Математика

Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле


|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|на тему:                                                                 |
|                                                                         |
|"Об интегральных формулах Вилля-Шварца                                   |
|для трехсвязных областей и ее применение                                 |
|к краевым задачам Дирихле".                                              |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |
|                                                                         |

                                 Оглавление.
      Введение.
  §1. О задачах Дирихле.
     а)  Задача  Дирихле  для  круга  –   Задача   Пуассона   (классическая
        формулировка).
      б) Обобщенная задача Дирихле
      в) Видоизмененная задача Дирихле.
      г) Классическая задача Дирихле для многосвязных областей.
      д) Общая формулировка задачи Дирихле.
      е) Задача Неймана.

  §2. О задачах Шварца-Пуассона.
      а) Интеграл Шварца для круга.
      б) Интегральная формула Пуассона.
      в) Интеграл Пуассона для внешности круга.
      г) Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости.
      д) Задача Дирихле для кругового кольца.

  §3. Интегральная формула Анри Вилля  –  проблема  Дирихле  для  кругового
     кольца (1912).
     а) Преобразование интегральной формулы А.Вилля.
     б) Функции Вейерштрасса (I(u), [pic](u), [pic](u)).

  §4. О некоторых  изменениях  теории  конформного  отображения  к  краевым
     задачам.
     а) Об структурном классе интегральных представлений.
     б) О решении задачи Дирихле методом Чизотти для многосвязных областей.
     в) Интегральная формула Чизотти для заданных областей – решение задачи
        Дирихле для соответствующих областей.

  §5.  Об  интегральных  представлениях   Пуассона-Дирихле   для   заданных
     областей.

  §6.   Интегральная   формула   Чизотти-Пуассона-Дирихле   для    конечных
     трехсвязных областей.

     Литература.

                                  Введение.

     В данной дипломной работе исследованы некоторые  интегральные  формулы
(классические  представления)  аналитических  и  гармонических   функций   в
заданных многосвязных областях.
     Даны  новые  методы  решения  классических   краевых   задач   методом
интегральных   представлений   аналитических   функций,   используя    метод
конформного отображения канонической  области  [pic](z)  на  соответствующие
области G[pic](w).
     Используя фундаментальные интегральные формулы для круга  и  кругового
кольца, автор обобщает задачи Пуассона, Дирихле, Дини,  Шварца,  Кристофеля-
Шварца и Чизотти для многосвязных областей.
     В  частности,  найдены  интегральные  формулы   для   эксцентрического
кругового  кольца,  двух-трехсвязных  областей.  И  нашли  применение  их  к
решению классических краевых задач типа Дирихле-Неймана.
     Целью нашего исследования в предлагаемой работе являются:
1. Разобраться в вышеуказанных (непростых)  известных  классических  задачах
   типа Шварца, Дирихле, Пуассона и Чизотти [1] – [7].
2. Творчески изучая и классифицируя  их,  найти  обобщение  и  решение  этих
   задач для конкретных многосвязных областей (см. оглавление).
     Данная работа состоит из введения и 6 параграфов.
     В введении обосновывается постановка задачи, показывается актуальность
рассматриваемой темы дипломной работы,  дается  краткий  анализ  и  перечень
работ по данному исследованию (1 – 24).
     Параграфы (§1, §2) не только  вспомогательные  материалы,  необходимые
для понимания основного содержания дипломной темы, но и являются  справочной
классификацией  о  задачах   Дирихле   (классическая,   обобщенная,   общая,
видоизмененная) для любой связности заданной  области  G[pic]=  G[pic](w)  и
задачах Шварца-Пуассона (для круга, кругового кольца, внешности кругов,  для
полуплоскости).
     В §3 интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле для  кругового
кольца  в  форме  Ахиезера  преобразована  и  получена   новая   компактная,
контурная, структурная формула  А.Вилля  для  кругового  кольца.  Здесь  же,
ввиду важности трех функций I(u),  [pic](u)  и  [pic](u)  для  практического
приложения и  простоты  реализации  на  ЭВМ,  мы  рассмотрели  все  варианты
представления рядов данных функций (37) – (48) по справочникам [19]  –  [22]
специальных функций (а), б)).
     Параграфы §4 - §6 – основное содержание самостоятельной работы автора:
рассмотрены применение теории комфорного отображения  к  краевым  задачам  –
решение задачи Дирихле методом Чизотти для заданных областей (§4).
     В  §5  –  интегральные  представления  Пуассона-Дирихле   для   круга,
кругового кольца и,  наконец,  §6  –  интегральная  формула  Чизотти-Шварца-
Пуассона-Дирихле для конечных трехсвязных областей.
     Оглавление – ясное представление о единстве всех классических задач  и
о содержании предлагаемой работы (см. оглавление!).
     В данной работе все найденные решения выписываются почти в явном  виде
и  параметры,  фигурирующие  в  постановке  задачи,  определяются   явно   и
однозначно.
     Основное содержание дипломной работы являются  некоторыми  обобщениями
курсовых работ и самостоятельной работы автора.



                           §1. О задачах Дирихле.

                а) Задача Дирихле для круга – Задача Пуассона
                        (классическая формулировка).

     1. Задача нахождения функции, гармонической в некоторой  области  была
названа  Риманом  задачей  Дирихле.   В   классическом   виде   эта   задача
формулируется следующим образом.
     Пусть на границе [pic] области D+ задана непрерывная функция f([pic]).
Найти непрерывную в [pic] и гармоническую внутри области  D+  функцию  U(z),
принимающую на границе значения f([pic]). Таким  образом,  требуется,  чтобы
U(z) стремилась к f([pic]), когда z [pic] D+  стремится  к  [pic][pic][pic],
u(z) > f([pic]), при z > [pic].
     Задача  Дирихле  представляет  интерес  для  физики.  Так,   потенциал
установившегося     движения     несжимаемой     жидкости,      температура,
электромагнитные  и  магнитные  потенциалы  –  все   являются   гармоничными
функциями.
     Примером  физической  задачи,  приводящей  к  задаче  Дирихле,  служит
определение температуры внутри  пластинки  при  известных  ее  значениях  на
контуре.
     Из других физических задач возникла формулировка задачи Неймана. Найти
гармоническую в области D+ функцию U(z) по заданным значениям ее  нормальной
производной [pic] на [pic], а также смешанной задачи Дирихле-Неймана.
     Найти  гармоническую  в  D+  функцию  по  известным  ее  значениям  на
некоторых  дугах  границы  [pic]  и  значениям  нормальной  производной   на
остальной части [pic].
     Смешанная  задача  встречается  главным   образом   в   гидродинамике.
Различные приложения этих задач можно найти, например,  в  книге  Лаврентьев
И.А. и Шабат Б.В.  [1].
     Итак, по многочисленности и  разнообразию  приложений  задача  Дирихле
занимает исключительное место в математике. К ней  непосредственно  сводится
основная задача в  гидродинамике  –  задача  обтекания,  задачи  кручения  и
изгиба  в  теории  упругости.  С  нею  же  тесно  связаны  основные   задачи
статистической  теории  упругости.  Мы  будем  заниматься  плоской  задачей,
которая представляет для нас особый интерес как по обилию приложений, так  и
по большей разработанности и эффективности методов решения.
     2. Совокупность гармонических функций – это совокупность всех  решений
уравнения Лапласа
                   [pic],                         (1)
которое является одним из простейших дифференциальных уравнений  с  частными
производными второго порядка.
     Подобно тому, как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений для
выделения одного определенного решения задают дополнительные условия, так  и
для полного определения решения уравнения Лапласа  требуются  дополнительные
условия. Для уравнения Лапласа  они  формулируются  в  виде  так  называемых
краевых условий, т.е. заданных  соотношений,  которым  должно  удовлетворять
искомое решение на границе области.
     Простейшее из  таких  условий  сводится  к  заданию  значений  искомой
гармонической функции в каждой точке  границы  области.  Таким  образом,  мы
приходим к первой краевой задаче или задаче Дирихле:
     Найти гармоническую в области D и непрерывную в  [pic]  функцию  u(z),
которая на границе D принимает заданные непрерывные значения u([pic]).
     К задаче Дирихле приводится еще,  кроме  вышеперечисленных,  отыскание
температуры  теплового  поля  или  потенциала  электростатического  поля   в
некоторой  области  при  заданной  температуре  или  потенциале  на  границе
области. К ней сводятся и краевые задачи других типов.



                        б) Обобщенная задача Дирихле.

     В приложениях условие непрерывности граничных значений [pic], является
слишком стеснительным и приходится рассматривать обобщенную  задачу  Дирихле
[1]:
     На границе [pic] области D задана функция  [pic],  непрерывная  всюду,
кроме конечного числа точек [pic],  где  она  имеет  точки  разрыва  первого
рода.  Найти  гармоническую  и  ограниченную  в  области  D  функцию   u(z),
принимающую  значения  u(z)  =  [pic]  во  всех  точках  непрерывности  этой
функции.
     Если заданная функция [pic] непрерывна, то обобщенная  задача  Дирихле
совпадет с обычной, ибо  условие  ограниченности  функции  u(z)  следует  из
условия ее непрерывности в [pic].
     Теорема единственности решения обобщенной задачи Дирихле:
     В данной области при заданной граничной функции  [pic]  существует  не
более одного решения обобщенной задачи Дирихле.
     Решение обобщенной задачи  Дирихле  можно  свести  к  решению  обычной
задачи Дирихле.
     Можно доказать, что:
  1. для любой односвязной области D и любой кусочно-непрерывной с  точками
     разрыва первого рода граничной функции [pic] решение обобщенной задачи
     Дирихле существует.
  2.  решение  обобщенной  задачи  Дирихле  для  единичного  круга   дается
     интегралом Пуассона
     [pic] ,   [pic], [pic])                  (2)
  3. для произвольной области D, мы получим  искомую  формулу  для  решения
     обобщенной задачи Дирихле интегральной формулой Дж.Грина [12, 18]:
     [pic] ,                                        (3)

     где [pic] - производная в направлении внутренней нормали к С,
      ds - элемент длины [pic], соответствующей [pic],
        [pic]    - элемент внутренней нормали к [pic], [pic]- фиксированная
        произвольная точка области D, а функция [pic];  [pic],  реализующая
        отображение D на единичный круг [pic] и [pic] - функция  Грина  для
        области D, гармоническую всюду в D кроме  точки  [pic],  где  имеет
        плюс.
     Формула Грина (3) выражает решение задачи Дирихле для некоторой
        области D через логарифм конформного отображения D на единичный
        круг, т.е. сводит решение задачи Дирихле к задаче конформного
        отображения. И обратное верно.
     Итак, задача конформного отображения области на единичный круг и
        задача Дирихле для той же области эквивалентны, они сводятся друг к
        другу с помощью простых операций дифференцирования и интегрирования.

                      в) Видоизмененная задача Дирихле.

     Пусть S+ - связная область, ограниченная простыми замкнутыми
        непересекающимися гладкими контурами [pic], из которых первый
        охватывает все остальные. Под L мы будем подразумевать совокупность
        этих контуров [pic], ([pic]). Через [pic] - мы обозначим
        совокупность конечных областей [pic] заключенных, соответственно,
        внутри контуров [pic] и бесконечной области [pic], состоящей из
        точек расположенных вне [pic]. На контуры [pic] мы наложим еще
        следующее условие: угол, составляемый касательной к [pic] с
        постоянным направлением, удовлетворяет условию H; иными словами, мы
        будем считать, что L удовлетворяет условию Ляпунова [17,24].
     Функция [pic] удовлетворяет условию H на этом множестве, если для
        любых двух [pic] переменной [pic] на этом множестве
           [pic] ,                         (4)
        где A и [pic] - положительные постоянные показатели Гельдера, А –
        коэффициент, а [pic] - показатель условия Н и при [pic]=1 – условие
        Липшица, функции, удовлетворяющие условию Н называются непрерывными
        по Гельдеру и сильнее, чем обычное определение непрерывности.

       г) Классическая задача Дирихле для многосвязных областей [24].

     Найти (действительную) функцию u(x,y), гармоническую в [pic], по
        граничному условию
           u=f(t) на L,
      (5)
        где f(t) – заданная на L (действительная) непрерывная функция; в
        случае бесконечной области от функции u(x,y) требуется еще, чтобы
        она оставалась ограниченной на бесконечности, т.е. и стремится к
        вполне определенному пределу, когда z уходит в бесконечность.
     Напомним, что всякая функция u(z) гармоническая вне круга [pic] в ряд.
     [pic],  [pic])
        абсолютно и равномерно сходящийся вне круга любого радиуса [pic]
        поэтому u>[pic] при r>[pic].
     Для некоторых применений не меньший интерес представляет и следующая
        задача, которая называется "видоизмененной задачей Дирихле". Термин
        этот введен в статье Н.И.Мусхелишвили и Д.З.Авазошвили [17].
               Видоизмененная задача Дирихле – задача Дирихле
                         для многосвязных областей.
     Найти функцию u(x,y), гармоническую в S+, непрерывную в [pic], по
        следующим условиям:
     1. u(x,y)=[pic]Ф(z) является действительной частью функции Ф(z),
        голоморфной в S+;
     2. она удовлетворяет граничному условию
           u=f(t)+[pic](t) на L,
        (6)
        где f(t) – заданная на [pic] непрерывная функция [pic],  [pic],
        (7)
        где [pic] постоянные не задаваемые заранее; в случае бесконечной
        области требование u(x,y)=f(t)+[pic] на [pic] заменяются требованием
        ограниченности u(x,y) на бесконечности.
     Можно показать, что постоянные [pic] вполне определяются условиями
        самой задачи, если (произвольно) фиксировать одну из них.
     Если L состоит из единственного замкнутого контура, то различают два
        случая:
     а) р=0. Тогда S+ представляет собой конечную часть плоскости,
        ограниченную контуром [pic];
     б) р=1, а контур [pic] отсутствует. Тогда область S+ представляет
        собой бесконечную часть плоскости, ограниченную контуром [pic].
     Легко видеть, что в случае а) задачи А и В совпадают (если считать
        [pic]=0) в случае б) эти задачи непосредственно сводятся одна к
        другой.
     Каждая из задач А и В не может иметь более одного решения (если
        [pic]=0).

                    д) Общая формулировка задачи Дирихле.

     Задача Дирихле – задача отыскания регулярной в области D гармонической
        функции и которая на границе Г области D совпадает с наперед
        заданной функцией [pic]. Задачу отыскания регулярного в области
        решения эллиптического уравнения 2-го порядка, принимающего на перед
        заданные значения на границе области, также называется задачей
        Дирихле, или первой краевой задачей.
     Вопросы связанные с этой задачей, рассматривались еще К.Гауссом, а
        затем Дирихле. Для областей D с достаточно гладкой границей Г
        решение задачи Дирихле можно представить интегральной формулой
           [pic],                               (8)
        где [pic] - производная по направлению внутренней нормали в точке
        [pic] функции Грина [pic], характеризуемой следующими свойствами:
             1.       [pic], при [pic] 3 или
                 [pic], при [pic] 2,
        где [pic] - расстояние между точками [pic] и [pic], [pic] - площадь
        единичной сферы в [pic], [pic] - регулярная в [pic] гармоническая
        функция как относительно координат [pic], так и относительно
        координат [pic];
     2.       [pic], когда [pic], [pic].
     Для шара, полупространства и некоторых других простейших областей
        функция Грина строится явно и формула (8) дает эффективное решение
        задачи Дирихле. Получаемые при этом для шара и полупространства
        формулы носят название формул Пуассона.
     Задача Дирихле является одной из основных проблем теории потенциала –
        теории гармонических функций.
     Для обобщенного по Винеру решения задачи Дирихле справедливо
        интегральное представление в виде формулы Вилля-Пуассона
           [pic],                         (9)
        являющейся обобщением формулы (8). Здесь [pic] - гармоническая мера
        множества [pic] в точке [pic]. Отсюда возникает возможность
        рассмотрения обобщенной задачи Дирихле для произвольных граничных
        функций [pic], при этом можно требовать удовлетворения граничного
        условия лишь в некоторой ослабленной форме.
     Например, если [pic] - область [pic] с достаточно гладкой границей Г,
        а граничащая функция [pic] имеет только точки разрыва 1-го рода, то
        можно требовать удовлетворения граничного условия лишь в точках
        непрерывности [pic], для обеспечения единственности решения в точках
        разрыва требуется ограниченность решения.

                             е) Задача Неймана.

     Наряду с задачей Дирихле для некоторых приложений важно рассмотреть
        так называемую вторую краевую задачу, или задачу Неймана:
     Найти гармоническую в области [pic] функцию [pic], зная значения ее
        нормальной производной на границе С:
     [pic]                             (10)
        и значение [pic] в какой-либо точке [pic] в области [pic].
     Для определенности мы будем предполагать, что в (10) рассматривается
        внешняя нормаль, что означает угол, образованный этой нормалью с
        осью х. Функция [pic] может иметь на [pic] конечное число точек
        разрыва 1-го рода, функция и ее частные производные первого порядка
        предполагаются ограниченными.
     Следующая теорема выражает от нормальной производной гармонической
        функции:
     Если функция [pic] гармонична в односвязной области [pic] и непрерывна
        вместе со своими частными производными в [pic], то
           [pic],                             (11)
        где [pic] - граница области [pic] обозначает производную в
        направлении нормали к [pic], а [pic] - дифференциал дуги.
     Из этой теоремы следует, что для разрешимости задачи Неймана
        необходимо выполнения соотношения
           [pic].                                                   (12)
     Доказывается единственность решения задачи Неймана и при
        доказательстве единственности решения задачи Неймана можно
        ограничиться случаем, когда область [pic] представляет собой
        полуплоскость ([pic]z, > 0).
     В дополнительном предположении непрерывности частных производных в
        [pic] решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле для
        сопряженной гармонической функции.
     Две гармонические в области [pic] функции [pic] и [pic], связанные
        условиями Даламбера-Эйлера называются сопряженными.
     Как мы знаем, для всякой функции [pic]гармонической в односвязной
        области [pic], можно найти сопряженную с ней гармоническую функцию
        [pic]. Так как функция определяется своими частными производными с
        точностью до постоянного слагаемого, то совокупность всех
        гармонических функций [pic] сопряженных с [pic] дает формула:
           [pic],                            (13)
        где С – произвольная действительная постоянная.
     Заметим, что в многосвязной области [pic] интеграл (13) по контуру
        [pic], определяет, вообще говоря, многозначную функцию:
     [pic],             (14)
        где [pic] - произвольные целые числа, а [pic] - интегралы вдоль
        замкнутых контуров [pic], каждый из которых содержит внутри себя
        одну связную часть границы [pic]:
           [pic].                                         (15)
     Постоянные [pic] называются периодами интеграла (13) или циклическими
        постоянными.
     Можно доказать, что решение задачи Неймана сводится к решению задачи
        Дирихле для сопряженной гармонической функции [pic], где [pic],
        [pic] носят название соответственно силовой функции и потенциала
        поля.
     Функции [pic] и [pic], представляющие собой регулярные решения системы
        Коши-Римана [6]:
           [pic] ,        [pic]    [pic]                       (16)
        имеют частные производные всех порядков, т.е. аналитические функции
        [pic] являются решением уравнения [pic].              (17)
     Условие (17) – условие комплексной дифференцируемости функции [pic].



                       §2. О задачах Шварца-Пуассона.

                        а) Интеграл Шварца для круга

     Как известно, по данным значениям вещественной (мнимой) части  функции
находится с точностью до чисто мнимого  слагаемого.  Аналитический  аппарат,
дающий выражение функции [pic], регулярной в области, через  значения  [pic]
на контуре, в том случае, когда область есть круг радиуса [pic], известен  –
это есть так называемый интеграл Шварца [6, 8, 9]:



                 [pic] ,         ([pic],  [pic])          (18)

     Полагая здесь [pic], мы найдем для [pic] чисто  вещественное  значение
[pic], для которого мнимая часть обращается в нуль в начале координат.
     Чтобы получить общее  решение,  мы  должны  добавить  к  правой  части
произвольное мнимое число [pic]:

           [pic],       [pic].                  (19)

     Отделим   в   (18)   вещественную   и   мнимую    части,    так    как
вещественная

     [pic]

часть даст нам интеграл Пуассона для [pic]  и  мнимая  же  часть  доставляет
выражение [pic] через [pic].
     Для единичного круга [pic], имеет вид:

           [pic],                           (20)

где  [pic],   [pic]  -  представляет  значение  вещественной  части  искомой
функции в точке [pic].


                      б) Интегральная формула Пуассона.

  Задача Дирихле  об  определении  значений  гармонической  функции  внутри
     круга, если известны ее значения на границе, решается,  как  известно,
     интегралом Пуассона:
     [pic],                 (21)
где [pic] - полярные координаты точки, где ищется значение решения; [pic]  -
радиус окружности и [pic] - функция полярного угла [pic],  дающая  граничные
значения [pic]  [9].
                            Можно проверить разложением в ряд Тейлора, что
                       [pic],
                            ([pic], [pic])
                            Поэтому [pic] представима рядом:
                        [pic]
                        [pic]                (22)
      где [pic] и [pic] - коэффициенты Фурье [pic]:

    [pic];   [pic];   [pic]


     В центре окружности при [pic] мы получаем:
           [pic]               (23)

     Равенство (23) – теорема Гаусса  о  том,  что  значение  гармонической
функции в центре окружности  есть  среднее  арифметическое  ее  значений  на
самой окружности.



                  в) Интеграл Пуассона для внешности круга.

     Найти функцию, гармоническую и ограниченную  вне  окружности  [pic]  и
принимающую на самой окружности заданные значения [9]:
     [pic],  [pic]  ([pic]).
     Покажем, что искомую функцию [pic] может быть представлена  интегралом
типа Пуассрна, который может быть получен из (1).
     Пусть [pic], а [pic],
Функция [pic],  гармоническая  вне  окружности  [pic],  перейдет  в  функцию
[pic], гармоническую внутри круга радиуса [pic], принимающую на его  границе
значения
                      [pic].
     По формуле (1) она при [pic] представима интегралом Пуассона:
           [pic].
     Если в этом равенстве подставить вместо [pic]  и  [pic]  их  выражения
через [pic] и [pic] и заменить переменную интегрирования, положив [pic],  то
мы получим формулу Пуассона для внешности окружности:
           [pic],                     (24)
решающую поставленную задачу. Она отличается от (1) только тем,  что  в  ней
[pic] и [pic] переменились местами, так что ядро  интеграла  (4)  отличается
от ядра интеграла Пуассона (1) только знаком.
     Разложение искомой функции в тригонометрический ряд, подобный ряду
        (22), представляющей ее вне окружности:
           [pic].                        (25)
     Если в (25) [pic]([pic],  то  получим  теорему  Гаусса  для  внешности
окружности:
                 [pic],
             (26)
т.е.  значение  гармонической  функции   на   бесконечности   есть   среднее
арифметическое значений на граничной окружности.

                г) Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости.

     Аналитический  аппарат,  позволяющий  гармоническую   функцию   внутри
верхней полуплоскости по известным граничным значениям ее вещественной  оси,
можно получить  из  интеграла  Пуассона  путем  преобразования  круга  [pic]
плоскости [pic] на верхнюю полуплоскость [pic] при помощи функции
                                 [pic]
                    Граничные  значения  на  окружности  [pic]  перейдут   в
               граничные значения на вещественной оси и мы получим  искомую
               формулу в виде [1]:
               [pic],  ([pic])  (27)
                    При неточных графических расчетах формулу  (27)  удобнее
               употреблять в ином виде, взяв за  переменную  интегрирования
               не [pic], а угол [pic],  который  образует  прямая  [pic]  с
               перпендикуляром [pic] к оси [pic], опущенным из точки [pic],
               имеем:
                    [pic],   [pic]
               и окончательно имеем:
                      [pic].                (28)



                   д) Задача Дирихле для кругового кольца.

     Граничные значения гармонической функции [pic]  на  окружности  кольца
[pic] мы будем предполагать заданными в  форме  функций  от  полярного  угла
[pic] и обозначим их соответственно через [pic] и [pic].
     Сопряженная с [pic] гармоническая функция [pic] будет  вообще  говоря,
не однозначной, и фкп   [pic] будет состоять из двух слагаемых:  однозначной
составляющей, могущей быть разложенной в ряд Лорана  в  кольце,  и  логарифм
[pic] с вещественным коэффициентом:
           [pic],   [pic].                   (29)
     Отделяя вещественную и мнимую части, мы получим решение поставленной
        задачи – задачи Дирихле в кольце, но здесь суммируется не так
        просто.
     Существует более  компактная  и  эффективная  формула  –  интегральная
формула Вилля для кругового кольца [2], [3].



           §3. Интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле
                       для кругового кольца   (1912).


    Пусть в плоскости комплексного переменного [pic] дано круговое кольцо
                      [pic], ограниченное окружностями

                            [pic],         [pic],
где заданное положительное число [pic]<1.
     Требуется найти регулярную и однозначную внутри области [pic]  функцию
[pic], если известны значения ее вещественной части на границах кольца.
     Для случая круга аналогичная задача решается известной формулой Шварца
        Г. (1869г)  (п.1)
     [pic],  ([pic], [pic]),
где с – действительная переменная.
     Здесь предполагается, что радиус круга равен 1, а положение  точки  на
окружности  определяется  аргументом  [pic]  этой  точки,  так   что   [pic]
представляет значение вещественной части искомой функции в точке [pic].
     Нашей задачей является переход от круга к кольцу и построение формулы,
аналогичной формуле (1).
     Обозначим через [pic] и  [pic]  значения  вещественной  части  искомой
функции [pic]  в  точках  с  аргументом  [pic]  на  внешней,  соответственно
внутренней, границе [pic].
     Основной нашей целью является выяснение того, как скажется на  формуле
переход от односвязной области к двусвязной.
     Величина
     [pic],
где интеграл справа берется по окружности радиуса [pic] ([pic]) с центром  в
точке [pic], очевидно, не зависит от [pic].  Тем  же  свойством  обладает  и
вещественная часть написанного интеграла.
     Отсюда,   приближая  вначале   [pic]   к   1,   а   замечая,   что   в
интеграле  можно

                      [pic]

сделать требуемые предельные переходы, получим:

                 [pic].            (30)

     Это условие, таким образом, необходимо для  разрешимости  поставленной
нами проблемы, и мы должны предположить, что она выполняется.
     Искомая функция [pic] может быть разложена в ряд Лорана

                 [pic].                      (31)

     Мы найдем разложения обеих функций [pic], [pic] в ряды Фурье. Из  этих
разложений получаются коэффициенты  [pic]  в  виде  некоторых  интегралов  и
подставляя в (31) получим известную формулу Анри Вилля для кругового  кольца
в форме Н.И.Ахиезера [7].

        [pic],   (32)

где  с  –  произвольная  вещественная  константа,   [pic]   -   произвольное
положительное  число,  а  чисто  мнимое  число  [pic]  находится  с  помощью
равенства
                 [pic],                                   (33)

[pic], [pic] и, наконец [pic] - функция Вейерштрасса.
     Формула (32), принадлежащая Вилли, представляет собой  аналог  формулы
Шварца для  кругового  кольца;  она  приведена  в  иной  форме,  например  в
монографии Н.Ахиезера  [7].

а) Преобразование интегральной формулы А.Вилля   (32).

Формула Анри Вилля в форме Н.И.Ахиезера  [7].

[pic],  (34)
где из (33) следует, что [pic], где  [pic]  -  положительное  действительное
число, можно придать более  компактную  форму,  если  несколько  преобразуем
(32), учитывая (33) и замечая,  что  [pic]  можно  выразить  через  [pic]  с
учетом граничных свойств:
      [pic]   [pic]   [pic],
      [pic]   [pic]   [pic]   [pic]   [pic],   [pic];         (35)
      [pic]   [pic]   [pic]   [pic]   [pic],   [pic].
     Таким образом, интегральная формула (32) с учетом (34) и  (35)  примет
следующий окончательный вид:
           [pic],                               (36)
где с – постоянная.
Формулу  (36)   можно   назвать   канонической,   компактной   и   контурной
интегральной формулой Анри Вилля для кругового кольца.

б) Функции Вейерштрасса.

     В виду важности трех функций Вейерштрасса [pic],  [pic]  и  [pic]  для
практического  применения  и  простоты  реализации  на  ЭВМ  мы   рассмотрим
следующие варианты представления данных функций [19] - [22]:
   1.   [pic]   (37)
     или
     [pic]           (38)
   2.   [pic],
      [pic] :             [pic]   ,   [pic]             (39)
                                         [pic]    ,    [pic]
для действительных нулей [pic] полинома  [pic]  возможны  следующие  частные
случаи:
      [pic] :             [pic]   ,   [pic]
                                         [pic]   ,    [pic]
     [pic].
   3.     [pic],
           [pic],
где [pic],  [pic],  [pic].
   4.   [pic]   (41)
где [pic];
     [pic]; [pic];  [pic].
   5.   [pic],  т.е.
                 [pic],                  (44)
где ([pic]),
      [pic],   [pic]            (45)
или
   6.   [pic]                    (46)
[pic]   – эллиптическая функция Вейерштрасса [pic].
     Функция Вейерштрасса  [pic],          (48)
так что [pic].
     Функция Вейерштрасса [pic] определяется с помощью равенства
                      [pic].
     Из этой формулы следует и
                            [pic]
где путь интегрирования не проходит ни через одну  вершину  сетки  периодов,
отличную от точки [pic].



               §4. О некоторых применениях теории конформного
                       отображения к краевым задачам.

            а) Об структурном классе интегральных представлений.

     Как известно, интегральное представление  аналитических  функций  ИПАФ
давно служит:
 - как удобный аппарат для обозримого  представления  аналитических  решений
   дифференциальных  уравнений.  Например,  специальные  функции  –  функции
   Бесселя,   Эйри,   Лежандра,   Лагера,   Эрмита,   многочлены   Чебышева,
   гипергеометрическая функция и многие другие – являются решениями линейных
   дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами;
 -  для  исследования  ассимптотики  этих  решений   и   их   аналитического
   продолжения;
 - несколько позже – нашли применения для  решения  граничных  задач  теории
   аналитических функций и сингулярных уравнений;
 -  исследование  внутренних  и  граничных  свойств  аналитических   функций
   различных классов,  а  также  для  решения  других,  самых  разнообразных
   вопросов  математического  анализа  (интегралы  Коши,  Пуассона,  Шварца,
   Чизотти и т.п.)
     Обширный класс интегральных представлений аналитических функций,
        используемых для получения и исследования аналитических решений
        дифференциальных уравнений (АРДУ), описывается общей формулой:
           [pic]                   (49)
где [pic] - ядро типа Шварца, зависящее от связности данной  области,  [pic]
-  аналитическая  функция,  регулярная  и  однозначная  в  (n+1)  –  связной
канонической  круговой  области  [pic],  [pic]  -   заданная   плотность   –
вещественная функция в точках [pic],  [pic] контура круговой области [pic].
     Вещественные [pic] и комплексные [pic] таковы, что [pic]:
     [pic],  [pic],  ([pic], [pic]).        (50)
     По заданным интегральным представлениям (49) можно найти аналитическое
решение дифференциальных уравнений (АРДУ) для  произвольных  областей  [pic]
плоскости  [pic],  ограниченную  замкнутыми  кривыми  [pic]  типа  Ляпунова.
(Существует касательная в каждой точке [pic], [pic],  [pic],  [pic]  -  угол
между касательными; кривая замкнута и ограничена).
     Используя  интегральные  представления  Чизотти,  мы  получим  решение
задачи Дирихле для области [pic] и интегральные формулы Пуассона для [pic]:
[pic] [pic](51)
      [pic] [pic].      (52)
     Из (52) получим:
     [pic];
     [pic].
где
                      [pic],  [pic]
                      [pic],  [pic]
                      [pic],  [pic]
                      [pic], [pic], [pic], [pic] [4];
     В случае круга:
           [pic],
           [pic][pic].

     Круговое кольцо:
     [pic];
     [pic],
где [pic] -  функция  Вейерштрасса,  [pic]  [pic],  [pic],  [pic],  [pic]  -
некоторые постоянные, определяемые из нормировки отображений функций  [pic],
[pic], [pic] - периоды функции [pic].
     Формулу  (53)  назовем  интегральными  формулами  Дирихле-Чизотти  для
областей [pic], или решениями задачи  Дирихле  для  рассматриваемой  области
или  интегральными  формулами  Пуассона  для  соответствующих   канонических
областей [pic].

                 б) О решении задачи Дирихле методом Чизотти
                          для многосвязных областей

     Как мы знаем, решение задачи  Дирихле  для  произвольных  многосвязных
областей найти  явное  и  эффективное  решение  трудоемкая  или  невозможная
проблема.
     Поэтому  более  эффективное  нахождение  краевых  задач   представляет
немаловажный интерес в теории  аналитических  и  гармонических  функций  для
многосвязных областей ( неконцентрического кругового кольца, внешности  двух
кругов  и  для  конечных  двух-трехсвязных  областей   и   т.д.)   используя
интегральную формулу Чизотти для заданных соответствующих областей.
     1. Построим функцию [pic],  дающую  конформное  отображение  [pic]  на
[pic], где [pic], [pic]; ([pic]):
                      [pic],                 (57)
где [pic] и [pic] - постоянные, [pic]  определяется  однозначно  по  формуле
Шварца для соответствующих заданных областей.
     Пусть [pic] - регулярная функция  в  [pic].  Так  как  подинтегральное
выражение (57) представимо по формуле Эйлера в следующем виде:
           [pic], то
            [pic]                             (58)
           [pic]
     С учетом (58) интегральная формула (57) примет вид:
           [pic];
           [pic].
где [pic] и [pic] - постоянные (к=1,2).
     Формулу (59) можно назвать интегральной формулой  Дирихле-Чизотти  для
конечных многосвязных областей, т.к. формула (57) есть интегральная  формула
Чизотти для конечных многосвязных круговых областей.
     Если найден  [pic]  и  [pic]  от  известного  интегрального  выражения
[pic]):
     [pic], т.е.
     [pic];           (60)
     [pic],
то мы получим решение граничной задачи Пуассона для канонических  (конечных,
бесконечных) областей [pic].
     2. Если область [pic] - концентрическое круговое кольцо, то
           [pic],                (61)
где [pic] - заданная функция [pic]  -  функция  Вейерштрасса,  то  мы  имеем
интегральную формулу Вилля-Шварца (61) в компактной контурной форме.
     Из (61) получим:
     [pic],          (62)
     [pic],          (63)
где [pic], [pic], [pic], [pic].
     Формулы (62) и (63) называются интегральными формулами Вилля-Пуассона.
Подставляя (62) и (63) в исходную интегральную (59) мы получим  интегральную
формулу Дирихле через интеграл Чизотти. Формулы (62) и  (63)  можно  назвать
интегральными формулами Дирихле-Чизотти для конечных двусвязных областей.

в) Интегральная формула Чизотти для заданных областей – решение
задачи Дирихле для соответствующих областей.

     Если известны интегральные формулы Шварца для круговых областей [pic],
дающие аналитической в [pic] функции [pic] через нормальной  производной  ее
действительной  части  на  границе  [pic]  области  [pic]   и   интегральные
представления  Чизотти  для  круговых  областей,  дающие  выражение  функции
[pic], реализующей конформное  отображение  области  [pic]  на  ограниченную
гладкой  кривой  (51),  (52),  то  поэтому  интегральную   формулу,   дающую
конформное  отображение  [pic]  на  [pic]  через  нормальную   (касательную)
производную  ее  действительной  (мнимой)  части  [pic]  на  границе  [pic],
естественно назвать интегральной формулой Дини-Шварца-Чизотти  для  заданных
областей.
     Можно рассмотреть интегральные формулы  Дини-Шварца  для  многосвязных
областей и их применение к решению краевых задач типа Дирихле.
     Решение задачи Неймана сводится к решению задачи  Дирихле  сопряженной
гармонической функции.
     Учитывая, что  задача  конформного  отображения  многосвязной  области
[pic] на каноническую область [pic] и задача  Дирихле  для  той  же  области
эквивалентны   (49),   используем    интегральный    метод    Чизотти    для
соответствующих областей (50), (51).
     Применяя ИПАФ типа Шварца регулярной и  однозначной  в  [pic],  найдем
решение задачи  Дирихле,  как  представляющее  однозначную  и  аналитическую
(гармоническую) в произвольной многосвязной области функцию
                 [pic]                    (64)
удовлетворяющую в [pic] уравнению
                 [pic]                            (65)
и граничному условию
      [pic],  [pic],           (66)
где [pic].
     Решение задачи (65) и (66)  в  заданных  произвольных  областей  [pic]
имеет следующий вид:
                 [pic]      (67)
или после соответствующих преобразований получим (§4 п."б"):
           [pic];
           [pic],    (68)
где [pic] и [pic] постоянные, определяемые нормировкой функции [pic],  [pic]
- угол наклона касательной [pic] в точке [pic],  соответствующей  [pic]  при
отображении [pic].
     Пусть теперь  [pic]  -  каноническая  область  (круг,  концентрическое
круговое кольцо, внешность  двух  кругов,  …),  а  [pic]  -  соответствующая
область, ограниченная контуром [pic].
     Построим функцию [pic], дающую конформное отображение [pic] на  [pic].
Причем будем для простоты считать, что [pic], [pic].
     В силу конформности отображения [pic] всюду в [pic] функция равна
                 [pic];  [pic] на [pic]                  (69)
                 [pic],  [pic]
     Следовательно, функцию [pic]можно представить следующими интегральными
формулами типа Шварца:
     [pic],  [pic],  ([pic]);
     [pic],  [pic],  ([pic];   (70)
     [pic],  [pic],
где      [pic] - ядро Шварца для круга;
      [pic] - функция Вейерштрасса;
      [pic] - ядро  Александра-Сорокина  для  неконцентрического  кругового
                         кольца;
      [pic] - ядро для внешности двух окружностей;
      [pic] - ядро для симметричных и равных (неравных) окружностей.
     Интегральное представление  (68)  назовем  интегральной  формулой  для
решения задачи типа Дирихле для рассмотренных областей [pic].
     Для  нахождения  гармонической  [pic]  (или  [pic])   в   произвольной
односвязной области [pic]функций, достаточно знать [pic] или  [pic]  обычные
классические интегральные формулы Пуассона для круга [pic]:
     [pic]
или
     [pic].
     2. Для нахождения решения задачи  Дирихле  в  произвольной  двусвязной
ограниченной (конечной)  области  [pic]  через  [pic]  -  решение  кругового
кольца надо пользоваться контурной компактной формулой Вилля, т.е.  [pic]  и
[pic] - интегральные формулы Пуассона для кругового кольца ([pic]):
           [pic],
           [pic].
     Таким образом, аналогичными примерами  можно  найти  и  для  остальных
рассмотренных областей решения задачи Дирихле ([pic]) через [pic] и [pic].



             §5. Об интегральных представлениях Пуассона-Дирихле
                           для заданных областей.

     Пусть [pic], [pic], [pic]  -  нормированная  функция  дает  конформное
отображение канонической области [pic] плоскости  [pic]  на  соответствующую
область [pic] плоскости [pic]. Простоты ради будем считать, что [pic].
     В силу конформности отображения [pic] мы  имеем,  что  [pic]  всюду  в
[pic] и, как легко видеть  реальная  (действительная)  часть  голоморфной  в
[pic] функции

                 [pic] равна [pic] на окружностях [pic]:
                 [pic],                      (72)

где [pic]  при [pic], ([pic]),         (73)
[pic],  [pic]  -  угол  наклона   касательной   к   [pic]в   точках   [pic],
соответствующих  [pic]  при  отображении  [pic].   Область   [pic]ограничена
гладкими кривыми типа  Ляпунова  [pic],  а  в  каждой  точке  [pic]  контура
области [pic] плоскости [pic] известен угол наклона [pic].
     Здесь вещественные числа [pic] и комплексные числа [pic], [pic] таковы
для конечной [pic] - связной области, что

     [pic]  [pic],  [pic],  ([pic], [pic]).      (74)

     При этом будем считать, что [pic] -  внешняя,  а  [pic]  -  внутренние
кривые, и будем считать, что [pic], [pic]  [5].



                      Из существования отображающей функции  [pic]  следует,
                  что функция [pic] регулярная, однозначная и эффективная  в
                  канонической   области   [pic]согласно   равенству   (64),
                  представляется по интегральной формуле Шварца [5] в  форме
                  Александрова-Сорокина в следующем виде:

                  [pic].   (75)
     Функция  [pic]  регулярна  и   действительные   части   на   граничных
компонентах  [pic]  принимают  непрерывные  значения   [pic],   определяемые
равенством (65), а [pic] - ядро определяется следующими формулами [5]:
     [pic],           (76)
     [pic],    (77)
            1, при [pic]
           -1, при [pic],            с – вещественное число.
     Если мы в (67) отделим вещественную и мнимую части, то мы получим  две
интегральные формулы Пуассона для [pic] - связных круговых  областей  [pic];
что мы и делаем, следуя вычислениям Александрова-Сорокина [5],  т.е.  решаем
задачу  Дирихле-Пуассона:  об  определении  значений  гармонической  функции
внутри канонической области [pic], если известны  ее  значения  на  границах
[pic], [pic]  -  функция  полярного  аргумента,  дающая  граничные  значения
[pic].
     [pic],         (78)
     [pic],        (79)
где     [pic],  [pic],  [pic].
     Рассмотрим некоторые частные задачи Дирихле-Пуассона для [pic].
     Следствие 1. Если в формулах (72) и (73) положить [pic], то мы получим
формулу Пуассона – интеграл Пуассона для круга [   ]:
     [pic],  ([pic])          (80)
     [pic],  ([pic])          (81)
     Следствие 2. Если в формулах (72) и (73) положить [pic], то мы получим
две интегральные формулы Пуассона для кругового кольца:
           [pic],        (82)
           [pic],        (83)
где (74) и (75) – реальные и мнимые части  компактной  интегральной  формулы
Вилля-Шварца для кругового кольца [2], [pic] - функция  Вейерштрасса,  [pic]
- угол наклона касательной к [pic] в точке [pic], [pic], [pic] - периоды,  с
– произвольная постоянная, [pic] ([pic]).
     Так как функция [pic]) представляется быстро  сходящимися  рядами,  то
формулы (74) и (75) можно с успехом использовать для  приближенного  решения
соответствующих граничных задач.
     Следствие 3. Если в формулах (70) и (71)  [pic]  -  задана  нормальная
(касательная) производная, то мы  получим  две  интегральные  формулы  Дини-
Шварца  для  соответствующих   областей,   т.е.   получим   непосредственное
обобщение интеграла  Дини,  дающее  решение  граничной  задачи  Неймана  для
заданных рассмотренных областей.
     В случае единичного круга [pic] эта формула имеет вид[1, 9]:
           [pic],                    (84)
где  действительная  функция  [pic]  при   [pic],   под   [pic]   понимается
дифференцирование по направлению внутренней  нормали,  а  с  –  произвольная
постоянная. Формула (76) имеет место при условии, что
                      [pic].                      (85)
     Условие (77) –  необходимое  и  достаточное  условие  дл  разрешимости
рассматриваемой граничной задачи и при его  выполнении  искомая  однозначная
аналитическая   функция   определяется   с   точностью   до    произвольного
комплексного постоянного слагаемого.
     А из (76) следуют формулы Дини:
           [pic],
           [pic].
     В случае кругового кольца [pic], имеем
           [pic],             (87)
     где                           [pic],  [pic]
                                      [pic],  [pic].
     Формула (80) – формула  Дини-Шварца  или  интегральная  формула  Дини-
Шварца для кругового кольца.
     Если в равенстве (79) отделить действительные и мнимые  части,  то  мы
получим  непосредственное  обобщение  интегральной  формулы   Дини,   дающее
решение граничной задачи Неймана для кругового кольца:
     [pic],
     [pic],
где [pic],  [pic],  [pic].
     Формулу (81) можно назвать формулой Дини-Вилля для кругового кольца.
     Аналогично можно найти интегральные формулы Пуассона, Шварца-Дини  для
любых ([pic]) связных (конечных и бесконечных) областей,  используя  формулы
(70) и (71).



              §6. Интегральная формула Чизотти-Пуассона-Дирихле
                     для конечных трехсвязных областей.

     Формула Чизотти для  многосвязных  круговых  областей  дает  выражение
функции,  реализующей  конформное  отображение  области  [pic]  ограниченной
окружностями [pic],  ([pic],   [pic]0,  1,  2   и   [pic])  на  многосвязную
область [pic] плоскости [pic], ограниченную гладкими кривыми [pic] [pic].



     Если в каждой точке [pic], где  [pic],  контура  [pic]  области  [pic]
плоскости [pic] известен угол наклона [pic] касательной к [pic], где  [pic],
[pic] - внешняя, [pic] - внутренние, [pic],  [pic].
     Построим функцию [pic] дающую конформное отображение области [pic]  на
[pic], где [pic]. тогда [pic] голоморфна  в  [pic]  и  действительная  часть
голоморфной функции [pic] равна [pic] на окружности [pic], т.е.
           [pic],  [pic],                (90)
где [pic] - угол наклона касательной к [pic] в точках [pic]  соответствующих
при отображении функцией [pic].
     Из существования отображающей функции следует,  что  функция  [pic]  в
области  [pic]  согласно  (82)  можно  представить  по  формуле  Шварца  для
многосвязных областей. Функция [pic] регулярна и однозначна в области  [pic]
и ее действительная часть на [pic]  принимает  непрерывные  значения  [pic].
Тогда с помощью формулы Шварца, с учетом (82) функция [pic] принимает вид:
[pic],   (91)
где [pic],   [pic],   [pic],   [pic]  -  заданная  плотность  по  граничному
условию (81), [pic] - ядро, определяемое следующими формулами:
      [pic], где:
      [pic];
      [pic];
      [pic];
      [pic];  [pic];  [pic].
      [pic];  [pic],
где [pic] ядра, зависящие от натурального параметра.
     Определив [pic], мы сможем из (82) найти [pic]:
                 [pic],                          (93)
где А – произвольная  постоянная,  [pic]  -  определяется  равенством  (83).
Отсюда интегрируя обе части (85) получим:
                 [pic],                  (94)


     (86) – есть формула Чизотти для конечных трехсвязных областей.
     Итак, интегральная формула Чизотти для конечных  трехсвязных  областей
имеет вид:
                 [pic]
где  А   и   В   –   постоянные,   определяемые   из   нормировки   функций:
[pic],[pic],[pic]>0.
     Если [pic], то [pic] и [pic] - две интегральные формулы  Пуассона  для
заданных трехсвязных областей.
     Если [pic], то
     [pic]
     [pic],
где        [pic],  [pic]   (Шварц, 1869),
        [pic],  [pic]   (Вилля, 1921),        (96)
        [pic],  [pic] (Александров-Сорокин, 1972),
     Формулу  (87)  назовем  интегральными  формулами  Дирихле-Чизотти  для
рассмотренных областей [pic], а формулы (88) – интегралами  типа  Шварца,  а
реальные и мнимые части от функции  [pic]  -  интегральными  формулами  типа
Пуассона.
     Аналогичные формулы мы  получим  и  для  неконцентрического  кругового
кольца, и для внешности [pic] и [pic] окружностей [4].
     Рассмотренные выше формулы (86) – (88) – очень эффективны, когда [pic]
-  правильные   многоугольники   (формулы   Кристоффеля-Шварца-Дирихле   для
рассмотренных областей).
     Замечание  1.  Так  как  заданные  функции  [pic]  -  являются  быстро
сходящимися рядами (см. §3, формулы  (37)  –  (48)),  то  все  рассмотренные
интегральные формулы  можно  с  успехом  использовать  и  для  приближенного
решения соответствующих граничных задач.
     Замечание 2. Так как решение задачи Неймана сводится к решению  задачи
Дирихле для сопряженной однозначной гармонической  функции,  мы  рассмотрели
только задачу Дирихле.
     Замечание 3. Классические краевые задачи  являются  частными  случаями
задачи:
     Найти регулярное в области [pic] решения эллиптического уравнения
                 [pic],                   (97)
удовлетворяющие на границе [pic] условию
                            [pic],                            (98)
где [pic] - производная  по  некоторому  направлению,  а  [pic]  -  заданные
непрерывные на [pic] функции, причем [pic] всюду на [pic] и
   1. при [pic],  [pic] - задача Дирихле;
   2. при [pic],  [pic] - задача с косой производной,  которая  переходит  в
      задачу Неймана, если направление  [pic]  совпадет  с  направлением  по
      нормали.



                                 Литература.

1.  М.А.Лаврентьев,   В.В.Шабат.   "Методы   теории   функции   комплексного
   переменного". М. 1965.
2. Х.Т.Тлехугов. "Формула Чизотти для кругового кольца".  Труды  ВЦАН  Груз.
   ССР 1973. т.XII вып.I, стр.218-222.
3. Д.А.Квеселава, Х.Т.Тлехугов. "Формула Чизотти для  многосвязных  круговых
   областей". ВЦАН Груз. ССР 1977. т.XVI, вып.I, стр.256-260.
4.  Х.Т.Тлехугов.  "Формула  Чизотти  для  (n+1)   –   связных   бесконечных
   областей". Труды ВЦАН Груз. ССР 1980. т.XX вып.I, стр.219-224.
5. И.А.Александров, А.С.Сорокин. "Задача Шварца для многосвязных  областей".
   СМЖ. 1972. т.XIII. 5., стр.970-1001.
6. А.В.Бицадзе. "Основы ТАФКП". М. 1984.
7. Н.И.Ахиезер. "Элементы теории эллиптических функций". М. 1970,  стр.9-34;
   179-190; 224-229.
8. В.И.Смирнов. "Курс высшей математики".  т.3  часть  вторая,  изд.  6.  М.
   1956, стр.182-184.
9. Л.В.Канторович, Крылов. "Приближенные  методы  высшего  анализа".  М.-Л.,
   1962, стр.584-645.
10. Ф.Д.Гахов. "Краевые задачи". М. 1977. изд. 3.
11. И.И.Привалов. "Граничные свойства аналитических функций". М.-Л. 1950.
12. Математическая энциклопедия. т.1-5. 1977-85.
13. В.А.Змарович. "О структурных формулах теории  специальных  классов  АФ".
   Известия Киевского политехнического института. т.15, стр.126-148.
14. Х.Т.Тлехугов. "О применении формулы Чизотти к приближенному  отображению
   с особой нормировкой". Сообщения АН Груз. ССР, 1981. т.101.  1.,  стр.21-
   24.
15.   Х.Т.Тлехугов.   "О   приближенном   конформном   отображении   методом
   растяжения". Известия АН Азер. ССР, 1977. 5., стр.37-40.
16. Х.Т.Тлехугов. "Применение формулы Чизотти к приближенному  отображению".
   Сообщения АН Груз. ССР, 1974. т.73. 3., стр538-540.
17.   Н.И.Мусхелишвили,   Д.З.Авазошвили.   "Сингулярные   и    интегральные
   уравнения". М. 1956.
18. С.Г.Михлин. "Интегральные уравнения". ОГИЗ. М.-Л. 1947.
19. Бейтмен и Эрдейн. "Высшие трансцендентные функции". М. 1967. стр.294.
20. Градштейн, Рыжик. "Таблицы интегралов и произведений". М. 1962. стр.931-
   935.
21.  М.Абрамович,  И.Стиган.  "Справочник  по  специальным   функциям".   М.
   "Наука", 1979. стр.442-445.
22. Е.Янке, Ф.Эмде, Ф.Леш. "Специальные функции". М. 1968. стр.120-143.
23.  Д.А.Квеселова,  Х.Т.Тлехугов.  "Формула   Дини-Шварца   для   кругового
   кольца". Труды ВЦ. АН Груз. ССР, т.12. вып.1, 1973, стр.214-219.
24.  Н.И.Мусхелишвили.  "Сингулярные  интегральные  уравнения".   М.   1962.
   стр.245-269.

-----------------------

                                    [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

(40)

                                    (47)

                                    (53)

[pic]

(54)

(55)

(56)

(59)

(71)



[pic]



[pic]



[pic]

(86)

 (88)

[pic]

(89)

[pic]

(92)

(95)

[pic]




смотреть на рефераты похожие на "Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле"