Математика

Площадь поверхности тел вращения



                                     МПС  РФ

             Омский Государственный Университет Путей Сообщения



                                Р Е Ф Е Р А Т


      [pic]



   «Определение площади тела вращения с помощью определенного интеграла.»



                                                           выполнила:

                                                                  студентка
                                 группы 29 Г

                                                          Митрохина Анна



                                                         Проверил :

                                                        Гателюк О.В.



                                    Омск

                                    2000г.



   ИНТЕГРАЛ (от  лат.  Integer  -  целый)  -  одно  из  важнейших  понятий
математики, возникшее в связи с потребностью, с одной  стороны  отыскивать
функции по их производным (например, находить  функцию,  выражающую  путь,
пройденный движущейся точкой, по  скорости  этой  точки),  а  с  другой  -
измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток
времени и т. п.


         СВЕДЕНИЯ ИЗ ИСТОРИИ О ПРОИСХОЖДЕНИИ ТЕРМИНОВ И ОБОЗНАЧЕНИЙ


  Символ [pic]введен Лейбницем (1675 г.).  Этот  знак  является  изменением
латинской буквы   S   (первой  буквы  слова  сумма).  Само  слово  интеграл
придумал                Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит  от
латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние,
восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования  “восстанавливает”
функцию,  дифференцированием  которой  получена  подынтегральная  функция.)
Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый.


  В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с  предложением  Я.
Бернулли. Тогда же , в 1696г., появилось и название новой ветви  математики
- интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли.


           Самое важное из истории      интегрального исчисления!


  Возникновение  задач  интегрального  исчисления  связано  с   нахождением
площадей и объемов. Ряд задач такого рода был  решен  математиками  древней
Греции. Античная математика предвосхитила идеи интегрального  исчисления  в
значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль
при решении таких задач  играл  исчерпывающий  метод,  созданный   Евдоксом
Книдским (ок. 408 - ок. 355 до н. э.) и широко применявшийся Архимедом (ок.
287 - 212 до н. э.).


  Однако Архимед не выделил  общего  содержания  интеграционных  приемов  и
понятий об  интеграле,  а  тем  более  не  создал  алгоритма  интегрального
исчисления. Ученые Среднего и Ближнего Востока в IX - XV  веках  изучали  и
переводили труды Архимеда на общедоступный в их  среде  арабский  язык,  но
существенно новых результатов в интегральном исчислении они не получили.


  Деятельность европейских ученых в это время была еще более скромной. Лишь
в XVI и XVII веках развитие естественных наук поставило  перед  математикой
Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождение квадратур  (задачи
на вычисление площадей фигур), кубатур (задачи на вычисление объемов тел) и
определение центров тяжести .


  [pic]


  Труды Архимеда,  впервые  изданные  в  1544  (на  латинском  и  греческом
языках), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним  из
важнейших отправных  пунктов  развития  интегрального  исчисления.  Архимед
предвосхитил многие идеи интегрального исчисления. Но  потребовалось  более
полутора тысяч лет, прежде чем эти  идеи  нашли  четкое  выражение  и  были
доведены до уровня исчисления.


  [pic]


  Математики XVII столетия, получившие многие новые результаты, учились на
трудах Архимеда. Активно применялся и другой метод - метод неделимых,
который также зародился в Древней Греции. Например, криволинейную трапецию
они представляли себе составленной из вертикальных отрезков длиной  f(x) ,
которым тем не менее приписывали площадь, равную бесконечно малой величине
f(x)dx. В соответствии с таким пониманием искомая площадь считалась равной
сумме
S = [pic]  бесконечно большого числа бесконечно малых площадей. Иногда даже
подчеркивалось, что отдельные слагаемые в этой сумме - нули, но нули
особого рода, которые сложенные в бесконечном числе, дают вполне
определенную положительную сумму.


  На такой кажущейся теперь по меньшей мере сомнительной основе  И.  Кеплер
(1571 - 1630 гг.)  в  своих  сочинениях  “Новая  астрономия”  (1609  г.)  и
“Стереометрия винных бочек”  (1615  г.)  правильно  вычислил  ряд  площадей
(например площадь фигуры, ограниченной эллипсом) и объемов  (тело  резалось
на бесконечно тонкие пластинки).


  Эти исследования были продолжены итальянскими математиками  Б.  Кавальери
(1598 - 1647 годы) и Э. Торричелли (1608 -1647 годы).


  В XVII веке были сделаны многие  открытия,  относящиеся  к  интегральному
исчислению. Так,           П. Ферма уже в 1629 году решил задачу квадратуры
любой кривой  y =[pic], где N - целое (т. е. вывел формулу  [pic][pic]),  и
на этой основе решил ряд задач  на  нахождение  центров  тяжести.        И.
Кеплер при выводе своих  знаменитых  законов  движения  планет,  фактически
опирался на идею приближенного интегрирования. И. Барроу (1603-1677  года),
учитель  Ньютона,  близко  подошел  к  пониманию  связи  интегрирования   и
дифференцирования. Большое значение имели работы по представлению функции в
виде степенных рядов.


  [pic]


  Однако при всей значимости результатов, полученных математиками XVII
столетия, исчисления еще не было. Необходимо   было выделить  общие идеи,
лежащие в основе решения многих частных задач, а также установить связь
операций дифференцирования и интегрирования, дающую достаточно точный
алгоритм. Это сделали Ньютон и Лейбниц, открывшие независимо друг от друга
факт, известный вам под названием формулы Ньютона - Лейбница. Тем самым
окончательно оформился общий метод. Предстояло еще научиться находить
первообразные многих функций, дать логические основы нового исчисления и т.
п. Но главное уже было сделано:


дифференциальное и интегральное исчисление создано.



  Методы математического анализа активно развивались в  следующем  столетии
(в  первую  очередь  следует  назвать   имена   Л.   Эйлера,   завершившего
систематическое исследование  интегрирования  элементарных  функций,  и  И.
Бернулли). В развитии интегрального  исчисления   приняли  участие  русские
математики М. В. Остроградский (1801 - 1862 гг.),       В.  Я.  Буняковский
(1804 - 1889 гг.),  П.  Л.  Чебышев   (1821  -  1894  гг.).  Принципиальное
значение  имели,  в  частности,  результаты  Чебышева,   доказавшего,   что
существуют интегралы, не  выразимые через элементарные функции.


  Строгое изложение теории  интеграла  появилось  только  в  прошлом  веке,
Решение этой задачи  связано  с  именами  О.  Коши,  одного  из  крупнейших
математиков немецкого ученого Б. Римана (1826  -  1866  гг.),  французского
математика Г. Дарбу  (1842 - 1917).


  Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей  и  объемов
фигур, были получены с созданием К. Жорданом (1826 - 1922 гг.) теории меры.


  [pic]


  Различные обобщения понятия интеграла уже в начале нашего  столетия  были
предложены французскими математиками А. Лебегом (1875  -  1941  гг.)  и  А.
Данжуа (1884 - 1974) советским математиком А. Я. Хичиным (1894 -1959 гг.)



                         ПОВЕРХНОСТЬ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ.


    Пусть дана поверхность, образованная вращением  кривой   y=f(x)  вокруг
оси Ох.
    Определим площадь этой поверхности на участке а ? х ? b.  Функцию  f(x)
предположим непрерывной и имеющей непрерывную  производную  во  всех  точках
отрезка [a;b]. Проведем хорды  АМ1,  М1М2,….Мn-1B  длины  которых  обозначим
через ?S1, ?S2… ?Sn        (рис. 1). Каждая хорда длины ?Si (i=1,2,….n)  при
вращении опишет усеченный конус, поверхность которого ?Pi равна:



    Применяя теорему Лагранжа получим:

    ,где


                                                 Следовательно



Поверхность, описанная ломанной, будет равна сумме


, или сумме



, (1)



распространенной на все звенья ломаной.

Предел этой суммы, когда наибольшее звено ломаной ?Si стремится к нулю,
называется площадью, рассматриваемой поверхности вращения. Сумма (1) не
является интегральной суммой для функции

    (2)

, так как в слагаемом, соответствующем отрезку [xi-1, xi ], фигурирует
несколько точек этого отрезка xi-1, xi ,?i.. Но можно доказать, что  предел
суммы (1) равняется пределу интегральной суммы для функции (2), т.е.


    или


    (3)


    Формула  (3)   определяет   площадь   Р   поверхности   теля   вращения
возникающего в результате вращения вокруг оси x кривой, заданной на  отрезке
 а ? x ? b   неотрицательной, непрерывно дифференцируемой функцией  f(x).

    Если вращающаяся кривая задана параметрически: x=?(t), y=?(t) (t0 ? t ?
t1) то формула (3) имеет вид,
    (3/)



-----------------------
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]




смотреть на рефераты похожие на "Площадь поверхности тел вращения"