Физика

Поля и Волны


                                  Лекция 7

                           Плоские электромагнитные
                                    волны

7.1. Понятие  волнового процесса.
7.2. Плоские волны в идеальной среде.
7.3. Плоские волны в реальных средах.
7.4.Распространение волнового пакета. Групповая скорость.
7.5. Поляризация ЭМВ.

7.1. Понятие волнового процесса.

         Мир, в котором мы живем, - мир волн. Чем характеризуется мир  волн,
волновых процессов ?
  Волновой процесс имеет следующие характерные признаки:
1. Волновой процесс всегда переносит  энергию  и  импульсы.  Нас  интересуют
  волновые процессы ЭМВ.
1. Конечная скорость всех волновых процессов. В случае ЭМВ  -  это  скорость
  света.
1.  Независимость  волновых  процессов  друг  от  друга.  В   этой   комнате
  существуют поля самых разных частот, поля р/станций, света и т.д.
1. Волновые процессы, различные по физической природе, описываются  одним  и
  тем же математическим аппаратом.
         Под  волновым процессом понимают возмущение  некоторой  величины  в
пространстве, перемещающееся с конечной скоростью, переносящее мощность  без
переноса вещества.

 7.2. Плоская ЭМВ в идеальной среде.

          Под плоской  ЭМ  волной  понимают  волновой  процесс,  у  которого
составляющие электрического и магнитного полей изменяются в одинаковой  фазе
в плоскости перпендикулярной направлению распространения.
                      (          (
(7.2.1.)      rot H = j ((a E       (   Используем для анализа
                      (              (    (    1 - е и 2 - е уравнения
(7.2.2.)      rot E = - j ((a H    (    Максвелла

        Источники, создающие плоские волны не входят  в  эти  уравнения.  Мы
рассматриваем волновые процессы в дальней  зоне,  т.е.    в     пространстве
за        пределами

      (   (
зарядов  и токов. Решим уравнения относительно Е и Н.

                                                  (
Из уравнения (7.2.1.) выразим Е и подставим в (7.2.2.):
                      (                        (
                      E = ([pic]) rot H
                                                  (               (
                      ([pic]) rot (rot H) = - j((a H
                                 (                (        (
                      rot rot H = grad div A - (2 H

                                   (       (                (
                      grad div H - (2 H = (2 (a(a H
                            (
           т.к.     div H = 0 - четвертое уравнение Максвелла

                                (       (
                           (2  H  +  k2  H  =  0  однородное  волновое  ур-е
Гельмгольца (7.2.3.)

                           k2 = (2(a(a

Точно    так    же    из    второго   уравнения получаем
                                      (
уравнения для вектора Е:
                       . (
                              (2 E + k2 E = 0  -  однородное  волновое  ур-е
Гельмгольца (7.2.4.)
 В развернутом виде запишем уравнения:

                     ([pic]) +([pic]) +([pic]) + k2 H = 0           (7.2.5.)


Решать  такое  уравнение  трудно. Предположим,  что  источник  ЭМ  колебаний
находится очень далеко от той области, где рассматриваем волны.



                                r1 ( r2 ( r3
т.к.   источник  очень  далеко,  то  расстояния  до  точки   можно   считать
одинаковым. Из  физического смысла задачи, можно утверждать,  что  изменения
полей по координате  y, х нет, т.е.:

                               [pic]=[pic] = 0

                                               ([pic]) + k2 H = 0
                                  (7.2.6.)

Для плоской ЭМВ волновое уравнение упрощается. Решение уравнения:

                   H(z) = A e - jkz + B e jkz    (  в обычной форме

                   H(z,t) = e ((( (A e - jkz + B e jkz) ( если поле  зависит
от времени.
                   (          (
                   H(z,t) = h    (  означает, что поле векторное.
                    (          (
               H(z,t) = h [A e (((((((( + B e ((((+(((]       (7.2.7.)

Выделим составляющую поля c амплитудой А:
               (           (
               Ha(z,t) = h A e ((((((((  -  в комплексной форме.
                                                            (7.2.8.)
Выделим из комплексного выражения действительную часть:
    (                                      (
    Haреал(z,t) = Re Ha(z,t) = h A cos((t - kz)          (7.2.9.)



Фотография процесса в момент времени t = t1,  t  =  t2.  С  какой  скоростью
перемещается фронт с одинаковой фазой ? Выясним это:

                    Ф1  =  (t1  -  kz1       ;        Ф2   =   (t2   -   kz2
(7.2.10.)

Прибор регистрирует одинаковую напряженность, надо потребовать, чтобы  Ф1  =
Ф2

                   (t1 - kz1 = (t2 - kz2

                   k (z2 - z1) = ( (t2 - t1)

               [pic]= Vф - называется фазовой скоростью волны.
                     k = ( ( (a (a

                   Vф = [pic]- зависит от свойств среды,
                                                 где распространяется ЭМВ.
                   (0 = 8,85*10 –12 [pic],     (0 = 4(*10-7 [pic],

                                V = 3*108 [pic](7.2.11.)
 ( - называют пространственную периодичность волнового процесса.
 ( - это длина пути, которую проходит фронт с одинаковой  фазой  за  период,
или- это есть расстояние, которое проходит фазовый фронт за 1 период.



в т. Z1               Ф1 = (t - kz1

в т.    Z2            Ф2 = (t - kz2

                          Ф1 - Ф2 = 2(

                      z2 - z1 = [pic]= (

                          k = [pic]        - волновое число

            Vф = [pic]= f (  (   если в вакууме, то
                                                                  Vф = c
                                    Vф           =            f            (
                                   (7.2.12.)

Выясним связь напряженностей Е и Н в ЭМВ:
                               (             (
                         rot H = j ( (a E
                               (               (
                         rot E = - j ( (a H
Спроектируем уравнение на оси координат:
                                               .          .          .
                           (                i          j          k
                     rot H =            [pic]       [pic]      [pic]
                                             Hx        Hy       Hz
-([pic]) = j((a Ex

[pic]= j((a E;     [pic]

                                0 = j((a Ez
                                               (
                                               Ez = 0
-([pic]) = - j((a Hx    ,      0 = - j((aHz

[pic]     =     -     j     ((a     Hy          ,           Hz      =      0
(7.2.13.)

В ЭМВ отличны от нуля  только  две  составляющие  в  плоскости  (  плоскости
распространения:

                              -([pic]) = j((aEx

                           j k Hy = j((a Ey
                                 [pic]              (7.2.14.)

Это лишний раз подчеркивает, что  сферические  волны  излучателя  в  дальней
зоне            превращаются            в            плоские            ЭМВ.

                                             (   (
       Ориентация векторов Е и Н.

                               (               (
Для плоской ЭМВ Е всегда ( Н.
                                       ((
Покажем, что величина Е Н = 0:
            ((                 ((
            E H = E H cos (E H) = 0

            (i Ex + j Ey) (i Hx + j Hy)
             ExHx + EyHy = Zc HyHx - ZcHxHy = 0

             Ex = Zc Hy      ;                 Ey = - Zc Hx
             (     (
             E  (  H       всегда в плоской ЭМВ

             (    (
             H = y0 A e ((((((((               общая запись
               (       (                                     плоской    ЭМВ.

                  H       =       x0       A       Zc       e       ((((((((
                       (7.2.15.)

   Поскольку в рассматриваемой задаче рассматривается только один  источник,
то учитываем только волну с амплитудой А. В пространстве имеются
                                                              (   (
2 взаимно перпендикулярных  поля  (  Е  и  Н).  Как  определить  направление
переноса энергии ?



                         (                  (   (
                         Пср = ([pic]) Re [E (H*]
Итоги:                    (       (
1. Составляющие  Е  и  Н  лежат  в  плоскости  перпендикулярной  направлению
  распространения и изменяются в фазе (там где max Е там max Н, и наоборот)
1. Отношение [pic]= Zc  определенная величина в случае вакуума  Zc = 120  (.
  Плоская ЭМВ однородная.
1. Амплитуды Е и Н не зависят от поперечных координат.
1. У плоской ЭМВ   Ez = 0  , Hz = 0.

7.3. Плоские волны в реальных средах.
Предыдущий анализ относился к идеальным  средам.  В  реальных  средах  часть
энергии будет теряться  в  среде,  значит  амплитуда  волны  будет  убывать.
Любая реальная среда - набор  связанных  зарядов  (диполей),  могут  быть  и
свободные заряды.



Часть энергии переходит в тепло. Количественно опишем процесс.
В  реальных средах, при гармонических  воздействиях  проницаемости  величины
комплексные:

                              ( = (`a - j (a``

                                  (      =      (a`      -      j       (a``
 (7.3.1.)

Все  рассуждения  и  результаты  сохраняют  силы,  но  параметры  (а  (а   -
комплексные.

Амплитудные соотношения.

        С этой целью рассмотрим, что представляет  собой  волновое  число  в
реальной среде:
               ____          _________________
  k = ( ( (a(a = ( ( ((a`- j(a``)((a`- j(a``) = ( - j(    (7.3.1.)

поскольку  величины   (а   и  (а  -  комплексные,  то   k  -  тоже  величина
комплексная. К каким последствиям это может привести ?  Рассмотрим  волновой
процесс:
       (           (                        (
       H (z,t) = y0 A e (((((((( = y0 A e (((((((((((( =
                      (
                       =     y0     A     e     (     ((     e      ((((((((
(7.3.3.)



Параметр  ( получил название коэффициента затухания. ( - фазовая  постоянная
- вещественная часть волнового числа.

          Vф = ( / (      в реальных средах     [pic]        (7.3.4.)
         Понятие ( было введено для идеального диэлектрика.  Если  затухание
мало, то можно выбрать точки, где поля отличаются по фазе на 2(  и  считать,
что  это (. Если  затухание  очень  велико,  периодичность  процесса  теряет
смысл (соленая вода), понятием ( можно пользоваться условно.
Количественная оценка.
         Рассмотрим поведение амплитуды в точках:
         в т. Z1   (   H(Z1) = A e - ((1

         в т. Z2   (  H(Z2) = A e - ((2
Изменение
         a = 20 lg ([pic]) = 20 lg ([pic]) =

            = 20 lg e  (((2- (1( = 20 ( (Z2 - Z1) lg ?

                                     Z2 - Z1 = ?

                                  a     =     8,69     (     l          [дБ]
(7.3.5.)

во столько раз, пересчитанных в дБ уменьшилась амплитуда поля .
         Под глубиной проникновения поля  понимают  расстояние,  на  котором
амплитуда поля убывает в е раз
              (   (
(вектор Е и Н).
        Изменение  поля  Н  =  A  e  -  ((.  На  расстоянии  равном  глубине
проникновения в точке Z = 0, Н1 = А
в т. Z = (0       H2 = A e - ((

                         [pic]= е = е - ((   ;      ( (0 = 1

                                                         (0     =      [pic]
                                (7.3.6.)

                             Фазовые соотношения

        Воспользуемся понятием “характеристическое сопротивление cреды”
                                        ____       ________________
                  Zc = ( [pic]=  ((a` - j(a``/ (a`- j(a``=(Zc( e ((
                                  (7.3.7.)

в реальных средах Zc величина комплексная. Поведение
(  (
Е и Н в реальной среде:
             (         (
             H(z,t) = y0 A e - (( e ((((((((
             (          (
             E(z,t) = x0 A Zc e - (( e (((((((( =
                          (
                       = x0 A (Zc(e - ((  e ((((((( ( ((           (7.3.8.)
Модуль характеристического сопротивления означает отношение  амплитуд  между
электрическим и магнитным полями, а фаза  характеристического  сопротивления
показывает величину сдвига фаз между
(    (                                          (   (
Е и Н. В реальных средах всегда Е и Н сдвинуты на некоторую величину.

                     Волновой процесс в реальных средах



                       Расчет коэффициента затухания и
                     фазовой постоянной в реальной среде

 Проведем расчет для частного случая, широко используемого на практике.
Реальная cреда не магнитный диэлектрик.

                (a  =  (a`-  j(a``       ;       (a   =   (a`-   j0   =   ((
                                    (7.3.9.)
(почва, вода)
Порядок расчета:

1) Из общих выражений для k:
                                           ____________
                   k   =   (   -   j(   =   (    (    ((a`-    j(a``)    (a`
                                   (7.3.10.)

Выделим вещественную  и  мнимую  часть.  Для  этого  левую  и  правую  часть
возведем в квадрат, т.к. надо избавиться от радикалов:

                      (2 - 2 j(( - (2 = (2(a`(a ` - j(2(a``(a`

Два комплексных числа тогда равны,  когда  равны  и  вещественные  и  мнимые
части.

                       ( (2 - (2 = (2 (a`(a`
                       (
                       ( 2( ( = (2 (a``(a`
                          (2 (a`(a` = q  - обозначим
                 (2 (a``(a` = (2 (a`(a [pic]= q tg (

                                           [pic]=            tg            (
(7.3.11)

                         ( (2 - (2 = q    ;      ( = [pic]
                         (
                         ( 2( ( = q tg(

                           (2 - ([pic]) tg2( - q = 0

                           (4 - q(2 - ([pic]) tg2( = 0
                                 (2 = [pic]
Какой знак взять  + или - ?
Исходя  из  физического  смысла  оставляем  только  +,  т.к.   (   -   будет
отрицательная.

                       (2 = [pic](1 + ( 1 + tg2()

                       ( = ( ( [pic](( 1 + tg2(  + 1)              (7.3.12)

для ( решение аналогичное:

                       ( = ([pic]                   (7.3.13)



Выводы:
1. По определению   Vф = [pic]
                                 Vф = [pic]
                        tg ( = [pic]
Vф зависит от частоты. Встретились с явлением дисперсии. Зависимость  Vф  от
f называется дисперсией. Идеальная среда не обладает дисперсией.
            ( = 0    -   идеальная среда
            ( ( 0    -   реальная
Рассмотрим поведение ЭМВ в двух случаях:
1) Среда с малыми потерями, малым затуханием:

                        tg ( << 1
                                     _____
                               (        =         (         (         (a`(a`
(7.3.14.)

( совпадает с волновым числом для идеального диэлектрика с  параметрами  (а,
(а.
Для  (:
           ________
         ( 1 + tg2(  ( 1 + ([pic]) tg2(  - разложение в ряд
            _____
         ( 1 + x  ( 1 + x2
                      ( = ( [pic]tg( =([pic]) ( (a`(a`

                чем        >        tg(       ,       тем        >        (.
(7.3.15)
2) Среда с большими потерями.

                     tg ( >> 1
                               ( = ( [pic]tg(

                     ( = (

      ( = ( = ([pic]

                    tg ( = [pic]


                                     (       =       (        =        [pic]
(7.3.16.)
                                 (0 = [pic]
Пример:
Определить во сколько раз уменьшается амплитуда волны на  расстоянии  равном
длине волны (в среде с большими потерями).

               e (( = e(( = e ((((((( = e (( = 540 раз

7.4. Групповая скорость плоских волн

    Все реальные сообщения занимают определенный спектр частот  и  возникает
вопрос, какой реальный сигнал передается ?

                                               (


                                                                         (
                                      (1              (2        (3

    В реальных  средах,  каждая  гармоническая  составляющая  передается  со
своей скоростью  (1 (2 (3. С какой скоростью передается сигнал ?
     Рассмотрим  простой   случай,   когда   сообщение   состоит   из   двух
гармонических сигналов:

                   (1 = A cos ((1t - k1 Z)

                       (2     =     A     cos     ((2t     -      k2      Z)
(7.4.1.)

Рассмотрим сложение двух сигналов:

              ( = (1 + (2 = A [cos ((1t - k1 Z) + cos ((2t - k2Z)]

              ( = 2A cos (((1 -[pic]) t - (k1 -[pic]) Z) *

                     *cos (((1 +[pic]) t - (k1 +[pic]) Z)

             [pic]= ( (          [pic] = (0

              [pic]= ( k            [pic]=  k0

                ( ( <<  (0                        ( k << k0


            ( = 2 A cos  (( (t - ( k Z)    cos  ((0t - k0Z)   (7.4.2.)
                          -----------------------   -------------------
      описывает медленно описывает быстро изменяющийся   волновой процесс.

При оценке скорости реальных сигналов,  специалисты  рассматривают  скорость
переноса  max  энергии.  Рассмотрим   с   какой   скоростью   изменяется   в
пространстве фронт max амплитуд.
в т.  Z1 , t1   (  Ф1 = ( (t1 - ( kZ1  ,
в т.  Z2 , t2   (  Ф2 = ( (t2 - ( k Z2

                   Ф1 = Ф2  (  ( (t1 - ( kz1 = ( (t2 - k (Z2

                             (k (Z2 - Z1) = (( (t2 - t1)

                                  [pic]=Vгр
                             [pic]=        Vгр               (         [pic]
   (7.4.3.)

Vгр по  физическому  смыслу  характеризует  скорость  перемещения  огибающей
сигнала. С  движением  огибающей  связано  перемещение  энергии,  поэтому  с
групповой скоростью связано перемещение энергии:

                          Vгр ( c             Vф >< c

Vф  связана с изменением состояния, а не с переносом энергии.
Vф - скорость изменения состояния фазового фронта.

Пример:                              Лампочки  последовательно   загораются,
изменение скорости состояния загорания может сколько угодно большой.



7.5. Поляризация плоских электромагнитных волн

Под поляризацией будем понимать заданную в
                                                                (        (
пространстве ориентацию вектора Е или Н. Различают 3 вида       поляризации:
       линейную    (вектор  Е  и  Н  ориентирован    всегда  вдоль     одной
линии    прямой),
                                                        (         (
круговую поляризация (вектор Е или  Н  вращается  по  кругу),  эллиптическую
поляризация (вектор Е или Н вращается по эллипсу).
Возьмем два ортогональных колебания:
                             Ех = А cos ((t - kz)

                             Ey = B cos ((t - kz + ()             (7.5.1.)

( - показывает сдвиг во времени, они не совпадают по фазе.
Что получится в результате сложения двух ортогональных колебаний ?
1)  А ( В  амплитуды разные, а сдвиг фаз равен 0.
   y                                  (( = 0)
                                         _____    ___________
  в                              E = ( E2x + E2y = ( A2 + B2 cos ((t-kz)

       (
(          =          arctg          [pic]=          arctg           ([pic])
                                 (7.5.2.)

Сложение двух ортогональных линейно- поляризованных колебаний,  изменяющихся
в одной фазе, но с разной амплитудой дает линейно- поляризованное  колебание
ориентированное под некоторым углом.
2)     А = В  ;    ( = ( ((/2)
Два ортогональных колебания по определению:

                       ( = arctg ([pic]) = arctg[pic]=

                    = arctg ( tg ((t - kz) = ( ((t - kz)

Сложение двух ортогональных линейно- поляризованных  колебаний  изменяющихся
с одинаковой амплитудой и фазой со сдвигом ( (/2  дает  вращающее  колебание
(колебание с круговой поляризацией).



         ___________     _____________________________
E =((E2x(+(E2y(=(A2cos2 ((t - kz) + A2sin2 ((t - kz) = A

                                           E = A

Направление вращения определяется опережением или отставанием по фазе.
3) В общем случае, когда А ( В, и фазы разные, вектор
(       (
Е или Н вращается по эллипсу.



Любую волну с линейной поляризацией можно представить в  виде  двух  волн  с
круговой поляризацией, имеющих разное направление.



           1                    2                   3                      4
        5

         Явление поляризации широко используется на практике. Все   приемные
устройства (служебная связь - вертикальная поляризация, в  России  прием  ТВ
на горизонтальную поляризацию, вертикальная поляризация  -  режим  передачи,
горизонтальная - режим приема. Круговая поляризация  широко  используется  в
радиолокации.
-----------------------
r1

r2

r3



y

z

     х

М2

М3

М1

источник

z1   z2

z

t=t1
   t=t2

   НАреал
     (z, t)

[pic]

z

? = (

  z1

 z2

t-соnst


[pic]

[pic][pic]

   х

     у

z

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]



e-(z

z

  Н


z

(

y     [pic]

   x

[pic]

Н

-е-(z

    t

      (



А         Х

Q

[pic]




смотреть на рефераты похожие на "Поля и Волны"