Радиоэлектроника

Способ определения живучести связи (вероятности связности)


                        СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЖИВУЧЕСТИ.

       Определению  живучести  связи  (вероятности  связности)  между  двумя
конкретными узлами сети i и j посвящен целый ряд работ [1-5]. Однако  расчет
точного ее  назначения  сопряжен  с  большими  вычислительными  трудностями.
Представляет интерес найти простой способ определения вероятности  связности
сети,  который  позволял  бы  оперативно  и  вручную  проводить  на   стадии
проектирования оценку различных вариантов их построения.
      Рассмотрим сеть той же мостиковой структуры, что и в [1] (рис.1).  Для
простоты будем полагать вероятности исправного функционирования  всех  ребер
сети одинаковыми и равными р , а  неисправного  функционирования  -  равными
q=1-p.  Для  оценки  живучести  воспользуемся   методом   прямого   перебора
состояний элементов сети  связи  [5].  На  основании  биноминального  закона
вероятность пребывания сети связи в состоянии,  когда  i  любых  ребер  сети
отказали,[pic], где [pic]- биноминальный коэффициент; N – число ребер сети.
      Например, для сети,  изображенной  на  рис.  1,  живучесть  связи  р13
зависит от следующей



совокупности независимых  событий:  исправного  состояния  сети  в  целом  –
вероятность этого события равна  р3; повреждения любого одного ребра сети  –
вероятность [pic] одновременного  повреждения  любых  двух  ребер  сети,  за
исключением двух случаев, когда оба ребра подходят к узлу 1 или к узлу  3  –
вероятность[pic] одновременного повреждения трех ребер  сети,  подходящих  к
узлу 2 или 4 – вероятность 2р2q3.
       Суммируя  все  вероятности  независимых  событий,  получаем   искомое
выражение :
                                    [pic]
что полностью совпадает полученными результатами в [1].
Аналагично для всех остальных пар узлов сети рис. № 1.
                                    [pic]
                                    [pic]
Из анализа видно, что
                                    [pic]
      Связанной сетью являются сеть, в которой любой  из  узлов  соединен  с
остальными узлами сети. Вероятность связанности сети рис. № 1
                                    [pic]
так как эта сеть допускает все одиночные повреждения ребер и восемь  двойных
повреждений ребер. Вероятность связности сети  меньше  или  равна  живучести
связи между любой парой узлов сети, в данном случае рс<р13.
      С точки зрения характеристики сети  интерес  представляют  вероятность
рс, минимальная рмин   и максимальная  рмакс  живучести  связи  между  любой
парой узлов сети и соотношения между ними. Для сети рис №1: рс < рмин =  р13
< р12 = р14 = р23 = р34 < р24 =рмакс.
       Аналогично  можно   найти   выражения   для   вероятности   связности
полносвязных сетей. Для сети с тремя вершинами (n=3)
                       [pic]                       (1)
для n=4;
                               [pic]      (2)
для n=5;
                              [pic]         (3)
для n=6;
                                [pic]    (4)
       Для  рс  при  n=7….10   расчетные   формулы   не   приводятся   из-за
громоздкости.
      Вероятность  связности  для  кольцевых  сетей  связи,  т.е.  сетей,  у
которых степень для каждой вершины равна 2 (степенью  вершины  d  называются
число граней графа сети, инцидентных данной вершине [6]),
                                    [pic]
      На рис 2 определена зависимость  рс  от  р  для  кольцевых  сетей  при
различных n. Из ее анализа видно, что вероятность связности кольцевых  сетей
 падает с увеличением числа узлов сети при одних и тех же значениях р.



                                  Рис № 2.



      На практике  довольно  редко  встречаются  полносвязные  сети.  Обычно
бывают сети с небольшими степенями вершин. Имеется большое семейство  графов
(так называемых равнопрочных) , в которых степень вершины d, число вершин  n
и общее число граней m связаны следующим соотношением: d=2m/n (при n>2).
      Например для шестиугольника  (n=6)  без  резервирования  связей  можно
построить четыре различных графа с d=2, 3, 4, 5. Вероятности связности  этих
графов определяется следующими выражениями:
При d=2 (рис. 3,а)
                     [pic]                          (5)
при d=3 (рис. 3,б)
                                 [pic]   (6)
при d=4 (рис. 3,в)
                                [pic]    (7)
      При n=8 можно построить шесть различных графов с d=2…..7;  вероятность
связности  этих графов определится следующими выражениями:
d=2 (рис. 4,а)
                       [pic]                       (8)
d=3 (рис. 4,б)
                                [pic]     (9)
d=4 (рис. 4,в)
                                  [pic](10)



       Расчетные  формулы  для  рс  при  d=5  и  6  из-за  громоздкости   не
приводятся.
      На рис 5 и 6 представлены зависимости  вероятности  связности  сети  с
n=6, 8 соответственно при  различных  d  (сплошные  линии),  построенные  по
формулам  (5)  –  (10).  Из  рисунков  видно,  что  увеличение   вероятности
связности сети с увеличением d при неизменном p  объясняется  тем  ,  что  с
увеличением d возрастает разветвленность сети связи.
      К сожалению, ловольно  трудно  получить  аналитическое  выражение  для
вероятности связности сети рассматренного семейство графов при  различных  d
и n, за исключением полносвязных сетей  с  d = n –  1  [см.выражение  (1)  –
(4)].  По  этому  целесобразно  определять   верхнюю   груницу   вероятности
связности графов. Если граф связный, то в нем не  может  быть  изолированных
вершин. В этом случае каждой вершине должна быть инцидента по  крайней  мере
одна ветвь.
      Пусть  Ai  –  событие,  когда  не  существует  неповрежденных  ветвей,
инцидентных вершине i, p(Ai) –  вероятность  этого  события;  1  –  p(Ai)  –
вероятность дополнительного события, когда существует по крайней  мере  одна
целая ветвь, инцидентная вершине i, Поэтому вероятность  того,  что  у  всех
вершин есть по крайне мере одна целая ветвь, т.е. есть связана,   ограничена
неравенством:
                        [pic]                   (11)
       На  рис.  5,6  представлены  зависимости  (11)  для  n=6,  и  d=2…..7
(штриховые  линии).  Сравнение  кривых  показывает,  что   верхнюю   границу
вероятности связности сети, особенно при больших d.
       Таким  образом,  полученная  простая   верхняя   оценка   вероятности
связности равнопрочных  сетей  связи  дает  шорошее  приближение  к  точному
значению вероятности связности сети при больших значениях d.
-----------------------
1

2

3

4     Рис № 1.

n=3

4

5

7

10

p

0            0,2         0,4        0,6        0,8

1

0,8


0,6

0,4


0,2

рс

        а)                                  б)
в)
                 Рис  3

        а)                                  б)
в)
                 Рис  4

рс

1

0,8


0,6

0,4


0,2

0            0,2         0,4        0,6        0,8          1

p

                                   Рис. 5

5

4

3

d=2

                                   Рис. 6

рс

1

0,8


0,6

0,4


0,2

0            0,2         0,4        0,6        0,8         ?†??????????????
1

p

5

4

3

d=2

6

7




смотреть на рефераты похожие на "Способ определения живучести связи (вероятности связности) "