Математика

Методы решения уравнений в странах древнего мира


              Методы решения уравнений в странах древнего мира.

     История алгебры  уходит  своими  корнями  в  древние  времена.  Задачи,
связанные  с уравнениями, решались ещё в Древнем Египте и  Вавилоне.  Теория
уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.
       В Древнем Египте и Вавилоне использовался  метод  ложного  положения
(«фальфивое правило»)
     Уравнение первой степени с одним неизвестным можно  привести  всегда  к
виду ах  +  Ь  ==  с,  в  котором  а,  Ь,  с  —  целые  числа.  По  правилам
арифметических действий ах = с — b,
[pic]
  Если Ь > с, то с  —  b  число  отрицательное.  Отрицательные  числа  были
египтянам и многим другим более поздним народам  неизвестны  (равноправно  с
положительными  числами  их  стали  употреблять  в   математике   только   в
семнадцатом веке).
  Для решения задач, которые мы теперь решаем уравнениями  первой  степени,
был изобретен метод ложного положения.
  В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. Решение первой  из  них
позволяет понять, как рассуждал автор.
  Египтяне имели особый знак для обозначения неизвестного числа, который до
недавнего прошлого читали «хау»  и  переводили  словом  «куча»  («куча»  или
«неизвестное количество»  единиц).  Теперь  читают  немного  менее  неточно:
«ага».
  bqt задача № 24 сборника Ахмеса:
  «Куча. Ее седьмая часть ('подразумевается:  «дают  в  сумме»)  19.  Найти
кучу».
  Запись задачи нашими знаками:
               [pic]
  Решение Ахмеса может быть  представлено  в  наших  символах  в  следующих
четырех столбцах:
[pic]
  Во многих задачах в начале или в  конце  встречаются  слова:  «Делай  как
делается», другими словами: «Делай, как люди делают».
  Смысл решения Ахмеса легко понять.
  Делается предположение, что. куча есть 7; тогда [pic] ее  часть  есть  1.
Это записано в первом столбце.
     Во втором столбце записано, что при предположении х=7 куча и  ее  [pic]
часть дали бы 8 вместо 19. Удвоение предположения  дает  16.  Автор,  в  уме
очевидно, прикидывает, что дальше удваивать предположение  нельзя,  так  как
тогда получится больше 19. Он записывает 16, ставит перед числом  две  точки
для обозначения удвоения первоначального предположения  и  отмечает  значком
(у нас — звездочкой) результат; для  получения  в  сумме  19  первоначальное
предположение надо умножить -на 2  с  некоторым  добавлением,  так  как  для
получения точного результата, 19, не  хватает  еще  19—16=3.  Ахмес  находит
[pic] от 8, получает  4.  Так  как  это  больше  нехватки  3,  то  на  [pic]
предположение умножить нельзя. Но [pic] от 8 есть  2,  [pic]  от  восьми  1.
Ахмес видит, что [pic] и [pic] первоначального результата дают  точно  те  3
единицы,  которых  не  хватало.  Отметив  [pic]  и  [pic]  значками,   Ахмес
убедился, что первоначальное предположение для кучи (7)  надо  помножить  на
[pic]
  Умножение числа 7 на смешанное  число  [pic]  Ахмес  заменяет  умножением
смешанного числа [pic] на  7.  В  третьем  столбце  выписаны:   [pic]  часть
искомой кучи есть [pic], удвоенное это число: [pic] и  учетверенное:  [pic].
Сумма   этих   трех   чисел,   равная   числу   [pic],   есть   произведение
первоначального предположения 7 на [pic].
  Итак, куча равна [pic].
  В последнем столбце Ахмес делает проверку, складывая полученное  значение
для кучи [pic] и его [pic] части [pic]. В сумме  получается  19,  и  решение
заканчивается обычным для автора заключением: «Будет хорошо».
  Способ решения, примененный Ахмесом, называется  методом  одного  ложного
положения. При помощи этого метода решаются уравнения  вида  ах  ==  b.  Его
применяли как египтяне, так и вавилоняне.
  У разных народов применялся метод двух  ложных  положений.  Арабами  этот
метод был механизирован и получил ту форму, в которой он перешел в  учебники
европейских народов,  в  том  числе  в  «Арифметику»  Магницкого.  Магницкий
называет способ решения «фальшивым правилом» и пишет о  части  своей  книги,
излагающей этот метод:
                        Зело бо хитра есть сия часть,
                                                    Яко можеши ею все
  класть (вычислить. — И. Д.)
                          Не токмо что есть во гражданстве,
                          Но и высших наук в пространстве,
                                                     Яже числятся в сфере
  неба,
                         Якоже мудрым есть потреба.

     Содержание стихов Магницкого можно  вкратце  передать  так:  эта  часть
арифметики весьма хитрая. При помощи ее можно вычислить не  только  то,  что
понадобится в житейской практике, но она решает и вопросы «высшие»,  которые
встают перед «мудрыми».
  Магницкий пользуется «фальшивым правилом»  в  форме,  какую  ему  придали
арабы, называя его «арифметикой двух ошибок» или «методой весов».

                                       Квадратные   уравнения   в   Древнем
     Вавилоне

  Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени  еще
в  древности  была  вызвана  потребностью   решать   задачи,   связанные   с
нахождением площадей земельных участков  и  с  земляными  работами  военного
характера, а также с развитием астрономии  и  самой  математики.  Квадратные
уравнения умели  решать  около  2000  лет  до  н.  э.  вавилоняне.  Применяя
современную алгебраическую запись,  можно  сказать,  что  в  их  клинописных
текстах встречаются, кроме неполных, и такие,  например,  полные  квадратные
уравнения:
             [pic]
  Правило  решения  этих  уравнений,  изложенное  в  вавилонских   текстах,
совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом  дошли
вавилоняне до этого правила. Почти все  найденные  до  сих  пор  клинописные
тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов,  без
указаний относительно того, каким образом они были найдены.
  Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, • в  клинописных
текстах отсутствуют понятие отрицательного  числа  и  общие  методы  решения
квадратных уравнений.

           . Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения ,

  В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако  в
ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями  и
решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.
  При составлении уравнений Диофант для упрощения  решения  умело  выбирает
неизвестные.
  Вот, к примеру, одна из его задач.
   «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96».
  Диофант рассуждает следующим образом: из  условия  задачи  вытекает,  что
искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то  их  произведение
равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше  половины
их суммы, т. е. 10 + х, другое же меньше, т. е. 10 — х. Разность между  ними
2х. Отсюда уравнение
                 [pic]
или же
[pic]

 Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = —2  для
 Диофанта  не  существует,  так  как  греческая  математика   знала   только
 положительные числа.
  Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых
чисел, то мы придем к решению уравнения
[pic]
  Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полу разность  искомых  чисел,
Диофант упрощает решение; ему удается  свести  задачу  к  решению  неполного
квадратного уравнения (1).
                        Квадратные уравнения в Индии.
  Задачи  на  уравнения  встречаются   уже   в   астрономическом   трактате
«Ариабхаттаим», составленном в 449 г.  индийским  математиком  и  астрономом
Арибхаттой. Но это уже раннее средневековье.
  В Алгебраическом трактате  ал-Хорезми  даётся  классификация  линейных  и
квадратных уравнений.
  Индий учёные знали решения неопределённых уравнений в целых числах (в том
числе и в отрицательных, чего сам Диофант избегал).
                                               Формула  решений  квадратного
уравнения.
     Греческий математик Герон (I или II век  нашего  летоисчисления)  вывел
формулу для решения квадратного равнения  ax2  +  bx  =  c  умножением  всех
членов на а и
прибавлением к обеим половинам уравнения [pic] :
       [pic]
  В индии пришли к более простому способу вывода, который встречается в
школьных учебниках: они умножали на 4a и к обеим половинам по b2. Это даёт:
       [pic]
     Индийские математики часто давали задачи в стихах.
                              Задача о лотосе.
                           Над озером тихим, с полмеры над водой,
                           Был виден лотоса цвет.
                           Он рос одиноко, и ветер волной
                           Нагнул его в сторону – и уж нет
                           Цветка над водой.
                           Нашёл его глаз рыбака
                           В двух мерах от места, где рос.
                           Сколько озера здесь вода глубока?
                           Тебе предложу я вопрос.

  Ответ:[pic]
   Из истории решения системы уравнений, содержащей одно уравнение второй
                           степени и одно линейное
  В древневавилонских текстах, написанных в III—II тысячелетиях до  н.  э.,
содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем уравнений,  в
которые входят и уравнения второй степени. Вот одна из них.
. «Площади двух своих квадратов я  сложил:  [pic].Сторона  второго  квадрата
равна [pic] стороны первого и еще 5».
  Соответствующая система уравнений в современной записи имеет вид:
              [pic]
Для решения системы (1) вавилонский автор возводит во втором уравнении  у  в
квадрат и  согласно  формуле  квадрата  суммы,  которая  ему,  видимо,  была
известна, получает:
             [pic]
  Подставляя это значение у  в  первое  из  системы  уравнений  (1),  автор
приходит к квадратному уравнению:
             [pic]
  Решая это уравнение по правилу,  применяемому  нами  в  настоящее  время,
автор находит х, после чего определяет у. Итак, хотя вавилоняне и  не  имели
алгебраической символики, они решали задачи алгебраическим методом.
  Диофант, который не имел обозначений  для  многих  неизвестных,  прилагал
немало усилий для выбора неизвестного таким образом,  чтобы  свести  решение
системы к решению одного уравнения. Вот один пример из его «Арифметики».
  Задача 21. «Найти два числа, зная, что их сумма  равна  20,  а  сумма  их
квадратов — 208».
  Эту задачу мы решили бы путем составления системы уравнений:
                  [pic]

  Диофант же, выбирая в качестве  неизвестного  половину  разности  искомых
чисел, получает (в современных обозначениях):

                 [pic]

  Складывая эти уравнения, а затем вычитая одно из другого (все это Диофант
производит устно), получаем

                 x = 2 + 10; у = 10 —2.
                                   Далее,
           х2 + у2 = (г + lO)2 + (10 — г)2 == 2z2 + 200.
  Таким образом,
                              2z2 + 200 = 208,
откуда
                   z = 2; х = 2 + 10 = 12; у = 10 — 2 = 8.

                            Диофантовы уравнения.
             Задача Диофанта №80 (Из II книги его «Арифметики»)

   Найти 2 таких числа, чтобы сумма квадрата каждого из них с другим искомым
числом дала полный квадрат,
                              Решение Диофанта
  Пусть первое число (I)  будет  s.  Чтобы  квадрат  его  •при  прибавлении
второго числа дал квадрат, второе число должно быть 2s + 1, так как в  таком
случае выполняется требование задачи: квадрат первого  числа.  сложенный  со
вторым, дает
                s2 + 2s + 1, то есть полный квадрат (s + 1)2.
   Квадрат второго числа, сложенный с первым, должен также дать квадрат,  то
есть число (2s + I)2 + s, равное
   4s2 + 5s + 1 == t2
   Положим, что t = 2s — 2; тогда t2 = 4s2 — 8s + 4.  Это  выражение  должно
равняться 4s2 + 5s + 1. Итак, должно быть:
                 4s2 — 8s + 4 == 4s2 + 5s + l откуда s=[pic]
  Значит, задаче удовлетворяют числа:
  [pic].


Проверка;
           [pic]
  Почему Диофант делает предположение, что t==2s—2,  он  не  объясняет.  Во
всех своих задачах (в дошедших до нас шести книгах его их 189) он делает  то
или другое предположение, не давая никакого обоснования.
  Вообще содержание 6 книг таково:
В «Арифметике» 189 задач, каждая снабжена одним или  несколькими  решениями.
Задачи ставятся в общем виде, затем берутся конкретные значения  входящих  в
нее величин и даются решения.
  Задачи книги I в большинстве определенные. В ней имеются и такие, которые
решаются  с  помощью   систем   двух   уравнений   с   двумя   неизвестными,
эквивалентных квадратному уравнению. Для его разрешимости Диофант  выдвигает
условие, чтобы дискриминант был полным  квадратом.  Так,  задача  30—  найти
таких два числа, чтобы их разность и произведение были  заданными  числами,—
приводится к системе

                                                           х — у = а, х = b.

Диофант выдвигает  «условие  формирования»:  требуется,  чтобы  учетверенное
произведение чисел, сложенное с квадратом разности их,  было  квадратом,  т.
е. 4b + а2 = с2.
  В книге II решаются задачи, связанные  с  неопределенными  уравнениями  и
системами таких уравнений с 2, 3, 4,  5,  6  неизвестными  степени  не  выше
второй.
  Диофант   применяет   различные   приемы.   Пусть    необходимо    решить
неопределенное уравнение второй степени с двумя неизвестными f2 (х, у)  ==0.
Если  у  него  есть  рациональное  решение  (x0,  y0),  то  Диофант   вводит
подстановку
  x = x0 + t,
  y = y0 + kt,
в которой k рационально. После  этого  основное  уравнение  преобразуется  в
квадратное относительно t, у которого свободный член f2 ( x0, у0)  =  0.  Из
уравнения получается t1 ==  0  (это  значение  Диофант  отбрасывает),  t2  —
рациональное число. Тогда подстановка дает рациональные х и у.
В случае, когда задача приводилась к уравнению у2 = ax2 + bx + с, очевидно
рациональное решение x0 = О,y0=±C. Подстановка Диофанта выглядит так:
x = t,
y = kt ± c

  Другим методом при решении задач книги II Диофант пользовался, когда  они
приводили к уравнению у2 == = a2x2 + bx + с. Он делал подстановку

  x= t,

  y = at + k,
после чего х и у выражались рационально через параметр k:
[pic]
  Диофант, по существу,  применял  теорему,  состоящую  в  том,;  что  если
неопределенное уравнение имеет хотя бы одно рациональное решение,  то  таких
решений будет бесчисленное множество, причем  значения  х  и  у  могут  быть
представлены в виде рациональных функций некоторого параметра»
   В книге II есть задачи, решаемые с помощью «двойного неравенства», т.  е.
системы
  ах + b = и2,
  сх + d == v2.
  Диофант рассматривает случай а = с,  но  впоследствии  пишет,  что  метод
можно применить и при  а  :  с  =  т2,  Когда  а  ==  с,  Диофант  почленным
вычитанием одного равенства из другого получает  и2  —и2  =  b  —  d.  Затем
разность b — d раскладывается на множители b — d = п1 и приравнивает и  +  v
= I, и — v = п, после чего находит
               и = (I + п)/2, v = (I - n)/2, х - (l2 + п2}/4a - {b +  d)/2a.

   Если задача сводится к системе из двух или трех уравнений второй степени,
то Диофант находит такие  рациональные  выражения  неизвестных  через  одно
неизвестное  и  параметры,  при  которых  все  уравнения,   кроме   одного,
обращаются в тождества.  Из  оставшегося  уравнения  он  выражает  основное
неизвестное через параметры, а затем находит и другие неизвестные.
   Методы, разработанные в книге  II,  Диофант  применяет  к  более  трудным
задачам книги III, связанным с системами трех,  четырех  и  большего  числа
уравнений степени не выше второй. Он, кроме того,  до  формального  решения
задач проводит исследования и находит условия, которым должны удовлетворять
параметры, чтобы решения существовали.
   В книге IV встречаются определенные и неопределенные уравнения третьей  и
более высоких степеней. Здесь дело обстоит значительно сложнее, потому что,
вообще говоря, неизвестные невозможно  выразить  как  рациональные  функции
одного параметра. Но, как и раньше, если известны одна или две рациональные
точки кубической кривой fз (х, у) == 0, то  можно  найти  и  другие  точки.
Диофант при решении задач книги IV применяет новые методы»
   Книга V содержит наиболее сложные задачи; некоторые  из  них  решаются  с
помощью уравнений третьей и четвертой степеней от трех и более неизвестных.
Есть и такие, в которых требуется разложить данное  целое  число  на  сумму
двух, трех или четырех квадратов, причем эти квадраты должны  удовлетворить
определенным неравенствам.,
При решении задач Диофант дважды рассматривает уравнение Пелля  ax2  +  1  =
у2.
  Задачи книги VI  касаются  прямоугольных  треугольников  с  рациональными
сторонами.  К  условию  х2  +  у2  ==  z2  в  них  добавляются  еще  условия
относительно площадей, периметров, сторон треугольников.
  В книге VI доказывается, что если уравнение ax2 + b == у2 имеет  хотя  бы
одно рациональное решение, то их будет бесчисленное множество.  Для  решения
задач книги VI Диофант применяет все употребляемые им способы.
  Кстати, в одном из древних рукописных  сборников  задач  в  стихах  жизнь
Диофанта описывается в виде следующей алгебраиче-юй загадки,  представляющей
надгробную надпись на его могиле

   Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей—и камень
   Мудрым искусством его скажет усопшего век.
   Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
   И половину шестой встретил с пушком на щеках.
   Только минула седьмая, с подругою он обручился.
   С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;
   Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
   Отнят он был у отца ранней могилой своей.
   Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
   Тут и увидел предел жизни печальной своей.

   Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения:

   [pic] откуда х = 84 = вот сколько лет жил Диофант.

                    Неопределённое уравнение x2 + y2 = z2
  Такое неопределённое уравнение исследовали  пиффагорийцы,  целые  решения
которого  поэтому называют «пифагоровыми  тройками»,  они  нашли  бесконечно
много таких троек, имеющих вид:
  [pic]

                            Кубические уравнения
  Более  систематическое  исследование  задач,   эквивалентных   кубическим
уравнениям, относится только к эпохе эллинизма. Архимед в сочинении «О  шаре
и цилиндре»  (книга  II,  предложение  4)  свел  задачу  о  рассечении  шара
плоскостью на два сегмента, объемы которых имели бы заданное отношение  т  :
п (т > п), к нахождению высоты х большего сегмента из пропорции
                                                                       [pic]
                                                                         (1)


где а — радиус шара.
  Архимед обобщает задачу: рассечь заданный отрезок а на две части х и  а—х
так, чтобы
          (а — х) : с = S : х2,                                (2)

где с и S — заданные отрезок и площадь.
  Заметив, что при  такой  общей  постановке  задача  не  всегда  разрешима
(имеются  в  виду  только  положительные  действительные  решения),  Архимед
приступает к ее исследованию с тем, чтобы наложить ограничения на с и S.  Он
говорит,   что   изложит   полное   решение   задачи   «в   конце»,   однако
соответствующее место не сохранилось.  Жившие  на  столетие  позже  Архимеда
греческие геометры Диокл и Дионисодор  уже  не  знали  его.  Они  предложили
собственные, гораздо более  сложные  решения,  но  никто  из  них  не  сумел
провести анализ общего случая.
     Только в VI в. н. э.  комментатор  Архимеда  Евтокий  нашел  утраченное
место. Архимед решает задачу с помощью двух конических сечений:
Параболы
                                                      [pic]
                                                       (3)
и гиперболы
                                                      [pic]
                                                  (4)


 (здесь положено S = pb). Оба уравнения легко  получить  из  пропорции  (2).
Для выяснения необходимых условий  Архимед  переходит  от  пропорции  (2)  к
кубическому уравнению
                                                                x2(a-x) =
Sc                                                        (5)
которое он выражает словесно  как  соотношение  между  объемами.  Ясно,  что
уравнение (5) может иметь положительные корни, если

                   [pic]

  Итак, проблема сводится к нахождению экстремума х2 (а — х).
   Оставим пока в стороне вопрос о методе экстремумов Архимеда, мы  вернемся
к этому, когда будем говорить об инфинитезимальных методах  древних.  Скажем
только,   что   Архимед   полностью   исследовал    условия    существования
положительных вещественных корней уравнения (5), а именно:
   1) если Sc < 43/27, то на участке (0, а) имеются два таких корня;
   2) если Sc =  4aз/27,  то  имеется  один  корень  (как  сказали  бы  мы,—
двукратный);
   3) если Sc > 4aз/27, то корня нет.
   Здесь 4а3/27 есть максимум х2 (а — х), достигаемый при х = 2а/3. В  конце
письма, предпосланного  книге  «О  коноидах  и  сфероидах»  (греки  называли
сфероидами  эллипсоиды  вращения,  прямоугольными  коноидами  —  параболоиды
вращения, а тупоугольными коноидами  —  полости  двуполостных  гиперболоидов
вращения), Архимед пишет, что с помощью  доказанных  в  книге  теорем  можно
решить ряд задач, как, например: от  данного  сфероида  или  коноида  отсечь
сегмент плоскостью, проведенной параллельно заданной, так, чтобы  отсеченный
сегмент был равен данному конусу, цилиндру или шару.  Перечисленные  задачи,
так же как и задачи  о  делении  шара,  сводятся  к  кубическим  уравнениям,
причем в случае тупоугольного коноида уравнение будет иметь вид
                                     x2(a + x)=Sc

  Из текста Архимеда можно заключить, что он проанализировал  и  решил  это
уравнение. Таким образом, Архимед рассмотрел кубические уравнения вида х3  +
ax + b = 0 при различных значениях a и b и  дал  метод  их  решения.  Однако
исследование кубических уравнений оставалось для греков трудной  задачей,  с
которой, в ее общем виде никто, кроме Архимеда, не мог  справиться.  Решение
отдельных задач, эквивалентных кубическим уравнениям,  греческие  математики
получали с помощью нового геометрического аппарата конических сечений.  Этот
метод впоследствии  восприняли  математики  стран  ислама,  которые  сделали
попытку провести полный анализ всех уравнений третьей степени.
  Но еще до этого, и  притом  греческими  математиками,  был  сделан  новый
решительный шаг в развитии алгебры: геометрическая оболочка  была  сброшена,
и началось построение буквенной алгебры на основе арифметики. Это  произошло
в первые века нашей эры.



                   Литература:
  «История математики в древности» Э. Кольман.
  «Решение уравнений в целых числах» Гельфонд.
  «В мире уравнений» В.А.Никифоровский.
  «История математики в школе» Г.И.Глейзер.
  «Рассказы о старой и новой алгебре» И.Депман.
  «Пифагор: рассказы о математике» Чистаков.
  «Краткий очерк истории математики» Стройк Д.Я.
  «Очерки по истории математики» Болгарский Б.В.
  «История математики» (энциклопедия) под редакцией Юшкевича.
    «Энциклопедический словарь юного математика» под редакцией Гнеденко.



                           -----------------------
(2)_

(1)




смотреть на рефераты похожие на "Методы решения уравнений в странах древнего мира"