Программирование и комп-ры

Математическое программирование

                       Математическое программирование

1. Общая задача линейного программирования (ЗЛП):
                                    [pic]
Здесь (1)  называется системой ограничений , ее матрица имеет ранг r ( n,
(2) - функцией цели (целевой функцией). Неотрицательное решение (х10, x20,
... , xn0) системы (1) называется допустимым решением (планом) ЗЛП.
Допустимое решение называется оптимальным, если оно обращает целевую
функцию (2) в min или max (оптимум).

2. Симплексная форма ЗЛП. Для решения ЗЛП симплекс - методом необходимо ее
  привести к определенной (симплексной) форме:

      [pic](2`)    f+cr+1xr+1 + ... + csxs + ... + cnxn = b0 ( min

Здесь считаем  r < n (система имеет бесчисленное множество решений), случай
r = n неинтересен: в этом случае система имеет единственное решение и если
оно допустимое, то автоматически становится оптимальным.
В системе (1`) неизвестные   х1, х2, ... , хr   называются базисными
(каждое из них входит в одно и только одно уравнение с коэффициентом +1),
остальные хr+1, ... , xn - свободными. Допустимое решение (1`) называется
базисным (опорным планом), если все свободные неизвестные равны 0, а
соответствующее ему значение целевой функции  f(x10, ... , xr0,0, ... ,0)
называется базисным.
В силу важности особенностей симплексной формы выразим их и словами:
а) система (1`) удовлетворяет условиям :
 1) все ограничения - в виде уравнений;
 2) все свободные члены неотрицательны, т.е. bi ( 0;
 3) имеет базисные неизвестные;
б) целевая функция (2`) удовлетворяет условиям :
 1) содержит только свободные неизвестные;
 2) все члены перенесены влево, кроме свободного члена b0;
 3) обязательна минимизация (случай  max  сводится к  min  по формуле   max
    f = - min(-f)).

3) Матричная форма симплекс-метода. Симплексной форме ЗЛП соответствует
  симплекс - матрица :

1     0 ... 0 ... 0     a1,r+1 ... a1s ... a1n     b1
0     1 ... 0 ... 0     a2,r+1 ... a2s ... a2n     b2
.................................................................
0     0 ... 1 ... 0     ai,r+1 ... ais ... ain       bi
.................................................................
0     0 ... 0 ... 1     ar,r+1 ... ars ... arn       br

0     0 ... 0 ... 0     cr+1   ... cs   ... cn        b0

Заметим,   что  каждому  базису  (системе  базисных  неизвестных )
соответствует   своя   симплекс - матрица ,  базисное   решение         х =
(b1,b2, ... ,br, 0, ... ,0) и базисное значение целевой функции   f(b1,b2,
... ,br, 0, ... ,0) = b0  (см. Последний столбец !).

Критерий оптимальности плана . Если в последней (целевой) строке симплекс-
матрицы все элементы неположительны, без учета последнего b0, то
соответствующий этой матрице план оптимален,
т.е.     сj ( 0 (j = r+1, n) =>  min f  (b1, ... ,b2,0, ... ,0)  =  b0.
Критерий отсутствия оптимальности. Если в симплекс-матрице имеется столбец
(S-й), в котором последний элемент сs > 0, a все остальные элементы
неположительны, то ЗЛП не имеет оптимального плана, т.е.  сs > 0,  ais ( 0
( i= 1,r )  =>  min f = -(.
Если в симплекс-матрице не выполняются оба критерия, то в поисках оптимума
надо переходить к следующей матрице с помощью некоторого элемента ais > 0 и
следующих преобразований (симплексных):
 1) все элементы i-й строки делим на элемент a+is;
 2) все элементы  S-го столбца, кроме ais=1, заменяем нулями;
 3) все остальные элементы матрицы преобразуем по правилу прямоугольника,
    что схематично показано на фрагменте матрицы и дано в формулах:

[pic]
akl` = akbais - ailaks  = akl - ailaks;
                  ais                        ais

bk` = bkais - biaks;              cl` = clais - csail
                ais                                           ais


Определение.  Элемент  ais+ называется разрешающим, если преобразование
матрицы с его помощью обеспечивает уменьшение (невозрастание) значения,
целевой функции; строка и столбец, на пересечении которых находится
разрешающий элемент, также называются разрешающими.
Критерий выбора разрешающего элемента.  Если элемент ais+  удовлетворяет
условию

bi  = min  bk
ais0                        aks0+

где s0 - номер выбранного разрешающего столбца, то он является разрешающим.

4. Алгоритм симплекс-метода (по минимизации).
 5) систему ограничений и целевую функцию ЗЛП приводим к симплексной форме;
 6) составим симплекс-матрицу из коэффициентов системы и целевой функции в
    симплексной форме;
 7) проверка матрицы на выполнение критерия оптимальности; если он
    выполняется, то решение закончено;
 8) при невыполнении критерия оптимальности проверяем выполнение критерия
    отсутствия оптимальности; в случае выполнения последнего решение
    закончено - нет оптимального плана;
 9) в случае невыполнения обоих критериев находим разрешающий элемент для
    перехода к следующей матрице, для чего :
      а) выбираем разрешающий столбец по наибольшему из положи
                                            тельных элементов целевой
  строки;
      б) выбираем разрешающую строку по критерию выбора разрешающего
  элемента; на их пересечении находится разрешающий элемент;
 6) c помощью разрешающего элемента и симплекс-преобразований переходим к
    следующей матрице;
 7) вновь полученную симплекс-матрицу проверяем описанным выше способом (см.
    п. 3)

  Через конечное число шагов, как правило получаем оптимальный план ЗЛП или
  его отсутствие

  Замечания.
 1) Если в разрешающей строке (столбце) имеется нуль, то в соответствующем
    ему столбце (строке) элементы остаются без изменения при симплекс-
    преобразованиях.
 2) преобразования - вычисления удобно начинать с целевой строки; если при
    этом окажется, что выполняется критерий оптимальности, то можно
    ограничиться вычислением элементов последнего столбца.
 3) при переходе от одной матрицы к другой свободные члены уравнений
    остаются неотрицательными; появление отрицатель
    ного члена сигнализирует о допущенной ошибке в предыдущих вычислениях.
 4) правильность полученного ответа - оптимального плана - проверяется путем
    подстановки значений базисных неизвестных в целевую функцию; ответы
    должны совпасть.

5.  Геометрическая интерпретация ЗЛП и графический метод решения (при двух
неизвестных)

Система ограничений ЗЛП геометрически представляет собой многоугольник или
многоугольную область как пересечение полуплоскостей - геометрических
образов неравенств системы. Целевая функция  f = c1x1 + c2x2 геометрически
изображает семейство параллельных прямых, перпендикулярных вектору n
(с1,с2).
Теорема.    При перемещении прямой целевой функции направлении вектора n
значения целевой функции возрастают, в противоположном направлении -
убывают.
На этих утверждениях основан графический метод решения ЗЛП.


6. Алгоритм графического метода решения ЗЛП.
 7) В системе координат построить прямые по уравнениям, соответствующим
    каждому неравенству системы ограничений;
 8) найти полуплоскости решения каждого неравенства системы (обозначить
    стрелками);
 9) найти многоугольник (многоугольную область) решений системы ограничений
    как пересечение полуплоскостей;
10) построить вектор n (с1,с2) по коэффициентам целевой функции  f = c1x1 +
    c2x2;
11) в семействе параллельных прямых целевой функции выделить одну,
    например, через начало координат;
12) перемещать прямую целевой функции параллельно самой себе по области
    решения, достигая max f при движении вектора n и min f при движении в
    противоположном направлении.
13) найти координаты точек max и min по чертежу и вычислить значения
    функции в этих точках (ответы).


Постановка транспортной задачи.
Приведем экономическую формулировку транспортной задачи по критерию
стоимости:
Однородный груз, имеющийся в m пунктах отправления (производства) А1, А2,
..., Аm соответственно в количествах а1, а2, ..., аm единиц, требуется
доставить в каждый из n пунктов назначения (потребления) В1, В2, ..., Вn
соответственно в количествах b1, b2, ..., bn единиц. Стоимость перевозки
(тариф) единицы продукта из Ai в Bj известна для всех маршрутов AiBj и
равна Cij (i=1,m; j=1,n). Требуется составить такой план перевозок, при
котором весь груз  из пунктов отправления вывозиться и запросы всех пунктов
потребления удовлетворяются  (закрытая модель), а суммарные транспортные
расходы минимальны.
Условия задачи удобно располагать в таблицу, вписывая в клетки количество
перевозимого груза из Ai в Bj  груза Xij > 0, а в маленькие клетки -
соответствующие тарифы Cij:
[pic]
Математическая модель транспортной задачи.
Из предыдущей таблицы легко усматривается и составляется математическая
модель транспортной задачи для закрытой модели [pic]


Число r = m + n - 1, равное рангу системы (1), называется рангом
транспортной задачи. Если число заполненных клеток (Xij № 0) в таблице
равно r, то план называется невырожденным, а если это число меньше r, то
план вырожденный - в этом случае в некоторые клетки вписывается столько
нулей (условно заполненные клетки), чтобы общее число заполненных клеток
было равно r.
Случай открытой модели даi № дbj  легко сводится к закрытой модели путем
введения фиктивного потребителя Bn+1 c потребностью bn+1=дai-дbj, либо -
фиктивного поставщика Аm+1 c запасом am+1=дbj-дai ; при этом тарифы
фиктивных участников принимаются равными 0.
Способы составления 1-таблицы (опорного плана).
Способ северо-западного угла (диагональный). Сущность способа заключается в
том, что на каждом шаге заполняется левая верхняя клетка (северо-западная)
оставшейся части таблицы, причем максимально возможным числом: либо
полностью вывозиться груз из Аi, либо полностью удовлетворяется потребность
Bj. Процедура продолжается до тех пор, пока на каком-то шаге не исчерпаются
запасы ai и не удовлетворяются потребности bj . В заключение проверяют, что
найденные компоненты плана Xij удовлетворяют горизонтальным и вертикальным
уравнениям и что выполняется условие невырожденности плана.
Способ наименьшего тарифа. Сущность способа в том, что на каждом шаге
заполняется та клетка оставшейся части таблицы, которая имеет наименьший
тариф; в случае наличия нескольких таких равных тарифов заполняется любая
из них. В остальном действуют аналогично предыдущему способу.
Метод потенциалов решения транспортной задачи.
Определение: потенциалами решения называются числа ai®Ai, bj®Bj,
удовлетворяющие условию ai+bj=Cij (*) для всех заполненных клеток (i,j).
Соотношения (*) определяют систему из m+n-1 линейных уравнений с m+n
неизвестными, имеющую бесчисленное множество решений; для ее определенности
одному неизвестному придают любое число (обычно a1=0), тогда все остальные
неизвестные определяются однозначно.
Критерий оптимальности. Если известны потенциалы решения X0 транспортной
задачи и для всех незаполненных клеток выполняются условия ai+bj Ј Ci j, то
X0 является оптимальным планом транспортной задачи.
Если план не оптимален, то необходимо перейти к следующему плану (таблице)
так, чтобы транспортные расходы не увеличились.
Определение: циклом пересчета таблицы называется последовательность клеток,
удовлетворяющая условиям:
одна клетка пустая, все остальные занятые;
любые две соседние клетки находятся в одной строке или в одном столбце;
никакие 3 соседние клетки не могут быть в одной строке или в одном столбце
.
Пустой клетке присваивают знак « + », остальным - поочередно знаки « - » и
« + ».
Для перераспределения плана перевозок с помощью цикла перерасчета сначала
находят незаполненную клетку (r, s), в которой ar+bs>Crs, и строят
соответствующий цикл; затем в минусовых клетках находят число X=min{Xij}.
Далее составляют новую таблицу по следующему правилу:
в плюсовые клетки добавляем X;
из минусовых клеток отнимаем Х;
все остальные клетки вне цикла остаются без изменения.
Получим новую таблицу, дающее новое решение X, такое, что f(X1) Ј f(X0);
оно снова проверяется на оптимальность через конечное число шагов
обязательно найдем оптимальный план транспортной задачи, ибо он всегда
существует.


Алгоритм метода потенциалов.
проверяем тип модели транспортной задачи и в случае открытой модели сводим
ее к закрытой;
находим опорный план перевозок путем составления 1-й таблицы одним из
способов - северо-западного угла или наименьшего тарифа;
проверяем план (таблицу) на удовлетворение системе уравнений и на
невыражденность; в случае вырождения плана добавляем условно заполненные
клетки с помощью « 0 »;
проверяем опорный план на оптимальность, для чего:
а) составляем систему уравнений потенциалов по заполненным клеткам;
б) находим одно из ее решений при a1=0;
в) находим суммы ai+bj=Cўij («косвенные тарифы») для всех пустых клеток;
г) сравниваем косвенные тарифы с истинными: если косвенные тарифы не
превосходят соответствующих истинных(Cўij Ј Cij) во всех пустых клетках, то
план оптимален (критерий оптимальности). Решение закончено: ответ дается в
виде плана перевозок последней таблицы и значения min f.
    Если критерий оптимальности не выполняется, то переходим к следующему
шагу.
Для перехода к следующей таблице (плану):
а) выбираем одну из пустых клеток, где косвенный тариф больше истинного
(Cўij= ai+bj > Cij );
б) составляем цикл пересчета для этой клетки и расставляем знаки « + », « -
» в вершинах цикла путем их чередования, приписывая пустой клетке « + »;
в) находим число перерасчета по циклу: число X=min{Xij}, где Xij - числа в
заполненных клетках со знаком « - »;
г) составляем новую таблицу, добавляя X в плюсовые клетки и отнимая X из
минусовых клеток цикла
См. п. 3 и т.д.
Через конечное число шагов (циклов) обязательно приходим к ответу, ибо
транспортная задача всегда имеет решение.




смотреть на рефераты похожие на "Математическое программирование"