Экономико-математическое моделирование

Экономическая кибернетика


                              Эк. Кибернетика.
Игра – матем. Модель конфликтной ситуации.
Стратегия игрока – это правила выбора действий в сложившейся ситуации.
Решение игры – это нахождение  оптимальной  стратегии  для  каждого  игрока,
т.е. нахождение цены игры.
Оптимальная стратегия игрока – это стратегия, которая  в  среднем  (настрив.
на длительную игру) дает игроку возможный наибольший выигрыш.
Неонтогонистическая – если выигрыш одной из сторон склад. из  проигрыша  др.
стороны, иначе антогонистическая – выигрыш одного равен проигрышу др.
                               Матричные игры.
- самые простые игры. Играют 2 чел. У каж конечное число  стратегий.  Список
стратегий известен каж играющему, т.е. игра с полной инф. Игра  одноходовая.

Величина выигрыша известна заранее, опис. В числовых  единицах.  Оба  дейст.
Сознательны, никто  не  поддается.  Игра  яв-ся  антогонистической.  Правила
определяют победителя.
Игры с седловой точкой обладают св-м устойчивости – если один  игрок  примен
оптим  стратегию,  то  др.  игроку  не  выгодно  отклон-ся  от  своей  оптим
стратегии.
                     Первонач сведен по т. вероятности.
Случайные событие – это событие, которое может произойти или не произойти  в
данной ситуации.
Вероятность – это количественная характеристика, мера появ-я событий.
P(А)=(число благопр. событий)/(общее число событий).
М(х)=(i хipi – матем. ожидание.
D(x)=(i х2ipi – (M(x))2 – дисперсия.
((x)=(D(x)  –  средне   квадратичное   отклонение   –   показывает   степень
разбросанности значений случайной величины относительно матем. ожидания.
Правило 3 сигм (():
P(M(x)-3((x)0); S*A- оптим стратегия.
Стратегия Вj активная второго игрока – если вероятность исполь-я ее  в  опти
стратегии больше нуля (Bi-акт, если q*i>0); S*B - оптим стратегия.
Неактивная стратегия – вероятность применения,  которой  в  оптим  стратегии
равна нулю.
Теорема устойчивости: Если один игрок применяет свою оптим стратегию,  то  2
игроку не выгодно выходить за рамки своих активных стратегий.
Теорема:  В  матр.  игре  количество  активных  стратегий   у   каж   игрока
одинаковое.
                 Применение решений в усл. неопределенности.
Рассмотрим игру человек и  природа.  Человек  –  лицо  принимающее  решение.
Природа – экон-я среда в состоянии рынка.
Отличия от матричной игры: Активные решения принимает только чел,  он  хочет
найти наиболее оптим  решение.  У  природы  стихийное  поведение  и  она  не
стремится к выигрышу. Считается, что чел знает список сост  природы,  но  не
знает какое из них будет фактическим. В игре с природой чел труднее  сделать
свой выбор, поэтому сущ несколько подходов нахождения оптимального решения.
Подход определяется склонностью чел к риску.
Риск – это может быть упущенная выгода или необход понести дополнит  произв-
е затраты.
Элементы матрицы –  это  ожидание  резуль.  Деятельности  в  завис  от  сост
природы.
1) Подход махмах “оптимистический”: В каж точке мы находим  макс  элемент  и
после этого находим макс из полученных чисел. (i=maxj aij((=maxi(i=(i0(  выб
Аi0.
Выбираем макс значение. Чел ориентир на самый лучший  возмож  результат,  не
обращ внимание на возмож неудачи.
2) Критерий Вальда –  критерий  пессимизма:  Находим  в  каж  строчке  миним
элемент и выбираем ту стратегию, которая дает макс гарантируемый доход.
(i=minj aij((=maxi (i=(i ( выб Аi0.
3)Критерий Гурвица (() – ур  пессимизма:  Человек  выбирает  0(((1.  Находим
число  (i=((i+(1-()(i  ((maxi(i=(i0  (выб  Аi0.  Если  (=1   –   кр   Вальда
(пессимизма), если (=0 – кр оптимизма. Конкретная величина  (  опред-ся  эк-
ой ситуацией.
4) Критерий Сэвиджа – кр минимального риска: Состав март  риска  по  формуле
rij=(j-аij. (ij=max aij ( rij=(j-aij.
R=(rij) –матр риска; ri=maxj rij( mini ri=ri0 ( выб Аi0.
Если бы мы знали, то мы бы выбрали наиболее эф-е решение. Для  самого  эф-го
решения: rij=0 (если Пj) ( Аi. Риск = величине упущенной возможности.

У каж критерия есть свои особенности применения. Если   мы  оценив  ситуацию
по разным критериям, то мы можем принять более обоснован решение.  Трудность
обоснования яв-ся, что природа не стремится к выигрышу.
                        Принятие решения в усл риска.
Рассотрим вариант игры чел и природы  в  случаи,  когда  нам  известно  сост
природы.  Природа  к  выигрышу  не  стремится.  Находим  стратегию,  которая
приносит макс средний доход. Средний доход расчитывается по  правилу  теории
вероятности.
Величина среднего дохода равна матем ожиданию при этой стратегии.
1) М(Ai)=n(j=1aijpj  Находим макс maxi M(Ai)
2) Правило минималь среднего риска. R=(Ai)=n(j=1rijpj. Находим наимень  mini
R(Ai).
Лемма: Указ выше 2 критерия в результате всегда приводят к  выбору  одной  и
той же оптим стратегии.
Док-во: Найдем миним сред риска  mini  R(Ai)=  mini  (jrijpj=  mini  ((j((j-
аij)pj)= mini ((j(j pj-(jаijpj)=((j(j pj  –  не  зависит  от  переменной  i,
значит это const С(= mini (С-(jаijpj)( минимум  разности  соот-ет  максимуму
вычитаемого.
maxi (jаijpj=M(Ai).
Номера стратегий, на которых достиг  миним  среднего  риска,  равны  номерам
стратегий обеспеч наиболь средний выигрыш.
             Бейссовский подход нахождения оптимального решения.
Бейсовский подход: Если первонач распредел вероятности мы получ  доход  (Q(.
Если мы можем провести эксперемент дающий новое распред вероятности в  завис
от первонач (Q(и нового (Q’ , мы делаем свой выбор стратегии. p'((Q’(.
                       Некоторые св-ва матричной игры.
Замеч№1  О  масштабе  игр:  Пусть  даны  2  игры  одинаковой  размерности  с
платежной  матрицей  р(1)  и  р(2).  При  чем  при  любых  i   и   j   выпол
(а(2)ij=(a(1)ij+(), некоторые числа ( и (. Тогда: 1) опт стратегии 1  игрока
в 1 и 2 игре одинаковые. Опт стратегии 2 игрока одинаковы в обеих играх.
2) Цена второй игры V2=(V1+(.
Для некот методов решений все элементы матр должны быть не отрицательными.
Заме№2  О  доминировании  стратегий:  Этот  прием  применяется   для   умень
размерности игры.
А: Аi доминирует над Ак (Аi>Ак), если для любого j выпол нерав-во аij>akj  и
хотя бы одно из этих нерав-в строгое.
Ак – заведомо невыгодна;  сред  размер  выигрыша  меньше;  р*к=0,  стратегия
пассивная.
В: Вj доминирует над Вt (Вj>Вt), если для любого i выпол нерав-во аij>ait  и
хотя бы одно из этих нерав-в строгое.
Bt – невыгодна ( q*t=0 – актив стратегия.
Доминир стратегии вычеркиваются и получ матр меньшей размерностью.
Замеч№3 Сравнение операций по методу  Парето:  Допустим  есть  операции  Q1,
Q2,… Qn. Для  каж  опер-и  расчит  2  параметра:  1)  E(Q)  –  эффективность
(доход);
2) r(Q) – степень риска ((-сред квадратич отклон).
Самая лучшая операция  –  это  опер  с  наилуч  эф-ю  и  с  наимень  риском.
F(Q)=(E(Q)-r(Q), где ( - это склонность к риску (не мат  проблема).  Находим
макс из этих критериев maxi  F(Qi).  Операция  Qi>Q,  если  эф-ть  не  менее
E(Qi)(E(Qj), а риск опер r(Qi)(r(Qj) и хотя бы одно из нерав-в строгое.
Доминир страт отбрас, как заведомо невыгодные.
Множ Парето – это все недоминир-е операции. Наиболее эф-е среди них.
                         Понятие о позиционных игр.
У каж игрока своя платежная матрица. Выигрыш  одного  не  означ  проигр  др.
Таким  способом  можно  высчитывать  взаимные  интересы  игроков,  а   также
возможность образования коалиции. Можно расчит  динамические  игры  учитывая
фактор времени и т.д.
Позиционные игры  –возникает  в  случаи,  когда  надо  принимать  последо-но
несколько решений, при чем выбор решения опираются на предыдущ-е решения.
Рассотрим простейш случ позиц-й  игры  с  природой.  Решение  изобр  в  виде
дерева решений.
Дерево решений – граф-е изобр-е всех возможных  альтернатив  игрока  и  сост
природы с указ вероятности соответ-х состояний и  размеров  выигрыша  в  каж
ситуации.
Альтернатива игрока изобр квадратом – список возможных  стратегий  в  соот-й
ситуации. Сост-е природы кружочком, чел на них  влиять  не  может.  Делается
оценка каж вершины и наход макс оценка  ситуаций  соот-х  каж  ветви  дерева
решений.
EMV – денежное решение; EMV=(i(отдача в i-ом сост-и)pi
maxвершина (EMV)=?




смотреть на рефераты похожие на "Экономическая кибернетика"