Экономико-математическое моделирование

Сетевые модели планирования и управления

                          МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
                            РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


                    АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

                           Экономический факультет



                              Курсовая  работа
             По теме: «СЕТЕВЫЕ МОДЕЛИ ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ»



                                Барнаул 2001


Введение



      Сетевой моделью (другие названия:  сетевой  график,  сеть)  называется
экономико-компьютерная  модель,  отражающая  комплекс  работ  (операций)   и
событий,   связанных   с   реализацией     некоторого    проекта    (научно-
исследовательского,  производственного  и   др.),   в   их   логической    и
технологической последовательности и связи.
      Анализ сетевой  модели, представленной  в  графической  или  табличной
(матричной) форме, позволяет,
      во-первых, более четко выявить взаимосвязи этапов реализации проекта и
      во-вторых, определить наиболее  оптимальный  порядок  выполнения  этих
этапов в целях,  например,  сокращения  сроков  выполнения  всего  комплекса
работ.
      Таким образом,  методы  сетевого  моделирования  относятся  к  методам
принятия  оптимальных  решений,  что  оправдывает  рассмотрение  этого  типа
моделей в данной курсовой работе.


Первая глава: Сетевые модели планирования и управления.


      Математический аппарат сетевых моделей базируется на теории графов.
      Графом называется совокупность двух конечных множеств:
      - множества точек,  которые  называются  вершинами,  и  множества  пар
вершин,  которые  называются  ребрами.  Если  рассматриваемые  пары   вершин
являются упорядоченными, т. е. на  каждом  ребре  задается  направление,  то
граф называется ориентированным; в  противном  случае  —  неориентированным.
Последовательность неповторяющихся ребер, ведущая  от  некоторой  вершины  к
другой, образует путь.
      Граф называется связным, если для любых  двух  его  вершин  существует
путь, их соединяющий; в противном случае граф называется несвязным.
      В экономике чаще всего используются два вида графов: дерево и сеть.
      Дерево представляет собой связный граф без  циклов,  имеющий  исходную
вершину (корень) и крайние вершины;  пути  от  исходной  вершины  к  крайним
вершинам называются ветвями.
      Сеть — это ориентированный конечный связный  граф,  имеющий  начальную
вершину (источник) и конечную вершину (сток). Таким образом, сетевая  модель
представляет собой граф вида «сеть».

      В   экономических   исследованиях   сетевые   модели   возникают   при
моделировании  экономических  процессов  методами  сетевого  планирования  и
управления (СПУ).

      Объектом управления в  системах  сетевого  планирования  и  управления
являются коллективы исполнителей, располагающих  определенными  ресурсами  и
выполняющих  определенный  комплекс  операций,  который  призван  обеспечить
достижение   намеченной   цели,   например,   разработку   нового   изделия,
строительства объекта и т.п.

      Основой   сетевого планирования и управления является  сетевая  модель
(СМ), в которой моделируется совокупность взаимосвязанных работ  и  событий,
отображающих   процесс   достижения   определенной    цели. Она  может  быть
представлена в виде графика или таблицы.

      Основные понятия сетевой модели:
 . событие,
 . работа
 . путь.

На рис. 1 графически представлена сетевая модель, состоящая из 11 событий  и
16 работ, продолжительность выполнения которых указана над работами.



      Работа характеризует материальное  действие,  требующее  использования
ресурсов,  или  логическое,  требующее   лишь   взаимосвязи   событий.   При
графическом представлении работа изображается  стрелкой,  которая  соединяет
два события. Она обозначается парой заключенных в скобки чисел (i,j), где  i
— номер события, из которого работа выходит, а j — номер события, в  которое
она входит. Работа не может  начаться  раньше,  чем  свершится  событие,  из
которого она выходит. Каждая работа имеет определенную  продолжительность  t
(i,j)-Например, запись  t  (2,5)  =  4  означает,  что  работа  (2,5)  имеет
продолжительность 5  единиц.  К  работам  относятся  также  такие  процессы,
которые не требуют ни ресурсов, ни времени  выполнения.  Они  заключаются  в
установлении логической взаимосвязи работ и  показывают,  что  одна  из  них
непосредственно зависит от другой; такие работы называются фиктивными  и  на
графике изображаются пунктирными стрелками (см. работу (6,9)).
      Событиями  называются  результаты  выполнения  одной  или   нескольких
работ.  Они  не  имеют протяженности во времени. Событие  свершается  в  тот
момент, когда оканчивается последняя из  работ,  входящая  в  него.  События
обозначаются  одним   числом   и  при  графическом    представлении  сетевая
модель  изображаются  кружком  (или  иной  геометрической  фигурой),  внутри
которого проставляется его порядковый номер (i = 1, 2, ..., n).
      В сетевой модели имеется начальное событие (с номером  1), из которого
работы только выходят, и конечное событие (с номером N),  в  которое  работы
только входят.

      Путь — это цепочка  следующих  друг   за  другом   работ,  соединяющих
начальную и конечную вершины, например, в  приведенной  выше  модели  путями
являются L1 = (1, 2, 3, 7, 10, 11), L2 = (1, 2, 4, 6, 11) и др.
      Продолжительность   пути   определяется   суммой    продолжительностей
составляющих  его  работ.  Путь,  имеющий   максимальную   длину,   называют
критическим и  обозначают  LKp,  а  его  продолжительность  —  tкр.  Работы,
принадлежащие    критическому    пути,    называются    критическими.     Их
несвоевременное выполнение ведет к срыву сроков всего комплекса работ.

      Cетевая модель имеют ряд характеристик, которые  позволяют  определить
степень  напряженности  выполнения  отдельных  работ,  а  также   всего   их
комплекса и принять решение о перераспределении ресурсов.
      Перед расчетом СМ следует убедиться, что она  удовлетворяет  следующим
основным требованиям:

      1. События правильно пронумерованы, т. е. для каждой работы (i,  j)  i
 0,8);

      •   под критические (0,6 < KH(i,j) < 0,8);

      •   резервные ( KH (i,j) < 0,6).

      В  результате   перераспределения   ресурсов   стараются   максимально
уменьшить общую продолжительность работ,  что  возможно  при  переводе  всех
работ в первую группу.

      При расчете этих показателей целесообразно пользоваться  графиком  СМ.
Итак, для работ критического пути (1,2), (2,4),  (4,5),(5,10),(10,11)  Kн=1.
Для других работ:

      Kн(2,3) = 1 - (6: (33 - (6 + 9)) = 1- 0,33 = 0,67
      Kн (4,9) - 1 - (5: (33 - (6 + 3 + 9)) = 1 - 0,33 = 0,67
      Kн (5,8) = 1 - (2: (33 - (6 + 3 + 6 + 9)) = 1 - 0,22 = 0,78 и т.д.

      В соответствии с  результатами  вычислений  Кн  для  остальных  работ,
которые  представлены  в  последней  графе  табл.1,  можно  утверждать,  что
оптимизация СМ возможна в основном за счет двух резервных  работ:  (6,11)  и
(2,5).

      Сетевое планирование в условиях неопределенности.

      Продолжительность выполнения работ часто трудно задать точно и  потому
в  практической  работе  вместо  одного  числа  (детерминированная   оценка)
задаются две оценки — минимальная и максимальная.
      Минимальная   (оптимистическая)   оценка    tmin(i,j)    характеризует
продолжительность   выполнения    работы    при    наиболее    благоприятных
обстоятельствах, а максимальная (пессимистическая) tmin(i,j) — при  наиболее
неблагоприятных. Продолжительность работы  в  этом  случае  рассматривается,
как случайная величина, которая в результате реализации может принять  любое
значение  в  заданном  интервале.  Такие  оценки  называются  вероятностными
(случайными), и их ожидаемое значение tox оценивается по формуле (при  бета-
распределении плотности вероятности):

                  tож(i,j)=(3tmin (i,j) + 2t max(i,j)): 5.

      Для  характеристики  степени  разброса   возможных   значений   вокруг
ожидаемого уровня используется показатель дисперсии S2:

               S2 (i,j) = (t max (i,j) – t min (i,j) 2 :5 2  =
                     = 0.04 ( t max (i,j) – t min (i,j)2

      На основе этих оценок можно рассчитать все характеристики  СМ,  однако
они будут иметь иную природу, будут выступать  как  средние  характеристики.
При достаточно большом количестве работ можно  утверждать  (а  при  малом  —
лишь предполагать), что  общая  продолжительность  любого,  в  том  числе  и
критического,  пути  имеет  нормальный  закон   распределения   со   средним
значением, равным сумме средних значений продолжительности составляющих  его
работ, и дисперсией, равной сумме дисперсий этих же работ.

      Кроме   обычных   характеристик   СМ,   при   вероятностном    задании
продолжительности работ можно решить две дополнительные задачи:

      1) определить вероятность  того,  что  продолжительность  критического
пути tкр не превысит заданного директивного уровня Т;

      2) определить максимальный срок выполнения всего комплекса работ Т при
заданном уровне вероятности р.

      Первая задача решается на основе интеграла вероятностей  Лапласа  Ф(г)
использованием формулы:

                       P (t kp < T) = 0,5 + 0,5 Ф(z),


      Где нормированное отклонение случайной величины: z = (Т - tKp)/S Kp;

      SKp  —  среднее  квадратическое  отклонение,  вычисляемое  как  корень
квадратный из дисперсии продолжительности критического пути.

      Соответствие  между  z  и  симметричным    интегралом     вероятностей
приведено в табл. 2. Более точно соответствие между этими величинами  (когда
z вычисляется более чем  с одним знаком  в  дробной  части)  можно  найти  в
специальной статистической литературе.
      При достаточно большой полученной  величине  вероятности  (более  0,8)
можно  с   высокой   степенью   уверенности   предполагать   своевременность
выполнения всего комплекса работ.

      Для решения второй задачи используется формула:

      Т = t ож (Lkp )+ z *S kp


Таблица 2. Фрагмент таблицы стандартного нормального распределения

|z     |Фz    |z     |Фz    |
|0,1   |0,0797|1,5   |0,8664|
|0,2   |0,1585|1,6   |0,8904|
|0,3   |0,2358|1,7   |0,9104|
|0,4   |0,3108|1,8   |0,9281|
|0,5   |0,3829|1,9   |0,9545|
|0,6   |0,4515|2,0   |0,9643|
|0,7   |0,5161|2,1   |0,9722|
|0,8   |0,5763|2,2   |0,9786|
|0,9   |0,6319|2,3   |0,9836|
|1,0   |0,6827|2,4   |0,9876|
|1,1   |0,7287|2,5   |0,9907|
|1,2   |0,7699|2,6   |0,9931|
|1,3   |0,8064|2,7   |0,9949|
|1,4   |0,8385|2,8   |0,9963|


      Кроме описанного способа расчета сетей с детерминированной  структурой
и вероятностными оценками продолжительности выполнения  работ,  используется
метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). В соответствии с ним  на
вычислительной   технике    многократно    моделируется    продолжительность
выполнения работ и рассчитывается на основе  этого  основные  характеристики
сетевой модели.  Большой  объем  испытаний  позволяет  более  точно  выявить
закономерность моделируемой сети.



Вторая глава: Построение сетевой модели



      Структура сетевой модели и оценки продолжительности работ  (в  сутках)
заданы в табл. 3. Требуется:

      а) получить все характеристики СМ;

      б) оценить вероятность выполнения всего комплекса работ за 35 дней, за
30 дней;

      в) оценить максимально возможный срок выполнения всего комплекса работ
с надежностью 95% (т. е. р = 0,95).

      Три первые графы табл. 3. содержат исходные данные,  а  две  последние
графы — результаты расчетов по формулам Так, например,



                   tож(i,j)=(3tmin (i,j) + 2t max(i,j)): 5
                         tож(1,2)=(3*5 +2*7,5):5 =6
                         tож(2,3)=(3*4 +2*6,5):5 =5



               S2 (i,j) = (t max (i,j) – t min (i,j) 2 :5 2  =
                     = 0.04 ( t max (i,j) – t min (i,j)2

                      S2 (1,2) = (7,5 - 5) 2 :25  =0,25
                      S2 (2,3) = (6,5 - 4) 2 :25  =0,25



|Работа    |Продолжительность    |Ожидаемая               |Дисперсия    |
|(i,j)     |tmin(i,j) |t max(i,j)|Продолжительность       |S2 (i,j)     |
|          |          |          |tож(i,j)                |             |
|(1.2)     |5         |7.5       |5                       |0.25         |
|(2.3)     |4         |6.5       |5                       |0.25         |
|(2.4)     |3         |6         |3                       |1.00         |
|(2.5)     |1         |5.5       |4                       |0.25         |
|(3.7)     |0.5       |3.5       |1                       |0.36         |
|(4.5)     |5         |7.5       |6                       |0.25         |
|(4.6)     |3         |5.5       |4                       |0.25         |
|(4.9)     |5         |10        |7                       |1.00         |
|(5.8)     |2         |4.5       |3                       |0.25         |
|(5.10)    |7         |12        |9                       |1.00         |
|(6.9)     |0         |0         |0                       |0.00         |
|(6.11)    |3         |8         |5                       |1.00         |
|(7.10)    |4         |9         |6                       |1.00         |
|(8.10)    |2         |7         |4                       |1.00         |
|(9.10)    |1         |6         |3                       |1.00         |
|(10.11)   |8         |10.5      |9                       |0.25         |

      Получим сетевую модель аналогичную рассматриваемой во второй главе:



      Таким образом ход расчета  характеристик  модели  остается  аналогичен
рассмотренному во второй главе. Напомним,  что  критическим  является  путь:
Lкр = (1,2,4,5,10,11), а его продолжительность равна tкр= tож= 33 дня.

      Дисперсия критического пути составляет:

      S2Kp = S2(l,2) + S2(2,4) + S2(4,5) + S2(5,10) + S2(10,M) =
       = 0,25 + 1,00 + 0,25 + 1,00 + 0,25 = 2,75.

      Для  использования  формулы  показателя  дисперсии  необходимо   иметь
среднее квадратическое отклонение, вычисляемое путем извлечения из  значения
дисперсии квадратного корня, т. е.  SKp = 1,66. Тогда имеем:

      Р(tкр <35) = 0,5 + 0,5 Ф{(35 - 33)1,66} =
      = 0.5 + 0.5 Ф(1,2)=0,5+0,5*0,77=0,885

      Р(tкр <30) = 0,5 + 0,5 Ф{(30 - 33)/1,66} =  0,5 - 0,5Ф(1,8) =
      = 0,5 - 0,5 • 0,95 = 0,035.

      Таким  образом,  вероятность  того,  что  весь  комплекс  работ  будет
выполнен не более  чем  за  35  дней,  составляет  88,5%,  в  то  время  как
вероятность его выполнения за 30 дней — всего 3,5% .

      Для решения второй (по существу обратной) задачи прежде всего в табл.2
найдем значение аргумента z, которое соответствует заданной вероятности  95%
.  В  графе  Ф(z)  наиболее  близкое  значение  (0,9545  •   100%)   к   ней
соответствует г = 1,9. В этой связи  в  формуле  (3.61)  будем  использовать
именно это (не совсем точное) значение. Тогда получим:

               Т = tож(Lкр) + z-SKp = 33 + 1,9*1,66 = 36,2 дн.

      Следовательно, максимальный срок выполнения всего комплекса работ  при
заданном уровне вероятности р = 95% составляет 36,2 дня.


      Составим словесно-формульное описание алгоритма

  1. Начало процесса
  2. Ввод данных ((i,j), tmin(i,j), t max(i,j), tож(i,j), S2 (i,j);
  3. Организация цикла
  4. Вычисление для каждого значения работы:
                 tож(i,j)=(3tmin (i,j) + 2t max(i,j)): 5
                 S2 (i,j) = (t max (i,j) – t min (i,j) 2 :5 2  =
                 = 0.04 ( t max (i,j) – t min (i,j)2
  5. Завершение цикла
  6. Вычисление дисперсии критического пути
                 S2Kp = S2(l,2) + S2(2,4) + S2(4,5) + S2(5,10) + S2(10,M)
  7. Вычисление вероятности выполнения работ за 35 и 30 дней

                Р(tкр <35) = 0,5 + 0,5 Ф{(35 - 33)1,66} =
                = 0.5 + 0.5 Ф(1,2)=0,5+0,5*0,77=0,885

                Р(tкр <30) = 0,5 + 0,5 Ф{(30 - 33)/1,66} =  0,5 -  0,5Ф(1,8)
          =
                = 0,5 - 0,5 • 0,95 = 0,035.

  8. Организация цикла для нахождения Ф(z)
  9. Завершение цикла
 10. Вычисление срока выполнения всего комплекса работ
                Т = tож(Lкр) + z-SKp = 33 + 1,9*1,66 = 36,2 дн.
 11. Вывод результатов
 12. Конец процесса.



      Составим алгоритм в виде блок схемы:



-----------------------
1

2

3

4

7

5

10

8

9

6

11

6

5

1

4

3

6

4

7

0

3

5

9

9

3

4

6

1

2

4

3

5

9

7

8

6

Рис. 2

6

4

3

9

9

5

3

0

7

11

6

9

8

10

5

7

4

3

2

1

4

6

3

4

1

5

6

Выполнил:


2 курс группа № 291

  Заочное отд. Э.Ф


Проверил:



                                 Ввод данных


1

1


                                 Ввод данных


1


                                 Ввод данных


1


                                 Ввод данных


1


                                 Ввод данных





смотреть на рефераты похожие на "Сетевые модели планирования и управления"