Программирование и комп-ры

Метод касательных (метод Ньютона)


Содержание


Содержание  1
Используемая литература     1

Метод Ньютона (касательных).      2
  Описание  2
  Блок-схема алгоритма 3
  Листинг программы    4
  Результаты  работы программы    6
    Пример №1    6
    Пример №2    6
    Пример №3    7

Метод итераций.  8
  Блок-схема алгоритма 8
  Листинг программы    9
  Результаты  работы программы    11
    Пример №1    11
    Пример №2    11
    Пример №3    12



Используемая литература


1. http://www.kyshtym.net.ru/rww/ Учимся программировать на С++
2. http://www.sprin.ru/soft.php Решение линейных уравнений методом Ньютона
(касательных)


Метод Ньютона (касательных).


      Описание

       В рамках метода Ньютона предполагается, что функция  дифференцируема.
Согласно этому методу строится линейная аппроксимация  функции  в  начальной
точке, а точка, в которой аппроксимирующая  линейная  функция  обращается  в
нуль, принимается в качестве следующего приближения.

       Итерационый процесс схождения к корню реализуется формулой:

xn+1=xn-f(xn)/f '(xn). Вычисления продолжаются пока соблюдается условие

|xn+1-xn |>=eps.

       В зависимости от выбора начальной точки и вида  функции  алгоритм  по
методу Ньютона может как сходиться к корню уравнения, так и расходиться.

       Ниже приведена блок-схема алгоритма и листинг программы,  реализующей
данный алгоритм на языке С++. Также привожу  текст,  которая  выдает  данная
программа при решении исходного уравнения.


Блок-схема алгоритма


                                    [pic]



Листинг программы


//метод Ньютона для решения кубических уравнений
#include
#include
double a[4]={0},
        b[3]={0},
       c[2]={0},
       prec=0.00000;
double minim=0, maxim=0;
void Hello(void);
void Input();
void Derivative();
void Calculation();
double Calc_Fun(double);
double Calc_First(double);
double Calc_Second(double);
main(void)
{
      Hello();
      Input();
      Derivative();
      Calculation();
      return 0;
}
void Hello(void)
{
      cout<<"Программа для решения кубических уравнений методом касательных
(метод                     Ньютона).\n\n";
}
void Input()
{
      cout<<"Кубическое уравнение имеет вид"<>a[i];
      }
      cout<>minim;
      cout<<"Введите верхнюю границу поиска : ";
      cin>>maxim;
      while(minim==maxim||minim>maxim)
      {
            cout<<"\nНижняя граница должна быть меньше верхней и не может
быть ей    равна."<>minim;
            cout<<"Повторите ввод верхней границы : ";
            cin>>maxim;
      }
      cout<<"Введите допустимую погрешность : ";
      cin>>prec;
}
void Derivative()
{
      b[0]=a[0]*3;
      b[1]=a[1]*2;
      b[2]=a[2];
      c[0]=b[0]*2;
      c[1]=b[1];
      cout<<"\n\n\n"
          <<"Исходное уравнение имеет вид : \n\n"
         <0) x=minim;
      else x=maxim;
      if (Calc_First(minim)>Calc_First(maxim)) m=abs(Calc_First(maxim));
      else m=abs(Calc_First(minim));
      cout<<"|";
      cout.width(15);cout.precision(10);
      cout<prec)
      {
            x=(x-(Calc_Fun(x)/Calc_First(x)));
            cout<<"|";
            cout.width(15);cout.precision(10);
            cout<
#include

double a[4]={0},
       b[3]={0},
       prec=0.00000;
double minim=0, maxim=0;

void Hello(void);
void Input();
void Derivative();
void Calculation();
double Calc_Fun(double);
double Calc_First(double);

main(void)
{
   Hello();
   Input();
   Derivative();
   Calculation();
   return 0;
}

void Hello(void)
{
   cout<<"Программа для решения кубических уравнений методом
итераций.\n\n";
}

void Input()
{
   cout<<"Кубическое уравнение имеет вид"<>a[i];
   }
   cout<>minim;
   cout<<"Введите верхнюю границу поиска : ";
   cin>>maxim;
   while(minim==maxim||minim>maxim)
   {
      cout<<"\nНижняя граница должна быть меньше верхней и не может быть ей
              равна." <>minim;
      cout<<"Повторите ввод верхней границы : ";
      cin>>maxim;
   }
   cout<<"Введите допустимую погрешность : ";
   cin>>prec;
}
void Derivative()
{
   b[0]=a[0]*3;
   b[1]=a[1]*2;
   b[2]=a[2];
}

void Calculation()
{
   double x=0, x_old=0, m=0;
   cout<<"-------------------------------------------------"<fabs(Calc_First(maxim))) m=x=x_old=minim;
   else m=x=x_old=maxim;
   m=fabs(1/Calc_First(m));
   cout<<"|";
   cout.width(15);cout.precision(10);
   cout<0)
   {
      do
      {
            x_old=x;
            x=x_old-m*Calc_Fun(x_old);
            cout<<"|";
            cout.width(15);cout.precision(10);
            cout<prec);
   }
   else
   {
      do
      {
            x_old=x;
            x=x_old+m*Calc_Fun(x_old);
            cout<<"|";
            cout.width(15);cout.precision(10);
            cout<prec);
   }
   cout<<"-------------------------------------------------";
}
double Calc_Fun(double x)
{
      return (a[0]*x*x*x+a[1]*x*x+a[2]*x+a[3]);
}
double Calc_First(double x)
{
      return (b[0]*x*x+b[1]*x+b[2]);
}



      Результаты  работы программы


           Пример №1


Программа для решения кубических уравнений методом итераций.

Кубическое уравнение имеет вид
a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0

Введите значение коэффициента a[1] : 1
Введите значение коэффициента a[2] : -6
Введите значение коэффициента a[3] : -9
Введите значение коэффициента a[4] : 58

Необходимо указать интервал поиска решения.
Введите нижнюю границу поиска : -4
Введите верхнюю границу поиска : -3
Введите допустимую погрешность : 0.00005
-------------------------------------------------
|      Xn       |     f(Xn)     |   X(n+1)-Xn   |
-------------------------------------------------
|             -4|            -66|               |
|    -3.24137931|   -9.922506048|    56.07749395|
|   -3.127327517|    -3.12093462|    6.801571427|
|   -3.091454705|   -1.064778438|    2.056156183|
|   -3.079215872|   -0.372281515|   0.6924969227|
|   -3.074936774|   -0.131239433|    0.241042082|
|   -3.073428275| -0.04639844126|  0.08484099175|
|    -3.07289496| -0.01642029825|  0.02997814301|
|   -3.072706221|-0.005813178631|  0.01060711962|
|   -3.072639403|-0.002058264249| 0.003754914382|
|   -3.072615744|-0.000728799396| 0.001329464852|
|   -3.072607367|-0.000258060628|0.0004707387678|
|   -3.072604401|-9.137721784e-0|0.0001666834108|
|   -3.072603351|-3.235601088e-0|5.902120696e-05|
|   -3.072602979|-1.145703711e-0|2.089897377e-05|
-------------------------------------------------



           Пример №2


Программа для решения кубических уравнений методом итераций.

Кубическое уравнение имеет вид
a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0

Введите значение коэффициента a[1] : 1
Введите значение коэффициента a[2] : -6
Введите значение коэффициента a[3] : -9
Введите значение коэффициента a[4] : 58

Необходимо указать интервал поиска решения.
Введите нижнюю границу поиска : 3
Введите верхнюю границу поиска : 4
Введите допустимую погрешность : 0.00005
-------------------------------------------------
|      Xn       |     f(Xn)     |   X(n+1)-Xn   |
-------------------------------------------------
|              3|              4|               |
|    3.222222222|    0.159122085|    3.840877915|
|    3.231062338|  0.01338370012|   0.1457383849|
|    3.231805877| 0.001151957391|  0.01223174272|
|    3.231869875|9.934183961e-05| 0.001052615552|
|    3.231875394|8.568402322e-06|9.077343728e-05|
|     3.23187587|7.390497921e-07| 7.82935253e-06|
-------------------------------------------------


           Пример №3


Программа для решения кубических уравнений методом итераций.

Кубическое уравнение имеет вид
a1*x^3+a2*x^2+a3*x+a4=0

Введите значение коэффициента a[1] : 1
Введите значение коэффициента a[2] : -6
Введите значение коэффициента a[3] : -9
Введите значение коэффициента a[4] : 58

Необходимо указать интервал поиска решения.
Введите нижнюю границу поиска : 5
Введите верхнюю границу поиска : 6
Введите допустимую погрешность : 0.00005
-------------------------------------------------
|      Xn       |     f(Xn)     |   X(n+1)-Xn   |
-------------------------------------------------
|              6|              4|               |
|    5.851851852|   0.2601229487|    3.739877051|
|    5.842217669|   0.0346921878|   0.2254307609|
|    5.840932773| 0.004788677115|  0.02990351069|
|    5.840755414|0.0006639855431| 0.004124691572|
|    5.840730822|9.212373716e-05|0.0005718618059|
|     5.84072741|1.278267885e-05|7.934105832e-05|
|    5.840726937|1.773688694e-06|1.100899016e-05|
-------------------------------------------------


                МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ ТАТАРСТАН
                       АЛЬМЕТЬЕВСКИЙ НЕФТЯНОЙ ИНСТИТУТ

                             Кафедра информатики



                               Курсовая работа
                 На тему: метод касательных (метод Ньютона)



                                           Работу выполнил студент гр. 52-61
                                                               Низамова Г.Н.

                                                    Проверил: Борганова Э.М.



                             Альметьевск 2003 г.


смотреть на рефераты похожие на "Метод касательных (метод Ньютона)"