Радиоэлектроника

Переходные процессы в электрических цепях

                            Пример решения задачи
                      по разделу «Переходные процессы»

      Задача. Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (Рис.
1). В цепи действует постоянная ЭДС Е. Требуется определить закон  изменения
во времени токов и напряжений после коммутации в ветвях схемы.
      Задачу следует решить двумя методами: классическим и  операторным.  На
основании полученного аналитического выражения  построить  график  изменения
искомой величины в функции времени в интервале от t = 0 до t  =  [pic],  где
[pic]– меньший по модулю корень характеристического уравнения.
      Параметры цепи: R1 = 15 Ом; R2 = 10 Ом; С = 10 мкФ; L = 10 мГ; Е = 100
В.
                                  Решение.

                             Классический метод.

      Решение задачи получается в  виде  суммы  принужденного  и  свободного
параметра:
                        i(t) = iпр(t) +  iсв(t);     u(t) = uпр(t)+  uсв(t),
                                                                         (1)
где [pic], а [pic].
      1. Находим токи и  напряжения  докоммутационного  режима  для  момента
времени t = (0–).  Так  как  сопротивление  индуктивности  постоянному  току
равно нулю, а емкости – бесконечности, то расчетная  схема  будет  выглядеть
так, как это  изображено  на  рис.  2.  Индуктивность  закорочена,  ветвь  с
емкостью исключена. Так как в схеме только одна ветвь, то ток  i1(0–)  равен
току i3(0–), ток i2(0–) равен нулю, и в схеме всего один контур.
      Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для этого контура:
                                   [pic],
      откуда
                                [pic] = 4 А.
      Напряжение на емкости равно нулю [uC(0–) = 0].
      2. Определим токи и напряжения непосредственно  после  коммутации  для
момента времени t = 0+. Расчетная схема приведена  на  рис.  3.  По  первому
закону коммутации iL(0–) = iL(0+), т.е. ток i3(0+) = 4 А. По второму  закону
коммутации uC(0–) = uC(0+) = 0.
      Для контура, образованного ЭДС Е,  сопротивлением  R2  и  емкостью  С,
согласно второго закона Кирхгофа имеем:
                                    [pic]
или
                                   [pic];
                      i1(0+) = i2(0+) + i3(0+) = 14 А.
Напряжение на сопротивлении R2 равно Е –  uC(0+)  =  100  В,  напряжение  на
индуктивности равно напряжению на емкости.
      3. Рассчитываем  принужденные  составляющие  токов  и  напряжений  для
[pic]. Как и  для  докоммутационного  режима  индуктивность  закорачивается,
ветвь с емкостью исключается. Схема приведена на рис. 4. и аналогична  схеме
для расчета параметров докоммутационого режима.
                                [pic] = 10 А;
            [pic] = 100 В;      [pic];       [pic]
      4. Определяем свободные составляющие токов и  напряжений  для  момента
времени t = 0+, исходя из выражений i(0+) = iпр(0+)  +  iсв(0+)  и  u(0+)  =
uпр(0+) + uсв(0+).
iсв1(0+) = 4 А; iсв2(0+) = 10 А; iсв3(0+) = –6 А; uсвL(0+) = uсвС(0+)  =  0;
[pic].
      5. Определяем  производные  свободных  токов  и  напряжений  в  момент
времени непосредственно  после  коммутации  (t  =  0+),  для  чего  составим
систему уравнений, используя законы  Кирхгофа  для  схемы,  изображенной  на
рис. 3, положив Е = 0.
                                   [pic];
                                [pic]                                    (2)
                                    [pic]
      Производную тока через индуктивность можно найти, используя выражение:
[pic], а производную напряжения на емкости – из уравнения [pic]. Т.е.
                              [pic]  и  [pic],
откуда
                             [pic];    [pic]                             (3)
      Подставляя (3) в (2), после решения получаем:
                    [pic];     [pic];     [pic];    [pic]
      Все полученные результаты заносим в таблицу.

|        |i1   |i2   |i3   |uL   |uC   |uR2  |
|t = 0+  |14   |10   |4    |0    |0    |100  |
|[pic]   |10   |0    |10   |0    |0    |100  |
|[pic]   |4    |10   |–6   |     |     |     |
|[pic]   |     |     |     |0    |0    |0    |
|[pic]   |–105 |–105 |0    |     |     |     |
|[pic]   |     |     |     |106  |106  |–106 |

      6. Составляем  характеристическое  уравнение.  Для  этого  исключим  в
послекоммутационной схеме источник ЭДС, разорвем любую ветвь и  относительно
разрыва  запишем  входное  сопротивление  для  синусоидального  тока  [pic].
Например, разорвем ветвь с сопротивлением R2:
                                   [pic].
      Заменим j? на р и приравняем полученное уравнение нулю. Получим:
                                    [pic]
или
                            R2CLp2 + pL + R2 = 0.
Откуда находим корни р1 и р2.
               [pic]             р1 = –1127,       р2 = –8873.
      7. Определим постоянные интегрирования А1  и  А2.  Для  чего  составим
систему уравнений:
                                   [pic];
                                    [pic]
или
                                   [pic];
                                    [pic]
      Например, определим постоянные интегрирования для тока i1 и напряжения
uL. Для тока i1 уравнения запишутся в следующем виде:
                               4 = А1i + А2i;
                                   [pic].
После решения:                 А1i = –8,328 А,   А2i = 12,328 А.
для напряжения uL:
                                   [pic];
                                   [pic].
После решения:            [pic]= 129,1 В,   [pic]= –129,1 В.
      8. Ток i1 cогласно (1) изменяется во времени по закону:
                 i1(t) = 10 – 8,328е–1127t + 12,328e–8873t,
а напряжение uL:
                    uL(t) = 129,1e–1127t – 129,1 e–8873t.



-----------------------
[pic]

[pic]

[pic]

[pic]





смотреть на рефераты похожие на "Переходные процессы в электрических цепях"