Педагогика

Показникові та логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи в шкільному курсі математики


3. Аналіз діючих підручників та тестів.

Порівняльна характеристика тем.
             Останній  час  тема  «Показникова   і   логарифмічна   функція»
вивчається в середній школі за підручником  під  редакцією  А.Н.Колмогорова.
На сьогоднішній день з’явився новий підручник авторами якого є  М.І.  Шкіль,
З.І. Слєпкань, О.С. Дубінчук, в якому данна тема вивчається дещо по  іншому.
Проведемо  порівняльну  характеристику  вивчення  данної  теми  в   згаданих
підручниках.

      Тема: «Показникова функція».
|Підручник під редакцією            |Підручник під редакцією М.І.Шкіль, |
|А.Н.Колмогорова «Алгебра і початки |З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук         |
|аналізу у 10-11 кл.»               |«Алгебра і початки аналізу у 10-11 |
|                                   |кл.»                               |
|(1 Показникова функція             |(1 Поняття показникової функції.   |
|n.1.Степінь з ірраціональним       |n.1.  Означення і графік           |
|показником                         |показникової функції.              |
|Фіксують додатнє число а і ставлять|Дається означення: Функція [pic],  |
|кожному числу [pic] число [pic].   |де а>0, [pic] називається          |
|Цим самим отримують числову функцію|показниковою (з основою а).        |
|[pic], визначену на множені Q      |Вивчення показникової функції      |
|раціональних чисел. Зазначається,  |починається з   функції [pic],     |
|що при а=1 функція  [pic] стала,   |потім розглядається [pic],         |
|так як [pic] для будь-якого        |будуються їхні графіки і           |
|раціонального числа.               |порівнюються. Далі розглядається   |
|Будуються графіки функцій [pic] і  |функція [pic]. Порівнюються графіки|
|[pic] і порівнюються. Далі         |функції [pic] і  [pic]. З графікив |
|описується як визначається число   |зчитуються спільні властивості.    |
|[pic] для ірраціональних [pic] при |Далі порівнюються графіки функцій  |
|а>1, в загальних рисах. Аналогічно |[pic]([pic]) і [pic]([pic]). З     |
|описується визначення числа [pic], |графіків зчитуються властивості    |
|для [pic]. Крім цього вважають, що |функцій.                           |
|[pic] для будь-якого [pic] і       |                                   |
|[pic][pic]для [pic][pic][pic]      |                                   |
|n.2. Властивості показникової      |n.2. Загальні властивості          |
|функції.                           |показникової функції.              |
|Означення: Функція, задана формулою|D(y)=R                             |
|[pic] (де a>0, [pic]), називається |[pic]                              |
|показниковою з основою а.          |якщо x=0, показникова функція [pic]|
|Формулюються основні властивості:  |                                   |
|Область визначення множина R       |Зазначені вище властивості         |
|дійсних чисел.                     |доводяться, розглядаються всі      |
|Область значень множина R+ всіх    |можливі випадки. Далі наводяться   |
|додатніх дійсних чисел.            |властивості без доведення.         |
|При [pic] функція зростає на всій  |якщо [pic] [pic] і [pic] то [pic]. |
|числовій прямій; при [pic] функція |якщо [pic] і [pic], то якеб не було|
|спадає на множині R.               |додатнє число N, існує, і до того ж|
|При будь-яких дійсних значеннях х і|єдине, таке значення х, що [pic]   |
|у справедливі рівності             |                                   |
|                                   |                                   |
|[pic]                              |                                   |
|[pic];                             |                                   |
|[pic]                              |                                   |
|[pic]                              |                                   |
|[pic].                             |                                   |
|                                   |n.3. Властивості графіка           |
|                                   |показникової функції.              |
|                                   |Графік розміщений у верхній        |
|                                   |півплощині, тобто там де ординати  |
|                                   |додатні.                           |
|                                   |Будь-яка пряма, паралельна осі 0Y, |
|                                   |перетинає графік і до того ж тільки|
|                                   |в одній точці.                     |
|                                   |Крива проходить через точку (0;1), |
|                                   |тобто  коли х=0, функція чисельно  |
|                                   |дорівнює 1.                        |
|                                   |З двох точок графіка вище розміщена|
|                                   |та , яка лежить правіше, тобто в   |
|                                   |міру просування зліва на право він |
|                                   |піднімається  вгору.               |
|                                   |На графіку є точки, які лежать вище|
|                                   |будь-якої прямої, паралельної осі  |
|                                   |0х. На графіку є точки, що лежать  |
|                                   |нижче будь-якої прямої, проведеної |
|                                   |у верхнії півплощині паралельно осі|
|                                   |Х.                                 |
|                                   |Будь-яка пряма, що паралельна осі Х|
|                                   |і лежить у верхній півплощині,     |
|                                   |перетинає графік, і при чому в     |
|                                   |одній точці.                       |
|                                   |n.4.Приклади застосування          |
|                                   |властивостей показникової функції. |
|                                   |В цьому пункті наводяться приклади |
|                                   |вправ на показникову функцію і     |
|                                   |варіанти їх розв’язування.         |
|                                   |n.5. Використання показникової     |
|                                   |функції під час вивчення явищ      |
|                                   |навколишнього середовища           |
|                                   |Задача про радіоактивний розпад.   |
|                                   |Задача про зміну атмосферного      |
|                                   |тиску.                             |
|                                   |Задача про розмноження бактерій.   |
|                                   |Задача про вакуумування.           |
|                                   |Задача про приріст деревини.       |
|                                   |Всі запропоновані задачі наводяться|
|                                   |з розв’язанням.                    |
|                                   |n.6. Основні показникові           |
|                                   |тотожності.                        |
|                                   |Для будь-яких дійсних значень х і у|
|                                   |справедливі рівності:              |
|                                   |[pic]                              |
|                                   |[pic];                             |
|                                   |[pic]                              |
|                                   |[pic]                              |
|                                   |[pic]                              |
|(2 Розв’язування показникових      |(2 Розв’язування показникових      |
|рівнянь і нерівностей.             |рівнянь і нерівностей.             |
|n.1. Рівняння.                     |n.1. Показникові рівняння.         |
|Розглядається найпростіше          |Показниковим називають рівняння, в |
|показникове рівняння [pic], [pic] і|яких невідоме входить лише до      |
|[pic]. Кажуть, що у випадку [pic]  |показників степенів при сталих     |
|або [pic] рівняння не має          |основах. Найпростішим рівнянням є  |
|розв’язків.                        |[pic] [pic] і [pic][pic]. Говорять,|
|Нехай  [pic]. Функція [pic] на     |що загального методу розв’язування |
|проміжку [pic] зростає при [pic]   |показникових рівнянь немає.        |
|(спадає при  [pic]) і набуває      |Виділяють кілька типів показникових|
|додатних значень. Застосувавши     |рівнянь і наводять схеми (приклади)|
|теорему про корінь, дістаємо, що   |їх розв’язання.                    |
|рівняння  при будь-якому [pic],    |Найпоширеніший спосіб: зведення    |
|[pic], має єдиний корінь.          |обох частих показникового рівняння |
|Щоб його знайти треба  [pic]подати |до спільної основи. Приклади.      |
|у вигляді [pic]. Очевидно, що [pic]|Спеціальні способи розв’язання:    |
|є розв’язком рівняння [pic] ,      |зведення до спільного показника.   |
|демонструється на графіку функції. |А також показникове рівняння       |
|Розглядається 4 приклади.          |перетворюють відомими методами:    |
|                                   |заміни, зведення до квадратного    |
|                                   |рівняння, а потім вже              |
|                                   |використовують певну схему.        |
|n.2. Нерівності і системи рівнянь. |n.2. Розв’язування нерівностей, які|
|Розв’язання найпростійших          |містять показникову функцію.       |
|показникових показникових          |Найпростішими є нерівності виду    |
|нерівностей грунтується на відомій |[pic]. Під час розв’язування       |
|властивості функції [pic]; ця      |використовують властивість         |
|функція зростає, якщо [pic], і     |монотонності показникової функції. |
|спадає, якщо [pic]. Розглядаються  |І кажуть, що для [pic]             |
|приклади.                          |розв’язування даної нерівності     |
|                                   |зведеться до розв’язування         |
|                                   |нерівності [pic], а для [pic]      |
|                                   |зводиться до розв’язування         |
|                                   |нерівності [pic]. Приклади         |
|                                   |розв’язання нерівностей.           |

                        Тема: «Логарифмічна функція».
|Підручник під редакцією            |Підручник під редакцією М.І.Шкіль, |
|А.Н.Колмогорова «Алгебра і початки |З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук         |
|аналізу у 10-11 кл.»               |«Алгебра і початки аналізу у 10-11 |
|                                   |кл.»                               |
|(1 Логарифми і їх властивості.     |(1 Логарифми.                      |
|n.1.Логарифм.                      |n.1. Поняття логарифма.            |
|Даэться означення: Логарифмом числа|Дається означення: Корінь рівняння |
|b за основою а  називається        |[pic], де a>0, a[pic]1, називають  |
|показник степеня, до якого слід    |логарифмом числа N за основою а.   |
|піднести основу а, щоб отримати    |Логарифмом числа N за основою а    |
|число b.                           |(a>0, a[pic]1) називається показник|
|Тут же зазначається, що формулу    |степеня х, до якого треба піднести |
|[pic] ( де b>0, a[pic]1) називають |а, щоб дістати число N.            |
|основною логарифмічною тотожністю. |Далі наводиться логарифмічна       |
|                                   |рівність [pic] і показникова       |
|                                   |рівність [pic] і зазначається, що  |
|                                   |ці рівності визначають одне і теж  |
|                                   |співвідношення. Наводяться три     |
|                                   |основні задачі:                    |
|                                   |Знайти число N за даним його       |
|                                   |логарифмом b і за основою а.       |
|                                   |Знайти основу а за даним числом N і|
|                                   |його логарифмом b.                 |
|                                   |Знайти логарифм від даного числа N |
|                                   |за данною основою а.               |
|                                   |Далі наводять приклади.            |
|                                   |n.2. Основна логарифмічна          |
|                                   |тотожність.                        |
|                                   |Розглядається показникова  рівність|
|                                   |[pic](1). За означенням логарифма  |
|                                   |[pic](2), [pic](3). Рівність (3)   |
|                                   |називається основною логарифмічною |
|                                   |тотожністю.                        |
|n.2. Основні властивості логарифма.|n.3. Основні властивості логарифма.|
|                                   |                                   |
|Для будь-яких a>0 (a(1) і будь-яких|Т.1. Логарифм добутку двох додатних|
|додатніх х і у виконуються рівності|множників дорівнює сумі їх         |
|                                   |логарифмів, тобто  [pic] де [pic]  |
|[pic]                              |[pic]                              |
|[pic]                              |Т.2. Логарифм частки двох додатних |
|[pic]                              |чисел (дробу) дорівнює різниці     |
|[pic]                              |логарифмів діленого і дільника     |
|[pic]                              |(чисельника і знаменника), тобто   |
|Далі наводиться формула переходу   |[pic], де [pic] [pic]              |
|від однієї основи логарифма до     |Наслідок: Логарифм дробу, чисельник|
|іншої [pic]                        |якого дорівнює одиниці, дорівнює   |
|Далі дається означення десяткового |логарифму знаменника взятого з     |
|логарифма на описовому рівні:      |протилежним знаком.                |
|Десятковим називається логарифм за |Т.3. Логарифм степеня додатного    |
|основою10 і позначається [pic]. Але|числа дорівнює показнику степеня,  |
|більш конкретно на десяткових      |помноженому на логарифм основи     |
|логарифмах не зупиняються.         |цього степеня, тобто [pic], де m - |
|                                   |будь-яке число, [pic]              |
|                                   |Т.4. Логарифм кореня з додатного   |
|                                   |числа дорівнює логарифму           |
|                                   |підкореневого виразу, поділеного на|
|                                   |показник кореня, тобто [pic]       |
|                                   |5. [pic]                           |
|                                   |[pic]                              |
|                                   |Всі властивості доводяться.        |
|                                   |n.4. Деякі важливі тотожності, що  |
|                                   |містять логарифми.                 |
|                                   |[pic]                              |
|                                   |[pic]                              |
|                                   |[pic]                              |
|                                   |Всі тотожності доводяться.         |
|                                   |n.5. Потенціювання                 |
|                                   |Перетворення за допомогою якого за |
|                                   |даним логарифмом числа (виразу)    |
|                                   |визначають саме число (вираз),     |
|                                   |називають потенціюванням.          |
|                                   |n.6. Перехід від однієї основи     |
|                                   |логарифма до іншої.                |
|                                   |Вводиться формула [pic]            |
|                                   |n.7. Натуральні логарифми з основою|
|                                   |е називають натуральним, або       |
|                                   |неперовим.  [pic]                  |
|(2 Логарифмічна функція            |(2 Логарифмічна функція            |
|Функція задана формулою [pic],     |n.1. Поняття логарифмічної функції:|
|називається логарифмічною з основою|                                   |
|а.                                 |Функцію [pic], називають           |
|Перечисляють основні властивості   |логарифмічною функцією за основою а|
|цієї функції. Властивості          |(a>0 ,a(1). Зазначається, що графік|
|аналогічні до перших трьох         |функції [pic] можна дістати з      |
|властивостей логарифмічної функції |графіка функції [pic], симетрично  |
|наведені у підручнику  Шкіля М.І.  |відобразивши останній відносно     |
|Далі зазначається, що графіки      |прямої у=х.                        |
|показникової і логарифмічної, що   |                                   |
|мають однакову основу, симетричні  |n.2. Властивості логарифмічної     |
|відносно прямої у=х. Потім         |функції.                           |
|розглядаються приклади застосування|Область визначення логарифмічної   |
|властивостей логарифмічної функції.|функції множина всіх додатніх      |
|На цьому вивчення теми логарифмічна|чисел.                             |
|функція в підручнику під редакцією |Область значень- множина всіх      |
|Колмогорова закінчується.          |дійсних чисел.                     |
|                                   |Логарифмічна функція на всій       |
|                                   |області визначення R+ зростає, якщо|
|                                   |a>1 і спадає, якщо 00 (a(1)          |
|                                   |виконуються рівності               |
|                                   |[pic]                              |
|                                   |[pic]                              |
|                                   |[pic], якщо [pic]                  |
|                                   |[pic], якщо [pic]                  |
|                                   |для будь-якого [pic] і будь-якого  |
|                                   |p(R [pic]                          |
|                                   |Далі розглядаються властивості для |
|                                   |випадків [pic] і [pic]; властивості|
|                                   |логарифмів чисел за основою [pic]; |
|                                   |Властивості логарифмів чисел за    |
|                                   |основою [pic].                     |
|                                   |Наводяться приклади вправ та їх    |
|                                   |розв’язання.                       |
|(3 Розв’язування логарифмічних     |(3 Розв’язування логарифмічних     |
|рівнянь і нерівностей.             |рівнянь і нерівностей.             |
|Найпростіше логарифмічне рівняння  |n.1. Логарифмічні рівняння.        |
|[pic]. Логарифмічна функція        |Приклади розв’язування             |
|зростає (або спадає) на проміжку   |логарифмічних рівнянь.             |
|[pic] і набуває на цьому проміжку  |Логарифмічними називають рівняння, |
|всіх дійсних значень               |які містять змінну під знаком      |
|(демонструється на графіку). За    |логарифма. Найпростіше рівняння    |
|теоремою про корінь звідси         |[pic] де [pic] і [pic], [pic]-     |
|випливає, що для будь-якого        |будь-яке число. Воно має єдиний    |
|[pic]дане рівняння має і притому   |розв’язок [pic], який можна дістати|
|тільки один розв’язок. З означення |за допомогою потенціювання.        |
|логарифма числа випливає, що [pic]і|Розв’язування рівняння [pic](1)    |
|є таким розв’язком. Приклади.      |рівносильно системі [pic], інакше  |
|                                   |кажучі рінвосильне кожній із       |
|                                   |змішаних систем  [pic], [pic].     |
|                                   |Тобто для розв’язування рівняння   |
|                                   |(1) досить розв’язати рвняння [pic]|
|                                   |і його розв’язки підставити в      |
|                                   |систему нерівностей [pic], яка     |
|                                   |задає область визначення рівняння. |
|                                   |Говориться і про можливість втрати |
|                                   |коренів і появі стороніх коренів та|
|                                   |розглядають це на прикладі.        |
|                                   |Розглядаються приклади             |
|                                   |розв’язування рівнянь різними      |
|                                   |способами (потенціювання,          |
|                                   |логарифмування).                   |
|                                   |Розглядаються також                |
|                                   |показниково-логарифмічні рівнняня. |
|Логарифмічні нерівності  та системи|n.2. Розв’язування систем          |
|логарифмічних рівнянь і нерівностей|логарифмічних рівняннь.            |
|розглядаються тільки на прикладах, |При розв’язуванні систем           |
|і нічого про них не говориться.    |логарифмічних рівнянь              |
|                                   |використовуються ті самі способи,  |
|                                   |що й при розв’язуванні алгебраїчних|
|                                   |систем.                            |
|                                   |n.3. Логарифмічні нерівності.      |
|                                   |Логарифмічні нерівності виду       |
|                                   |[pic](1).                          |
|                                   |Кажуть, що якщо [pic], то (1)      |
|                                   |рівносильна системі [pic]          |
|                                   |а якщо [pic], то (1) рівносильна   |
|                                   |системі  [pic].                    |
|                                   |Розв’язуються приклади.            |


      Провівши  порівняльну  характеристику  вивчення  тем   показникова   і
логарифмічна функції в обох підручниках, можна зробити слідуючи висновки:
     1. В  обох  підручниках  тема  «Показникова  функція»  і  «Логарифмічна
        функція» вивчаються на основі одних і тих понять.
     2. Понятійний апарат більш ширший в  новому  підручнику  під  редакцією
        М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук   «Алгебра і початки аналізу у
        10-11 кл.». В підручнику під редакцією  А.Н.Колмогорова  «Алгебра  і
        початки аналізу у 10-11 кл.» понятійний апарат  дуже  вузький.  Тому
        для  глибокого   і   досконалого   вивчення   заданих   тем   бажано
        використовувати новий підручник.
     3.  Більш  строгий  виклад  теорії  спостерігається  в  підручнику  під
        редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук   «Алгебра і початки
        аналізу  у  10-11  кл.».  В  ньому  доводяться  всі  властивості   і
        розглядаються всі можливі випадки з доведенням.  В  підручнику  А.Н.
        Колмогорова у доведення властивостей не дуже заглиблюються. Детально
        доводяться лише базові властивості. Все інше дається без доведення.
     4. Розв’язування  показникових,  логарифмічних  рівнянь  і  нерівностей
        більш  широко  і  доступно  викладено  в  підручнику  під  редакцією
        М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук   «Алгебра і початки аналізу у
        10-11 кл.» тому його бажано використовувати для  більш  поглибленого
        вивчення  даної теми.
      В  підручнику  під  редакцією  М.І.Шкіль,  З.І.Слєпкань,  О.С.Дубінчук
      «Алгебра  і  початки  аналізу  у  10-11  кл.»  властивості  і  теореми
      доводяться  детальніше,  тому   він   може   бути   використаний   для
      самостійного вивчення тем учнями.


смотреть на рефераты похожие на "Показникові та логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи в шкільному курсі математики"