Физика

Эффективные характеристики случайно неоднородных сред


           Введение


Решающую роль в восприятии окружающего мира играют характеристики,
сохраняющиеся (в замкнутых системах). Среди них имеются такие
универсальные, как масса, количество движения, момент количества движения,
энергия и энтропия.
В учении о теплообмене рассматриваются процессы распространения теплоты в
твердых, жидких и газообразных телах. Эти процессы по своей физико-
механической природе весьма многообразны, отличаются большой сложностью и
обычно развиваются в виде целого комплекса разнородных явлений.
Перенос теплоты может осуществляться тремя способами: теплопроводностью,
конвекцией и излучением, или радиацией. Эти формы глубоко различны по своей
природе и характеризуются различными законами.
Процесс переноса теплоты теплопроводностью происходит между непосредственно
соприкасающимися телами или частицами тел с различной температурой. Учение
о теплопроводности однородных и изотропных тел опирается на весьма прочный
теоретический фундамент. Оно основано на простых количественных законах и
располагает хорошо разработанным математическим аппаратом. Теплопроводность
представляет собой, согласно взглядам современной физики, молекулярный
процесс передачи теплоты.
    При определении переноса теплоты  теплопроводностью  в  реальных  телах
встречаются  известные  трудности,  которые   на   практике   до   сих   пор
удовлетворительно не решены. Эти  трудности  состоят  в  том,  что  тепловые
процессы развиваются в  неоднородной  среде,  свойства  которой  зависят  от
температуры и изменяются  по  объему;  кроме  того,  трудности  возникают  с
увеличением сложности конфигурации системы.
    Уравнение теплопроводности имеет вид:
[pic]                  [pic]                                         (1)
выражает  тот  факт,  что  изменения  теплосодержания   определенной   массы
вещества,  заключенного  в  единице  объема,  определяется  различием  между
притоком и вытеканием энергии  -  дивергенцией  плотности  теплового  потока
[pic], при условии что внутренних источников  энергии  нет.  Тепловой  поток
пропорционален градиенту температуры  и  направлен  в  сторону  ее  падения;
[pic]- коэффициент теплопроводности.
    При разработке методов  иследования  композиционных  материалов  весьма
трудно и, по-видимому, не имеет смысла  (в  тех  случаях,  когда  это  можно
практически реализовать) полностью учитывать структуру копмозита. В связи  с
этим  возникла  необходимость  связать  механику  композитных  материалов  с
механизмами  элементов   конструкций,   развивающимися   обычно   в   рамках
континуальных процессах. Эта задача  решается  в  процессе  создания  теории
определения приведенных свойств композитных  материалов  различных  структур
(слоистые,  волокнистые  и  др.),  при  описании  их  поведения   в   рамках
континуальных представлений. Таким образом совершается переход  от  кусочно-
однородной среды к однофазной.
    Рассмотрим  двухфазный  композитный  материал,   представляющий   собой
матрицу, в которой случайным  образом  распределены  включения  второй  фазы
(армирующий элемент), имеющий приблизительно  равноосную  форму.  Количество
включений достаточно велико на участке изменения  температуры.  Пусть  некая
характеристика  матрицы  -  [pic],  а  включений  -   [pic].   Тогда   можно
представить композит, как новый материал, с характеристиками  промежуточными
между характеристиками матрицы и включений, зависящей от объемной доли  этих
фаз.

[pic],
                          (2)
Где [pic]       [pic]           [pic]
Подстановка (2) в (1) дает:
[pic]                          (3)

Имеем операторы:
[pic]
                                       (4а)
[pic]
      (4б)
После преобразования Фурье получаем

 [pic]
[pic]

Уравнение для функции Грина   [pic]       и [pic]
где   [pic]
    (5)

[pic] - ур. Дайсона.                                          (6)
[pic]

Функция   Грина   [pic]описывает    однородный    материал    со    средними
характеристиками определяемые по  правилу  смесей   (2),  а  оператор  [pic]
можно  назвать  оператором  возмущения,  поскольку  он  определяет  форму  и
расположение неоднородностей.

Решим уравнение итерациями
[pic]

Вычислим сначала [pic]

[pic]
Здесь [pic]         [pic]         [pic]        [pic]

[pic]

[pic]
[pic]           [pic]      [pic]      [pic]          (7)

Теперь определим
[pic]
[pic]       [pic]            [pic]      [pic]      [pic]


Теперь необходимо вычислить
[pic]
[pic]

[pic]
Таким образом
[pic]
                             (8)

Подставляем в (6) равенство (8)
[pic]
[pic],    где       [pic] и  [pic]
                                (9)

Подставляем (5) в (9)
[pic]

[pic]
[pic]

[pic]

где  [pic]   и   [pic]

[pic]
                             (10)
[pic]       (11)
где   [pic]     ,   [pic]
                (12)


[pic]
[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic]


[pic]             (13)



1.  Ограничимся первым приближением

`[pic][pic]     [pic]
[pic]                              [pic]                               [pic]
                                                                      (14)

[pic]
[pic]


Рассмотрим:

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]                        (15)
2.  Ограничимся вторым приближением

[pic]                                                                  [pic]
   (16)
[pic]
[pic]                                                                  [pic]
                                                         (17)

Из (12) найдем:
[pic]                 (18)
Подставляя (18) с учетом (16) в (10), получим:
[pic]                                                (19)
Теперь подставляем (19) с учетом (16) в (13), получим:
[pic][pic]
[pic]
Коэффициентами при [pic], [pic] из-за малости произведения пренебрегаем
А коэффициенты без [pic]обращаются в [pic] из-за (14)
[pic]        подставляя (17), найдем
[pic]                                                         (20)

Подставляя (18) в (11) с учетом (16), получим:
[pic]          (21)

Теперь подставляем (21) с учетом (16) в (13), получим:
[pic]
[pic]
Коэффициентами при [pic], [pic] из-за малости произведения пренебрегаем
А коэффициенты без [pic]обращаются в [pic] из-за (15)

[pic]
[pic]                                                   (22)



3.  Ограничимся третьим приближением

[pic]          [pic]                                    (23)

Подставляя (18) с учетом (23) в (10), получим:

[pic]          (24)



Теперь подставляем (24) с учетом (23) в (13), получим
[pic]
[pic]
[pic]
Коэффициентами  при  [pic]  ,[pic],   [pic]   из-за   малости   произведения
пренебрегаем
А коэффициенты без [pic]обращаются в  [pic]  из-за  (14),  а  с[pic]-  из-за
(18)

[pic]

[pic]                                              (25)



Подставляя (18) в (11) с учетом (23), получим:
[pic]                                        (26)



Теперь подставляем (26) с учетом (23) в (13), получим:
[pic]
[pic]
Коэффициентами  при  [pic]  ,[pic],   [pic]   из-за   малости   произведения
пренебрегаем
А коэффициенты без [pic]обращаются в [pic] из-за (15), а с[pic]- из-за (22)

[pic]

[pic]                        (27)


Анализ [pic] и  [pic] показывает, что  [pic] и  [pic] дейсвительные
коэффициенты, а  [pic]- мнимые.



                             Список литературы:


1. Т. Д. Шермергор “Теория упругости микронеоднородных сред” М., “Наука”,
1977.
2. Г.А. Шаталов “Эффективные характеристики изотропных композитов как
задача многих тел”
    МКМ, №1, 1985.





смотреть на рефераты похожие на "Эффективные характеристики случайно неоднородных сред "