Физика

Динамика твердого тела


Министерство образования и науки

Республики Казахстан
                 Карагандинский Государственный Университет

                             имени Е.А.Букетова



                    Кафедра общей и теоретический физики



                               Курсовая работа
на тему:


                           Динамика твердого тела



                                       Подготовил:
                                       ________________
                                       ________________
                                       Проверил:
                                       ________________
                                       ________________



                             Караганды – 2003г.
                                  Введение
  o I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
      . Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось
        вращения неподвижна)
      . Свободные оси. Устойчивость свободного вращения
      . Центр удара
  o II. Плоское движение твердого тела
      . Кинетическая энергия при плоском движении
Заключение
                                  Введение
    В общем случае абсолютно твердое тело имеет 6 степеней свободы,  и  для
описания его движения необходимы 6 независимых  скалярных  уравнений  или  2
независимых векторных уравнения.
    Вспомним, что твердое тело можно рассматривать как систему материальных
точек, и, следовательно, к нему применимы  те  уравнения  динамики,  которые
справедливы для системы точек в целом.
    Обратимся к опытам.
    Возьмем резиновую палку, утяжеленную  на  одном  из  концов  и  имеющую
лампочку точно в центре масс (рис. 3.1). Зажжем лампочку и бросим  палку  из
одного  конца  аудитории  в  другой,  сообщив  ей  произвольное  вращение  -
траекторией лампочки будет при этом парабола - кривая, по  которой  полетело
бы небольшое тело, брошенное под углом к горизонту.
|[pic]                                                                   |
|Рис. 3.1.                                                               |


    Стержень,  опирающийся  одним  из  концов  на  гладкую   горизонтальную
плоскость (рис.1.16), падает таким образом, что его центр масс  остается  на
одной и той же вертикали - нет сил, которые сдвинули бы центр  масс  стержня
в горизонтальном направлении.
    Опыт, который был представлен на рис. 2.2 а, в, свидетельствует о  том,
что для изменения момента импульса тела существенна не  просто  сила,  а  ее
момент относительно оси вращения.
    Тело,  подвешенное  в  точке,  не  совпадающей  с  его   центром   масс
(физический маятник), начинает колебаться (рис. 3.2а)  -  есть  момент  силы
тяжести относительно  точки  подвеса,  возвращающий  отклоненный  маятник  в
положение  равновесия.  Но  тот  же  маятник,  подвешенный  в  центре  масс,
находится в положении безразличного равновесия (рис. 3.2б).
|[pic]                                                                   |
|Рис. 3.2.                                                               |


    Роль момента  силы  наглядно  проявляется  в  опытах  с  "послушной"  и
"непослушной" катушками (рис. 3.3).  Плоское  движение  этих  катушек  можно
представить как чистое вращение  вокруг  мгновенной  оси,  проходящее  через
точку соприкосновения катушки с плоскостью.  В  зависимости  от  направления
момента силы F относительно мгновенной оси катушка либо  откатывается  (рис.
3.За), либо накатывается на нитку (рис. 3.Зб). Держа нить достаточно  близко
к   горизонтальной   плоскости,   можно   принудить   к   послушанию   самую
"непослушную" катушку.
|[pic]                                                                   |
|Рис. 3.3.                                                               |


    Все эти  опыты  вполне  согласуются  с  известными  законами  динамики,
сформулированными для системы материальных точек:  законом  движения  центра
масс и законом изменения момента  импульса  системы  под  действием  момента
внешних сил. Таким образом, в качестве  двух  векторных  уравнений  движения
твердого тела можно использовать:
    Уравнение движения центра масс
|[pic]                                           |(3.1)                  |

    Здесь [pic]- скорость центра масс тела, [pic]- сумма всех внешних  сил,
приложенных к телу.
    Уравнение моментов
|[pic]                                        |(3.2)                     |

    Здесь L- момент импульса твердого тела  относительно  некоторой  точки,
[pic]- суммарный момент внешних сил относительно той же самой точки.
    К уравнениям (3.1) и (3.2), являющимся  уравнениями  динамики  твердого
тела, необходимо дать следующие комментарии:
    1. Внутренние силы, как и в случае  произвольной  системы  материальных
точек, не- влияют на  движение  центра  масс  и  не  могут  изменить  момент
импульса тела.
    2. Точку приложения внешней силы  можно  произвольно  перемещать  вдоль
линии, по которой  действует  сила.  Это  следует  из  того,  что  в  модели
абсолютно  твердого  тела  локальные  деформации,  возникающие   в   области
приложения силы, в расчет не принимаются. Указанный перенос  не  повлияет  и
на момент силы относительно какой бы то ни было точки, так  как  плечо  силы
при этом не изменится.
    Векторы  L  и  M  в  уравнении  (3.2),  как  правило,   рассматриваются
относительно некоторой неподвижной в  лабораторной  системе  XYZ  точки.  Во
многих задачах L и M удобно рассматривать  относительно  движущегося  центра
масс  тела.  В  этом  случае  уравнение  моментов   имеет   вид,   формально
совпадающий с (3.2). В самом деле, момент  импульса  тела  [pic]относительно
движущегося центра .масс О  связан  с  моментом  импульса  [pic]относительно
неподвижной - точки O' соотношением:
|[pic]                                              |(3.3)               |

    где R - радиус-вектор от O' к О, p - полный импульс  тела.  Аналогичное
соотношение легко может быть получено и для моментов силы:
|[pic]                                               |(3.4)              |

    где F - геометрическая сумма всех сил, действующих на твердое тело.
    Поскольку точка O' неподвижна, то справедливо уравнение моментов (3.2):
|[pic]                                         |(3.5)                    |

    Тогда
|[pic]                                                          |(3.6)  |

    Величина  [pic]есть  скорость  точки  О  в  лабораторной  системе  XYZ.
Учитывая (3.4), получим
|[pic]                                               |(3.7)              |

    Поскольку движущаяся точка O - это центр масс тела,  то  [pic]([pic]  -
масса  тела),  [pic]и   [pic]то   есть   уравнение   моментов   относительно
движущегося центра масс имеет такой же вид, что и  относительно  неподвижной
точки.  Скорости  всех  точек  тела  при  определении   [pic]следует   брать
относительно центра масс тела.
    Ранее было показано, что  произвольное  движение  твердого  тела  можно
разложить на  поступательное  (вместе  с  системой  x0y0z0,  начало  которой
находится  в  некоторой  точке  -  полюсе,  жестко  связанной  с  телом)   и
вращательное (вокруг  мгновенной  оси,  проходящей  через  полюс).  С  точки
зрения кинематики выбор полюса особого значения не имеет, с точки же  зрения
динамики полюс, как теперь понятно, удобно поместить в центр масс. Именно  в
этом случае  уравнение  моментов  (3.2)  может  быть  записано  относительно
центра  масс  (или  оси,  проходящей  через  центр  масс)  как  относительно
неподвижного начала (или неподвижное оси).
    Если [pic]не зависит от угловой скорости тела,  а  [pic]-  от  скорости
центра масс, то уравнения (3.1) и (3.2) можно рассматривать независимо  друг
от друга. В этом случае  уравнение  (3.1)  соответствует  просто  задаче  из
механики точки, а уравнение (3.2) - задаче о вращении твердого  тела  вокруг
неподвижной точки или неподвижной  оси.  Пример  ситуации,  когда  уравнения
(3.1) и  (3.2)  нельзя  рассматривать  независимо  -  движение  вращающегося
твердого тела в вязкой среде.
    Далее в этой лекции мы рассмотрим уравнения динамики для  трех  частных
случаев движения твердого тела: вращения вокруг  неподвижной  оси,  плоского
движения и, наконец,  движения  твердого  тела,  имеющего  ось  симметрии  и
закрепленного в центре масс.



              I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

    В этом случае движение твердого тела определяется уравнением
|[pic]                                                                   |

    Здесь [pic]- это момент импульса относительно  оси  вращения,  то  есть
проекция на  ось  момента  импульса,  определенного  относительно  некоторой
точки, принадлежащей оси. [pic]- это момент  внешних  сил  относительно  оси
вращения, то есть проекция  на  ось  результирующего  момента  внешних  сил,
определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси, причем  выбор
этой точки на оси, как и в случае с [pic]значения  не  имеет.  Действительно
(рис. 3.4), [pic]где [pic]- составляющая силы, приложенной к твердому  телу,
перпендикулярная оси вращения, [pic]- плечо силы [pic]относительно оси.
|[pic]                                                                   |
|Рис. 3.4.                                                               |


    Поскольку [pic]([pic] - момент инерции тела относительно оси вращения),
то вместо [pic]можно записать
|[pic]                                          |(3.8)                   |

    или
|[pic]                                        |(3.9)                     |

    поскольку в случае твердого тела [pic]
    Уравнение  (3.9)  и  есть  основное  уравнение  динамики  вращательного
движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Его  векторная.  форма  имеет
вид:
|[pic]                                      |(3.10)                      |

    Вектор  [pic]всегда  направлен  вдоль  оси  вращения,  а   [pic]-   это
составляющая вектора момента силы вдоль оси.
    В  случае   [pic]получаем   [pic]соответственно   и   момент   импульса
относительно оси [pic]сохраняется.  При  этом  сам  вектор  L,  определенный
относительно какой-либо  точки  на  оси  вращения,  может  меняться.  Пример
такого движения показан на рис. 3.5.
|[pic]                                                                   |
|Рис. 3.5.                                                               |


    Стержень АВ, шарнирно закрепленный в  точке  А,  вращается  по  инерции
вокруг вертикальной оси таким образом, что угол [pic]между осью  и  стержнем
остается  постоянным.  Вектор  момента  импульса  L,  относительно  точки  А
движется  по  конический  поверхности  с  углом   полураствора   [pic]однако
проекция L на вертикальную ось остается постоянной,  поскольку  момент  силы
тяжести относительно этой оси равен нулю.
    Кинетическая энергия  вращающегося  тела  и  работа  внешних  сил  (ось
вращения неподвижна).
    Скорость i -й частицы тела
|[pic]                                   |(3.11)                         |

    где [pic]- расстояние частицы до оси вращение Кинетическая энергия
|[pic]                                                     |(3.12)       |

    так как угловая скорость вращения для всех точек одинакова.
    В  соответствии  с  законом  изменения  механической  энергии   системы
элементарная работа всех внешних сил равна приращению  кинетической  энергии
тела:
|[pic]                                                       |(3.13)     |

    Работа внешних сил при повороте тела на конечный угол [pic]равна
|[pic]                                          |(3.14)                  |

    опустим, что диск точила  вращается  по  инерции  с  угловое  скоростью
[pic]и мы останавливаем его, прижимая какой-либо  предмет  к  краю  диска  с
постоянным усилием.  При  этом  на  диск  будет  действовать  постоянная  по
величине сила [pic]направленная перпендикулярно его оси. Работа этой силы
|[pic]                                                                   |

    где [pic]- радиус диска, [pic]-  угол  его  поворота.  Число  оборотов,
которое сделает диск до полной остановки,
|[pic]                                                                   |

    где [pic]- момент инерции диска точила вместе с якорем электромотора.
    Замечание. Если силы таковы, что [pic]то работу они не производят.
    Свободные оси. Устойчивость свободного вращения.
    При вращении  тела  вокруг  неподвижной  оси  эта  ось  удерживается  в
неизменном положении подшипниками. При  вращении  несбалансированных  частей
механизмов  оси  (валы)  испытывают  определенную   динамическую   нагрузку,
Возникают вибрации, тряска, и механизмы могут разрушиться.
    Если твердое тело раскрутить вокруг произвольной оси, жестко  связанной
с  телом,  и  высвободить  ось  из  подшипников,   то   ее   направление   в
пространстве, вообще говоря, будет меняться. Для  того,  чтобы  произвольная
ось вращения тела сохраняла свое направление неизменным,  к  ней  необходимо
приложить определенные силы. Возникающие при этом ситуации показаны на  рис.
3.6.
|[pic]                                                                   |
|Рис. 3.6.                                                               |


    В качестве вращающегося тела  здесь  использован  массивный  однородный
стержень АВ, прикрепленный к достаточно эластичной оси (изображена  двойными
штриховыми   линиями).   Эластичность    оси    позволяет    визуализировать
испытываемые  ею  динамические  нагрузки.  Во  всех  случаях  ось   вращения
вертикальна, жестко связана со стержнем и укреплена в подшипниках;  стержень
раскручен вокруг этой оси и предоставлен сам себе.
    В случае, изображенном на рис. 3.6а, ось вращения является для точки  В
стержня главной, но не центральной, [pic]Ось изгибается, со стороны  оси  на
стержень действует сила [pic]обеспечивающая его вращение (в НИСО,  связанной
со стержнем, эта сила уравновешивает центробежную силу инерции). Со  стороны
стержня на ось действует сила  [pic]уравновешенная  силами  [pic]со  стороны
подшипников.
    В случае рис. 3.6б ось вращения проходит через  центр  масс  стержня  и
является для него центральной, но не главной. Момент  импульса  относительно
центра масс  О  не  сохраняется  и  описывает  коническую  поверхность.  Ось
сложным образом деформируется (изламывается), со  стороны  оси  на  стержень
действуют силы [pic]и [pic]момент которых  обеспечивает  приращение  [pic](В
НИСО,  связанной  со  стержнем,  момент  упругих  сил  компенсирует   момент
центробежных сил инерции, действующих на одну и  другую  половины  стержня).
Со  стороны  стержня  на  ось  действуют   силы   [pic]и   [pic]направленные
противоположно  силам  [pic]и  [pic]Момент   сил   [pic]и   [pic]уравновешен
моментом сил [pic]и [pic]возникающих в подшипниках.
    И  только  в  том  случае,  когда  ось  вращения  совпадает  с  главной
центральной осью инерции тела  (рис.3.6в),  раскрученный  и  предоставленный
сам себе стержень не оказывает на  подшипники  никакого  воздействия.  Такие
оси называют свободными осями,  потому  что,  если  убрать  подшипники,  они
будут сохранять свое направление в пространстве неизменным.
    Иное дело, будет ли  это  вращение  устойчивым  по  отношению  к  малым
возмущениям, всегда имеющим место в  реальных  условиях.  Опыты  показывают,
что вращение вокруг главных  центральных  осей  с  наибольшим  и  наименьшим
моментами  инерции  является   устойчивым,   а   вращение   вокруг   оси   с
промежуточным  значением  момента  инерции  -  неустойчивым.  В  этом  можно
убедиться, подбрасывая  вверх  тело  в  виде  параллелепипеда,  раскрученное
вокруг одной из  трех  взаимно  перпендикулярных  главных  центральных  осей
(рис. 3.7). Ось AA' соответствует наибольшему, ось BB'  -  среднему,  а  ось
CC' - наименьшему моменту инерции  параллелепипеда.  Если  подбросить  такое
тело, сообщив ему быстрое вращение вокруг оси AA' или вокруг оси CC',  можно
убедиться в том,  что  это  вращение  является  вполне  устойчивым.  Попытки
заставить тело вращаться  вокруг  оси  BB'  к  успеху  не  приводят  -  тело
движется сложным образом, кувыркаясь в полете.
|[pic]                                                                   |
|Рис. 3.7.                                                               |


    В телах вращения устойчивой оказывается свободная ось,  соответствующая
наибольшему моменту инерции. Так, если сплошной однородный диск подвесить  к
быстровращающемуся валу электромотора (рис. 3.8, ось вращения  вертикальна),
то диск довольно быстро займет горизонтальное положение, устойчиво  вращаясь
вокруг центральной оси, перпендикулярной к плоскости диска.
|[pic]                                                                   |
|Рис. 3.8.                                                               |


    Центр удара.

    Опыт  показывает,  что  если  тело,  закрепленное  на   оси   вращения,
испытывает удар, то действие удара в общем случае передается и на  ось.  При
этом величина и направление силы, приложенной к  оси,  зависят  от  того,  в
какую точку тела нанесен удар.
    Рассмотрим сплошной однородный стержень АВ, подвешенный в  точке  А  на
горизонтальной, закрепленной в подшипниках оси OO'  (рис.  3.9).  Если  удар
(короткодействующая  сила  F  (  нанесен  близко  к  оси  вращения,  то  ось
прогибается в направлении действия силы F (рис. 3.9а). Если удар нанесен  по
нижнему концу стержня, вблизи точки В, то ось прогибается в  противоположном
направлении (рис. 3.9б). Наконец, если удар нанесен  в  строго  определенную
точку стержня, называемую центром удара (рис. 3.9в,  точка  С),  то  ось  не
испытывает никаких дополнительных нагрузок, связанных с ударом. Очевидно,  в
этом случае  скорость  поступательного  движения,  приобретаемого  точной  А
вместе  с  центром  масс  O,  будет  компенсироваться   линейной   скоростью
вращательного движения вокруг центра масс О (оба эти  движения  инициируются
силой F и происходят одновременно).
|[pic]                                                                   |
|Рис. 3.9.                                                               |


    Вычислим, на каком расстоянии [pic]от точки подвеса  стержня  находится
центр удара. Уравнение моментов относительно оси вращения OO' дает
|[pic]                                         |(3.15)                   |

    Сил реакции со стороны оси, как предполагается, при ударе не возникает,
поэтому на основании теоремы о движении центра масс можно записать
|[pic]                                        |(3.16)                    |

    где [pic]-  масса  тела,  [pic]-  скорость  центра  масс.  Если  [pic]-
расстояние от оси до центра масс тела, то
|[pic]                                   |(3.17)                         |

    и в результате из уравнения моментов и уравнения движения  центра  масс
находим
|[pic]                                  |(3.18)                         |

    При этом точка C (центр  удара)  совпадает  с  так  называемым  центром
качания данного физического маятника - точкой, где  надо  сосредоточить  всю
массу твердого тела, чтобы полученный математический маятник имел  такой  же
период колебаний, как и данный физический.
    В случае сплошного однородного стержня длиной [pic]имеем:
|[pic]                                                                   |

    Замечание. Полученное  выражение  для  [pic](3.18)  справедливо  и  для
произвольного твердого тела. При этом надо только иметь в  виду,  что  точка
подвеса тела А и центр масс О  должны  лежать  на  одной  вертикали,  а  ось
вращения должна совпадать с одной из главных осей инерции  тела,  проходящих
через точку А.
    Пример 1.  При  ударах  палкой  длиной  [pic]по  препятствию  рука  "не
чувствует" удара (не испытывает отдачи) в том случае, если  удар  приходится
в точку, расположенную на расстоянии [pic]свободного конца палки.
    Пример 2. При горизонтальном ударе кием по бильярдному шару (рис. 3.10)
шар начинает качение без проскальзывания в том случае, еcли удар  нанесен  в
точку, находящуюся на высоте
|[pic]                                                                   |

    от поверхности бильярда, то есть на [pic]выше центра  шара.  Если  удар
будет нанесен ниже, качение будет сопровождаться скольжением  в  направлении
движении шара. Если удар нанесен выше, то шар в точке касания  с  бильярдным
столом будет проскальзывать назад.
|[pic]                                                                   |
|Рис. 3.10.                                                              |


    Рассмотренные примеры формально не относятся к вращению  твердого  тела
вокруг неподвижной оси, однако все приведенные  выше  соображения  о  центре
удара, очевидно, остаются в силе и в этих случаях.


                     II. Плоское движение твердого тела.
    Напомним,  что  при  плоском  движении  все  точки  тела   движутся   в
плоскостях,   параллельных   некоторой   неподвижной   плоскости,    поэтому
достаточно рассмотреть движение одного из сечения тела,  например,  того,  в
котором  лежит   центр   масс.   При   разложении   плоского   движения   на
поступательное и вращательное скорость поступательного  движения  определена
неоднозначно - она зависит от выбора оси вращения, однако  угловая  скорость
вращательного движения оказывается одной и той же.
    Если в качестве оси вращения выбрать ось, проходящую через центр  масс,
то уравнениями движения твердого тела будут:
    1. Уравнение движения центра масс
|[pic]                                       |(3.19)                     |

    2. Уравнение моментов относительно оси, проходящей через центр масс
|[pic]                                       |(3.20)                     |

    Особенностью плоского движения является то, что ось вращения  сохраняет
свою ориентацию в пространстве  и  остается  перпендикулярной  плоскости,  в
которой движется центр масс. Еще  раз  подчеркнем,  что  уравнение  моментов
(3.20) записано относительно, в общем случае, ускоренно  движущегося  центра
масс, однако, как было отмечено в начале лекции, оно  имеет  такой  же  вид,
как и уравнение моментов относительно неподвижной точки.
    В качестве примера рассмотрим задачу о скатывании цилиндра с  наклонное
плоскости.  Приведем  два  способа  решения  этой  задачи  с  использованием
уравнений динамики твердого тела.
    Первый способ.  Рассматривается  вращение  цилиндра  относительно  оси,
проходящее через центр масс (рис. 3.11).
|[pic]                                                                   |
|Рис. 3.11.                                                              |


    Система уравнений (3.19 - 3.20) имеет вид:
|[pic]                                                                   |

    К этой системе необходимо добавить уравнение кинематической связи
|[pic]                                          |(3.23)                  |

    Последнее уравнение получается из условия, что цилиндр скатывается  без
проскальзывания, то есть скорость точки М цилиндра равна нулю.
    Уравнение движения центра масс (3.1) запишем для проекций  ускорения  и
сил на ось x вдоль наклонной плоскости, а уравнение моментов  (3.22)  -  для
проекций углового ускорения и момента силы трения на ось y ,  совпадающую  с
осью цилиндра. Направления осей x и у выбраны согласованно,  в  том  смысле,
что  положительному   линейному   ускорению   оси   цилиндра   соответствует
положительное же  угловое  ускорение  вращения  вокруг  этой  оси.  В  итоге
получим:
|[pic]                                                                   |

    откуда
|[pic]                                         |(3.27)                   |

    Следует подчеркнуть, что [pic]- сила трения сцепления - может принимать
любое  значение  в  интервале  от  О  до  [pic](сила  трения  скольжения)  в
зависимости  от  параметров  задачи.  Работу  эта  сила  не  совершает,   но
обеспечивает ускоренное вращение цилиндра при  его  скатывании  с  наклонной
плоскости. В данном случае
|[pic]                                              |(3.28)              |

    Если цилиндр сплошной, то
|[pic]                                                      |(3.29)     |

    Качение без проскальзывания определяется условием
|[pic]                                     |(3.30)                       |

    где [pic]- коэффициент трения скольжения, [pic]-  сила  реакции  опоры.
Это условие сводится к следующему:
|[pic]                                               |(3.31)             |

    или
|[pic]                                    |(3.32)                        |

    Второй   способ.   Рассматривается   вращение   цилиндра   относительно
неподвижной оси, совпадающей в  данный  момент  времени  с  мгновенной  осью
вращения (рис. 3.12).
|[pic]                                                                   |
|Рис. 3.12.                                                              |


    Мгновенная ось вращения проходит через точку соприкосновения цилиндра и
плоскости (точку М). При таком подходе отпадает  необходимость  в  уравнении
движении центра масс и уравнении кинематической  связи.  Уравнение  моментов
относительно мгновенной оси имеет вид:
|[pic]                                             |(3.33)               |

    Здесь
|[pic]                                         |(3.34)                  |

    В проекции на ось вращения (ось y)
|[pic]                                                      |(3.35)      |

    Ускорение центра масс выражается через угловое ускорение
|[pic]                                              |(3.36)             |


    Кинетическая энергия при плоском движении.

    Кинетическая   энергия   твердого   тела   представляет   собой   сумму
кинетических энергий отдельных частиц:
|[pic]                                                    |(3.37)        |

    где [pic]- скорость центра  масс  тела,  [pic]-  скорость  i-й  частицы
относительно системы координат,  связанной  с  центром  масс  и  совершающей
поступательное движение вместе с ним. Возводя  сумму  скоростей  в  квадрат,
получим:
|[pic]                                                        |(3.38)    |

    так как [pic](суммарный импульс частиц  в  системе  центра  масс  равен
нулю).
    Таким образом, кинетическая энергия при плоском  движении  равна  сумме
кинетических  энергий  поступательного  и  вращательного  движений  (теорема
Кенига). Если рассматривать плоское движение как вращение вокруг  мгновенной
оси, то кинетическая энергия тела есть энергия вращательного движения.
    В этой связи задачу о скатывании цилиндра с наклонной  плоскости  можно
решить, используя закон сохранения механической энергии (напомним, что  сила
трения при качении без проскальзывания работу не совершает).
    Приращение кинетической энергии цилиндра равно убыли его  потенциальное
энергии:
|[pic]                                                |(3.39)            |

    Здесь [pic]- длина наклонной плоскости, [pic]- момент инерции  цилиндра
относительно мгновенной оси вращения.
    Поскольку скорость оси цилиндра [pic]то
|[pic]                                             |(3.40)               |

    Дифференцируя обе части этого уравнения по времени, получим
|[pic]                                                 |(3.41)          |

    откуда для линейного ускорения [pic]оси  цилиндра  будем  иметь  то  же
выражение, что и при чисто динамическом способе решения (см. (3.27, 3.36)).
    Замечание. Если цилиндр катится с проскальзыванием,  то  изменение  его
кинетической  энергии  будет  определяться  также  и  работой  сил   трения.
Последняя,  в  отличие  от  случая,  когда  тело  скользит  по   шероховатой
поверхности, не вращаясь, определяется,  в  соответствии  с  (3.14),  полным
углом поворота цилиндра, а не  расстоянием,  на  которое  переместилась  его
ось.
                                 Заключение


    Динамика твердого тела на данном этапе используется для тел, движущихся
в сплошной среде.

    В задаче о полете тела  с  тремя  несущими  поверхностями  при  наличии
динамической  асимметрии  определены  условия,   при   которых   проявляются
синхронизмы  1:3.  С  увеличением  угловой  скорости  вращения  тела   около
продольной оси даже на  поверхности  рассеивания  заметно  ослабление  этого
эффекта.
    Разработана программа имитационного моделирования  комплекса  задач  по
динамике полета  противоградовых  ракет.  С  ее  помощью  построены  таблицы
введения  поправок  на  установочные  углы  запуска  ракет   для   наилучшей
компенсации вредного влияния ветра.
    Создана  механико-математическая  модель  полета   бумеранга.   Открыта
лаборатория навигации и управления.
    Разработан  и  внедрен   на   аэродинамической   трубе   А-8   комплекс
механического оборудования  и  сопутствующей  измерительной  аппаратуры  для
проведения   динамических   испытаний   моделей.   Определены   коэффициенты
демпфирования поперечных колебаний осесимметричных оперенных тел  различного
удлинения при  раскрутке  вокруг  собственной  оси  в  до-  и  сверхзвуковом
потоках.
    На   основе   численного   решения   задачи   о    плоских    движениях
аэродинамического маятника (с  несущей  поверхностью  в  виде  прямоугольной
пластины)  в  несжимаемой  жидкости  с  учетом  динамики  вихрей  определены
области  существования  всех  типов  движения   маятника,   включая   режимы
автоколебаний   и    авторотации.    Открыта    лаборатория    сверхзвуковой
аэродинамики.
    Также  в  институте   компьютерных   исследований   проводят   значимые
исследования по динамике твердого тела.
    Это направление исследований  института  связано  с  анализом  движения
твердого тела с широким применением компьютерных методов.
    Компьютерные  исследования  в  динамике  твердого  тела   относятся   к
отдельной области  науки  -  компьютерной  динамике,  которая  устанавливает
общие закономерности движения систем при помощи различных численных  методов
и алгоритмов.
    В сочетании с аналитическими методами, достижениями топологии, анализа,
теории устойчивости и  других  методов  компьютерная  динамика  применяется,
главным  образом,  в  исследовании   интегрируемых   задач,   в   частности,
динамических  проблем  теории  волчков.  Такой  подход  позволяет   получить
достаточно  полное  представление  о  движении,  разобраться  во  всем   его
многообразии и наглядно представить себе каждое конкретное  движение  и  его
особенности.
    Помимо анализа интегрируемых ситуаций в институте  начато  исследование
случаев хаотического поведения в динамике твердого тела.  Эти  исследования,
которые  ранее  почти  не  проводились,  основаны  на   широком   применении
высокоточного компьютерного  моделирования.  Ожидается,  что  изучение  этой
области динамики твердого тела позволит получить в перспективе  много  новых
интересных результатов.
    Кроме  того,  в  институте  проводятся  исследования  с  использованием
методов пуассоновой динамики  и  геометрии,  теории  групп  и  алгебр  Ли  -
методов, которые во многом возникли из задач динамики твердого тела.



смотреть на рефераты похожие на "Динамика твердого тела"