Математика

Шпора по математике


Формулы сокр. умножения и разложения на множители :
(a(b)(=a((2ab+b(
(a(b)(=a((3a(b+3ab((b(
a(-b(=(a+b)(a-b)
a((b(=(a(b)(a(?ab+b(),
(a+b)(=a(+b(+3ab(a+b)
(a-b)(=a(-b(-3ab(a-b)
xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a(xn-3+...+an-1)
ax(+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
где x1 и x2 ( корни уравнения
ax(+bx+c=0

Степени и корни :
ap(ag = ap+g
ap:ag=a p-g
(ap)g=a pg
ap /bp = (a/b)p
ap(bp = abp
a0=1; a1=a
a-p = 1/a
p(a =b => bp=a
p(ap(b = p(ab
(a ; a ( 0
      ____
    /   __         _
p( g(a    = pg(a
    ___       __
pk(agk =  p(ag
 p  ____
   /    a            p(a
  /  ((  = ((((
(     b             p(b
a 1/p = p(a
p(ag = ag/p

Квадратное уравнение
ax(+bx+c=0; (a(0)
x1,2= (-b((D)/2a; D=b( -4ac
D>0( x1(x2 ;D=0( x1=x2
D<0, корней нет.
Теорема Виета:
 x1+x2 = -b/a
 x1( x2 = c/a
 Приведенное кв. Уравнение:
x( + px+q =0
 x1+x2 = -p
 x1(x2 = q
 Если p=2k (p-четн.)
и x(+2kx+q=0, то x1,2  = -k(((k(-q)
Нахождение длинны отр-ка
по его координатам
(((x2-x1)(-(y2-y1)()
Логарифмы:
loga x = b => ab = x; a>0,a(0
a loga x = x, logaa =1; loga 1 = 0
loga  x = b;  x = ab
loga b = 1/(log b a)
logaxy = logax + loga y
loga x/y = loga x - loga y
loga xk =k loga x (x >0)
logak x =1/k loga x
loga x = (logc x)/( logca); c>0,c(1
logbx = (logax)/(logab)

Прогрессии

Арифметическая
an  = a1 +d(n-1)
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)n
Геометрическая
 bn  = bn-1 (  q
b2n = bn-1( bn+1
bn = b1(qn-1
Sn = b1 (1- qn)/(1-q)
S= b1/(1-q)

Тригонометрия.
sin x = a/c
cos x = b/c
tg x = a/b=sinx/cos x
ctg x = b/a = cos x/sin x
sin ((-() = sin (
sin ((/2 -() =  cos (
cos ((/2 -() = sin (
cos (( + 2(k) = cos (
sin  (( + 2(k) = sin (
tg  (( + (k) = tg (
ctg (( + (k) = ctg (
sin( ( + cos( ( =1
ctg ( = cos( / sin( , ( ( (n, n(Z
tg( ( ctg( = 1, ( ( ((n)/2, n(Z
1+tg(( = 1/cos(( , ((((2n+1)/2
1+ ctg(( =1/sin(( , (( (n
Формулы сложения:
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y
cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y
cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y
tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )
x, y, x + y ( (/2 + (n
tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)
x, y, x - y ( (/2 + (n
Формулы двойного аргумента.
sin 2( = 2sin ( cos (
cos 2( = cos( ( - sin( ( = 2 cos( ( - 1 =
= 1-2 sin((
tg 2( = (2 tg()/ (1-tg(()
1+ cos ( = 2 cos( (/2
1-cos( = 2 sin( (/2
tg( = (2 tg ((/2))/(1-tg(((/2))
 Ф-лы половинного аргумента.
sin( (/2 = (1 - cos ()/2
cos((/2 = (1 + cos()/2
tg (/2 = sin(/(1 + cos( ) = (1-cos ()/sin (
 (( ( + 2(n, n (Z
Ф-лы преобразования суммы в произв.
sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)
sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)
cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2
cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2
                      sin (x+y)
tg x + tg y = —————
                     cos x cos y
                    sin (x - y)
tg x - tgy =  —————
                    cos x cos y
Формулы преобр. произв. в сумму
sin x sin y = ((cos (x-y) - cos (x+y))
cos x cos y = ((cos (x-y)+ cos (x+y))
sin x cos y = ((sin (x-y)+ sin (x+y))

Соотнош. между ф-ями
sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2)
cos x =  (1-tg2 2/x)/ (1+ tg( x/2)
sin2x = (2tgx)/(1+tg2x)
sin(( = 1/(1+ctg(() = tg((/(1+tg(()
cos(( = 1/(1+tg(() = ctg(( / (1+ctg(()
ctg2( = (ctg((-1)/ 2ctg(
sin3( = 3sin( -4sin(( = 3cos((sin(-sin((
cos3( = 4cos((-3 cos(=
= cos((-3cos(sin((
tg3( = (3tg(-tg(()/(1-3tg(()
ctg3( = (ctg((-3ctg()/(3ctg((-1)
sin (/2 = ((((1-cos()/2)
cos (/2 = ((((1+cos()/2)
tg(/2 = ((((1-cos()/(1+cos())=
sin(/(1+cos()=(1-cos()/sin(
ctg(/2 = ((((1+cos()/(1-cos())=
sin(/(1-cos()= (1+cos()/sin(

sin(arcsin () = (
cos( arccos () = (
tg ( arctg () = (
ctg ( arcctg () = (
arcsin (sin() = ( ; (( [-(/2 ; (/2]
arccos(cos () = ( ; ( ( [0 ; (]
arctg (tg () = ( ; ( ([-(/2 ; (/2]
arcctg (ctg () = ( ; ( ( [ 0 ; (]
arcsin(sin()=
1)( - 2(k; (([-(/2 +2(k;(/2+2(k]
2) (2k+1)( - (; (([(/2+2(k;3(/2+2(k]
arccos (cos() =
1) (-2(k ; (([2(k;(2k+1)(]
2) 2(k-( ; (([(2k-1)(; 2(k]
arctg(tg()= (-(k
(((-(/2 +(k;(/2+(k)
arcctg(ctg() = ( -(k
((((k; (k+1)()
arcsin( = -arcsin (-()= (/2-arccos( =
= arctg (/((1-(()
arccos( = (-arccos(-()=(/2-arcsin (=
 = arc ctg(/((1-(()
arctg( =-arctg(-() = (/2 -arcctg( =
= arcsin (/((1+(()
arc ctg ( = (-arc cctg(-() =
= arc cos (/((1-(()
arctg ( = arc ctg1/( =
= arcsin (/((1+(()= arccos1/((1+(()
arcsin ( + arccos = (/2
arcctg ( + arctg( = (/2
Тригонометрические уравнения
sin x = m ; |m| ( 1
x = (-1)n arcsin m + (k, k( Z
sin x =1               sin x = 0
x = (/2 + 2(k       x = (k
sin x = -1
x = -(/2 + 2 (k
cos x = m; |m| ( 1
x = ( arccos m + 2(k
cos x = 1    cos x = 0
x = 2(k       x = (/2+(k
cos x = -1
x = (+ 2(k
tg x = m
x = arctg m + (k
ctg x = m
x = arcctg m +(k
sin x/2 = 2t/(1+t2); t - tg
cos x/2 = (1-t()/(1+t()
Показательные уравнения.
Неравенства: Если af(x)>(<) aа(ч)
1) a>1, то знак не меняеться.
2) a<1, то знак меняется.
Логарифмы : неравенства:
 logaf(x) >(<) log a ((x)
1. a>1, то :  f(x) >0
                   ((x)>0
                    f(x)>((x)
2. 00
                     ((x)>0
                     f(x)<((x)
3. log f(x) ((x) = a
ОДЗ: ((x) > 0
 f(x) >0
f(x ) ( 1
Тригонометрия:
1. Разложение на множители:
sin 2x - (3 cos x = 0
2sin x cos x -(3 cos x = 0
cos x(2 sin x - (3) = 0
....
2. Решения заменой ....
3.
sin( x - sin 2x + 3 cos( x =2
sin( x - 2 sin x cos x + 3 cos ( x = 2 sin( x + cos( x
Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,
а такое невозможно, => можно поделить на cos x

Тригонометрические нер-ва :
sin ( ( m
2(k+(1 ( ( ( (2+ 2(k
2(k+(2 ( (( ((1+2()+ 2(k
Пример:
I cos ((/8+x) < (3/2
  (k+ 5(/6< (/8 +x< 7(/6 + 2(k
  2(k+ 17(/24 < x< (/24+2(k;;;;
II sin ( ( 1/2
2(k +5(/6 ((( 13(/6 + 2(k
cos ( ((() m
2(k + (1 < (< (2+2 (k
2(k+(2< (< ((1+2() + 2(k
cos ( ( - (2/2
2(k+5(/4 ((( 11(/4 +2(k
tg (((() m
(k+ arctg m ((( arctg m + (k
ctg ((() m
(k+arcctg m < (< (+(k

Производная:
(xn)’ = n( xn-1
(ax)’ =  ax( ln a
(lg ax )’= 1/(x(ln a)
(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = -sin x
(tg x)’ = 1/cos( x
(ctg x)’ =  - 1/sin(x
(arcsin x)’ = 1/ ((1-x()
(arccos x)’ = - 1/ ((1-x()
(arctg x)’ = 1/ ((1+x()
(arcctg x)’ = - 1/ ((1+x()
Св-ва:
(u ( v)’ = u’(v + u(v’
(u/v)’ = (u’v - uv’)/ v(
Уравнение касательной к граф.
y = f(x0)+ f ’(x0)(x-x0)
уравнение к касательной к графику в точке x
1. Найти производную
2. Угловой коофициент k =
= производная в данной точке x
3. Подставим X0, f(x0), f ‘ (x0), выразим х

Интегралы :
( xn dx = xn+1/(n+1) + c
( ax dx = ax/ln a + c
( ex dx = ex + c
( cos x dx = sin x + cos
( sin x dx = - cos x + c
( 1/x dx = ln|x| + c
( 1/cos( x =  tg x + c
( 1/sin( x = - ctg x + c
( 1/((1-x() dx = arcsin x +c
( 1/((1-x() dx = - arccos x +c
( 1/1+ x( dx =  arctg x + c
( 1/1+ x( dx = - arcctg x + c

Площадь криволенейной трапеции.

 Геометрия
Треугольники
[pic]
( + ( + ( =180
Теорема синусов
a( = b(+c( - 2bc cos (
b( = a(+c( - 2ac cos (
c( = a( + b( - 2ab cos (
 Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит
противопол. сторону напополам.
Биссектриса - угол.
Высота падает на пр. сторону
под прямым углом.
Формула Герона :
p=((a+b+c)
         _____________
S = (p(p-a)(p-b)(p-c)
S = (ab sin (
Sравн.=(a((3)/4
S = bh/2
S=abc/4R
S=pr
Трапеция.
[pic]

S = (a+b)/2( h
Круг
[pic]
S=  (R(
Sсектора=((R(()/360
Стереометрия
Параллепипед
V=Sосн(Р
Прямоугольный
 V=abc
Пирамида
V =1/3Sосн.(H
Sполн.= Sбок.+ Sосн.
Усеченная :
       H .               _____
V =  3    (S1+S2+(S1S2)
S1 и S2 — площади осн.
Sполн.=Sбок.+S1+S2
Конус
V=1/3 (R(H
Sбок. =(Rl
Sбок.= (R(R+1)
Усеченный
Sбок.= (l(R1+R2)
V=1/3(H(R12+R1R2+R22)
Призма
V=Sосн.(H
прямая: Sбок.=Pосн.(H
Sполн.=Sбок+2Sосн.
наклонная :
Sбок.=Pпс(a
V = Sпс(a, а -бок. ребро.
Pпс — периметр
 Sпс — пл. перпенд. сечения
Цилиндр.
V=(R(H ; Sбок.= 2(RH
Sполн.=2(R(H+R)
Sбок.= 2(RH
Сфера и шар .
V = 4/3 (R( - шар
S = 4(R( - сфера
Шаровой сектор
V = 2/3 (R(H
H - высота сегм.
Шаровой сегмент
V=(H((R-H/3)
S=2(RH



|гр|  |   |   |   |  |  |  |  |  |120|135|   |18|
|ад|  |   |   |   |0(|30|45|60|90|(  |(  |   |0(|
|  |  |   |   |   |  |( |( |( |( |   |   |   |  |
|  |-(|-(/|-(/|-(/|  |(/|(/|(/|(/|2(/|3(/|3(/|  |
|( |/2|3  |4  |6  |0 |6 |4 |3 |2 |3  |4  |6  |( |
|si|  |-(3|-(2|- (|  |  |(2|(3|  |   |   |  -|  |
|n(|-1|/2 |/2 |   |0 |( |/2|/2|1 |   |   |(  |0 |
|co|  |   |   |   |  |(3|(2|  |  | - |-(2|-  |  |
|s(|  |   |   |   |1 |/2|/2|( |0 |(  |/2 |(3/|-1|
|  |  |   |   |   |  |  |  |  |  |   |   |2  |  |
|tg|  |   |   |-1/|  |1/|  |  |  |   |   |   |  |
|( |( |-(3|-1 |(3 |0 |(3|1 |(3|( |-(3|-1 |   |0 |
|ct|  |   |   |   |  |  |  |1/|  |-1/|   |   |  |
|g(|  |   |   |   |--|(3|1 |(3|0 |(3 |-1 |   |--|
|  |  |   |   |   |- |  |  |  |  |   |   |   |  |



|n|2 |3 |4 |5  |6  |7  |8  |9  |
|2|4 |9 |16|25 |36 |49 |64 |81 |
|3|8 |27|64|125|216|343|512|729|
|4|16|81|25|625|129|240|409|656|
| |  |  |6 |   |6  |1  |6  |1  |
|5|32|24|10|312|777|168|327|590|
| |  |3 |24|5  |6  |07 |68 |49 |
|6|64|72|40|156|466|
| |  |9 |96|25 |56 |
|7|12|21|
| |8 |81|
|8|25|65|
| |6 |61|



|  |-( |(-(|(+(|(/2|(/2|3(/2|3(/2|
|  |   |   |   |-( |+( |- ( |+(  |
|si|-si|sin|-si|cos|cos|-cos|-cos|
|n |n( |(  |n( |(  |(  |(   |(   |
|co|cos|-co|-co|sin|-si|-sin|sin(|
|s |(  |s( |s( |(  |n( |(   |    |
|tg|-tg|-tg|tg(|ctg|-ct|ctg(|-ctg|
|  |(  |(  |   |(  |g( |    |(   |
|ct|-ct|-ct|ctg|tg(|-tg|tg( |-tg(|
|g |g( |g( |(  |   |(  |    |    |



Файл придуман и сделан Денисом Павлюком (C). Коммерческое
распространение не приветствуется без моего согласия и запрещается. Все
предыдущие ошибки исправлены. Успешно тестировано в МАИ. ( Mizz@ru..ru
,  mizz@windoms.sitek.net, Denis_Pavluik@p944.f975.n5020.z2.fidonet.org
, 2:5020/975.944@Fidonet





смотреть на рефераты похожие на "Шпора по математике"