Математика

Матанализ

1Натуральные числа –  1,2,3,4,  ….,  счёт  предметов,  указание  порядкового
номера. Натуральные числа  также  называют  положительными  целыми  числами.
Числа –1,-2,   -3, …, противоположные натуральным называются  отрицательными
целыми числами. Число 0 тоже целое. Рациональные числа – целые и дроби  (+,-
)  Вид  М/N,  где  (N[pic]  0)   M  и  N-  взаимно  простые   целые   числа.
Иррациональные -  ?2 все вышепереч-е + бесконечные  непериодич.  дроби.  Все
эти числа – действительные. Компл. число Z1=A1+iB1; iІ=-1
2 Z1±Z2=(A1±A2)+i(B1±B2)
   Z1*Z2=(A1+iB1)*(A2+iB2)
   Z1/Z2=(a1+ib1)(a2-ib2)/(a2+ib2)(a2-ib2)=(a1a2+b1b2)+
   i(b1a2-a1b2)\a2І+b2І=(a1a2+b1b2/a2І+b2І)+i* (b1a2-
   a1b2/a2І+b2І)
3 Тигонометрическая форма комплексного числа
   Z=a+ib=r*cos?+i*r*sin?=r*(cos?+i*sin?)
   r – модуль; ? – аргумент. b – y; a – x.
4 ZЄ=rЄ(cos A?+i*sin A?)
5 Є?Z=Є?r(cos ?+2?k/а +i *sin ?+2?k/a) k?(1;2;3…a-1)
Все корни А-ой степени лежат на окружности r=| Z |№\а и  являются  вершинами
правильного А-угольника, вписанного в эту окружность.
6 Переменная вел. Х, принимающая последовательно ( с возрастанием  номера  n
) значения х1,х2,х3..хN называется числовой последовательностью
 1,1,1,1,1…1
 1,1/2,1/3…1/N
 1,-1,1,-1…(-1)Є
  Xn,n?N
Число А наз. пределом последовательности Хn если  для  любого  сколь  угодно
малого положит. числа E>0 найдётся такой номер N(E), что как  только  n>N(E)
то имеет место неравенство | Xn – A | < E
  lim  Xn = A
   n>?
Число А есть предел последовательности Xn если для любого  ?  >  0  найдётся
такой номер N, начиная с которого (при  n>N)  все  члены  последовательности
будут заключены в ?-окрестности  какой  бы  она  узкой  ни  была.  Вне  этой
окрестности может быть лишь конечное число членов этой последовательности.
7 Если последовательность Хn монотонна  и ограничена, то  она  имеет  предел
(сходится).
Cвойства пределов:
если Хn=С то lim Xn=C
                         n>?
пусть lim Xn=A, a lim Yn=B тогда lim (Xn±Yn)=A±B
            n>?            n>?                 lim (Xn*Yn)=A*B
                                                            lim  (Xn/Yn)=A/B
; B?0

если Xn?Yn для n?N то lim Xn ? lim Yn
                                            n>?        n>?
8 Eсли Хn сходится (имеет предел) то Хn ограничена
Последовательность Xn; n?N наз. ограниченной если  существует  положительное
число М, что выполняется нер-во | Xn |?M; n?N
Если lim Xn=0, то Xn; n?N наз. БМВ обознач (?n,?n,?n)
          n>?
Св-ва БМВ:
 lim ?n=0
n>?
 lim (?n±?n)=0
n>?
 lim (Xn*?n)=0;  если Xn-ограничена
n>?
В произведении БМВ можно заменять  на  эквивалентную  БМ.  В  алгебраической
сумме замену можно производить в том случае если  не  происходит  сокращения
БМ одного порядка с Х:
sin X ~ X                   eЄ-1 ~ a
tg X ~ X                     (1+x)Є ~ ax
1 – cos X ~ XІ/2         arctg X ~ X
LOGe(1+X) ~ X         xЄ-1 ~  aLNx
9 Сумма эл-тов числовой последовательности наз. числовым рядом.
[pic]
Сумма n членов ряда – n частичная сумма ряда
Если при n>? lim Sn=S, то ряд сходящийся, S сумма ряда .
Ряд  наз.  сходящимся  если  сущ.  конечный  предел  последовательности  его
частичных сумм.
Прим:
 [pic]при каких q сходится и расходится ?
 сходится к сумме S=a/1-q при | q |<1 и расход-ся при | q |?1
10 Признак сравнения двух знакоположит-х рядов.
 есть 2 знакполож. ряда SAk,SBk так что 0?Ak?Bk k?N
 тогда если SBk? то SAk тоже ? и наооборот если меньший ряд не  сходится  то
и больший тоже.
11 Признак Даламбера
SUn c положительными членами сущ. lim Un+1/Un =l
                                                                       n>?
то ряд сходится если l<1 и  расходится  если  l>1,  если  l=1  то  вопрос  о
сходимости нерешён.
     Признак Коши
     SAn – знакополож. ряд  lim  Є?An=q
                                              n>?
     q<1 – сходится  ; q>1 – расходится.
12 Знакопеременный ряд а1-а2+а3-а4…+ (-1)в степ.(n-1)*An
      An>0
     Признак Лейбница:
     Если члены ряда (знакопер) убывают а1>a2>a3>…An и
     предел  Аn при n>? =0 то ряд сходится
пример 1-1/2+1/3-1/4…+(-1)(n-1)*1/n
13  Имеет  место  функциональная   зависимость   между   двумя   переменными
величинами  х и у если задан закон y=f(x),  согласно  которому  каждому  х?Х
соответствует значение y?Y. х-аргумент
 y=kx+b – линейная ф-ия
 y=axІ+bx+c – квадратичная ф-ия
Обратная ф-ия – ф-ия x=?(y) наз. обратной ф-ией к прямой  ф-ии  y=f(x)  если
x=?(f(x)) для всех х?Х
 Графики взаимно обратных ф-ий симметричны относительно прямой у=х.
y=XЄ и y=LOGxA – примеры
14 Число B называется пределом ф-ии в f(x) при x, стремящемуся к x0  (или  в
точке x0) если для любого, сколь угодно  малого  положительного  числа  ?>0,
найдётся такое положительное число ?(?)>0 что для всех  х  не  равных  х0  и
удовлетворяющих  условию | x-x0 |x0
Смысл состоит в том, что для всех  значений  х,  достаточно  близких  к  х0,
значения ф-ии f(x) как угодно мало отличаются от числа В (по модулю)
15                lim f(x)=B
                    x>x0
Если B=f(x0), то ф-ия f(x) – непрерывна в точке х0.
св-ва :
 lim c=c
x>x0
 если f(x)=b, ?(x)=c то lim (f(x)±?(x))=b±c
                                      x>x0
                                       lim (f(x)*?(x))=b*c
                                      x>x0
                                        lim (f(x)/?(x))=b/c (c?0)
                                      x>x0
Если f(x)??(x)?g(x) и lim f(x)=lim g(x) =b то lim ?(x)=b
                                       x>x0    x>x0              x>x0
  если при этом b=f(x0); c=?(x0) то св-во 2 можно записать:
  (Если f(x) или ?(х) непрерывны в т. х0 то в т.х0
   непрерывны сумма, разность, произведение и
   частное(?(х0))?0 этих функций
Если ф-ия непрерывна в каждой точке  отрезка,  то  она  непрерывна  на  этом
отрезке
16 Линейная ф-ия непрерывна в любой точке А?(-?;+?)
y=kx+b=f(x)
f(A)=kA+b
k?0 ? | f(x)-f(a) |0)
Докажем, что y=BЄ непрерывна на (-?;+?)
 lim BЄ=1
a>0
| BЄ-1 | 1
-? < BЄ-1 < ?      1-? < BЄ < ?+1
LOGb(1-?)x0
20 Второй замечательный предел
  lim(1+1/a)Є=e
a>?
Число е (число Эйлера, неперово число) играет важную роль в матанализе.
  lim (1+a)№’Є=e
a>0
21 Пусть имеется ф-ия y=f(x), определённая  на  (а;  в),  говорят  что  ф-ия
имеет в т. х0?(а; в) производную f ’(x0) если существует предел
  lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)
x>x0
Производной ф-ии y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения ф-
ии к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Ф-ия   имеющая   производную   в   каждой   точке    интервала    называется
дифференцируемой на этом интервале.
Геометрический смысл производной: пр-ая f  `(x0)  есть  угловой  коэфф.  (tg
угла наклона) касательной, проведённой к кривой y=f(x)  в  точке  х0  ,  k=f
‘(x0)
у=f ‘(x0)(x - x0)
Механический смысл производной: пр-ая пути по  времени        s  ‘(t0)  есть
скорость точки в момент t0: V(t0)=s ‘(t0)
Определение для любой точки
[pic]

22 Производная алгебраической суммы конечного  числа  дифференцируемых  ф-ий
равна такой же сумме производных этих ф-ий
(u±v)`=u`± v`
Производная произведения двух дифференцируемых ф-ий равна  произведению  пр-
ой первого сомножителя на второй плюс произведение  первого  сомножителя  на
про-ую второго:
(uv)`=u`v + uv`
   Постоянный множитель можно выносить за знак
   производной
   (cu)`=cu`
   Производная произведения нескольких
   дифференцируемых ф-ий равна сумме произведений
   производной каждого из сомножителей на все остальные
   (uvw)`=u`vw+uv`w+uvw`
23 Производная частного двух ф-ий u(x)/v(x), если v(x)?0
равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя  дроби
на производную числителя и числителя дроби на производную  знаменателя  есть
квадрат прежнего знаменателя: (u/v)`=(u`v-uv`)/vІ; v?0
   (u/c)`=1/c*u`
   (c/u)`=-cv`/vІ       c=const
24 (xЄ)`=axЄ?№
25 (LNx)`=1/x
     (eЄ)`=eЄ
     Для дифференцируемой ф-ии с производной, не равной
     0, производная обратной ф-ии равна обратной величине
     производной данной ф-ии
      X`y = 1/Y`x
26 (sin x)`=cos x
     (cos x)`=-sin x
     (tg x)`=1/cosІx
     (ctg x)`=-1/sinІx
27 Если y=f(u) и u=?(x) – дифференцируемые  ф-ии  от  своих  аргументов,  то
производная сложной ф-ии существует  и  равна  производной  данной  ф-ии  по
промежуточному аргументу и умноженной на производную  самого  промежуточного
аргумента по незавмсимой переменной х
y`=f`(u)*u`
y=f(u(x)) Fx`=Fu`*Ux`
Пример:
 y=(?x+5)і y`=?
   y=uі, где u=?x+5
   по формуле : y`=3u`*u`=3(?x+5)І(?x+5)`=3(?x+5)І/2?x
28 Дифференциалом ф-ии наз. линейная  часть  приращения  ф-ии  (относительно
?х), равная произведению производной на приращение независимой переменной.
dy=f`(x)?x
Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.
Геометрический   смысл:   Дифференциал   ф-ии   есть   приращение   ординаты
касательной, проведённой к графику  ф-ии  y=f(x)  в  данной  точке  когда  х
получает приращение ?х
29 При исследовании ф-ий используется следующий алгоритм:
1 ООФ, ОЗФ
2 Непрерывность ф-ии
3 Нахождение асимптот
4 Экстремумы и интервалы монотонности
5 Интервалы выпуклости и т. перегиба
6 Чётность нечётность, периодичность
7 Т. пересечения с Ох и Оу
 (3)Если для некоторого х0 имеет место предел f(x)=? при
      х>х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой
      f(x)
    Если предел f(x)=b при x>? то говорят, что у=b явл.
    горизонтальной асимптотой f(x)
      Если предел f(x)/х=k при x>? (k?0;k??) и предел
   (f(x)-kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимпт-й
 (4)Если производная ф-ии положительна (отрицательна)
      внутри некоторого промежутка Х то ф-ия возрастает
      (убывает) на этом промежутке
      Если при переходе через т. х0 производная
      дифференцируемой ф-ии меняет свой знак и в т. х0
      равна 0 то х0-точка экстремума (минимума или
      максимума)
 (5)Точкой перегиба непрерывной ф-ии (f``(x)=0) наз. т. в
      разделяющая интервалы, в которых ф-ия выпукла вниз и
      вверх.
      Ф-ия  y=f(x) называется выпуклой внизу на интервале
      (a;b) если f``(x)>0 на (a;b); ф-ия называется выпуклой
      вверх  на (a;b) если f``(x)<0 на (a;b)
30  Асимптотой  графика  ф-ии  y=f(x)  называется  прямая,  обладающая   тем
свойством, что расстояние  от  точки            (х,  f(x))  до  этой  прямой
стремится  к  0  при  неограниченном  удалении  точки  графика   от   начала
координат.
      Если для некоторого х0 имеет место предел f(x)=? при
      х>х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой
      f(x). Вертикальные асимптоты следует искать в точках
      разрыва ф-ии или на концах её ООФ (а; в) если аи в –
      конечные числа
    Если предел f(x)=b при x>? то говорят, что у=b явл.
    горизонтальной асимптотой f(x)
      Если предел f(x)/х=k при x>? (k?0;k??) и предел
   (f(x)-kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимпт-й
      Наклонная асимптота как и горизонтальная может быть
      правосторонней или левосторонней
31 Степенным рядом наз. ряд вида (1)S Bn*xЄ = b0+b1x+b2xІ…+baxЄ+… это ряд  в
котором членами являются  ф-ии,  в  частности  степенные.  Совокупность  тех
значений  х,  при  которых  степнной  ряд  сходится,   называется   областью
сходимости степнного ряда.
Ряд (1) наз. абсолютно сходящимся рядом, если сходится ряд (2) S | bn |*|  x
|Є
Т1. Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1)
Т2. Для любого степ. ряда (1) сущ-ет такое неотрицат.  число  R?0  что  этот
ряд сходится абсолютно при | x |R;  R  –  радиус
сходимости ряда
Даламбер: lim | Bn+1 |/| Bn |<1 (n>?) сходится
                                               >1 (n>?) расходится
32 Разложение ф-ий в ряд:
Если бесконечно дифференцируемая ф-ия f(x0)=a0
f`=A1+2A2(x-x0)+n*An(x-x0)Є?№
f(x)=f(x0)+f1(x0)(x-x0)+…+fЄ(x0)(x-x0)Є/a!
Рядом Тейлора ф-ии f(x) в окрестности т.  х0  называется  степ.  рядом  отн.
разности (х-х0)
Особенно часто используется разложение ф-ии в ряд по степеням  х,  при  этом
х0=0; f(x)=f(0)+f`(0)+f Є(0)/a!*xЄ
Ряд Маклорена – частный случай ряда Тейлора
eЄ=1+x+xІ/2!+xі/3!+…+xЄ/a!+…
sin x=1+ x-xі/3+…+(-1)Є*(xІЄ?№)/(2a+1)!+…
cos x=1-xІ/2!+x?/4!+…+(-1)?*xІ?/(2n)!+…
ln(1+x)=x-xІ/2+xі/3-…+(-1)?x??№/n+1…
33 Ф-ия F(x) наз. первообразной для ф-ии f(x) если для всех  х  (из  области
определения) имеет место F`(x)?f(x) нетрудно увидеть что если F(x)  является
первообразной для f(x) то и для F(x)+C также явл. первообразной.
Общий вид первообразной F(x)+C называется неопределённым интегралом от  ф-ии
f(x) обозначается F(x)+C=?f(x)dx
dF(x)=F`(x)dx=f(x)dx
Св-ва неопр.?
?dF(x)=F(x)+C
(?f(x)dx)`=f(x)
??f(x)dx=??f(x)dx
?(f(x)±g(x))dx=?f(x)dx±?g(x)dx
Таблица интегралов
34 Метод замены переменных:
?f(x)dx=?f(?(t))·?`(t)dt > x=?(t)
   ?sin 5x dx=?sin t 1/5dt=1/5?sin t dt=-1/5 cost+C =-1/5cos 5x+C
   5x=t; x=1/5t; dx=1/5 dt
35 Интегрир-ие по частям:
? U·dV=UV-?VdU
Возможности применения связаны с тем, что дифференцир-ие  может  существенно
упростить один из сомножителей (при условии что дифф-ие не слишком  усложнит
другой)
? xІ·sinx dx
   xІ=U                         dU=2x dx
   sin x dx =dV             V=-cos x

? = xІ·sin x dx=-xІ·cos x -?(-cos x)2x dx=-xІ·cos x+2?x·cos x dx
   x=U                           dU=dx
   cos x dx=dV              V=sin x
? = xІ·sin x dx=-xІcos x +2(x·sin x-?sin x dx)=  -xІ·cos  x+2x·sin  x  +2cos
x+C
36 Рациональной дробью называется ф-ия, равная  отношению  двух  многочленов
f(x)=Pm(x)/Qn(x), Pm(x)-многочлен степени m, Qn(x)- многочлен степени n.
Рациональная дробь наз. правильной если  степень  числителя  меньше  степени
знаменателя, т.е. m? (?xi>0)
[pic]
Cв-ва опр. интеграла:
(все интегралы на отрезке от А до В)
1 ?С·f(x)dx=C·?f(x)dx
2 ?(f(x)±g(x))dx=?f(x)dx±?g(x)dx
3 ?f(x)dx=-?f(x)dx
4 Если f(x)?g(x) на (A,B), то ?f(x)dx??g(x)dx
5 Если на (А,В) m=minf(x) M=maxf(x)то m(B-
   -A)??f(x)dx?M(B-A)
6 Если f(x) непрерывна на (A,B) то сущ. также точка
    С?(A;B) ?f(x)dx=f(C)·(B-A)
7 Если f(x) непрерывна на (А,В) то ?f(x)dx существует
8 ?f(x)dx=?(a>d)f(x)dx+?(d>b)f(x)dx
9 Формула Ньютона-Лейбница:
    ?f(x)dx=F(B)-F(A)>F`(x)=f(x)
38 Применение опр. ?
 1 Вычисление площадей (Н-Лейб)
    Если на (А,В) f(x)>0 то S=?f(x)dx
    Если на (А,В) f(x)<0 то S=-?f(x)dx
    Если на (А,В) f(x)>g(x) то S=?[f(x)-g(x)]dx
          (действительно для всех вариантов расп. ф-ий)
 2 Вычисление объёмов тел вращения
    V=??fІ(x)dx
39 Приближ. вычисление интегралов
 1 Формула Н-Лейб.
 2 Метод прямоугольника
     (B-A)/n=h: ?(A>B)f(x)dx~=h(f1+f2…+fn)
3 Формула трапеции  ?f(x)dx~=h(1/2·f0+f1+f2+…fn)
4 Формула Симпсона
    n-чётное
    ?f(x(dx=(B-A)/3n(f0+4f1+2f2+4f3+2f4+…+4fn-1+fn)
40 Несобственные ? бывают 2-х видов:
  ?-ы вида ?(a;+?)f(x)dx;  ?(-?;b)f(x)dx;  ?(-?;+?)f(x)dx
  называются несобственными ?-и 1-го рода
Если  сущ.  предел  (b>?)  ?(a;b)f(x)dx=C  (C??)  то  интеграл  сходится   и
наоборот.
Пусть есть числовой  ряд  SAx=A0+A1+…An+…  и  пусть  есть  ф-ия  f(x)=Ax  на
интервале [  a:b)  Тогда  ряд  и  несобственный  ?(a;?)f(x)dx  сходятся  или
расходятся одновременно
Если lim  (x>b)f(x)=?  или  lim(x>a)f(x)=?  то  ?f(x)dx  наз.  несобственным
интегралом 2-го рода, он сходится если сущ. конечный предел
  lim ?(a; b-?)f(x)dx
?>0
41 Пусть  имеется  n  переменных  величин,  и  каждому  набору  их  значений
(x1,x2,x3…xn) из некоторого мн-ва Х соответствует одно  вполне  определённое
значение переменной величины Z. Тогда  говорят,что  задана  ф-ия  нескольких
переменных Z=f(x1…xn)
Если сущ-ет lim(?x>0)f(x+?x,y)-f(x,y)/?x=fx`(x,y) то он  называется  частной
производной по переменной х.
Если сущ-ет lim(?y>0)f(x,y+?y)-f(x,y)/?y=fy`(x,y) то он  называется  частной
производной по переменной y
Величина dZ=f`x(x;y)dx+f`y(x;y)dy называется дифференциалом от ф-ии f(x;y)
Z=f(x1+x2+…xn)dZ=f`x1·dx1+f`x2·dx2+…+f`xn·dxn
Дифференциалом ф-ии называется сумма  произведений  частных  производных  на
приращение соответствующих независимых переменных.
42 Если  Z=f(x;y)  имеет  в  точке  (х0;у0)  экстремум  (локальный)  и  ф-ия
дифференцируема (т.е. имеет частные произв-ые) то частные произв-ые  в  этой
т. равны 0.
43  Формулы  служащие  для  аналитического  представления   опытных   данных
получили название эмпирических формул
Этапы вывода ЭФ:
1 Установить вид  зависимости  (линейная,  квадратичная,  логарифмическая  и
т.д.)
2 Определение известных параметров этой ф-ии
   Для линейной зависимости сущ-ет метод наименьших
   квадратов
44  ДУ  называют  ур-ие,  связывающее  искомую  ф-ию  одной  или  нескольких
переменных, эти переменные, и производные различных порядков данной ф-ии.
Решением ДУ называется такая ф-ия, котю  при  подстановке  её  в  это  ур-ие
обращает его в тождество.
ДУ первого порядка наз. ур-ие  содержащее  переменную  х,  неизвестную  ф-ию
y=f(x) и её производную y`=f`(x)
ДУ первого порядка наз. ур-ем с разделяющимися  переменными,  если  оно  м/б
представленно в виде
dy/dx=f(x)g(y)
Для решения такого  ур-ия  его  следует  преобразовать  к  виду,  в  котором
дифференциал и ф-ии  переменной  х  окажутся  в  одной  части  равенства,  а
переменной у – в другой. Затем проинтегрировать обе части  полученного  рав-
ва:
dy/g(y)=f(x)·dx  > ? dy/g(y)=? f(x)·dx

|f(x) |f`(x)|f(x) |f`(x)|
|c    |0    |xЄ   |axЄ?№|
|x    |1    |xІ   |2x   |
|?x   |2?x  |arcco|-1/?1|
|     |     |s x  |-xІ  |
|     |     |     ||x|<1|
|1/x  |-1/xІ|arctg|1/1+x|
|     |     |x    |І    |
|e?   |e?   |arcct|-1/1+|
|     |     |g x  |xІ   |
|a?   |a?ln |sh x |ch x |
|     |a    |     |     |
|ln x |1/x  |ch x |sh x |
|LOGaX|1/x·l|th x |1/chІ|
|     |n a  |     |x    |
|sin x|cos x|cth x|-1/sh|
|     |     |     |Іx   |
|cos x|-sinx|ln(x+|1/?(1|
|     |     |?(xІ+|+xІ) |
|     |     |1))  |     |
|tg x |1/cos|arcsi|1/?(1|
|     |Іx   |n x  |-xІ) |
|ctg x|-1/si|     |     |
|     |nІx  |     |     |
|     |     |     |     |
|                         |

|f(x)        |F(x)+C      |
|0           |C           |
|1           |x+C         |
|x           |xІ/2+C      |
|xЄ          |xЄ?№/a+1+C  |
|            |a?1         |
|1/x         |ln| x |+C   |
|1/xІ        |-1/x+C      |
|1/xі        |1/2xІ+C     |
|1/(1+xІ)    |arctg x+C   |
|1/aІ+xІ     |1/a·arctg   |
|            |x/a+C a?0   |
|1/1-xІ      |1/2·ln|     |
|            |(1+x)/(1-x) |
|            ||+C         |
|1/aІ-xІ     |1/2a·ln|    |
|            |(a+x)/(a-x) |
|            ||+C a?0     |
|x/xІ+a      |1/2·ln| xІ+a|
|            ||+C         |
|1/?(1-xІ)   |arcsin x+C  |
|1/?(aІ-xІ)  |arcsin x/a+C|
|e?          |e?          |
|a?          |a?/ln a     |
|ln x        |x ln x –x +C|
|sin x       |-cos x+C    |
|cos x       |sin x+C     |
|tg x        |-ln | cos x |
|            ||+C         |
|ctg x       |ln | sin x  |
|            ||+C         |
|1/cosІx     |tg x+C      |
|1/sinІx     |-ctg x+C    |



1. Понятие числа (от натур. до комплексного)
2. Сложение, вычитание, *, / для комплексного числа
3. Тригонометрическая форма комплексного числа
4. Возведение в степень комплексного числа
5. Извлечение Є( из комплексного числа
6. Последовательность и её предел
7. Св-во сходящихся последовательностей (док-во)
8. БМВ и ограниченная последовательность. Св-ва БМВ
9. Знакоположительный ряд и его сходимость (пример)
10. Признак сравнения двух знакоположительных рядов (примеры)
11. Признаки Даламбера и Коши
12. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница (пример)
13. Прямая и обратная функция (примеры)
14. Предел ф-ии в точке
15. Непрерывность ф-ии в точке. Св-ва непрерывных ф-ий
16. Непрерывность линейной и степенной ф-ий
17. Непрерывность ф-ий ВЄ  и LOGaX
18. Непрерывность тригонометрической ф-ии
19. 1-ый замечательный предел
20. 2-ой замечательный предел и его применение для
   начисления непрерывных %
21. Понятие производной от ф-ии. Геометрический и механический
   смысл призводной
22. Понятие пр-ой. Пр-ая от +, -, * двух ф-ий
23. Понятие пр-ой. Пр-ая от / двух ф-ий
24. Понятие пр-ой. Пр-ая от ХЄ
25. Понятие пр-ой. Пр-ая от обратных ф-ий (LNx, eЄ)
26. Пр-ая от тригонометрической ф-ии.
27. Пр-ая от сложной ф-ии (пример)
28. Понятие дифференциала ф-ии. Его геометр. смысл
29. Исследование ф-ий с помощью пр-ой и пределов.
30. Понятие асимптот и их нахождение
31. Степенной ряд и область его сходимости
32. Разложение ф-ий в степенные ряды
33. Неопределённый интеграл. Табл. Интегралов
34. Метод интегрир-ия с помощью замены переменных (примеры)
35. Интегрирование по частям
36. Интегрир-ие с помощью разложения на элементарнве дроби
37. Определённый интеграл и его св-ва. Формула Ньютона-Лейбница
38. Применение опр. интегралов
39. Приближённый метод вычисления опр. интегралов
40. Несобственные интегралы
41. Ф-ии нескольких переменных. Понятие частных пр-ых и дифференциала
42. Экстремум ф-ий нескольких переменных
43. Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов.
44        Понятие ДУ и методы его решения.



смотреть на рефераты похожие на "Матанализ"