Физика

Теоретическая физика: механика


|“Согласовано”                        |“Утверждено”                 |
|Преподаватель Джежеря Ю.И.           |Методист ____________________|
|___________                          |                             |
|                                     |                             |


                            План-конспект занятия

                           По теоретической физике
        Студента V курса физико-математического факультета, гр. ОФ-61
                       Филатова Александра Сергеевича
                     Дата проведения занятия: 20.12.2000

  Тема: «Канонические преобразования. Функция Гамильтона-Якоби. Разделение
                                 переменных»

   Цели: Развить навык использования канонических преобразований. Закрепить
умение осуществлять преобразования  Лежандра  для  перехода  к  производящей
функции от необходимых переменных. Научить  использовать  метод  Гамильтона-
Якоби при решении задач с  разделением  переменных.  Сформировать  понимание
сути и могущественности метода. Воспитывать трудолюбие, прилежность.
   Тип занятия: практическое.

                                 Ход занятия


   Краткие теоретические сведения


                         Канонические преобразования

   Канонические преобразования переменных – это такие  преобразования,  при
которых сохраняется канонический вид  уравнений  Гамильтона.  Преобразования
производят  с  помощью  производящей  функции,  которая  является   функцией
координат, импульсов и времени.  Полный  дифференциал  производящей  функции
определяется следующим образом:
      [pic] (1)
   Выбирая производящую  функцию  от  тех  или  иных  переменных,  получаем
соответствующий вид канонических преобразований. Заметим, что  если  частная
производная будет браться по "малым" [pic], то будем получать  малое  [pic],
если же по "большим" [pic], то и получать будем соответственно [pic].

                          Функция Гамильтона-Якоби

   При рассмотрении действия, как функции координат  (и  времени),  следует
выражение для импульса:
      [pic] (2)
   Из  представления  полной  производной  действия  по   времени   следует
уравнение Гамильтона-Якоби:
      [pic] (3)
   Здесь действие рассматривается как функция координат и времени: [pic].
   Путем   интегрирования   уравнения   Гамильтона-Якоби    (3),    находят
представление действия в виде полного интеграла, который  является  функцией
s координат, времени,  и  s+1  постоянных  (s  –  число  степеней  свободы).
Поскольку  действие  входит  в  уравнение  Гамильтона-Якоби  только  в  виде
производной, то одна из констант содержится в  полном  интеграле  аддитивным
образом, т.е. полный интеграл имеет вид:
      [pic] (4)
   Константа А не играет существенной роли, поскольку действие входит везде
лишь в виде производной. А определяет,  что,  фактически,  лишь  s  констант
меняют действие существенным образом. Эти константы определяются  начальными
условиями на уравнения движения, которые для любого значения А  будут  иметь
одинаковый вид, как и само уравнение Гамильтона-Якоби.
   Для того чтобы выяснить связь между полным интегралом (4) уравнения  Г.-
Я. (3) и  интересующими  нас  уравнениями  движения,  необходимо  произвести
каноническое преобразование, выбрав  полный  интеграл  действия  в  качестве
производящей функции.
   Константы [pic] будут выступать в качестве новых импульсов. Тогда  новые
координаты
      [pic] (5)
   тоже будут константы, поскольку
      [pic] (6)
   Выражая из уравнения (5) координаты [pic] в виде функций от [pic], мы  и
получим закон движения:
      [pic] (7)
   Решение задачи на нахождение зависимости (7)  существенно  упрощается  в
случае разделения переменных.  Такое  возможно,  когда  какая-то  координата
[pic] может быть связана лишь с соответствующим  ей  импульсом  [pic]  и  не
связана  ни  с  какими  другими  импульсами  или   координатами,   входящими
уравнение  Г.-Я.  В  частности  это  условие  выполняется  для   циклических
переменных.
   Итак, нахождение уравнений движения методом Гамильтона-Якоби сводится  к
следующему:
      1. составить функцию Гамильтона;
      2.  записать  уравнение   Г.-Я.,   и   определить   какие   переменные
         разделяются;
      3. Путем интегрирования уравнения Г.-Я. получить вид полного интеграла
         [pic];
      4. Составить систему  s  уравнений[pic],  и  получить  закон  движения
         [pic];
      5. По необходимости найти закон изменения импульсов: [pic].  Для  чего
         продифференцировать полный интеграл по координатам [pic],  а  потом
         подставить их явный вид, полученный в пункте 4.

   Примеры решения задач

   №11.14 [4] Как известно, замена функции Лагранжа [pic] на
      [pic],     (1.1)
    где [pic] –  произвольная  функция,  не  изменяет  уравнений  Лагранжа.
Показать,  что  это  преобразование  является  каноническим,  и  найти   его
производящую функцию.
   Решение:
   Перепишем штрихованную функцию Лагранжа, представив  полную  производную
функции [pic] через частные:
      [pic] (1.2)
   Функции  Гамильтона,  соответствующие  штрихованной  и  не  штрихованной
функциям Лагранжа, определяются следующим образом:
      [pic] (1.3)
      [pic] (1.4)
   Распишем [pic], используя представление  штрихованной  функции  Лагранжа
(1.2):
      [pic] (1.5)
   Подставляя формулы (1.5) и (1.2) в выражение  для  штрихованной  функции
Гамильтона (1.4), получим:
      [pic] (1.6)
   Взаимно сократив второе  слагаемое  с  последним,  учитывая  зависимость
(1.3), получим:
      [pic] (1.7)
   Или
      [pic] (1.8)
   Но согласно каноническим преобразованием с производящей функцией Ф:
      [pic] (1.9)
   Следовательно,
      [pic] (1.10)
   Полученное   соотношение   определяет   условие   на   временную   часть
производящей   функции   канонического   преобразования,    соответствующего
преобразованию функции Лагранжа (1.1).
   Поскольку  вид  обобщенных  импульсов  и  координат  при  преобразовании
функции  Лагранжа   (1.1)   не   изменился,   координатно-импульсная   часть
производящей функции  должна  соответствовать  тождественному  каноническому
преобразованию. Как было показано в задаче №9.32 [3]  (д/з  пред.  занятия),
производящая функция определяющая тождественное каноническое  преобразование
с неизменным гамильтонианом, имеет вид:
      [pic] (1.11)
   Учитывая  условие  (1.10)  на  временную  часть  производящей   функции,
окончательно получим:
      [pic] (1.12)
   Полученная производящая функция  определяет  тождественное  каноническое
преобразование с заменой функции  Гамильтона  (1.7)  соответствующей  замене
функции Лагранжа (1.1).

   Задача. Система, состоящая из двух шариков  массами  [pic],  соединенных
невесомой пружиной, расположенной вертикально,  начинает  двигаться  в  поле
сил тяжести. Длина пружины - [pic]. Произвести  каноническое  преобразование
и записать новую функцию Гамильтона, соответствующие производящей функции
   [pic].
   Решение:
   Составим функцию Гамильтона системы:
      [pic] (2.1)
   Здесь потенциальная энергия состоит из энергии гармонических колебаний и
потенциальной энергии шариков в поле сил земного тяготения.  По  определению
потенциального поля:
      [pic] (2.2)
   Мы имеем дело с одномерным движением, поэтому градиент в  формуле  (2.2)
заменяется производной по х. В то же время сила,  является  суммарной  силой
тяжести. Принимая во внимание  принцип  суперпозиции  гравитационного  поля,
проинтегрируем последнее уравнение:
      [pic] (2.3)
   Значение  смещения  пружины  [pic]   от   положения   равновесия   будет
определяться следующим образом:
      [pic] (2.4)
   Подставив выражения (2.3) и (2.4) в формулу (2.1), получим  вид  функции
Гамильтона, выраженной через импульсы и координаты явно:
      [pic] (2.5)
   Переход к новым каноническим переменным  производится  в  случае,  когда
возможно упростить вид функции Гамильтона, а соответственно и  исходящих  из
нее уравнений движения.
   В данной ситуации  удобно  выбрать  новые  координаты  так,  чтобы  одна
описывала движение  центра  масс  системы,  а  вторая  колебания  пружины  в
собственной системе отсчета. Убедимся, что заданная в  условии  производящая
функция отвечает именно такому преобразованию.
      [pic] (2.6)
   Новая координата  [pic]  совпадает  со  значением  смещения  пружины  от
положения равновесия.
      [pic] (2.7)
   Новая координата [pic] совпадает  со  значением  положения  центра  масс
системы.
      [pic] (2.8)
      [pic] (2.9)
   Сложив оба уравнения, получим:
      [pic] (2.10)
   Соответственно
      [pic],     (2.11)
   где
      [pic],     (2.12)
   –  приведенная масса.
   Запишем функцию Гамильтона в новых переменных:
      [pic],     (2.13)
   где
      [pic],     (2.14)
   –  суммарная масса системы.
   Действительно, функция Гамильтона в новых переменных  распалась  на  две
части, что соответствует  двум  парам  канонических  уравнений.  Одна  часть
описывает  колебания  шариков  в  собственной  системе  отсчета,  другая   –
движение системы как целого в поле сил тяжести.

   №9.21 [3] Найти полный  интеграл  уравнения  Г.-Я.  и  закон  свободного
движения материальной точки.
   Решение:
   1. Составим функцию Гамильтона свободной частицы:
      [pic] (3.1)
   2. Запишем уравнение Г.-Я.:
      [pic] (3.2)
   3. Произведем разделение переменных и проинтегрируем по времени.
      [pic] (3.3)
   Используем начальное условие:
      [pic] (3.4)
   Тогда подставляя вид функции S (3.3) в уравнение Г.-Я. (3.2),  последнее
примет вид:
      [pic] (3.5)
   Откуда
      [pic] (3.6)
   Следовательно, полный интеграл уравнения Г.-Я.:
      [pic] (3.7)
   4. Закон движения определяется из канонического преобразования:
      [pic] (3.8)
   Откуда сам закон движения:
      [pic] (3.9)
   5. Импульс свободно движущейся материальной точки определяется следующим
образом:
      [pic] (3.10)
   Действительно, частица в отсутствии внешнего поля движется с  постоянным
импульсом.


   Домашнее задание:

   №11.2 [4] Найти производящую функцию вида [pic], приводящую  к  тому  же
каноническому преобразованию, что и [pic].
   Решение:
      [pic] (4.1)
      [pic] (4.2)
   №9.38 [3] Найти уравнение, которому удовлетворяет  производящая  функция
[pic], порождающая каноническое  преобразование  к  постоянным  импульсам  и
координатам.
   №9.23 [3] Найти полный интеграл уравнения Г.-Я. для тела, движущегося по
гладкой наклонной плоскости, составляющей угол ( с горизонтом.
   №12.1 a) [4] Найти траекторию и закон движения частицы в поле [pic]



   Литература:

      1.  Л.Д.  Ландау,  Е.М.  Лифшиц  «Механика,  электродинамика»,  -  М.:
         «Наука», 1969 г., - 272 с.
      2. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц «Механика», - М.: «Наука», 1965 г., -  204
         с.
      3.  И.И.  Ольховский,  Ю.Г.  Павленко,  Л.С.  Кузьменков  «Задачи   по
         теоретической механике для физиков», - М.: 1977 г., - 389 с.
      4. Г.Л. Коткин, В.Г. Сербо «Сборник задач по теоретической  механике»,
         - М.: «Наука», 1977 г., - 320 с.
      5. И.В. Мещерский «Сборник задач по  теоретической  механике»,  -  М.:
         «Наука», 1986 г., - 448 с.
      6. Л.П. Гречко, В.И. Сугаков, О.Ф. Томасевич, А.М. Федоренко  «Сборник
         задач по теоретической физике», - М.: «Высшая школа» 1984 г., - 319
         с.



   Студент-практикант: Филатов А.С.

-----------------------



Х


m2

m1




смотреть на рефераты похожие на "Теоретическая физика: механика"