Программирование и комп-ры

Динамическое представление данных


                             Р  Е  Ф  Е  Р  А  Т



                                на   тему  :


                 “ Динамическое  представление   сигналов “



                                                      Выполнил: Зазимко С.А.

Принял :   Котоусов А.С.


МОСКВА



                    Динамическое представление сигналов.



      Многие задачи радиотехники требуют специфической  формы  представления
сигналов.  Для  решения  этих  задач  необходимо   располагать   не   только
мгновенным значением сигнала, но и знать  как  он  ведет  себя  во  времени,
знать его поведение в “прошлом” и “будущем”.


                    ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ.



      Данный способ получения моделей сигналов заключается в следующем:

         Реальный сигнал представляется  суммой      некоторых  элементарных
сигналов, возникающих в последовательные моменты времени.  Теперь,  если  мы
устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то  в  пределе
получим  точное  представление  исходного  сигнала.  Такой  способ  описания
сигналов называется динамическим  представлением  ,  подчеркивая  тем  самым
развивающийся во времени характер процесса.

       На  практике  широкое  применение  нашли  два  способа  динамического
представления.

      Первый способ в качестве элементарных сигналов использует  ступенчатые
функции, которые возникают через  равные  промежутки  времени   (  .  Высота
каждой ступеньки  равна  приращению  сигнала  на  интервале  времени  (.   В
результате сигнал может быть представлен как на рисунке 1.

                                                   [pic]

                              рис.  1

       При  втором  способе  элементарными  сигналами  служат  прямоугольные
импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг  к  другу  и  образуют
последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее  .   В  этом
случае исходный сигнал имеет вид как на рисунке 2.


                                                             [pic]
                             рис. 2


       Теперь  рассмотрим  свойства  элементарных  сигналов.  Для  начала  :
используемого для динамического представления по первому способу.



                            ФУНКЦИЯ   ВКЛЮЧЕНИЯ.



      Допустим имеется сигнал,  математическая  модель  которого  выражается
системой :

             (   0,             t < -(,
  u(t) ( ( 0.5(t/(+1), -( ( t ( (,           (1)
             (   1,             t > (.


      Такая  функция  описывает  процесс  перехода  некоторого   физического
объекта из “нулевого” в “единичное” состояние.

                 [pic]

Переход  совершается по линейному закону за время 2(.  Теперь если  параметр
( устремить к нулю, то в  пределе  переход  из  одного  состояния  в  другое
будет  происходить  мгновенно.  Такая  математическая   модель   предельного
сигнала получила название функции включения  или  функции Хевисайда :

            (((((        (((((((((           t < ((

            ((t(((((((((((((((          t ( ((
(2)

                          (((((((((          t ( ((



      В общем случае  функция  включения  может  быть  смещена  относительно
начала отсчета времени на величину  t0.  Запись смещенной функции такова :



            (((((         (((((((((                   t < t0(

           ((t - t0(((( (((((((((       t ( t0(
(3)

                           (((((((((         t ( t0(



    ДИНАМИЧЕСКОЕ     ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО   СИГНАЛА   ПОСРЕДСТВОМ
                            ФУНКЦИЙ   ВКЛЮЧЕНИЯ.



      Рассмотрим некоторый сигнал  S(t),  причем для определенности  скажем,
что  S(t)=0  при  t<0. Пусть  {(,2(,3(,...}  -  последовательность  моментов
времени  и  {S1,S2,S3,...}  -  отвечающая  им  последовательность   значений
сигнала. Если начальное значение сигнала есть S0=S(0), то  текущее  значение
сигнала  при  любом  t  можно  приближенно   представить   в   виде    суммы
ступенчатых  функций :

                                              (
s(t)(s0((t)+(s1-s0)((t-()+...=s0((t)+((sk-sk-1)((t-k().
                                                    k=1

. Если теперь шаг  (  устремить к нулю. то дискретную переменную  k(  можно
  заменить непрерывной переменной  (. При этом  малые  приращения  значения
  сигнала превращаются  в  дифференциалы   ds=(ds/d()d( ,   и  мы  получаем
  формулу динамического  представления  произвольного  сигнала  посредством
  функций Хевисайда
                   (
                   ( ds
    S(t)=s0 ((t) + (     ((t-() d(      (4)
                   ( d(
                   0


      Переходя ко второму  способу  динамического  представления  сигнала  ,
когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует  ввести  новое
важное понятие  -  понятие дельта-функции.



                             ДЕЛЬТА - ФУНКЦИЯ .


      Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы,  заданный  следующим
образом :

                           1    (              (                     (
(
        u(t;() =  ----- ( ( (t +  ---- )  - ( (t -  ---- )  (
(5)
                      (    (              2                     2      (



                  [pic]



      При любом выборе параметра  (  площадь этого импульса
равна единице :
                      (
            П  =  (   u  dt  =  1
                            - (

      Например, если  u -  напряжение, то  П =  1  В*с.
       Теперь  устремим  величину   (   к  нулю.   Импульс,  сокращаясь   по
длительности,  сохраняет   свою   площадь,   поэтому   его   высота   должна
неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при   (  (
0  носит название  дельта-функции , или функции Дирака[1] :


                        ((t)  =  lim  u (t;()
                                 ((0
      Дельта функция  -  интересный  математический  объект.  Будучи  равной
нулю всюдю, кроме как в точке   t =  0   [2]  дельта-функция  тем  не  менее
обладает  единичным  интегралом.    А   вот   так   выглядит   символическое
изображение дельта-функции :

                                     [pic]


      ДИНАМИЧЕСКОЕ  ПРЕДСТАВЛЕНИЕ  СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ  ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ.


       Теперь  вернемся   к   задаче  описания  аналогового  сигнала  суммой
примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов      (рис. 2) .  С  помощью
дельта-функции u (t) представимо в виде совокупности примыкающих  импульсов.
 Если  Sk -  значение сигнала на  k - ом  отсчете, то  элементарный  импульс
с номером  k  представляется как :

      (k(t) =  Sk  [ ((t - tk) -   ((t - tk - () ]             (6)

       В  соответствии  с  принципом  динамического  представления  исходный
сигнал  S (t) должен рассматриваться как сумма таких элементарных  слагаемых
:
                                     (
               S(t)  =   (    ( (t)                            (7)
                               k= - (    k

      В этой сумме отличным от нуля будет только один член,  а  именно  тот,
что удовлетворяет условию для  t :

                                 tk <  t < tk+1

       Теперь,   если  произвести  подстановку    формулы    (6)    в    (7)
предварительно разделив и умножив на величину шага  (, то

                              (           1
            S(t)  =  ( Sk  --- [ ((t - tk) -  ((t - tk - () ] (
                              k=- (       (

      Переходя к пределу при  ( ( 0   ,   необходимо  суммирование  заменить
интегрированием по формальной переменной (, дифференциал которой  d(  ,будет
отвечать величине ( .

  Поскольку
                                                        1
                  lim [ ((t - tk) -  ((t - tk - () ] ---
                                    (((
                 (

 получим искомую   формулу  динамического представления сигнала

                                (
                 S (t) = (  s (() ((t - () d(
                            - (

      Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и
произведение проинтегрировать по времени,  то результат будет равен
значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен   ( - импульс.
Принято говорить, что в  этом состоит фильтрующее свойство  дельта-
функции.[3]


[pic]


       Из  определения  дельта-функции  следует    (3)   .    Следовательно,
интеграл  дельта-функции  от  - (  до   t    есть   единичный  скачок   ,  и
дельта-функцию можно рассматривать как производную единичного скачка :


                 ((t) = 1’ (t) ;
                 ((t-t0) =  1’ (t-t0) .


                 Обобщенные функции как математические модели сигналов.


       В  классической  математике  полагают,   что  функция   S(t)   должна
принемать какие-то значения в каждой точке оси  t  .   Однако  рассмотренная
функция  ((t)  не вписывается в эти рамки - ее значение при    t  =  0    не
определено вообще,  хотя эта функция и имеет единичный интеграл.   Возникает
необходимость расширить понятие функции как математической  модели  сигнала.
Для этого в математике была введено принципиально новое понятие   обобщенной
функции.
       В  основе  идеи  обобщенной   функции   лежит   простое   интуитивное
соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь  предмет  ,  то  стараемся
изучить его со всех сторон, как  бы  получить  проекции  этого  предмета  на
всевозможные плоскости.  Аналогом проекции исследуемой функции  ((t)   может
служить, например, значение интеграла

                          (
                      (   ((t) ((t)  dt
       (8)
                                   - (
при известной функции  ((t) , которую называют пробной функцией.
      Каждой функции  ((t) отвечает, в свою  очередь,  некоторое  конкретное
числовое значение. Поэтому говорят,  что  формула   (8)    задает  некоторый
функционал на множестве пробных функций  ((t).  Непосредственно  видно,  что
данный функционал линеен, то есть

                 ((, ((((((((2) = a((,(() + (((,(2).

      Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то  говорят,  что  на
множестве пробных  функций   ((t)  задана  обобщенная  функция    ((t)  [4].
Следует сказать, что данную функцию надо понимать  формально-аксиоматически,
а не как предел соответствующих интегральных сумм.
      Обобщенные фнкции , даже  не  заданные  явными  выражениями,  обладают
многими свойствами классических  функкций.  Так,  обобщенные  функции  можно
дифференцировать.



       И  в  заключение  следует  сказать,  что  в  настоящее  время  теория
обобщенных функций получила широкое развитие  и  многочисленные  применения.
На ее основе созданы математические методы изучения процессов,  для  которых
средства классического анализа оказываются недостаточными.



                                Литература :

1.   А. Л. Зиновьев,   Л. И. Филипов     ВВЕДЕНИЕ   В
                             ТЕОРИЮ   СИГНАЛОВ   И   ЦЕПЕЙ.

2.   С. И. Баскаков      РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ   ЦЕПИ
                                       И    СИГНАЛЫ.



-----------------------
[1]  Также  эту функцию называют   единичной  импульсной  функцией,
[2]    Говорят, что дельта-функция сосредоточена в этой точке.
[3]    Отсюда вытекает структурная схема систем,   осуществляющей  измерение
мгновенных  значений     аналогового сигнала S(t).  Система состоит из  двух
звеньев : перемножителя и интегратора.

[4]   Обобщенные функции иногда называют также распределениями.




смотреть на рефераты похожие на "Динамическое представление данных"