Экономико-математическое моделирование

Модель прогнозирования параметров финансовых рынков и оптимального управления инвестиционными портфелями


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
                    ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ



     МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ И ОПТИМАЛЬНОГО
                    УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ.



                                            Выполнил:

                                            Проверил:



                                г.Пермь 2000.

       Построение математической модели прогнозирования поведения является
трудной задачей в связи с сильным влиянием политических и других проблем
(выборы, природные катаклизмы, спекуляции крупных участников рынка…).
       В основе модели лежит анализ некоторых критериев с последующим
выводом о поведении доходности и ценовых показателей. В набор критериев
входят различные макро- и микроэкономические показатели, информация с
торговых площадок, экспертные оценки специалистов. Процедура
прогнозирования состоит из этапов:
      1. Подготовка и предварительная фильтрация данных;
      2. Аппроксимация искомой зависимости линейной функцией;
      3. Моделирование погрешности с помощью линейной сети.
       Но для повышения точности модели практикуется нелинейный анализ с
использованием многослойной однородной нейронной сети. Этапы проведения
нелинейного анализа в системе совпадают со стандартными шагами при работе с
нейросетями.
       1-й этап. Подготовка выходных данных.
       Выходными данными являются zi = yi-pi, где yi - реальное значение
прогнозируемой величины на некоторую дату, pi - рассчитанное на эту дату с
помощью линейного анализа.
       2-й этап. Нормирование входных сигналов.
       [pic]      (1)
       где xij - j-я координата некоторого критерия Xi, M[Xi] - выборочная
оценка среднего квадратичного отклонения.
       3-й этап. Выбор функции активации и архитектуры нейронной сети.
       Используются функции активации стандартного вида (сигмоидная,
ступенчатая), а также следующего вида:
       [pic]      (2)

       [pic]      (3)

       [pic]      (4)

       [pic]      (5)

       Архитектура нейронной сети представлена на рисунке:


вектор
входных
сигналов    вектор

      выходн.
Вектор      сигналов
входных
сигналов

       Введены следующие обозначения: (j - линейные сумматоры; fj -
нелинейные функции; используемые для аппроксимации; ( - итоговый сумматор.

       4-й этап. Выбор алгоритма обучения нейронной сети, основанного на
одном из следующих методов: обратного распространения ошибки, градиентного
спуска, метода сопряженных градиентов, методе Ньютона, квазиньютоновском.
Методы оцениваются по времени, затрачиваемому на обучение и по величине
погрешности.
       5-й этап. Итоговые вычисления границ прогнозируемого значения:
       P=Pлин+Рнелин(Енелин
       где Р — итоговое прогнозируемое значение, Рлин и Рнелин значение
линейного и нелинейного анализов. Енелин — погрешность полученная на этапе
нелинейного анализа.
       Результаты задачи прогнозирования используются в построенной на ее
основе задаче оптимального управления инвестиционным портфелем. В основе
разработанной задачи управления идея минимизации трансакционных издержек по
переводу портфеля в класс оптимальных.
       Используемый поход основан на предположениях, что эффективность
инвестирования в некий набор активов является реализацией многомерной
случайной величины, математическое ожидание которой характеризует
доходность (m={mi}i=1..n, где mi=M[Ri], i=1..n), матрица ковариаций — риск
(V=(Vij), i,j=1..n, где Vij=M[(Ri-mi)(Rj-mj)],i,j=1..n). Описанные
параметры (m,V) представляют собой оценку рынка и являются либо
прогнозируемой величиной, либо задаются экспертно. Каждому вектору Х,
описывающему относительное распределение средств в портфеле, можно
поставить в соответствие пару оценок: mx=(m,x), Vx=(Vx,x). Величина mx
представляет собой средневзвешенную доходность портфеля, распределение
средств в котором описывается вектором Х величина Vх (вариация портфеля
[3,5]) является количественной характеристикой риска портфеля х. Введем в
рассмотрение оператор Q, действующий из пространства Rn в пространство R2
(критериальная плоскость [3]), который ставит в соответствие вектору х пару
чисел (mx, Vx):
       Q: Rn-R2 ( (x(Rn, x(((m,x),(Vx,x)).    (7)
       В задаче управления допустимыми считаются только стандартные
портфели, т.е. так называемые портфели без коротких позиций. Правда это
накладывает на вектор х два ограничения: нормирующее условие (е,х)=1, где е
– единичный вектор размерности n, и условие неотрицательности доли в
портфеле, х>=0. Точки удовлетворяющие этим условиям образуют dв
пространствеRn так называемый стандартный (n-1)-мерный симплекс. Обозначим
его (.
       (={x(Rn((e,x)=1, x(0}
       Образом симплекса в критериальной плоскости будет являться замкнутое
ограниченное множество оценок допустимых портфелей. Нижняя граница этого
множества представляет собой выпуклую вниз кривую, которая характеризует
Парето – эффективный с точки зрения критериев выбор инвестора (эффективная
граница [3], [5]). Прообразом эффективной границы в пространстве Rn будет
эффективное множество портфелей [5]. Обозначим его как (. Данное множество
является выпуклым: линейная комбинация эффективных портфелей также
представляет собой эффективный портфель [3].
       Пусть в некоторый момент времени у нас имеется портфель,
распределение средств в котором описывается вектором х. Тогда задачу
управления можно сформулировать в следующем виде: найти такой элемент y,
принадлежащий (, что ((y,x). Иными словами, для заданной точки х требуется
найти ближайший элемент y, принадлежащий множеству (. В пространстве Rn
справедлива теорема, доказывающая существование и единственность элемента
наилучшего приближения х элементами множества ([6]. Метрика (понятие
расстояния) может быть введена следующим образом:
       ((x,y)=((i=1,nsup(yi-xi,0)+((i=1..nsup(xi-yi,0),  (9)

       где (>0 — относительная величина издержек при покупке, (>0 —
относительная величина издержек при продаже актива.



       Литература
      1. Сборник статей к 30-ти летию кафедры ЭК. ПГУ.
      2. Ивлиев СВ Модель прогнозирования рынка ценных бумаг. 6-я
         Всероссийская студенческая конференция «Актуальные проблемы
         экономики России»: Сб.тез.докл. Воронеж, 2000.
      3. Ивлиев СВ Модель оптимального управления портфелем ценных бумаг.
         Там же.
-----------------------
(1

(m

f1

f1

(




смотреть на рефераты похожие на "Модель прогнозирования параметров финансовых рынков и оптимального управления инвестиционными портфелями "