Математика

Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области



Введение    3


1.Постановка задачи    3


  2. Оценочный анализ решения задачи.   4

  2.1. Оценка решения сверху.     4

  2.2. Оценка решения в виде интеграла  5

  2.3. Выбор интервала ([pic] ) и оценка погрешности     8
    3. Формулировка результата в виде теоремы      10
       4. Примеры 11

Заключение  12

         СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ   13



                                  Введение

      В ряде случаев  оказывается  невозможным  или  неприемлемым  получение
аналитического решения поставленной задачи. Использование основных теорем  и
положений  анализа   позволяет  получить  качественную   картину   поведения
функции решения в заданной области,  оценить  скорость  сходимости  решения.
Такой  подход  широко  реализуется  в  областях   техники,   где   получение
результата необходимо с заданной точностью.



                             1.Постановка задачи



      В дипломной работе рассматривается задача:

                                  [pic](З)

0[pic][pic][pic].
t
[pic] x


      Требуется привести пример оценки решения  задачи (З)  в области [pic]
, и исследовать полученную оценку при [pic]



                     2. Оценочный анализ решения задачи.


      Оценка решения задачи  (З)  основывается  на  принципе  максимума  для
уравнения   теплопроводности   :   «Всякое   решение   уравнения   [pic]   в
прямоугольнике  [pic]  ,  непрерывное  вплоть  до  границы,  принимает  свои
наибольшее и наименьшее значения на нижних  или  на  боковых  его  границах»
[2].



                         2.1. Оценка решения сверху.


      В области t=t , x=[pic] рассмотрим решение задачи  :

 [pic], V(0,x) = [pic]( x ), x[pic] ,                                    (1)

это решение имеет вид  [1]:

                                  v (t, x) = [pic].                      (2)

Зафиксируем некоторое [pic]и перейдем к исходной системе координат, тогда
(2) в системе t=t, x=[pic] будет выглядеть так:
                                      V(t, x) = [pic]                   (2’)
Из принципа максимума [2]  заключаем, что:

    U( t, x ) [pic] V( t, x ).                                           (3)

Таким образом задача сводится к оценке интеграла (2).



                    2.2. Оценка решения в виде интеграла


      Разобьем интервал [pic]< x [pic] [pic] на  две  части  [pic]и   [pic],
тогда интеграл (2’)  запишется в виде:
                                 V( t, x ) = [pic].                      (*)

      Исследуем знак подинтегрального выражения, принимая  во  внимание,  то
что [pic]:

                    [pic] ;                                              (а)

                                   [pic] ;

                                  [pic]  ;

                            где        [pic]    .

      После проведенного исследования видно, что

                                    [pic]

Использовав известное разложение [pic],
где Z [pic]0, [pic] , заменим экспоненты во втором интеграле рядами:

(а) [pic];


(б) [pic].

В результате получим :

                                    [pic]


Здесь:

                         [pic], [pic] ,                                (4.1)

                               [pic], [pic].                           (4.2)

Запишем неравенство (3) в виде, принимая во внимание только  одно  слагаемое
суммы ряда:

m=1,
                                                                       [pic]

                                                 U(t, x) [pic]   .       (5)

Выше приведенная оценка  не  отражает  качественной  картины  и  может  быть
использована при дальнейших исследованиях  задач  подобного  вида.  (  т  .к
.[pic]фиксированно)
Рассмотрим другую возможность оценки неравенства (3).

[pic]
пусть [pic]
(т.е. [pic]финитна), в соответствии с принципом максимума:

               [pic]  ,                                                 (3’)
при [pic]
где W- решение краевой задачи (З) с начальными условиями:
                                    [pic]
                                    [pic]

Аналогично, как и выше

[pic]
здесь:
                                    [pic]
Таким образом,
[pic]
(используем разложение в ряд Тейлора)

В итоге,

                                                       [pic]           (5.1)
Рассмотрим два случая:
а) Пусть [pic]
                                   [pic],
  тогда в правой части неравенства (5.1) третье и четвертое (3,4) слагаемые
                стремятся к нулю быстрее любой степени [pic],
                     поэтому (5.1) можно переписать как:
                                             [pic]                     (5.2)
б) Пусть [pic]тогда:

                                    [pic]
где [pic]
В результате получаем:
                 [pic]                                                 (5.3)

             2.3. Выбор интервала ([pic] ) и оценка погрешности


      Зададим произвольно некоторую константу [pic]>0,  потребовав  чтобы  в
(5)
                                [pic]<[pic].
[pic] при [pic].
Неравенство (5) можно только усилить, если
                          [pic]< [pic]                                   (6)


      Рассмотрим общий вид [pic]:

                                                  [pic]         ;        (7)
                 [pic][pic]                                     ,      (7.1)
b=x (  k=1  )  ,  b=2[pic](k=2)  [pic]  оценка  (7.1)  эквивалентна  системе
неравенств:

                                  [pic]  ,

откуда:
               [pic].                                                    (8)

      Т. к. в работе исследуется поведение  неравенства  (3)  при  [pic]  то
принимаем что для некоторого [pic]:

                                         [pic].                          (9)



                  3. Формулировка результата в виде теоремы


      Обобщая результаты всей работы в целом можно сформулировать  следующие
теоремы:

1. Пусть для уравнения теплопроводности имеет место задача
                                  [pic](З)
[pic]- гладкая, непрерывно - дифференцируемая  функция  на  [pic],а  функция
[pic]ограничена на R : [pic].
      Тогда для любого сколь малого числа [pic] можно указать число
                                   [pic],
такое что имеет место следующая оценка «сверху» решения задачи (З):

[pic]
Раскрыв квадратные  скобки, получим:

                                   [pic].

2. Пусть в  имеет  место  задача  (З),  [pic]-  монотонная,  неограниченная,
  возрастающая функция, [pic]тогда:
                              3) если [pic], то
                                    [pic]
                             2) если [pic]    то
                                    [pic]

Замечанние:видно, что оценку полученную в теореме 2 можно получить и при
более слабых ограничениях [pic]

                                 4. Примеры


      Пусть [pic], [pic]

                                  a) [pic]


                           b) [pic]              .



                                 Заключение


      В дипломной работе произведена оценка решения «сверху»  для  уравнения
теплопроводности с движущей границей по заданному закону. Аналогично,  можно
получить оценку решения «снизу». Для  этого  нужно  рассмотреть  ступенчатую
область, в   которой  для  каждой  ступеньки  решение  может  быть  получено
согласно 2.1 (2) .  Число  таких  ступенчатых  областей  необходимо  выбрать
таким образом, чтобы оценка полученная  снизу  была  сравнима  с  полученной
выше оценкой.



                              СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ



1.  А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Уравнения  математической  физики.  Изд.
  «Наука», М. 1966 (с. 230 -233);
2. С. К. Годунов, Уравнения математической физики. Изд. «Наука», М.  1973  .
  33-34);
3.  Л. Д. Кудрявцев, Краткий курс математического анализа. Изд. «Наука»,  М.
  1989.





смотреть на рефераты похожие на "Первая краевая задача для уравнения теплопроводности в нецилиндрической неограниченной области"