Математика

Формула Шлетца



КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.
КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ.



               §1. Пространство R(p1,p2).



   А1- аффинная прямая. Отнесем прямую А1 к подвижному реперу  r  =  {a,(e},
   где а и(e   соответственно точка и вектор.
   Деривационные формулы репера r имеют вид:

                                      d a= ((e  , d(e= W(e
    (1),
причем формы Пфаффа ( и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного
аффинного пространства :
                   D ( = ((W , DW=W(W=0.
   Пусть e* - относительная длина вектора e* =(e + d(e + 1/2d2(e + 1/6d3(e
+... по отношению к вектору (е. Тогда (e* =e*(e. Из (1) получаем :e*
=1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом
относительной длины вектора (e* , близкого к (e , по отношению к (e.
   Пусть R(p1,p2) – пространство всех пар (p1,p2) точек p1,p2  прямой А1.
Поместим начало а репера r в середину Q отрезка р1р2, а конец вектора (е –
в точку р1; при этом р2 совместится с концом вектора -(е.
   Условия стационарности точек р1 и р2 в таком репере имеют соответственно
вид: W+(=0,   -W+(=0.
   Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р1,р2)
являются формы Пфаффа : W+( , -W+(.
   Очевидно, что dim R(p1,p2)=2. Заметим ,что в репере r форма 2W является
дифференциалом относительной длины отрезка р1*р2*, близкого к р1р2,по
отношению к р1р2.



                  § 2. Отображение f.
   А2 – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R={p,(ej}.
Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А2 имеют
соответственно вид :dp=Wjej ; d(ej= Wj k;
                                    DWj=Wk^Wkj ; DWj=Wjy^Wyk .
   Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А2 в
пространстве R(p1,p2):f:A2(R(p1,p2).
   Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f
выполняется : rang f=2        (1)

 Поместим начало Р репера  R  в  точку  f-1(p1,p2).  Тогда  дифференциальные
уравнения отображения f запишутся в виде :
        Q+W=(jWj   ;   Q-W=(jWj                 (2)
   Из (1) вытекает , что существует локальное  дифференцируемое  отображение
f-1:  R(p1,p2)(A2  обратное  к  f.В   указанных   реперах   дифференциальные
уравнения отображения f-1 имеют вид :
                            Wj=(j(Q+W)+(j(Q-W)           (3)
   Из (2) и (3) получаем :
   (k(j+(k(j=(jk
   (j(j=1
   (j(j=1                            (*)
   (j(j=0
   (j(j=0
   Указанную пару {r;R} реперов пространств А1 и А2 будем  называть  репером
нулевого порядка отображения f.



                            §3.Фундаментальные геометрические объекты
отображения f.
Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения
f.
     D(?jWj-W-Q)=0,
получаем :
     d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk
     D(?jWj+W-Q)=0
получаем :
     d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk
   Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f
имеет вид :
     Q+W=?jWj
     Q-W=?jWj
     d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk
     d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWj
  Из этих  уравнений  вытекает,  что  система  величин  Г1={?j,?j}  является
геометрическим  объектом.  Он  называется   фундаментальным   геометрическим
объектом  первого  порядка  отображения  f.  Осуществим  второе  продолжение
системы (2) :
     d?k^Wjk+?kdWjk+1\4(?j?k-?k?j)^Wk+1\4(?j?k-?k?j)dWk+d?jk^Wk+?jkdWk=0.
получим:
     (d?jt-?ktWjk-?jkWtk+1\4(?k?jt-?k?jk)Wk+1\16?t?k(?j-?j)Wk)^Wt=0
     d?k^Wjk+?kdWjk+1\4d(?j?k-?k?j)^Wk+1\4(?j?k-?k?j)dWk+d?jk^Wk+?jkdWk=0
получим:
     (d?jt-?ktWjk-?jtWtk+1\4(?k?jt-?k?jt)Wk+1\16?t?k(?j-?j)Wk)^Wt=0
обозначим:
     ?j=d?j-?tWjt
     ?j=d?j-?tWjt
     ?jk=d?jk-?tkWkt-?jtWkt
     ?jk=d?tkWjt-?jtWkt
   Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений  отображения
f примет вид:
     Q+W=?jWj
     Q-W=?jWj
     d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk
                                            d?j=?kWjk+1\4(?j?k-?k?j)Wk+?jkWk
   (4)
       ?jk=(1\4(???jk-???jk)+1\16?k??(?j-?j)+?jk?)W?
       ?jk=(1\4(???jk-???jk)+1\16?k??(?j-?j)+?jk?)W?
Из уравнений (4) вытекает, что система величин  Г2={?j,?j,?jk,?jk}  образует
геометрический  объект.   Он   называется   фундаментальным   геометрическим
объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение  системы  (2)
приведет к фундаментальному геометрическому объекту ГР порядка р :
     ГР={?j,?j,?j1j2,?j1j2,...,?j1j2...jp,?j1j2...jp}.



                    § 4. Векторы и ковекторы первого порядка.
   Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что  система  величин
{?j},{?j} образует подобъекты геометрического объекта Г1. Будем называть  их
основными  ковекторами  1-го  порядка.  Основные  ковекторы  определяют  для
каждой точки P две инвариантные прямые:
     ?jXj=1 ; ?jXj=1                             (6)
не инцидентные точке Р. Из условия rang f=2 и уравнения  (2)  вытекает,  что
прямые (6) не параллельны. Условия  (*)  показывают,  что  величины  {?j,?j}
являются  компонентами  матрицы  ,обратной  к   матрице,   составленной   из
координат  основных   ковекторов.   Таким   образом   ,   величины   {?j,?j}
охватываются объектом Г1.
   Из (*) получаем:
     d?j=-?kWkj-1\4(?j+?j)?tWt-?kt?k?tWt-?ktWt^?k?j
     d?j=-?kWkj-?kt?k?jWt-?kt?k?jWt+1\4?t(?j+?j)Wt
   Таким образом  ,  система  величин  и  образуют  геометрические  объекты,
охваченные объектом Г1. Будем называть их основными векторами 1-го  порядка.

   Предположение 1.Конец вектора  v1=?jej (вектора v2=?jej) лежит на  прямой
(6). Доказательство вытекает из формул (*),(2). Прямые, параллельные  прямым
(6), инцидентные точке Р, определяются соответственно уравнениями:
?jXj=0                ,                ?jXj               =                0
(7).
   Предположение 2. Основные векторы {?j}  и  {?j}  параллельны  прямым  (6)
соответственно. Доказательство  вытекает  из  формул  (*)  и  (7).  Взаимное
расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:


        ?jXj=1


                                                                          V2

                                        V1                            ?jXj=1



    Система  величин  ?j=?j-?j  образует  ковектор:   d?j=?kWjk+(?jk-?jk)Wk.

   Определяемая им  прямая  ?jXj=0  (8)  проходит  через  точку  Р  и  точку
пересечения прямых (6).
    Пусть  W-однородное  подмногообразие  в  R(p1,p2)  содержащее   элементы
(р1,р2)        определяемое        условием:        (р1*,р2*)?W?p1*p2*=p1p2.

   Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Р  к  прообразу  f-1(W)
многообразия W при отображении f.
   Доказательство:
     ] (p1*,p2*)?W и p1*=p1+dp1+1\2d2p1+... ,
                               p2*=p2+dp2+1\2d2p2+... .
   Тогда в репере Г: p1*p2*=e p1p2, где  e=1+2W+...  является  относительной
длиной отрезка р1*р2* по отношению к р1р2. Таким образом, (р1*р1*)?W?W=0.
Из (2) получим: W=?1Wj
          Следовательно,        (р1*р2*)?W        равносильно         ?jWj=0
  (9)
   Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.
    При  фиксации   элемента   (р1,р2)?R(p1p2)   определяется   функция   h:
(p1*p2*)?h(p1p2)>e?R, так, что р1*р2*=е р1р2
   В дальнейшем эту  функцию  будем  называть  относительной  длиной.  Т.о.,
линия      f-1(W)  является  линией  уровня  функции  h.  Заметим,  что  (9)
является дифференциальным уравнением линии f-1(W).
   ]W1,W2- одномерные многообразия в R(p1p2), содержащие  элемент  (р1р2)  и
определяемые соответственно уравнениями:
     (p1*,p2*)єW1?p2*=p2.
     (p1*,p2*)єW2?p1*=p1.
   Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.
Теорема  2.  Прямая  (7)  является  касательной  в  точке  P   к   прообразу
многообразия W2 (многообразия W1) при отображении f.
   Дифференциальные уравнения линии f-1(W1) и f-1(W2)  имеют  соответственно
вид:
     ?jWj=0
     ?jWj=0.
   Пусть W0- одномерное  подмногообразие  в  R(p1p2),  содержащее  (р1р2)  и
определяемое условием: (p1*p2*)єW0?Q*=Q ,где Q*–  середина  отрезка  р1*р2*.
Следующее     утверждение     доказывается     аналогично     теореме     1.

   Предложение 3. Прямая (?j+?j)X-j=0 (10) является касательной в точке Р  к
прообразу  f-1(W0)  многообразия  W0  при  отображении  f.  Дифференциальное
уравнение линии f-1(W0) имеет вид: (?j+?j)Wj=0.
   Теорема 3.Прямые, касательные в  точке  Р  к  многообразиям  f-1(W1),  f-
1(W2),    f-1(W), f-1(W0) составляют гармоническую четверку.
   Доказательство вытекает из (7),(8),(10).



                             §5.    Точечные    отображения,    индуцируемые
отображением f.
   Рассмотрим отображения:
     П1: (р1,р2)?R(p1,p2)>p1?A1     (5.1)
     П2: (р1,р2)?R(p1,p2)>p2?A1     (5.2)
   Отображение f: A2>R(p1,p2) порождает точечные отображения:
     ?1=П1?f: A2>A1     (5.3)
     ?2=П2?f: A2>A1     (5.4)
   В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений ?1 и  ?2
меют соответственно вид (2.5  а)  и  (2.5  б).  Подобъекты  Г1,2={?j,?jk}  и
Г2,2={?j,?jk}  объекта  Г2  являются  фундаментальными   объектами   второго
порядка отображений ?1 и ?2.
   В работе <4> доказано, что разложение в  ряд  Тейлора  отображений  имеет
соответственно вид:
     x=1+?jXj+1/2?jkXjXk+1/4?y?kXjXk+<3>,     (5.5)
     y=-1+?jXj+1/2?jkXjXk+1/4?y?kXjXk+<3>,   (5.6)
   Введем системы величин:
     ?jk=?jk+1/4(?j?k+?k?j),
     ?jk=?jk+1/4(?j?k+?k?j)
Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид:
     x=1+?jXj+1/2?jkXjXk+<3>     (5.7)
     y=-1+?jXj+1/2?jkXjXk+<3>   (5.8)
В <4> доказано, что существует репер плоскости А2, в котором выполняется:
    ?1  ?2         1  0
               =
    ?1  ?2        0  1
Этот репер является каноническим.
   Таким образом, в  каноническом  репере  Якобиева  матрица  отображения  f
является единичной матрицей.
   Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид:
     x=1+X1+1/2?jkXjXk+<3>     (5.9),

     y=-1+X2+1/2?jkXjXk+<3>   (5.10).



                       §6. Инвариантная псевдориманова метрика.

   Рассмотрим систему величин:

     Gjk=1/2(?j?k+?k?j)

   Из (3.1) получим:

dGjk=1/2(d?j?k+?j?k+d?k?j+?kd?j)=1/2(?k?tWjt+1/4?j?k?tWt-
1\4?k?t?tWt+?k?jtWt+?j?tWkt+

           +1/4?j?k?tWt-1/4?j?k?tWt-1/4?j?t?kWt+?j?ktWt+?k?tWjt+1/4?k?j?tWt-
1/4?k?t?jWt+

       +?k?jtWt),

dGjk=1/2(?k?t+?k?t)Wjt+1/2(?j?t+?t?j)Wkt+GjktWt,

где                    Gjkt=1/2(?k?jt+?y?kt+?j?kt+?k?jt-1/2?j?k?t+1/2?j?k?t-
1/4?j?k?t+1/4?j?k?t+1/4?j?k?t-

             -1/4?j?k?t)                      (6.3).

   Таким образом, система величин {Gjk} образует  двухвалентный  тензор.  Он
задает в А2 инвариантную метрику G:
     dS2=GjkWjWk     (6.4)
    Из  (6.1)  и  (2.5)  вытекает,  что  метрика  (6.4)  соответствует   при
отображении f метрике dS2=?2-W2  (6.5) в R(p1,p2).
   Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.
   Асимптотические направления определяются уравнением GjkWjWk=0 или
?jWj?kWk=0     (6.6)
Предложение:  Основные  векторы   V1   и   V2   определяют   асимптотические
направления метрики G.
Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в  пространстве  нуль-пар.
На проективной прямой нуль-парой является пара точек.  Для  двух  пар  точек
(x,U) и (y,U’) расстояние между  ними  определяется  как  двойное  отношение
W=(xy,UU’)
   Теорема: Метрика dS2=?2-W2 совпадает с метрикой Розенфельда .
   Доказательство: В репере r имеем для координат точек p1,p2,p1+dp1,p2+dp2
Соответственно: 1,-1,1+?+W,-1+?-W.
Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§7), получаем
     dS2=?2-W2
   Следствие: Метрика G сохраняется при  расширении  фундаментальной  группы
ее проективных преобразований.
В работе <3> был построен охват объекта
     Гljk=1/2Gtl(Gtkj+Gjtk-Gjkt)
псевдоримановой связности G фундаментальным объектом Г2={?j,?j,?jk,?jk}.

Он определяется формулой: Гljk=?j?jk+?l?jk-?l?t?k+?l?t?k.


                     §7. Инвариантная риманова метрика.

 Рассмотрим систему величин:
     gjk=?j?k+?j?k     (7.1)
Из (3.1) получаем:
dgjk=d?j?k+d?k?j+d?j?k+d?k?j=?k?tWjt+1/4?k?j?tWt-
1/4?j?t?jWt+?k?jtWt+?j?tWkt+
                       +1/4?j?k?tWt-1/4?j?t?kWt+?j?ktWt+?k?tWjt+1/4?k?j?tWt-
1/4?k?t?jWt+?k?jtWt+
      +?j?tWkt+1/4?j?k?tWt-1/4?j?t?kWt+?j?ktWt.
dgjk=(?k?t+?k?t)Wjt+(?j?t+?j?t)Wkt+gjktWt,     (7.2)
где                                      gjkt=1/2?j?k?t-1/2?j?k?t-1/4?k?t?j-
1/4?j?t?k+1/4?j?k?t+1/4?j?k?t+?k?jt+?j?kt+
            +?k?jt+?j?kt     (7.3)
   Таким образом, система величин {gjk} образует  двухвалентный  тензор.  Он
задает в А2 инвариантную метрику g:
     dS2=gjkWjWk     (6’.4)
    Из  (7.1)  и  (2.5)  вытекает,  что  метрика  (6’.4)  соответствует  при
отображении f метрике:
     dS2=2(?2+W2)     (6’.5)
в R(p1,p2)
   Из (6’.5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой.
   Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:
     GjkXjXk=1     (6’.6)
или (?jXj)2+(?jXj)2=1     (6’.7)
   Из (6’.7) вытекает:
Предложение 7.1:  Единичная  окружность  метрики  g  с  центром  в  точке  Р
является  эллипсом,  касающимся   в   концах   основных   векторов   прямых,
параллельных этим векторам.
    Заметим,  что  сформулированное  здесь  свойство  единичной   окружности
полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g.


                                                                          V1


                                    V2                   рис.3.



   Пусть gjk=?j?k+?j?k     (6.8)
   В силу (2.7) имеем:
     gjtgtk=(?j?t+?j?t)(?t?k+?t?k)=?j?k+?j?k=?kj     (6’.9)
    Таким  образом,  тензор  gjk  является  тензором  взаимных  к  gjk.  Как
известно,  метрика  ставит  в  соответствие  каждому  векторному  полю  поле
ковектора и наоборот.

Предложение 7.2: Поле основного вектора {?j} (вектора {?j}) соответствует  в
метрике g полю основного ковектора {?j} (ковектора {?j}).
Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и  имеют  единичную
длину в метрике g.
Доказательство:
     ?j?kgjk=?j?k?j?k+?j?k?j?k=1,
     ?j?kgjk=?j?k?j?k+?j?k?j?k=1,
     ?j?kgjk=?j?k?j?k+?j?k?j?k=0.
   Таким образом, f задает на А2 структуру риманова пространства (A2,gf).
В работе <2> был построен охват объекта
     ?jkl=1/2gtl(gtkj+gjtk-gjkt)
римановой связности ? фундаментальным объектом
     Г2={?j,?j,?jk,?jk}
   Он определяется формулой:
     ?jkl=?l?jk+?lMjk+Gjk(?l-?l)+1/2(?l+?l)(?j?k-?j?k),
где Gjk=1/2(?j?k+?k?j).



-----------------------
[pic]




смотреть на рефераты похожие на "Формула Шлетца"