос|задачам         |с(всем отрезкам |Запись: f(x0+o),|непрерывности   |
|ти(ОП)          |вычисления lim  |посл-ти         |f(x0+ ).        |ф-ции в данной  |
|Посл-ть {xn}    |от составляющих |одновременно, к |lim(x(x0+o)f(x) |т-ке вычитание  |
|наз-ся огран.   |этого выр-ния   |которой они     |где запись      |пределов        |
|сверху(снизу),  |Посл-ть {xn}    |стягиваются.    |x(x0+o как раз  |сводится к      |
|если найдется   |наз-ся возр.,   |Док-во. {an}    |означает        |вычит. знач.    |
|какое-нибудь    |если            |пос-ть левых    |стремление к х0 |ф-ции в данной  |
|число {xn} M(m) |x1<…чем   |lim(x(x0)x=x0   |
|(n) посл-ть     |если            |неубыв. И огран.|х0.             |(1‘). Т.е знак  |
|наз-ся огранич.,|x1(x2(…(xn(xn+1(|свеху числом b1;|Опр. Предел     |предела у       |
|если она        |…; убывающей,   |посл-ть правых  |слева аналогично|непрерывной     |
|огранич. сверху |если            |концов {bn}     |и исп-ся запись |ф-ции можно     |
|и снизу.        |x1>x2>…>xn>xn+1>|монотонно не    |f(x0-o);f(x0-)  |вносить в       |
|Посл-ть {xn}    |…; невозр., если|возр. и         |Теорема. Для    |аргумент ф-ции. |
|наз-ся          |x1(x2(…(xn(xn+1(|ограничена снизу|того чтобы ф-ция|Геометрически   |
|неогранич., если|…               |а1, поэтому эти |f(x) имела      |непрерывность   |
|для любого      |Все такие       |посл-ти сходящ.,|предел в точке  |ф-ции в т-ке х0 |
|полного числа А |посл-ти наз-ся  |т.е. ( числа    |х0 необходимо и |означает что ее |
|сущ-ет эл-т хn  |монотонными.    |c1=lim(n(()an и |достаточно когда|график в этой   |
|этой посл-ти,   |Возр. и убыв.   |c2=lim(n(()bn.  |в этой т-ке     |т-ке не имеет   |
|удовлетворяющий |наз-ся строго   |Докажем что     |ф-ция имеет     |разрыва. Если   |
|неравенству     |монотонными     |с1=с2 и сл-но их|совпадающие     |обозначить через|
|(xn(>А.         |Монотонные      |общая знач.     |между собой     |(у приращение   |
|                |посл-ти         |может обозначить|одностороние    |ф-ции, т.е.     |
|                |ограничены с    |через с. Действ.|пределы         |(у=f(x0+(x)-f(x0|
|                |одной стороны,  |имеется предел  |(f(x0+)=f(x0-)) |) (приращение   |
|                |по крайней мере.|lim(n(()(bn-an)=|значение которые|ф-ции в т. х0). |
|                |Неубывающие     |lim(n(()bn(     |равны пределу   |«(» - символ    |
|                |ограничены      |lim(n(()an=c2-c1|ф-ции, т.е.     |приращения.     |
|                |снизу, например |=c ясно что с   |f(x0+)=         |Приращение      |
|                |1 членом, а не  |общая для всех  |f(x0-)=lim(x(x0)|аргумента в т-ке|
|                |возрастыющие    |отрезков        |f(x)=A          |х0 это          |
|                |ограничены      |поскольку для ( |Док-во          |соответствует   |
|                |сверху.         |n an(c(bn.      |а) допустим     |тому, что       |
|                |Теорема «О      |Осталось        |ф-ция имеет в   |текущая т. х, то|
|                |сходимости      |доказать        |точке х0 предел |условие         |
|                |монотон.        |единство данной |равный А, тогда |непрерывности в |
|                |посл-ти»        |т-ки (от        |f(x)( А         |т-ке х0         |
|                |Всякая          |противного).    |независимо от   |записывается сл.|
|                |монотонная      |Допустим есть   |того,           |образом         |
|                |посл-ть явл-ся  |c‘(c к которой  |приближается ли |lim((x(0)(y=0~  |
|                |сходящейся, т.е.|стягиваются все |х к х0 по       |(у(0 (1‘‘). Если|
|                |имеет пределы.  |отрезки. Если   |значению > x0   |в т-ке х0 ф-ция |
|                |Док-во Пусть    |взять любые     |или <, а это    |непрерывна, то  |
|                |посл-ть {xn}    |пределы окр.    |означает        |приращение ф-ции|
|                |монотонно возр. |точек с и с‘, то|равенство 1.    |(0 приращение   |
|                |и ограничена    |с одной стороны |б) пусть        |аргумента.      |
|                |сверху. X – все |весь «хвост»    |односторонние   |f(x) непрерывна |
|                |мн-во чисел     |{an}, {bn},     |пределы сущ-ют и|в т-ке х0 <(>   |
|                |которое         |должен нах-ся в |равны           |(y(0 при (х(0.  |
|                |принимает эл-т  |окрестности т-ки|f(x0+)=f(x0-)   |Если понятие    |
|                |этой посл-ти    |с, а др. в с‘,  |докажем, что (  |предела приводит|
|                |согласно усл.   |т.к. an и bn( c |просто предел.  |к понятию непр. |
|                |Теоремы это     |и c‘ одновр.    |Возьмем         |Ф-ции то понятие|
|                |мн-во огранич., |Противореч.     |произвольную    |одностороннего  |
|                |поэтому по      |док-ет т-му.    |{xn}(х0 разобьем|предела приводит|
|                |соотв. Теореме  |7.Ф-ции одной   |если это        |к понятию       |
|                |оно имеет       |переменной      |необходимо эту  |односторонней   |
|                |конечную точную |Если задано     |последовательнос|непр. точки.    |
|                |верх. грань supX|правило по      |ть на две       |Опр. Если f(x)  |
|                |xn(supX         |которому каждому|подпоследователь|имеет предел    |
|                |(обозначим supX |значению перем. |ности.          |справа в т-ке   |
|                |через х*). Т.к. |Величины х из   |1. члены которые|х0(=f(x0+)) и   |
|                |х* точная верх. |мн-ва Х ставится|нах-ся слева от |этот предел     |
|                |грань, то xn(x* |соответствие 1  |х0 {x‘n};       |равен значению  |
|                |( n. ( ( >0     |значению перем. |2. члены которые|ф-ции ф-ции в   |
|                |вып-ся нер-во ( |У то в этом     |нах-ся справа от|т-ке х0, т.е.   |
|                |xm(пусть m- это |случае говорят, |х0 {х‘‘n};      |f(x0+)=lim(x(x0,|
|                |n с             |что задана ф-ция|x’n(x0-o        |x>x0)f(x)=f(x0),|
|                |крышкой):xm>x*-(|1-й переменной. |x’’n(x0+o, т.к. |то ф-ция f(x)   |
|                |при ( n>m => из |Y=f(x); x       |односторонние   |наз-ся непр.    |
|                |указанных 2-х   |–аргумент       |пределы ( и     |справа в т-ке   |
|                |неравенств      |независ.        |равны, то       |х0.             |
|                |получаем второе |перемен., y-    |f(x‘n)(A и      |Аналогично при  |
|                |неравенство     |зав. пер.       |f(x‘‘n)(A       |вып-нии усл.    |
|                |x*-((xn(x*+( при|X=Df=D(f)       |поэтому посл-ть |f(x0-)=lim(x(x0,|
|                |n>m эквивалентно|y={y;y=f(x),x(X}|значений ф-ций  |xm. Это        |1) аналит.      |также след.     |непр. слева в т.|
|                |означает, что x*|способ;         |справа:         |х0.             |
|                |явл. пределом   |2)Табличный     |1){f(x‘n)} и    |Ясно что        |
|                |посл-ти.        |способ;         |{f(x‘‘n)} имеет |справедлива     |
|                |                |3) Графический  |f(xn)(A на      |сл.теорема      |
|                |                |способ;         |основании связи |вытекающая из   |
|                |                |4)Min и max     |между           |связи           |
|                |                |ф-ции: ф-ция    |сходимостью     |односторонних   |
|                |                |f(x) ограничена,|последовательнос|пределов ф-ция  |
|                |                |если огран. ее  |тей             |f(x) непр. в    |
|                |                |мн-во знач У,   |                |т-ке х тогда,   |
|                |                |т.е. ( m,M:     |                |когда она непр. |
|                |                |m(f(x)(M (x(X   |                |в этой т-ке, как|
|                |                |m(f(x) (x(X =>  |                |справа, так и   |
|                |                |огр. сн.;       |                |слева.          |
|                |                |f(x)(M, (x(X=>  |                |f(x0-)=f(x0+)=f(|
|                |                |огр. св.        |                |x0)             |
|                |                |                |                |Опр. Ф-ция f(x) |
|                |                |Обратные ф-ции  |                |непрерывна на   |
|                |                |Если задано     |                |некотором пр-ке |
|                |                |правило по      |                |D, если в каждой|
|                |                |которому каждому|                |т-ке этого пр-ка|
|                |                |значению y(Y    |                |при этом, если  |
|                |                |ставится в      |                |пр-ток D        |
|                |                |соответствие (  |                |содержит        |
|                |                |ед. знач. х,    |                |граничную т-ку, |
|                |                |причем y=f(x),  |                |то будем        |
|                |                |то в этом случае|                |подразумевать   |
|                |                |говорят, что на |                |соотв. одностор.|
|                |                |мн-ве Y         |                |непр. ф-ции в   |
|                |                |определена ф-ция|                |этой т-ке.      |
|                |                |обратная ф-ции  |                |Пример Р-рим    |
|                |                |f(x) и          |                |степенную       |
|                |                |обозначают такую|                |производст.     |
|                |                |ф-цию x=f^-1(y).|                |ф-цию           |
|                |                |                |                |Q=f(k)=k^1/2    |
|                |                |                |                |Q-объем выпуска |
|                |                |                |                |продукции, к –  |
|                |                |                |                |объем капитала. |
|                |                |                |                |D(f)=R+=>f(0)=0 |
|                |                |                |                |и очевидно f(0+)|
|                |                |                |                |( и равно 0 =>  |
|                |                |                |                |что данная ф-ция|
|                |                |                |                |непр. на своей  |
|                |                |                |                |обл. опр-ния.   |
|                |                |                |                |Большинство     |
|                |                |                |                |ф-ций исп-мых в |
|                |                |                |                |эк-ке непр.     |
|                |                |                |                |Например непр.  |
|                |                |                |                |ф-ции означает, |
|                |                |                |                |что при малом   |
|                |                |                |                |изменении       |
|                |                |                |                |капитала мало   |
|                |                |                |                |будет меняться и|
|                |                |                |                |выпуск пр-ции   |
|                |                |                |                |((Q(0 при (k(0).|
|                |                |                |                |Ф-ции которые не|
|                |                |                |                |явл. непр.      |
|                |                |                |                |наз-ют          |
|                |                |                |                |разрывными      |
|                |                |                |                |соотв. т-ки в   |
|                |                |                |                |которых ф-ция не|
|                |                |                |                |явл. непр.      |
|                |                |                |                |наз-ся т-кой    |
|                |                |                |                |разрыва         |

|Классификация   |Дифференцировани|Выпуклые и      |Применение 1й   |Теорема         |
|т-ки разрыва    |е ф-ций         |вогнутые ф-ции  |пр-ной в исслед.|Больцано-Вейершт|
|Непр. ф-ции на  |Пр-ные и        |Т-ки перегиба   |ф-ций           |расса           |
|пр-ке           |дифференциалы   |Выпуклость и    |Т-ма Ферма Т-ма |Теорема         |
|Теорема         |выс. Порядков.  |вогнутость.     |Коши            |Больцано-Коши   |
|ВЕЙЕРШТРАССА    |Теорема Ферма   |Б/б пол-ти      |Интервалы       |Теорема         |
|                |Теорема Ролля   |Гладкая ф-ция   |монотонности    |Вейерштрасса    |
|                |Теорема         |Эластичность    |ф-ции           |                |
|                |Логранджа       |ф-ций           |Т-ма Логранджа. |                |
|                |Теорема Коши    |                |Т-ма Ролля Т-ма |                |
|                |Правило Лопиталя|                |Тейлора Т-ма    |                |
|                |                |                |Коши Правило    |                |
|                |                |                |Лопиталя.       |                |
|                |                |                |Производная     |                |
|                |                |                |обратной ф-ции  |                |
|15.             |16.             |Выпуклые и      |Применение 1й   |Теорема         |
|Классификация   |Дифференцировани|вогнутые ф-ции  |пр-ной в исслед.|Больцано-Вейершт|
|т-ки разрыва    |е ф-ций         |Для хар-ки      |ф-ций           |расса Из любой  |
|Все т-ки р-рыва |Центральная идея|скорости возр.  |Все применения  |огран. посл-ти  |
|делятся на 3    |диффер. ф-ций   |или убыв. ф-ции,|базируются на   |можно выбрать   |
|вида: т.        |явл-ся изучение |а также крутезны|опред-нии       |сход.           |
|устранимого     |гладких ф-ций   |гр-ка ф-ции на  |пр-ной, как     |подпосл-ть.     |
|р-рыва; точки   |(без изломов и  |участке         |предела         |Док-во          |
|р-рыва 1-го , и |р-рывов кривые) |монотонности    |разностного     |1. Поскольку    |
|2-го рода.      |с помощью       |вводится понятия|отношения, а    |посл-ть         |
|а) если в т-ке  |понятия пр-ной  |вогн. вып-ти    |также на сл-щей |ограничена, то (|
|х0 ( оба        |или с помощью   |ф-ции на        |т-ме.           |m и M, такое что|
|односторонних   |линейных ф-ций  |интервале,      |Т-ма Ферма. Если|( m(xn(M, ( n.  |
|предела, которые|y=kx+b обладает |частности на    |диф. на         |(1=[m,M] –      |
|совпадают между |простейшими     |всей числ.      |интервале (a,b) |отрезок, в      |
|собой f(x0+)=   |наглядн.        |приямой.        |f(x) имеет в    |котором лежат   |
|f(x0-), но (    |ф-циями; у=k‘ =>|Пр-р. Пусть     |т-ке ч0         |все т-ки        |
|f(x0), то такая |k>0 то у возр.  |ф-ция явл-ся    |локальный       |посл-ти.        |
|т-ка наз-ся     |при всех х,     |пр-ной ф-цией   |экстремум, то   |Разделим его    |
|точкой          |k<0-то у убыв.  |некоторой фирмы,|пр-ная этой     |пополам. По     |
|устранимого     |при всех х, k=0 |напр. объем     |ф-ции обращается|крайней мере в  |
|р-рыва.         |– ф-ция         |вып-ка          |в 0, т.е.       |одной из        |
|Если х0 т-ка    |постоянна       |продукции, а    |f‘(x0)=0 (8).   |половинок будет |
|устранимого     |Определение     |арг. х-числ.    |Это необходимое |нах-ся          |
|р-рыва, то можно|пр-ной          |раб. силы.      |усл. локал.     |бесконечное     |
|перераспределить|1) Пусть ф-ция  |Хар-ный график  |экстр., но      |число т-к       |
|ф-цию f  так    |y=f(x)          |этой ф-ции имеет|недостаточное.  |посл-ти.        |
|чтобы она стала |определена по   |сл. вид у f(x)  |Опр. Все т-ки в |(2 – та         |
|непр. в т-ке х0.|крайней мере в  |возр. для x>0.  |которых пр-ная  |половина, где   |
|Если по ф-ции f |окр-тях т-ки х0,|На инт. От (0,a)|ф-ции f(x)      |лежит           |
|построить новую |таким приращения|ф-ция возр. все |обращается в 0  |бесконечное     |
|ф-цию положив   |(х эл-нт.       |быстрее. Его    |наз-ся крит.    |число т-к       |
|для нее знач.   |Составим соотв. |можно р-ривать, |т-ми f(x). Из   |посл-ти. Делим  |
|f(x0)=          |ему приращения  |как этап        |т-мы Ферма =>   |его пополам. По |
|f(x0-)=f(x0+) и |ф-ции т-ки х0.  |образования     |экстремум надо  |краней мере в   |
|сохранить знач. |(y=(f(x0)=f(x0+(|фирмы вначале   |искать только   |одной из        |
|в др. т-ках, то |x)-f(x0)        |которого выпуск |через крит.     |половинок отр.  |
|получим исправл.|Образуем        |растет медленно,|т-ки.           |(2 нах-ся       |
|f.              |разностное      |поскольку первые|Т-ма Коши. Пусть|бесконечное     |
|б) если в т-ке  |отношение       |рабочие не      |ф-ции f(x) и    |число т-к       |
|х0 ( оба        |(y/(x=(f(x0)/(x |прошли период   |g(x) непрерывны |посл-ти. Эта    |
|1-стороних      |(1) (это        |адаптации, но с |на [a,b] и диф. |половина - (3.  |
|предела f(x0(), |разностное      |теч. времени    |на (a,b). Пусть |Делим отрезок (3|
|которые не равны|отношение явл.  |эффект привл.   |кроме того,     |… и т.д.        |
|между собой     |ф-цией (х, т.к. |доп. раб.       |g‘(x)(0, тогда (|получаем посл-ть|
|f(x0+)(f(x0-),  |х0-фиксирована, |рабочих         |т-ка c((a,b)    |вложенных       |
|то х0 наз-ся    |причем при (х(0 |становится все  |такая, что      |отрезков, длинны|
|т-кой р-рыва    |мы имеем дело с |больше, и соотв.|справедлива ф-ла|которых         |
|первого рода.   |неопр. 0/0).    |ув-ся крутизна  |(f(b)-f(a))/(g(b|стремятся к 0.  |
|в) если в т-ке  |Опр. Пр-ной     |графика. На     |)-g(a))=f‘(c)/g‘|Согластно о т-ме|
|х0 хотя бы 1 из |ф-ции y=f(x)    |((,a) ф-ция     |(c)             |о вложенных     |
|односторонних   |наз-ся предел   |возр. все медл. |Интервалы       |отрезках, (     |
|пределов ф-ции  |разностного     |и гр. становится|монотонности    |единств. т-ка С,|
|не ( или        |отношения 1 (при|все более       |ф-ции           |кот. принадл.   |
|бесконечен, то  |условии если он |пологой. а – это|Т-ма. Пусть f(x)|всем отрезкам   |
|х0 наз-ся т-кой |(), когда (х(0. |пороговое знач. |диффер. На      |(1, какую-либо  |
|р-рыва 2-го     |Производная это |числ. раб. силы |интервале (a,b),|т-ку (n1. В     |
|рода.           |предел отношения|начиная с       |тогда           |отрезке (2      |
|При исслед.     |приращения в    |которого привл. |справедливы сл. |выбираю т-ку    |
|Ф-ции на непр.  |данной т-ке к   |доп. раб. силы  |утверждения f(x)|xn2, так чтобы  |
|классификации   |приращению      |начиная с       |монотонно возр. |n2>n1. В отрезке|
|возможных т-к   |аргумента при   |которого привл. |(убывает) на    |(3 … и т.д. В   |
|р-рыва нужно    |усл., что       |раб. силы дает  |интервале (a,b) |итоге пол-ем    |
|применять во    |посл-ть ( к 0.  |все меньший     |тогда, когда    |посл-ть xnk((k. |
|внимание сл.    |Эта производная |эффект в объемке|f‘(x)(0 на      |Теорема         |
|замечания:      |обозначается    |вып-ка. А(х)    |интервале (a,b) |Больцано-Коши   |
|1) Все          |через df(x0)/dx |возр. f‘(x)>0   |и f‘(x)>0       |Пусть ф-ция     |
|элементарные    |или f‘(x0), у‘  |(x(0, но на     |(f‘(x)<0), то   |непр-на на      |
|ф-ции непрер. во|(если данная    |интервале от 0  |строго возр.    |отрезке [a,b] и |
|внутренних т-ках|т-ка х0         |до а (0;а) f‘(x)|(убыв) на (a,b).|на концах       |
|своих областей  |подразумевается |возр. в то время|                |отрезка         |
|определения =>  |или же речь идет|как (0;() f‘    |х( интерв.      |принимает зн-ния|
|при исл.        |о пр-ной в любой|убыв., а в т-ке |монотонно       |равных знаков,  |
|элементарных    |текущей т-ке х. |а-max. По       |убывает,        |тогда ( т-ка с (|
|ф-ций нужно     |Итак согласно   |критерию        |касательная     |(a,b) в которой |
|обращать        |определению     |монотонности это|имеет тупой угол|ф-ция обращается|
|внимание на     |f‘(x0)=lim((x(0)|означает на     |наклона f‘(x1)<0|в 0.            |
|гранич. т-ки    |(f(x0+(x)-f(x0))|(0;а) f‘‘(x)(0  |для x2          |Док-во          |
|обл-ти опр-ния. |/(x (2)         |(f-выпукла), а  |противоположная |Пусть Х – мн-во |
|2) Если ф-ция   |Если ф-ция f(x) |на (a;()        |ситуация.       |таких т-к х из  |
|задана кусочно, |имеет в т-ке х0 |f‘‘(x)(0        |Т-ма Логранджа. |отрезка [a,b],  |
|т.е. различными |пр-ную, т.е.    |(f-вогнута).    |Пусть ф-ция f(x)|где f(x)<0.     |
|соотношениями на|предел в правой |Опр. Пусть f(x) |непрер. на      |Мн-во Х не      |
|частях своей    |части (2) (, то |дважды диф.     |отрезке [a,b] и |пустое. Х(      |
|обл. опр., то   |говорят что f(x)|ф-ция на (a,b), |диф. на         |[a,b], значит х |
|подозрительными |дифференц. в    |тогда:          |интервале (a,b),|ограничено,     |
|на разрыв явл.  |т-ке х0.        |1)назовем ф-цию |тогда ( т. х  и |поэтому оно     |
|граничные т-ки  |2) Непрерывность|f(x)            |x+(x ( [a,b] (  |имеет точную    |
|частей обл-ти   |и               |выпуклой(вогн)  |т-ка С лежащая  |верхнюю грань.  |
|опр.            |дифференцируемос|на интервале    |между х и х+(х  |c=supx. a(c(b   |
|3) Св-ва непр.  |ть              |(a,b), если 2-я |такая что       |покажем a   |c(a, c(b.       |
|понять опираясь |непрерывна в    |(a,b)           |при сравнении с |Предположим     |
|на их геометр.  |этой т-ке,      |2)Если в пункте |ф-лой приращения|f(c)=0, что это |
|св-ва:          |причем имеет    |1 вып-ся строгие|ф-ций с диф.    |не так, тогда ( |
|график непр.    |место разложения|нер-ва 2-й      |заметим, что (7)|окрестность т-ки|
|ф-ции на пр-ке D|(f  в т-ке х0   |пр-ной, то ф-ция|явл. точной     |с в пределах    |
|представляет    |(f(x0)=f(x0+(x)-|наз-ся строго   |ф-лой, однако   |которой ф-ция   |
|сплошную(без    |f(x0)=          |выпуклой(вогнуто|теперь пр-ная   |сохраняет знак, |
|р-рывов) кривую |f‘(x0)(x+(((x)(x|й) на интервале |фолжна считаться|но это не       |
|на пл-тях и     |(3), где        |(a,b)           |в некоторой     |можетбыть, т.к. |
|след-но может   |(((x)-б/м ф-ия  |Т-ки перегиба   |средней т-ке С  |по разные       |
|отображена без  |при (х(0        |Опр. Т-ки разд. |«алгоритм»      |стороны т-ки с  |
|отрыва ручки от |Док-во. Заметим,|интервалы       |выбора которой  |ф-ция имеет     |
|бумаги.         |что разложение  |строгой         |неизвестен.     |разный знак.    |
|I) Ф-ция непр. в|(3) верно, что  |выпуклости и    |Крайнее значение|f(с)=0.         |
|т-ке х0         |из него сразу   |строгой         |(a,b) не        |Теорема         |
|обязательно     |следует что при |вогнутости      |запрещены.      |Вейерштрасса    |
|ограничена в    |(х(0 (f(x0)(0,  |наз-ся т-ми     |Придадим ф-ле   |Непрерывная     |
|окрестностях    |=> в т-ке х0    |перегиба т. х0  |(7) классический|ф-ция на отрезке|
|этой т-ки.(св-во|ф-ция непр.     |есть т-ка       |вид => x=a      |ограничена.     |
|локал.          |Поэтому осталось|перегибы, если  |x+(x=b+> тогда  |Док-во          |
|огранич-ти)     |док-ть рав-во   |f‘‘(x0)=0 и 2-я |ф-ла            |Предположим что |
|Док-во          |(3). Если пр-ная|пр-ная меняет   |(7)=(f(b)-f(a))/|ф-ция не        |
|использует      |( то из         |знак при        |(b-a)=f‘(c) (7‘)|ограничена.     |
|опр-ние на языке|определения (2) |переходе через  |– ф-ла конечных |Возьмем целое   |
|( и (. Если f   |и связи предела |х0=> в любой    |приращений      |пол-ное n, т.к. |
|непр. в т-ке х0 |с б/м =>, что ( |т-ке перегиба   |Логранджа.      |ф-ция не        |
|то взяв любое   |б/м ф-ция (((х) |f‘(x) имеет     |(f(b)-f(a))/(b-a|ограничена, то  |
|(>0 можно найти |такая что       |локальный       |)=f‘(c) (1)     |найдется        |
|(>0             |(f(x0)/(x=f‘(x0)|экстремум.      |Док-во сводится |xn([a,b], такое |
|(f(x)-f(x0)(<(  |+(((x) отсюда   |Геометр. т-ка   |к сведению к    |что (f(xn)(>n.  |
|при (х-х0(<( ~  |рав-во (3)      |перегиба хар-ся |т-ме Ролля.     |Имеем посл-ть   |
|f(x0)-( значит эго|интервала, лежит|соблюдены,      |сходится f(x0)  |
|знач. ф-ции f(x)|отн-ние = 0.    |ниже (выше) гр. |поэтому ( т-ка С|(f(xnk)(>nk, a  |
|непр. на отрезке|2)Пр-ная        |ф-ции.          |на (a,b) g‘(c)=0|nk((((f(xnk)(((,|
|[a,b] и f(a)=A, |степенной ф-ции,|y=y0+f‘(x0)(x-x0|g‘(c)=f‘(x)-(f(b|т.е. f(xnk) б/б |
|f(b)=B причем   |у=х^k,          |)=f(x0)+f‘(x0)(x|)-f(a))/(b-a).  |посл-ть.        |
|A(B => C((A,B) (|y‘=kx^(k-1) (   |-x0) – линейная |Ф-ла (1) наз-ся |С одной стороны |
|c((a,b):f(c)=C  |k(N. Док-м для  |ф-ция х, который|ф-лой конечных  |f(xnk) стремится|
|f(c)=f(c‘)=f(c‘‘|к=0 исходя из   |не превосходит  |приращений.     |к опр. числу, а |
|).              |опр-ния пр-ной. |f(x) и не меньше|Т-ма Ролля.     |с др. стороны   |
|IV)Теорема о    |Возьмем ( т-ку х|f(x) в случае   |Пусть ф-ция f(x)|стремится к (,  |
|прохожд. непр.  |и дадим         |вогнутости      |удовл. сл. усл. |пришли к        |
|ф-ции через 0.  |приращение (х   |неравенства     |А)Непрерывна на |противоречию,   |
|Если f(x) непр. |составим        |хар-щие         |[a,b]           |т.к. мы         |
|на отрезке (a,b)|разностное      |выпуклость      |Б) Дифференц. на|предположим, что|
|и принимает на  |отношение       |(вогнутость)    |(a,b)           |ф-ция не        |
|концах этого    |(у/(х=(х+(х)^2-x|через диф.      |В) принимает на |ограничена.     |
|отрезка значение|^2/(x=2х+ (х => |f(x)(f(x0)+     |коцах отрезков  |Значит наше     |
|разных знаков   |lim((x(0)(y/(x=2|f‘(x0)(x-x0) (  |равные значения |предположение не|
|f(a) f(b), то ( |x=y‘. В дейст-ти|x,x0((a;b) f    |f(a)=f(b), тогда|верно.          |
|т-ка с((a,b).   |док-ная ф-ла    |вогнута на      |на (a,b) ( т-ка |                |
|Док-во          |р-раняется для  |(а,b). Хорда    |такая что       |                |
|Одновременно    |любых к.        |выше (ниже), чем|f‘(c)=0, т.е.   |                |
|содержит способ |3)Пр-ная        |график для вып. |с-крит. т-ка.   |                |
|нах-ния корня   |экспон-ной      |ф-ций (вогн.)   |Док-во. Р-рим   |                |
|ур-ния f(x0)=0  |ф-ции, у=е^x => |линейная ф-ция  |сначала,        |                |
|методом деления |y‘=e^x. В данном|kx+b, в         |тривиальный     |                |
|отрезка пополам.|случае          |частности       |случай, f(x)    |                |
|f(d)=0 c=d Т-ма |(y/(x=(e^x+(x-e^|постоянна, явл. |постоянная на   |                |
|доказана.       |x)/(x=e^x(e^(x-1|вып. и вогнутой.|[a,b]           |                |
|Пусть f(d)(0    |)/ (x. Одеако   |                |(f(a)=f(b)),    |                |
|[a,d] или [d,b] |предел дробного |Б/б пол-ти      |тогда f‘(x)=0 ( |                |
|ф-ция f         |сомножителя = 1.|Посл-ть {xn}    |x ( (a,b), любую|                |
|принимает       |                |наз-ся б/б, если|т-ку можно взять|                |
|значение разных |4)y=f(x)=(x(=(x,|для ( пол-ного  |в кач-ве с.     |                |
|знаков. Пусть   |x>0;-x,x<0).    |числа А ( номер |Пусть f( const  |                |
|для определ-ти  |Ясна что для (  |N такой, что при|на [a,b], т.к.  |                |
|[a,d] обозначим |х(0 производная |n>N вып-ся      |она непрер. на  |                |
|через [a1,b1].  |легко нах-ся,   |нер-во (xn(>A   |этом отрезке, то|                |
|Разделим этот   |причем при      |Возьмем любое   |по т-ме         |                |
|отрезок на 2 и  |y‘=1при x>0     |число А>0. Из   |Вейерштрасса она|                |
|проведем        |y‘=-1 при x<0.  |неравенства     |достигает своего|                |
|рассуждение     |Однако в т-ке   |(xn(=(n(>A      |экстрем. на этом|                |
|первого шага    |x=0 пр-ная не (.|получаем n>A.   |отрезке и max и |                |
|док-ва в итоге  |Причина с геом  |Если взять N(А, |min. Поскольку f|                |
|или найдем      |т-ки зрения явл.|то ( n>N вып-ся |принимает равные|                |
|искомую т-ку d  |невозможность   |(xn(>A, т.е.    |знач. в гранич. |                |
|или перейдем к  |проведения      |посл-ть {xn}    |т-ках, то хотя  |                |
|новому отрезку  |бесисл. мн-во   |б/б.            |бы 1- экстр. –  |                |
|[a2,d2]         |кассат. к гр-ку |Замечание. Любая|max или min     |                |
|продолжая этот  |ф-ции. Все      |б/б посл-ть явл.|обязательно     |                |
|процесс мы      |кассат. имеют   |неограниченной. |достигается во  |                |
|получим посл-ть |угол от [-1,+1],|Однако          |внутр. т-ке.    |                |
|вложения        |а с аналит. т-ки|неогранич.      |с((a,b) (в      |                |
|отрезков        |зрения означает |Посл-ть может и |противном случае|                |
|[a1,b1]>[a2,b2] |что прдел 2 не (|не быть б/б.    |f=const), то по |                |
|длинна которых  |при x0=0. При   |Например        |т-ме Ферма,     |                |
|(a-b)/2^n(0, а  |(x>0            |1,2,1,3,1,…,1,n…|тогда f‘(c)=0,  |                |
|по т-ме о вл-ных|(y/(x=(x/(x=1=>l|не явл. б/б     |что и           |                |
|отрезков эти    |im((x(0,(x>0)(y/|поскольку при   |требовалось     |                |
|отрезки         |(x=1 А левый    |А>0 нер-во      |д-ть.           |                |
|стягиваются к   |предел разн-го  |(xn(>A не имеет |Т-ма Тейлора. «О|                |
|т-ке с. Т-ка с  |отн-ния будет   |места ( xn с    |приближении     |                |
|явл. искомой    |–1. Т.к.        |нечет. номерами.|гладкой ф-ци к  |                |
|с:f(c)=0.       |одностор. пред. |                |полиномам»      |                |
|Действительно   |Не совпадают    |Гладкая ф-ция   |Опр. Пусть ф-ция|                |
|если допустить, |пр-ная не (. В  |Сл. ф-ция f(x)  |f(x) имеет в    |                |
|что f(c)(0 то по|данном случае ( |тоже явл.       |т-ке а и        |                |
|св-ву сохр.     |одностор.       |гладкой, т.е. f‘|некоторой ее    |                |
|знаков в        |пр-ная.         |( и непрерывна  |окрестности     |                |
|некоторой (     |Опр.            |причем имеет    |пр-ные порядка  |                |
|окрестности,    |Правой(левой)   |место сл. ф-ла  |n+1. Пусть х -  |                |
|т-ке с f имеет  |пр-ной ф-ции в  |F‘(x)=f‘(((x))((|любое значение  |                |
|тот же знак что |т-ке х0, наз-ся |‘(x) (4).       |аргумента из    |                |
|и значение f(c) |lim отношения   |Используя ф-лу  |указанной       |                |
|между тем       |(2) при усл. что|(4) получаем    |окрестности,    |                |
|отрезки [an,bn] |(х(0+((х(0-).   |y‘=(lnf(a))‘=f‘(|х(а. Тогда между|                |
|с достаточно N  |Из связи        |x)/f(x) (5) –   |т-ми а и х      |                |
|попабают в эту  |вытекает        |логарифмической |надутся т-ка (  |                |
|окрестность и по|утвержд., если  |пр-ной. Правая  |такая, что      |                |
|построению f    |f(x) дифференц. |часть это       |справедлива ф-ла|                |
|имеет разный    |в т-ке х0, то ее|скорость        |Тейлора.        |                |
|знак на концах  |одностор. пр-ная|изменения у     |f(x)=f(a)+f‘(a)/|                |
|этих отрезков.  |также ( и не    |(ф-ция f(x))    |1!(x+a)+        |                |
|Непр. ф-ции на  |совпадает       |приходится на   |f‘‘(a)/2!(x+a)^2|                |
|пр-ке           |f‘(x0-) и       |ед-цу абсол.    |+f^(n)(а)/n!+f^(|                |
|f непр. в т-ке  |f‘(x0+) обратно |значения этого  |n+1)(()/(n+1)!(x|                |
|х0 => f непрер. |для ( пр-ной    |пок-ля поэтому  |-a)^(n+1).      |                |
|в т-ке х0 и     |f‘(x0)          |логарифм.       |Док-во. Сводится|                |
|f(x0)(0 => f    |необходимо,     |Произв. наз-ют  |к Роллю путем   |                |
|непр. на [a,b] и|чтобы прав. и   |темпом прироста |введения вспом. |                |
|f(x)(f(b)=0     |лев. пр-ные     |показателя y или|переменной g(x).|                |
|(f(x)(f(b)>0 в  |совпад. между   |f(x). Пусть     |                |                |
|окр-ти х0) => ( |собой. В этом   |известна        |g(x)=f(x)-f(a)-f|                |
|с((a,b). f(c)=0 |случае они не   |динамика        |‘(x)(x-a)-…-1/n!|                |
|сл-но 2 св-ва   |совпад.         |изменения цены  |(f^n(x)(x-a)^n-1|                |
|непр. ф-ции на  |17. Пр-ные и    |на некотором    |/(n+1)!(x-a)^n+1|                |
|отрезке         |дифференциалы   |интервале,      |((. По т-ме     |                |
|обоснованны.    |выс. Порядков.  |причем P(t)     |Роляя ( т-ка с  |                |
|Т-ма 1(о огран. |Пр-ная f‘(x) –  |гладкая ф-ция.  |из (a,b), такая |                |
|непр. ф-ции на  |первого порядка;|Что можно       |что g(c)=0      |                |
|отрезке). Если  |f‘‘(x) –        |назвать темпом  |(=f^(n+1)(c)    |                |
|f(x) непр. на   |второго;        |роста этой      |Правило         |                |
|[a,b], тогда    |f‘‘‘(x)-третьего|ф-ции, при t=R. |Лопиталя.       |                |
|f(x) огран. на  |;               |Темп            |Пусть ф-ция f(x)|                |
|этом отрезке,   |fn(x)=(f(n-1)(x)|роста(приросту. |и g(x) имеет в  |                |
|т.е. (          |)‘. Пр-ные      |Пр-р y=e^(x.    |окр. т-ки х0    |                |
|с>0:(f(x)((c    |начиная со      |Найдем темп     |пр-ные f‘ и g‘  |                |
|(x((a,b).       |второй наз-ся   |прироста.       |исключая        |                |
|Т-ма 2( о (     |пр-ными выс.    |f‘/f=темп       |возможность саму|                |
|экстр. непр.    |порядка.        |прироста=(e^(x/e|эту т-ку х0.    |                |
|ф-ции на отр.). |Дифференциал    |^(x=(.          |Пусть lim(х((х  |                |
|Если f(x) непр. |выс. порядков   |Экспонициальная |)=lim(x((x)g(x)=|                |
|на [a,b], тогда |dy= f‘(x)dx –   |ф-ция имеет     |0 так что       |                |
|она достигает   |диф. первого    |постоянный темп |f(x)/g(x) при   |                |
|своего экстр. на|порядка ф-ции   |прироста.       |x(x0 дает 0/0.  |                |
|этом отрезке,   |f(x) и          |Эластичность    |lim(x(x0)f‘(x)/g|                |
|т.е. ( т-ка max |обозначается    |ф-ций           |‘(x) ( (4),     |                |
|X*:f(x*)(f(x)   |d^2y, т.е.      |Опр. Пусть      |когда он        |                |
|(x([a,b], т-ка  |d^2y=f‘‘(x)(dx)^|гладкая ф-ция   |совпадает с     |                |
|min             |2. Диф.         |y=f(x) описывает|пределом        |                |
|X_:f(x_)(f(x)   |d(d^(n-1)y) от  |изменение       |отношения ф-ции |                |
|(x([a,b].       |диф. d^(n-1)y   |экономической   |lim(x(x0)f(x)/g(|                |
|Теорема         |наз-ся диф.     |переменной у от |x)=             |                |
|ВЕЙЕРШТРАССА.   |n-ного порядка  |эк. пер. х.     |lim(x(x0)f‘(x)/g|                |
|Эти теремы      |ф-ции f(x) и    |Допустим f(x)>0 |‘(x) (5)        |                |
|неверны если    |обознач. d^ny.  |=> имеет смысл  |Док-во.         |                |
|замкнутые       |Теорема Ферма.  |лог. пр-ная.    |Возьмем ( т-ку  |                |
|отрезки заменить|Пусть ф-ция f(x)|Эл-ностью ф-ции |х>х0 и          |                |
|на  др. пр-ки   |определена на   |f(x) или у      |рассмотрим на   |                |
|Контрпример 1.  |интервале (a,b) |наз-ся сл-щая   |[x0;x] вспом    |                |
|f(x)=1/2 на     |и в некоторой   |вел-на опред-мая|ф-цию арг. t    |                |
|(0;1] ( f –     |т-ке х0 этого   |с помощью лог.  |h(t)=f(t)-Ag(t),|                |
|неогр. на (0;1] |интервала имеет |пр-ной.         |если t([x0;x],  |                |
|хотя и          |наибольшее или  |Ef(x)=x(f‘(x)/f(|т.к. удовл.     |                |
|непрерывны.     |наименьшее знач.|x)=x(lnf(x))‘   |этому св-ву в   |                |
|Контрпример 2.  |Тогда если в    |(6). Выясним эк.|окр-ти т-ки х0, |                |
|f(x)=x; на (0;1)|т-ке х0 (       |смысл этого     |а т-ку х мы     |                |
|f(x) – непр.    |пр-ная, то она =|показателя для  |считаем         |                |
|inf(x((0;1))x=0,|0, f‘(x0)=0.    |этого заменим в |достаточно      |                |
|но т-ки         |2)Теорема Ролля.|(6) пр-ную ее   |близкой к х0.   |                |
|x_((0;1):f(x_)=0|Пусть на отрезке|разностным      |Ф-ция h         |                |
|, т-ки x*, хотя |[a,b] определена|отношением      |непрерывна на   |                |
|sup(x((0;1))x=1 |ф-ция f(x)      |(f(x0)/(x и     |[x0;x],         |                |
|Док-во т-мы 1.  |причем: f(x)    |будем иметь     |поскольку       |                |
|Используем метод|непрерывна на   |Ef(x)(x((f(x)/(x|lim(t(x0)h(t)=li|                |
|деления отрезка |[a,b]; f(x) диф.|)/f(x)=((f(x)/f(|m(t(x0)[f(t)-Ag(|                |
|пополам.        |на (a,b);       |x))/((x/x). В   |t)]=lim(t(x0)-A |                |
|Начинаем от     |f(a)=f(b). Тогда|числителе стоит |lim(t(x0)g(t)=0=|                |
|противного; f   |( т-ка с((a,b), |относит. Прирост|h(0)=> непр.    |                |
|неогр. на [a,b],|в которой       |ф-ции f в т-ке  |t=x0 По т-ме    |                |
|разделим его,   |f‘(c)=0.        |x, в знаменателе|Логранджа       |                |
|т.е. тогда      |3)Теорема       |относ. прир.    |(x0,x)(         |                |
|отрезки         |Логранджа. Пусть|аргумента. =>   |c:h‘‘(c)=0      |                |
|[a;c][c;b] f(x) |на отрезке [a,b]|эл-ность ф-ции  |Производная     |                |
|неогр.          |определена f(x),|показывает на   |обратной ф-ции  |                |
|Обозн. [a1,b1] и|причем: f(x)    |сколько %       |Т-ма. Для диф.  |                |
|педелим отрез.  |непр. на [a,b]; |изменяется      |ф-ции с пр-ной, |                |
|[a2,b2], где    |f(x) диф. на    |пок-ль y=f(x)   |не равной нулю, |                |
|f-неогр.        |[a,b]. Тогда (  |при изменении   |пр-ная обратной |                |
|Продолжая       |т-ка c((a,b)    |перем. х на 1%. |ф-ции равна     |                |
|процедуру       |такая, что      |Эластичность –  |обратной        |                |
|деления неогр.  |справедлива ф-ла|пок-ль реакции  |обратной        |                |
|получаем послед.|(f(b)-f(a))/b-a=|1-й переменной  |величине пр-ной |                |
|влож. отрезки   |f‘(c).          |на изменение    |данной ф-ции.   |                |
|[an;bn] котор.  |4)Теорема Коши. |другой.         |Док-во. Пусть   |                |
|оттяг. к т-ке d |Пусть ф-ции f(x)|Пр-р. р-рим     |ф-ция y=f(x)    |                |
|(d=c с          |и g(x) непр. на |ф-цию спроса от |диф. и          |                |
|надстройкой) из |[a,b] и диф. на |цены, пусть     |y‘x=f‘(x)(0.    |                |
|отрезка [a,b],  |(a,b). Пусть    |D=f(p)=-aP+b –  |Пусть (у(0 –    |                |
|общее для всех  |кроме того,     |линейная ф-ция  |приращение      |                |
|отр. Тогда с    |g`(x)(0. Тогда (|спроса, где а>0.|независимой     |                |
|одной стороны   |т-ка с((a,b)    |Найдем          |переменной у и  |                |
|f(x) неогр. в   |такая, что      |эластичность    |(х –            |                |
|окр-ти т-ки d на|справедл. ф-ла  |спроса по цене. |соответствующее |                |
|конц. отрезка   |(f(b)-f(a))/(g(b|Ed(P)=P(D‘/D=P((|приращение      |                |
|[an,bn], но с   |)-g(a))=f‘(c)/g‘|-a)/(-aP+b)=aP/(|обратной ф-ции  |                |
|др. стороны f   |(c).            |aP-b)=> эл-ность|x=((y). Напишем |                |
|непр. на [a,b] и|Правило         |линейной ф-ции  |тождество:      |                |
|=> в т-ке d и по|Лопиталя.       |не постоянна    |(x/(y=1:(y/(x   |                |
|св-ву она непр. |Раскрытие 0/0.  |                |(2) Переходя к  |                |
|в некоторой     |1-е правило     |                |пределу в рав-ве|                |
|окрестности d.  |Лопиталя. Если  |                |(2) при (у(0 и  |                |
|Оно огран. в d  |lim(x(a)f(x)=   |                |учитывая, что   |                |
|=> получаем     |lim(x(a)g(x), то|                |при этом также  |                |
|против.         |lim(x(a)f(x)/g(x|                |(х(0, получим:  |                |
|Поскольку в     |)=              |                |lim((y(0)(x/(y=1|                |
|любой окр-ти    |lim(x(a)f‘(x)/g‘|                |:lim((x(0)(y/(x |                |
|т-ки d нах-ся   |(x), когда      |                |=> x‘y=1/y‘x.   |                |
|все отрезки     |предел (        |                |Где х‘у – пр-ная|                |
|[an;bn] с       |конечный или    |                |обратной ф-ции. |                |
|достаточно      |бесконечный.    |                |Производная     |                |
|большим 0.      |Раскрытие (/(.  |                |обратной ф-ции  |                |
|Док-во т-мы 2.  |Второе правило. |                |Т-ма. Для диф.  |                |
|Обозначим E(f) –|Если            |                |ф-ции с пр-ной, |                |
|множиством      |lim(x(a)f(x)=   |                |не равной нулю, |                |
|значений ф-ии   |lim(x(a)g(x)=(, |                |пр-ная обратной |                |
|f(x) на отр.    |то              |                |ф-ции равна     |                |
|[a,b] по предыд.|lim(x(a)f(x)/g(x|                |обратной        |                |
|т-ме это мн-во  |)=              |                |обратной        |                |
|огран. и сл-но  |lim(x(a)f‘(x)/g‘|                |величине пр-ной |                |
|имеет конечные  |(x). Правила    |                |данной ф-ции.   |                |
|точные грани    |верны тогда,    |                |Док-во. Пусть   |                |
|supE(f)=supf(x)=|когда           |                |ф-ция y=f(x)    |                |
|(при            |x((,x(-(,x(+(,x(|                |диф. и          |                |
|х([a,b])=M(<(). |a-,x(a+.        |                |y‘x=f‘(x)(0.    |                |
|InfE(f)=        |Неопред-ти вида |                |Пусть (у(0 –    |                |
|inff(x)=m(m>-().|0(, (-(, 0^0,   |                |приращение      |                |
|Для опр. докажем|1^(, (^0.       |                |независимой     |                |
|[a,b] f(x)      |Неопр. 0(, (-(  |                |переменной у и  |                |
|достигает макс. |сводятся к 0/0 и|                |(х –            |                |
|на [a,b], т.е. (|(/( путем       |                |соответствующее |                |
|х*:f(x)=M.      |алгебраических  |                |приращение      |                |
|Допустим        |преобразований. |                |обратной ф-ции  |                |
|противное, такой|А неопр. 0^0,   |                |x=((y). Напишем |                |
|т-ки не ( и     |1^(, (^0 с      |                |тождество:      |                |
|сл-но f(x) x‘y=1/y‘x.   |                |
|согластно т-ме 1|                |                |Где х‘у – пр-ная|                |
|g(x)- огран.    |                |                |обратной ф-ции. |                |
|т.е. ( c>0      |                |                |                |                |
|!0 |                |                |                |                |
|1(c(M-f(x)) =>  |                |                |                |                |
|f(x) (M-1/c     |                |                |                |                |
|(x([a,b]        |                |                |                |                |
|Однако это      |                |                |                |                |
|нер-во          |                |                |                |                |
|противор., т.к. |                |                |                |                |
|М-точная верхн. |                |                |                |                |
|грань f на [a,b]|                |                |                |                |
|а в правой части|                |                |                |                |
|стоит “C”       |                |                |                |                |
|Следствие: если |                |                |                |                |
|f(x) непр.      |                |                |                |                |
|[a,b]тогда она  |                |                |                |                |
|принимает все   |                |                |                |                |
|знач. заключ.   |                |                |                |                |
|Между ее max и  |                |                |                |                |
|min, т.е.       |                |                |                |                |
|E(f)=[m;M], где |                |                |                |                |
|m и M –max и min|                |                |                |                |
|f на отрезке.   |                |                |                |                |




смотреть на рефераты похожие на "Шпоры по Вышке (ИГЭА, Препод Дыхта В.А.)"