Физика

Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения

                           В.Кинетические Свойства

                         § 6. КИНЕТИчЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

    Носители заряда в металле или полупроводнике могут подвергаться действию
внешних полей и градиентов температуры. Они также испытывают  рассеяние  на
примесях, колебаниях решетки и т. д. Эти эффекты должны быть сбалансированы
— нас интересуют такие ситуации, в которых электрон  ускоряется  полем,  но
при рассеянии  теряет  избыточные  энергию  и  импульс.  В  этой  главе  мы
рассмотрим  «обычные»  кинетические  свойства,  наблюдаемые  при  наложении
постоянных полей.
    Общий метод решения этой задачи основан на кинетическом  уравнении,  или
уравнении  Болъцмана.  Мы   рассматриваем   функцию   fk(r)   —   локальную
концентрацию носителей заряда в состоянии k в окрестности точки  r.  Строго
говоря, эту величину можно определить  только  в  терминах   мелкозернистых
распределений, средних по  ансамблю,  матриц  плотности  и  т.  д.  Имеется
обширная литература по этому вопросу, но она относится скорее к формальному
аппарату квантовой статистической механики, чем к теории твердого тела.
    Посмотрим теперь, какими способами функция fk(r)   может  изменяться  во
времени. Возможны процессы трех типов:
    1. Носители заряда приходят в область  пространства  вблизи  точки  r  и
уходят из нее. Пусть vk — скорость носителя в состоянии k. Тогда в  течение
интервала времени t носители заряда в  этом  состоянии  пройдут  путь  tvk.
Следовательно, на основании теоремы  Лиувилля  об  инвариантности  фазового
объема системы число носителей в окрестности точки r  в  момент  времени  t
равно числу их в окрестности точки r – tvk в момент времени 0:

                                                fk(r, t)   = fk(r – tvk, 0).
                                                                        (35)

Это   означает,   что   скорость   изменения   функции  распределения  из-за
диффузии есть

                                       (fk/(t]diff = – vk((fk/(r = – vk((fk.
                                                                        (36)

    2. Внешние поля вызывают изменение волнового вектора k каждого носителя,
согласно равенству

                                                                       [pic]
                                                                        (37)

    Величину [pic] можно рассматривать как «скорость» носителя заряда  в  k-
пространстве, так что по аналогии с равенством  (35)  имеем
                                                                       [pic]
                                                                        (38)

    следовательно,   под действием полей функция распределения  меняется  со
скоростью

                         [pic]                                          (39)

    (мы использовали здесь обозначение (fk/(k для градиента в k-пространстве
— оператора   (k).
    3. Влияние процессов рассеяния оказывается более сложным. Мы ограничимся
здесь в основном упругим  рассеянием.  При  этом  функция  fk  меняется  со
скоростью

                 (fk/(t]scatt = ?{ fk' (1 – fk) – fk (l – fk')}Q(k, k') dk'.
                                                                        (40)

    Процесс рассеяния из состояния k в состояние k'  приводит  к  уменьшению
fk. Вероятность этого процесса зависит от величины fk — числа  носителей  в
состоянии k, и от разности (1 – fk') —  числа  свободных  мест  в  конечном
состоянии. Имеется также обратный процесс, переход из k' в k, который ведет
к увеличению функции fk; он пропорционален величине fk'(1 – fk).  Очевидно,
надо просуммировать по всевозможным состояниям k'. Для каждой пары значений
k и k' существует, однако, «собственная» вероятность перехода  Q  (k,  k'),
равная скорости перехода в случае, когда состояние k полностью заполнено, а
состояние k' вакантно. Согласно принципу микроскопической  обратимости,  та
же функция дает и скорость перехода из  k'  в  k,  поэтому  под  интегралом
появляется общий множитель.
    Кинетическое уравнение выражает следующее:  для  любой  точки  r  и  для
любого значения k полная скорость изменения функции fk(r) равна нулю, т. е.

                              (fk/(t]scatt + (fk/(t]field + (fk/(t]diff = 0.
                                                                        (41)

    Отметим, что  здесь  рассматривается  стационарное,  но  не  обязательно
равновесное состояние. Для последнего  функция  распределения  обозначается
через f0k, оно  осуществляется  только  в  отсутствие  полей  и  градиентов
температуры.
    Допустим, однако,  что  рассматриваемое  стационарное  распределение  не
слишком сильно отличается от равновесного.

Положим

                                                              gk = fk – f0k.
                                                                        (42)

где
                                             f0k = 1/{exp[(E k – ()/kT] + 1}
                                                                        (43)
    Здесь нужно проявить  некоторую  осторожность.  Именно,  как  определить
функцию f0k  в  случае,  когда  температура  зависит  от  координат?  Будем
считать,  что  в  каждой  точке  можно   корректно   определить   локальную
температуру T(r), и положим

                                                   gk(r)=fk(r) – f0k{3T(r)}.
                                                                        (44)

    Если  введение  локальной  температуры   вызывает   затруднения,   можно
потребовать,  чтобы   окончательное   решение   удовлетворяло   какому-либо
дополнительному условию, например

                                                               (gk(r)dk = 0.
                                                                        (45)

    Подставляя выражение (42) в  кинетическое  уравнение  (41)  и  используя
равенства (7.2) и (7.5), получаем

           – vk((fk /(r – e /?(E + 1/c[vk ( H]) ((fk /(k = – (fk /(t]scatt ,
                                                                        (46)

    или

      – vk((fk /(T (T – e /?(E + 1/c[vk ( H]) (( f0k /(k = – (fk /(t]scatt +
                  vk((gk /(r + e /?(E + 1/c[vk ( H]) ((gk /(k.          (47)

    С помощью формулы (43) это уравнение можно переписать в виде

      ((f0 /(E)vk({( E (k) – () / T((T + e (E – 1/e((()} = – (fk /(t]scatt +
                        vk((gk /(r + e /?c[vk ( H] ((gk /(k.            (48)

    Это — линеаризованное уравнение Больцмана. В нем опущен член (E((gk /(k)
порядка E2, соответствующий отклонениям от закона Ома. Отброшен также  член
vk [vk ( H], тождественно равный нулю; в левую часть   уравнения  магнитное
поле явно не входит.
    Подставляя выражение (40) в уравнение  (48),  можно  убедиться,  что  мы
получили линейное интегро-дифференциальное уравнение относительно «добавки»
gk(r) к функции распределения. Функция  gk(r)  определяется  интенсивностью
электрического поля и величиной градиента температуры, входящими

в неоднородный член в левой части. Далее в этой главе мы  будем  отыскивать
решения кинетического уравнения для различных случаев в порядке  увеличения
сложности.

                           § 7. Электропроводность
    Пусть на систему наложено только электрическое поле E, и в «бесконечной»
среде  поддерживается  постоянная  температура.  С  учетом  выражения  (40)
получаем

          (– (f0 /(E)vk(eE = – ((f0 /(t)]scatt = ((fk– fk()Q(k,k()dk(= ((gk–
                                gk()Q(k,k()dk(                          (49)

    Это есть простое интегральное уравнение для неизвестной функции gk.
    Вместо    того    чтобы,    непосредственно    решать    его,    сделаем
феноменологическое предположение:

                                                      – (fk /(t]scatt = gk/(
                                                                        (50)

    Тем самым мы вводим  время  релаксации  (.  При  выключении  поля  любое
отклонение gk от равновесного распределения будет затухать по закону

                                                           – (gk /(t = gk/(,
                                                                        (51)

    или

                                                    gk(t) = gk(0)e – t / ( .
                                                                        (52)

    Подставляя определение  (50)  в  уравнение  (49),   находим

                                                     gk = (– (f0 /(E) (vk(eE
                                                                        (53)

    Чтобы найти электропроводность, вычислим соответствующую плотность тока
                                            [pic]                       (54)
    Здесь при переходе от первой строки ко второй принято во внимание, что

                              (f0kevk(r)dk ( 0,

использованы также формулы для  преобразования  объемного  интеграла  в  k-
пространстве в интеграл по изоэнергетическим поверхностям и по энергии.
    В металле функция (– (f0 /(E) ведет себя  как  (-функция  от  (E  –  (),
поэтому  остается  только  проинтегрировать  по  поверхности  Ферми.  Таким
образом,
        [pic]                                                           (55)
    Сравним это выражение с обычной макроскопической формулой

                                                                    J = ((E,
                                                                        (56)

где (  – тензор. Получим
      [pic]                                                             (57)
    Обычно имеют дело с кристаллами  кубической  симметрии,при  этом  тензор
электропроводности сводится к скаляру, помноженному на единичный тензор.  В
случае, когда оба вектора E  и  J  направлены  по  оси  х,  подынтегральное
выражение в (55) есть

                                                         (vk vk ( E) = v2xE,
                                                                        (58)

что дает 1/3 вклада от квадрата скорости, v2E. Поэтому
                                               [pic]                    (59)


    где мы ввели длину свободного пробега

                                                                     ( = (v.

                                                                        (60)

    Это есть основная формула для  электропроводности.
    Интересно посмотреть (фиг. 97), как выглядит функция  распределения  fk,
заданная выражением (7.8). Как видно из равенства (53), функция  gk  велика
только вблизи поверхности Ферми.

    [pic]

    Фиг.97. а – смещенная поверхность Ферми; б – смещенное распределение
                                   Ферми.



    Небольшая добавка появляется с той стороны, где vk(eE>0, т. е. там,  где
электроны ускоряются полем. Та же  величина  вычитается  с  противоположной
стороны.
    Фактически  по теореме Тейлора можно написать
                             [pic]                                      (61)
    Это выглядит так, как будто вся сфера Ферми сдвинулась в  k-пpoстранстве
на   величину   (e(/?)E.   Это   несколько   неверная   интерпретация.    В
действительности поле не действует на состояния вблизи дна зоны, в  глубине
сферы  Ферми.  Из-за  принципа  Паули  поле  не  может  придать   ускорения
электронам в таких состояниях; по  этой  же  причине  они  не  рассеиваются
примесью.
    Отметим, однако, что электропроводность не зависит от температуры  (если
не  считать  возможной  температурной  зависимости  ().  Эта   же   формула
справедлива при T = 0, когда распределение Ферми  имеет  совершенно  четкую
границу. Можно сказать, что электропроводность  выражается  через  смещение
жесткой поверхности Ферми.
    Заметим также, что выражение (61) можно представить в виде

                                                        fk = f0(Ek + e(vkE),
                                                                        (62)

    как будто к энергии электрона в состоянии k добавилась величина

                                                                (Ek = e(vkE.
                                                                        (63)

    Это в точности соответствует классической  ситуации,  которая  имела  бы
место, если бы электрон со  скоростью  vk  двигался  в  поле  E  в  течение
интервала времени (. Это замечание  лежит  в  основе  кинетического  метода
решения подобных задач. Добавочная  энергия,  приобретаемая  в  промежутках
между столкновениями с примесями, соответствует наличию дрейфовой  скорости
(v в направлении поля; именно

                                                           (v((E/(v) = evE(,
                                                                        (64)

или для классической частицы массы m
                                                      (v((E/(v) = evE( / mv.
                                                                        (65)

    Пусть концентрация частиц есть n, тогда полная плотность тока равна

                                                                   J = ne(v,
                                                                        (66)

и, сравнивая формулы (65), (66) и (56), находим

                                                                 ( = ne2(/m.
                                                                      (7.33)

    Легко показать, что в случае свободного электронного газа формулы (67) и
(59) эквивалентны; в металле последняя  формула  принципиально  значительно
лучше. Она показывает, что электропроводность  зависит  только  от  свойств
электронов на уровне  Ферми,  а  не  от  полной  концентрации  их.  Большую
электропроводность металлов следует  объяснять  скорее  наличием  небольшой
группы очень быстрых  электронов  на  вершине  распределения  Ферми,  а  не
высоким значением полной концентрации свободных электронов,  которым  можно
придать небольшую дрейфовую скорость.
    Основная формула (59) показывает также, что  происходит,  когда  площадь
свободной поверхности  Ферми  уменьшается  в  результате  взаимодействия  с
границами зоны, и учитывает  влияние  решетки,  ограничивающее  эффективную
скорость электронов на поверхности Ферми. Такие эффекты действительно можно
наблюдать в металлах типа Bi.
    С  другой  стороны,  формула  кинетической  теории   (67)   удобна   для
полупроводников. При этом под п  следует  понимать  концентрацию  свободных
носителей заряда. Обычно пишут

    ( = n|е|(                                                           (68)

где
                                                                  ( = |e|(/m
                                                                        (69)

    есть подвижность носителей. В более общем случае считают, что  электроны
и дырки вносят независимые вклады в полный ток и определяют их  подвижности
равенством

                                                 ( = nh |е| (h + ne |е| (e .
                                                                        (70)

    Нетрудно вывести формулу (68), скажем, из (54), принимая в  качестве  f°
классическую функцию  распределения.  При  этом  мы  допускаем,  что  время
релаксации ( может зависеть от энергии; в формулу (69) надо подставить  его
среднее значение
          [pic]                                                         (71)
где N(E) есть плотность состояний в рассматриваемой зоне. Таким образом,

                                                               (e= |e|(e /me
                                                                      (7.38)

    где те — эффективная масса электронов. Аналогичная формула справедлива и
для дырок.  Из  этих  формул  видно,  что  подвижность  может  зависеть  от
температуры.  С  ростом  T  распределение  размазывается  и  среднее  время
релаксации изменяется. В случае металла то обстоятельство, что т зависит от
энергии, не играет большой роли, ибо существенно только значение ( (EF).


смотреть на рефераты похожие на "Определение точного коэффициента электропроводности из точного решения кинетического уравнения "