Математика

Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром

    Графическое решение уравнений,                  неравенств, систем с
                                 параметром.

                         (алгебра и начала анализа)



                                                   Исполнитель: Зырянов Р.Б.

                                                   Руководитель: Попова Н.Б.



                              Екатеринбург 1998

                                 Оглавление

I. Введение

II. Уравнения с параметрами.
 (1. Определения.
 (2. Алгоритм решения.
 (3. Примеры.

III. Неравенства с параметрами.
 (1. Определения.
 (2. Алгоритм решения.
 (3. Примеры.

IV. Список литературы.

V. Приложения.

                                  Введение


    Изучение многих физических процессов  и геометрических  закономерностей
часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также  включают
в экзаменационные билеты  уравнения,  неравенства  и  их   системы,  которые
часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к  решению.
В  школе  же  этот  один  из  наиболее  трудных  разделов  школьного   курса
математики  рассматривается   только  на   немногочисленных   факультативных
занятиях.
    Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы,
выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего  к  ответу.  На
мой взгляд графический метод является удобным  и  быстрым  способом  решения
уравнений и неравенств с параметрами.
    В  моём  реферате  рассмотрены  часто  встречающиеся  типы   уравнений,
неравенств и их  систем,  и,  я  надеюсь,  что  знания,  полученные  мной  в
процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при  поступлении
а ВУЗ.

                          (1. Основные определения

    Рассмотрим уравнение
               ((a, b, c, …, (, x)=((a, b, c, …, (, x),                  (1)
где a, b, c, …, (, x -переменные величины.
    Любая система значений переменных
                 а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,
при которой и левая и правая части этого уравнения принимают  действительные
значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …,  (,
x. Пусть А – множество всех  допустимых  значений  а,  B  –  множество  всех
допустимых значений b, и т.д., Х – множество  всех  допустимых  значений  х,
т.е. а(А, b(B, …, x(X. Если у каждого из множеств A, B, C, …,  K  выбрать  и
зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, (  и  подставить
их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x,  т.е.  уравнение  с
одним неизвестным.
    Переменные a, b, c, …,  (,  которые  при  решении  уравнения  считаются
постоянными,   называются   параметрами,   а   само   уравнение   называется
уравнением, содержащим параметры.
    Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d,
…, (, l, m, n  а неизвестные – буквами x, y,z.
    Решить уравнение с параметрами – значит указать,  при  каких  значениях
параметров существуют решения и каковы они.
    Два  уравнения,  содержащие  одни  и  те   же   параметры,   называются
равносильными, если:
    а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
    б)  каждое  решение  первого  уравнения  является  решением  второго  и
наоборот.

                            (2. Алгоритм решения.

Находим область определения уравнения.
 Выражаем a как функцию от  х.
 В системе координат хОа строим график функции а=((х) для  тех  значений  х,
которые входят в область определения данного уравнения.
     Находим точки пересечения прямой а=с, где с((-(;+() с графиком функции
а=((х).Если прямая а=с пересекает  график  а=((х),  то  определяем  абсциссы
точек  пересечения.   Для   этого   достаточно   решить   уравнение   а=((х)
относительно х.
 Записываем ответ.

                                 (3. Примеры


I. Решить уравнение

         [pic]                                                     (1)

Решение.
    Поскольку  х=0  не  является  корнем  уравнения,  то  можно   разрешить
уравнение относительно а :
         [pic]   или [pic]

    График  функции  –  две  “склеенных”  гиперболы.   Количество   решений
исходного уравнения определяется количеством точек  пересечения  построенной
линии и прямой у=а.
    Если а  (  (-(;-1]((1;+()([pic]  ,  то  прямая  у=а  пересекает  график
уравнения (1) в  одной  точке.  Абсциссу  этой  точки  найдем   при  решении
уравнения [pic]  относительно х.
    Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение   [pic].

    Если а ( [pic],  то прямая у=а пересекает график уравнения (1)  в  двух
точках. Абсциссы этих точек можно найти  из  уравнений   [pic]    и   [pic],
получаем
         [pic][pic]   и  [pic].
    Если а ( [pic] , то прямая у=а  не  пересекает  график  уравнения  (1),
следовательно решений нет.

     Ответ:
Если а ( (-(;-1]((1;+()([pic], то  [pic];
Если а ( [pic],  то [pic][pic]  ,  [pic];
Если а ( [pic] , то решений нет.

II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение  [pic]  имеет  три
различных корня.

Решение.
    Переписав уравнение в виде  [pic]  и рассмотрев пару функций

                             [pic] , можно заметить, что искомые значения
параметра  а  и только они будут соответствовать тем положениям графика
функции [pic], при которых он имеет точно три точки пересечения с
графиком функции [pic].
    В системе координат хОу построим график функции [pic]). Для этого можно
представить её в  виде  [pic]   и,  рассмотрев  четыре  возникающих  случая,
запишем эту функцию в виде
         [pic]

    Поскольку график функции [pic]  – это прямая, имеющая  угол  наклона  к
оси Ох, равный [pic] , и пересекающая ось Оу в точке  с  координатами  (0  ,
а), заключаем, что три указанные точки пересечения  можно  получить  лишь  в
случае, когда эта прямая касается графика функции   [pic].  Поэтому  находим
производную [pic]
    Ответ: [pic].

    III.  Найти все значения параметра а, при  каждом  из  которых  система
уравнений
         [pic]
имеет решения.

    Решение.
    Из первого уравнения системы получим [pic] при [pic] Следовательно, это
уравнение задаёт семейство “полупарабол”  -  правые  ветви  параболы   [pic]
“скользят” вершинами по оси абсцисс.
    Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и  разложим  её
на множители
[pic]
    Множеством точек плоскости [pic],  удовлетворяющих  второму  уравнению,
являются две прямые
         [pic]                 и                 [pic]
    Выясним,  при  каких  значениях  параметра  а   кривая   из   семейства
“полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.
    Если вершины полупарабол находятся правее точки А,  но  левее  точки  В
(точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается
прямой [pic]),  то  рассматриваемые  графики  не  имеют  общих  точек.  Если
вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то [pic].
    Случай касания “полупараболы”  с  прямой  [pic]  определим  из  условия
существования единственного решения системы
         [pic]
В этом случае уравнение
         [pic]
имеет один корень, откуда находим :
         [pic]
    Следовательно, исходная система не имеет  решений  при  [pic],  а   при
[pic] или [pic]  имеет хотя бы одно решение.
    Ответ: а ( (-(;-3] (([pic];+().

IV. Решить уравнение
         [pic]
    Решение.
    Использовав равенство [pic], заданное уравнение перепишем в виде
         [pic]
    Это уравнение равносильно системе
         [pic]
    Уравнение [pic] перепишем в виде
         [pic].                            (*)
    Последнее  уравнение  проще  всего  решить,  используя   геометрические
соображения. Построим графики функций [pic]  и  [pic]  Из  графика  следует,
что при [pic]  графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не  имеет
решений.
    Если [pic], то при [pic] графики функций  совпадают  и,  следовательно,
все значения  [pic] являются решениями уравнения (*).
    При [pic] графики пересекаются в одной точке, абсцисса  которой  [pic].
Таким образом, при [pic] уравнение (*) имеет единственное решение - [pic].


    Исследуем теперь, при каких значениях  а  найденные  решения  уравнения
(*) будут удовлетворять условиям
         [pic]
    Пусть [pic], тогда [pic]. Система примет вид
         [pic]
    Её решением будет промежуток х( (1;5).  Учитывая,  что  [pic]  ,  можно
заключить, что при [pic] исходному уравнению удовлетворяют все  значения   х
из промежутка [3; 5).
    Рассмотрим случай, когда [pic] . Система неравенств примет вид
         [pic]
    Решив эту систему, найдем а( (-1;7). Но [pic],  поэтому  при  а(  (3;7)
исходное уравнение имеет единственное решение [pic].
    Ответ:
             если а( (-(;3), то решений нет;
             если а=3, то х( [3;5);
             если a( (3;7), то [pic];
             если a( [7;((), то решений нет.

    V. Решить уравнение
         [pic] , где  а - параметр.                 (5)

    Решение.
    1. При любом а : [pic]
    2. Если [pic], то [pic];
  если [pic], то [pic].
 3. Строим  график  функции  [pic]  ,  выделяем  ту  его  часть  ,  которая
    соответствует [pic]. Затем отметим ту часть  графика  функции  [pic]  ,
    которая соответствует  [pic].
    4. По графику определяем, при каких значениях а  уравнение   (5)   имеет
       решение и при каких – не имеет решения.

    Ответ:
             если [pic], то [pic]  [pic]
             если [pic], то [pic];
             если [pic], то решений нет;
             если [pic], то [pic],   [pic].
    VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров [pic]  и
[pic], при которых системы
         [pic]                                    (1)
    и
         [pic]                               (2)
    имеют одинаковое число решений ?

    Решение.
    С учетом того, что [pic] имеет смысл только при [pic],  получаем  после
преобразований систему
         [pic]                                                  (3)
    равносильную системе (1).
    Система (2) равносильна системе
         [pic]               (4)
    Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу  семейство  прямых,
второе уравнение задает семейство концентрических окружностей  с  центром  в
точке А(1;1) и радиусом [pic]
    Поскольку [pic], а [pic], то [pic], и, следовательно, система (4) имеет
не менее четырех решений. При  [pic]  окружность  касается  прямой  [pic]  и
система (4) имеет пять решений.
    Таким образом, если [pic], то система (4) имеет  четыре  решения,  если
[pic], то таких решений будет больше, чем четыре.
    Если же иметь в виду не радиусы  окружностей,  а  сам  параметр  а,  то
система (4) имеет четыре решения в случае, когда  [pic],  и  больше  четырех
решений, если [pic].
    Обратимся теперь к рассмотрению  системы  (3).  Первое  уравнение  этой
системы задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом  и
втором квадрантах. Второе уравнение  системы  (3)  задает  в  плоскости  хОу
семейство прямых.

    При фиксированных положительных а  и  b система (3)  может  иметь  два,
три, или четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли  прямая,
заданная уравнением [pic] , иметь общие точки с гиперболой [pic]  при  [pic]
(прямая [pic]  всегда  имеет  одну  точку  пересечения  с  графиком  функции
[pic]).
    Для решения этого рассмотрим уравнение
         [pic],
которое удобнее переписать в виде
         [pic]
    Теперь  решение  задачи  сводится  к   рассмотрению   дискриминанта   D
последнего уравнения:
если [pic], т.е. если [pic], то система (3) имеет два решения;
если [pic], то система (3) имеет три решения;
если [pic], то система (3) имеет четыре  решения.
    Таким образом, одинаковое число решений  у  систем  (1)  и  (2)  –  это
четыре. И это имеет место, когда [pic].
    Ответ: [pic]
                       II. Неравенства с параметрами.
                          (1. Основные определения

    Неравенство
               ((a, b, c, …, (, x)>((a, b, c, …, (, x),                  (1)
    где a, b, c, …,  (  –  параметры,  а   x  –  действительная  переменная
величина,  называется   неравенством   с   одним   неизвестным,   содержащим
параметры.
    Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …,  k  =  k0,
при некоторой функции
                 ((a, b, c, …, (, x)  и
                 ((a, b, c, …, (, x
имеют смысл в области действительных чисел, называется  системой  допустимых
значений параметров.
    [pic]называется допустимым значением х, если
                 ((a, b, c, …, (, x)  и
                 ((a, b, c, …, (, x
принимают действительные значения  при  любой  допустимой  системе  значений
параметров.
    Множество всех допустимых значений х  называется  областью  определения
неравенства (1).
    Действительное число х0 называется частным  решением  неравенства  (1),
если неравенство
                 ((a, b, c, …, (, x0)>((a, b, c, …, (, x0)
верно при любой системе допустимых значений параметров.
    Совокупность всех частных  решений  неравенства  (1)  называется  общим
решением этого неравенства.
    Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров
существует общее решение и каково оно.
    Два неравенства
                 ((a, b, c, …, (, x)>((a, b, c, …, (, x)  и        (1)
                 ((a, b, c, …, (, x)>((a, b, c, …, (, x)           (2)
называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при  одном
и том же множестве систем допустимых значений параметров.


                            (2. Алгоритм решения.

1. Находим область определения данного неравенства.
2. Сводим неравенство к уравнению.
3. Выражаем а как функцию от х.
4. В системе координат хОа строим графики функций а =( (х) для тех  значений
  х, которые входят в область определения данного неравенства.
5. Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
6. Исследуем влияние параметра на результат.
1. найдём абсциссы точек пересечения графиков.
2. зададим прямую а=соnst  и будем сдвигать её от -(  до+(
7. Записываем ответ.

    Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с  параметрами,  с
использованием системы координат хОа. Возможны и другие  методы  решения,  с
использованием стандартной системы координат хОy.


                                 (3. Примеры

    I. Для всех допустимых значений параметра  а  решить неравенство
         [pic]

    Решение.
    В области определения параметра а, определённого системой неравенств
         [pic]
данное неравенство равносильно системе неравенств
         [pic]
    Если [pic], то решения исходного неравенства заполняют отрезок  [pic].
    Ответ: [pic], [pic].

    II. При каких значениях параметра а имеет решение система
         [pic]

    Решение.
    Найдем корни трехчлена левой части неравенства  –
         [pic]                             (*)
    Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость  аОх
на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен
         [pic]
сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает  окружность  радиуса   2   с
центром  в  начале  координат.  Тогда  решением   исходной   системы   будет
пересечение заштрихован


ной области с окружностью, где [pic], а значения [pic] и [pic] находятся  из
системы
         [pic]
а значения [pic] и [pic] находятся из системы
         [pic]
    Решая эти системы, получаем, что
         [pic]
    Ответ: [pic]

    III. Решить неравенство  [pic]  на  [pic]  в  зависимости  от  значений
параметра а.

    Решение.
Находим область допустимых значений – [pic]
Построим график функции в системе координат хОу.
 1. при [pic] неравенство решений не имеет.
 2. при [pic] для [pic] решение  х  удовлетворяет  соотношению  [pic],  где
    [pic]

    Ответ: Решения неравенства существуют при  [pic]
    [pic], где [pic] , причем при [pic] решения [pic];  при  [pic]  решения
[pic] .


    IV. Решить неравенство
         [pic]

    Решение.
Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)

             [pic]                                         [pic]

                  [pic]
Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в  ПСК;  для  чего
перейдем к равенству :

         [pic]


    Разложим числитель на множители.
         [pic]
    т. к.  [pic]  то
         [pic]
    Разделим обе части равенства на [pic]  при  [pic].  Но  [pic]  является
решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при  [pic].

                 [pic]
         [pic]
                    [pic]
    3. Строим в ПСК хОа  графики функций
         [pic]
и нумеруем  образовавшиеся области (оси роли не играют).  Получилось  девять
областей.
    4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства,  для  чего
берем точку из области и подставляем в неравенство.
    Для наглядности составим таблицу.
|(     |точка      |неравенство: [pic]         |вывод     |
|1     |[pic]      |[pic]                      |-         |
|2     |[pic]      |[pic]                      |+         |
|3     |[pic]      |[pic]                      |-         |
|4     |[pic]      |[pic]                      |+         |
|5     |[pic]      |[pic]                      |-         |
|6     |[pic]      |[pic]                      |+         |
|7     |[pic]      |[pic]                      |-         |
|8     |[pic]      |[pic]                      |+         |
|9     |[pic]      |[pic]                      |-         |

    5. Найдем точки пересечения графиков
         [pic]
    6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от  -( до +(.


    Ответ.
    при   [pic]                             [pic]
    при   [pic]                             [pic]
    при   [pic]                        [pic]
    при   [pic]                        решений нет
    при   [pic]                        [pic]

                                 Литература

 1.  Далингер В. А. “Геометрия помогает  алгебре”.  Издательство  “Школа  -
    Пресс”. Москва 1996 г.
 1. Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных
    экзаменах по математике”. Издательство  Омского  педуниверситета.  Омск
    1995 г.
 1.  Окунев  А.  А.  “Графическое   решение   уравнений   с   параметрами”.
    Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.
 1. Письменский  Д.  Т.  “Математика  для  старшеклассников”.  Издательство
    “Айрис”. Москва 1996 г.
 1. Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и  неравенства,  содержащие  параметры”.
    Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.
 1. Г. Корн и  Т.Корн  “Справочник  по  математике”.  Издательство  “Наука”
    физико–математическая литература.  Москва 1977 г.
 1. Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами”  .  Издательство
    “Асар”. Минск 1996 г.




смотреть на рефераты похожие на "Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром"