Математика

Теорема Безу


                                Теорема Безу
  Этьен   Безу–

 французский математик,  член  Парижской  Академии  Наук(  с  1758  года  ),
родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.
    С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с  1768
года и в королевском артиллерийском корпусе.
    Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре,  они   посвящены
 созданию  теории  решения   алгебраических   уравнений.  В  теории  решения
систем   линейных   уравнений   он   содействовал    возникновению    теории
определителей , развивал теорию исключения  неизвестных из систем  уравнений
высших  степеней,  доказал   теорему   (впервые   сформулированную        К.
Маклореном ) о том , что две кривые  порядка   m   и   n    пересекаются  не
более чем в   mn   точках. Во Франции и за её границей вплоть до  1848  года
был очень популярен его шеститомный“Курс математики “, написанный им в 1764-
69 годах.  Безу  развил  метод  неопределённых  множителей,  в  элементарной
алгебре его именем назван способ решения  систем  уравнений,  основанный  на
этом методе  .  Часть  трудов  Безу  посвящена  внешней  баллистике.  Именем
учёного названа одна из основных теорем алгебры.



                              Теорема    Безу.

       Остаток  от  деления  полинома Pn(x)
      на двучлен  (x-a)  равен  значению
      этого полинома  при   x = a.


Пусть :

            Pn(x) – данный многочлен степени   n ,
            двучлен  (x-a)  -   его делитель,
            Qn-1(x) –  частное  от  деления   Pn(x)   на   x-a    (многочлен
степени  n-1 ) ,
            R – остаток от деления ( R   не   содержит   переменной  x   как
делитель первой степени  относительно x ).

Доказательство :

    Согласно правилу деления многочленов с остатком  можно записать :
                        Pn (x)  = (x-a)Qn-1(x) + R .
Отсюда  при    x = a  :
                       Pn (a)  = (a-a)Qn-1 (a) + R  =0*Qn-1(a)+R=
                                 =0+R=R .

Значит ,  R =  Pn  (a) ,   т.е.   остаток   от   деления   полинома       на
(x-a)    равен       значению     этого
полинома   при   x=a ,    что   и    требовалось  доказать .



                          Следствия  из  теоремы .


Следствие 1 :

         Остаток  от деления  полинома Pn (x)
        на   двучлен   ax+b  равен    значению
        этого    полинома    при        x = -b/a ,
       т. е.     R=Pn (-b/a) .


Доказательство :

   Согласно  правилу  деления  многочленов :
             Pn  (x)= (ax + b)* Qn-1  (x) + R .
При  x= -b/a :
             Pn  (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R.   Значит  ,     R
= Pn (-b/a) , что  и  требовалось доказать.


Следствие 2:

          Если   число   a   является  корнем
        многочлена     P (x) ,     то     этот
        многочлен  делится  на    (x-a)   без
       остатка .

Доказательство :

    По  теореме  Безу  остаток  от  деления   многочлена  P (x)  на       x-
a    равен   P (a) ,  а  по  условию  a  является  корнем P (x)  ,   а   это
значит ,  что  P (a) = 0 ,   что  и  требовалось  доказать .

   Из  данного  следствия  теоремы   Безу  видно ,   что   задача    решения
уравнения  P (x) = 0  равносильна   задаче выделения  делителей   многочлена
   P ,     имеющих        первую       степень  ( линейных  делителей ) .


Следствие 3 :

           Если      многочлен    P (x)     имеет
          попарно       различные        корни
          a1 , a2 , … , an ,   то он делится  на
          произведение          (x-a1) … (x-an)
          без     остатка .

Доказательство :

    Проведём   доказательство   с   помощью   математической   индукции   по
числу  корней .   При    n=1   утверждение   доказано   в   следствии  2   .
Пусть  оно  уже  доказано  для  случая , когда  число  корней   равно   k  ,
это  значит ,  что  P(x)     делится   без     остатка      на     (x-a1)(x-
a2) … (x-ak) , где
 a1 , a2 , … , ak  -  его корни .
      Пусть   P(x)   имеет      k+1     попарно    различных    корней   .По
предположению  индукции  a1 ,  a2 ,  ak , …  ,  ak+1      являются   корнями
многочлена,  а , значит, многочлен  делится  на произедение   (x-a1)  …  (x-
ak) ,  откуда выходит ,      что
                       P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x).
При    этом    ak+1   –    корень     многочлена      P(x)    ,     т.    е.


                 P(ak+1) = 0 .
Значит ,   подставляя   вместо   x    ak+1  ,  получаем   верное   равенство
:
                        P(ak+1) = (ak+1-a1) … (ak+1-ak)Q(ak+1) =
                                    =0 .
Но  ak+1  отлично  от  чисел   a1 , … , ak  ,   и   потому    ни   одно   из
чисел    ak+1-a1 , … ,  ak+1-ak   не  равно   0  .   Следовательно  ,   нулю
равно   Q(ak+1) ,   т.  е.   ak+1  –  корень   многочлена    Q(x)  .  А   из
следствия 2    выходит  ,    что     Q(x)    делится   на      x-ak+1    без
остатка .
             Q(x) = (x-ak+1)Q1(x) ,     и  потому
             P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x) =
                    =(x-a1) … (x-ak)(x-ak+1)Q1(x) .
    Это    и    означает ,    что    P(x)     делится     на   (x-a1) …  (x-
ak+1)    без  остатка .
   Итак,   доказано ,  что  теорема  верна  при      k  =1  ,    а   из   её
справедливости   при    n = k   вытекает ,  что   она  верна  и   при   n  =
k+1.  Таким  образом,  теорема  верна  при   любом  числе    корней  ,   что
и   требовалось  доказать .



Следствие 4 :

           Многочлен  степени   n   имеет   не  более
           n   различных корней .


Доказательство :

    Воспользуемся  методом  от  противного:  если   бы   многочлен     Pn(x)
степени   n   имел  бы   более  n  корней   -  n+k  (a1 , a2   ,  …  ,  an+k
-  его   корни ) ,  тогда  бы по  ранее  доказанному      следствию 3     он

бы   делился  на произведение      (x-a1) … (x-an+k) ,    имеющее    степень
 n+k , что  невозможно .
  Мы  пришли  к  противоречию ,  значит   наше   предположение   неверно   и
многочлен  степени  n  не  может  иметь  более ,  чем    n   корней  ,   что
и  требовалось  доказать .



Следствие 5 :

         Для      любого    многочлена     P(x)
        и      числа      a       разность
        (P(x)-P(a))        делится       без
        остатка    на   двучлен    (x-a) .


Доказательство :

   Пусть   P(x) – данный  многочлен  степени  n  ,   a  -  любое число .
      Многочлен      Pn(x)      можно      представить      в      виде    :

                                                              Pn(x)=(x-a)Qn-
1(x)+R ,
       где    Qn-1(x) – многочлен ,  частное  при   делении  Pn(x)  на   (x-
a) ,
                      R – остаток   от   деления   Pn(x)   на   (x-a) .
    Причём  по  теореме  Безу :
                      R = Pn(a) ,  т.е.
                  Pn(x)=(x-a)Qn-1(x)+Pn(a) .
Отсюда
      Pn(x) - Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) ,
а это и означает делимость без остатка ( Pn(x) – Pn(a) )
на  (x-a) ,   что   и   требовалось   доказать .



Следствие 6 :

          Число     a      является    корнем
           многочлена       P(x)       степени
           не    ниже    первой    тогда     и
           только       тогда ,         когда
           P(x)       делится       на       (x-a)
           без      остатка .


Доказательство :

  Чтобы  доказать  данную  теорему  требуется  рассмотреть  необходимость  и
достаточность   сформулированного   условия .

 1.Необходимость .

     Пусть  a – корень  многочлена    P(x)  ,     тогда   по   следствию   2
P(x)     делится   на      (x-a)      без    остатка .
      Таким    образом    делимость      P(x)     на      (x-a)     является
необходимым   условием   для   того ,  чтобы   a  являлось  корнем   P(x)  ,
 т.к.   является   следствием  из  этого .


2.Достаточность .

    Пусть   многочлен   P(x)    делится   без   остатка  на  (x-a),
тогда      R = 0 ,   где  R – остаток   от   деления     P(x)     на   (x-a)
,   но  по  теореме  Безу   R = P(a) ,  откуда  выходит ,  что    P(a)  =  0
,   а  это  означает ,              что    a    является   корнем P(x) .
     Таким   образом   делимость     P(x)     на      (x-a)     является   и
достаточным  условием  для  того ,   чтобы   a   являлось  корнем    P(x) .

     Делимость   P(x)  на  (x-a)    является   необходимым   и   достаточным
условием   для   того,  чтобы    a    являлось   корнем   P(x)  ,    что   и
требовалось  доказать .



Следствие 7(авторское):

         Многочлен ,  не   имеющийй    действи-
       тельных       корней ,     в      разложении
       на  множители линейных  множителей
       не  содержит .

Доказательство :

   Воспользуемся методом  от  противного:  предполо-жим  ,  что  не  имеющий
корней многочлен P(x) при  разложении   на   множители  содержит    линейный
множитель  (x – a):
                          P(x) = (x – a)Q(x),
тогда бы он  делился  на   (x – a) ,  но  по следствию  6     a     являлось
бы   корнем   P(x) ,  а  по  условию  он  корней  не содержит .  Мы   пришли
к  противоречию ,  значит  наше  предположение  неверно  и  многочлен ,
не   имеющий    действительных   корней  ,  в  разложении    на    множители
линейных  множителей не содержит ,  что  и  требовалось  доказать .


   На     основании     теоремы   Безу   и   следствия  5  можно    доказать
следующие  утверждения:

1.  Разность     одинаковых    натуральных   степеней    на   разность    их
оснований  делится  без  остатка :

 Пусть           P(x) = xn ,     P(a) = an ,
тогда   xn – an     –   разность  одинаковых  натуральных   степеней .
   По  следствию 5
                         P(x) -  P(a) = xn – an = (x – a)Q(x) ,
а  это значит ,  что
                           (xn–an)/(x–a)=Q(x),                          т.е.
 разность  одинаковых  натуральных  степеней на     разность  их   оснований
делится  без  остатка ,  что   и   требовалось   доказать .
 Итак
 (xn – an)/(x – a) = xn-1 + axn-2 + a2xn-3 + … +an-2x + an-1.


2.  Разность   одинаковых   чётных   степеней   на   сумму   их    оснований
делится  без  остатка .

   Пусть           P(x) = x2k ,  тогда   P(a) = a2k .
Разность  одинаковых        чётных    степеней x2k  -  a2k  равна    P(x)  –
P(a) .
P(a) = a2k = (-a)2k = P(-a) , т.е. x2k - a2k = P(x) – P(-a).
   По  следствию 5
                       P(x) -  P(-a) =  (x –(- a))Q(x)=
                                            = (x + a)Q(x)
а  это значит ,  что
                            x2k – a2k = (x + a)Q(x)  или
                           (x2k – a2k)/(x + a) = Q(x) ,
т.е.   разность  одинаковых  чётных  степеней    на   сумму   их   оснований
делится  без  остатка ,  что   и   требовалось   доказать .
 Итак ,
 (x2k – a2k)/(x + a) = x2k-1 – ax2k-2 + … +a2k-2x + a2k-1.


3. Разность   одинаковых   нечётных  натуральных  степеней   на   сумму   их
оснований  не  делится .

   Пусть   P(x) = x2k+1 - a2k+1  –    разность   одинаковых         нечётных
степеней .
   По   теореме  Безу    при    делении     x2k+1 - a2k+1  на     x + a =  x
– (-a)     остаток  равен
                              R = P(-a) = (-a)2k+1 – a2k+1 = -2a2k+1
Т. к.  остаток  при  делении  не  равен   0  ,    то   разность   одинаковых
нечётных натуральных степеней  на  сумму  их  оснований  не  делится ,   что
и   требовалось  доказать .


4.  Сумма   одинаковых   нечётных  натуральных  степеней   на    сумму    их
оснований   делится   без  остатка .

Пусть           P(x) = x2л+1 ,     P(-a) = (-a)2л+1 = -а2л+1 ,
тогда      P(x) –  P(-a)  =   x2k+1  +  a2k+1        –    сумма   одинаковых
нечётных натуральных   степеней .
   По  следствию 5
                  P(x)  -   P(-a)  =  x2k+1  +  a2k+1=   (x   –(-   a))Q(x)=

                                    = (x + a)Q(x),
а  это значит ,  что
                           (x2k+1 + a2k+1)/(x + a) = Q(x) ,
т.е.   сумма  одинаковых  нечётных  натуральных  степеней    на   сумму   их
оснований  делится  без  остатка ,  что   и   требовалось   доказать .
 Итак ,
 (x2k+1 + a2k+1)/(x + a) = x2k - ax2k-1 + … - a2k-1x + a2k.


5. Сумма  одинаковых  чётных натуральных степеней  на  сумму  их   оснований
 не  делится .

   Пусть   P(x) = x2k + a2k –   сумма  одинаковых        чётных     степеней
.
   По   теореме  Безу    при    делении     x2k + a2k  на     x + a = x – (-
a)     остаток  равен
                              R = P(-a) = (-a)2k + a2k = 2a2k.
Т. к. остаток  при  делении  не  равен   0 , то  сумма   одинаковых   чётных
натуральных степеней  на сумму
их оснований не делится, что и требовалось  доказать.


     Остановимся   на    рассмотрении    некоторых    случаев     применения
теоремы   Безу  к  решению  практических   задач .


Пример 1.


   Найти  остаток  от  деления  многочлена

               x3  – 3x2 + 6x – 5
на  двучлен   x – 2 .

    По  теореме  Безу
                         R = P3 (2) = 23 – 3*22 + 6*2 – 5 = 3 .
Ответ:  R = 3 .

Пример 2.

    Найти  остаток  от   деления  многочлена
                32x4 – 64x3 + 8x2 + 36x + 4
на  двучлен  2x – 1 .

   Согласно  следствию 1  из  теоремы  Безу
         R=P4(1/2)=32*1/24–64*1/23 + 8*1/22+36*1/2+4=
= 2 – 8 + 2 + 18 + 4 =18 .
Ответ:  R = 18 .


Пример 3.

   При  каком  значении  a  многочлен
                    x4 + ax3 + 3x2 – 4x – 4
делится  без  остатка  на  двучлен  x – 2 ?

  По теореме Безу
                   R = P4 (2) = 16 + 8a + 12 – 8 – 4 = 8a +16.

Но  по  условию     R = 0 ,    значит
            8a + 16 = 0 ,
отсюда
            a = -2 .
Ответ: a = -2 .
Пример 4.

   При  каких  значениях   a   и   b   многочлен
                      ax3 + bx2 – 73x + 102
делится  на  трёхчлен
                      x2 – 5x + 6       без  остатка ?

Разложим  делитель  на  множители :
                                  x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) .
Поскольку  двучлены    x – 2   и   x – 3    взаимно  просты  ,   то   данный
многочлен   делится   на   x – 2      и      на      x  –  3  ,    а     это
значит ,    что
по  теореме  Безу

      R1 = P3 (2) = 8a + 4b – 146 + 102 =
           = 8a + 4b – 44 = 0

      R2 = P3 (3) = 27a+9b – 219 + 102 =
           = 27a +9b -117 =0

Решим систему уравнений :

     8a + 4b – 44 = 0
     27a + 9b – 117 = 0

     2a + b = 11
     3a + b = 13

Отсюда  получаем :
                               a = 2 , b = 7 .

Ответ:  a = 2 ,  b = 7 .
Пример 5.

   При  каких  значениях   a   и   b   многочлен
                                  x4 + ax3 – 9x2 + 11x + b
делится  без  остатка  на  трёхчлен
                                  x2 – 2x + 1     ?

  Представим  делитель  так :
                                    x2 – 2x + 1 = (x – 1)2
Данный  многочлен  делится  на    x – 1  без  остатка ,
если  по  теореме  Безу

   R1 = P4 (1) = 1 + a – 9 + 11 + b = a + b + 3 = 0.

Найдём  частное  от  деления  этого  многочлена  на x – 1 :

_  x4 + ax3–9x2 + 11x–a –3  x – 1
                         x4                       –                       x3
x3+(a+1)x2+(a–8)x+(a+3)
    _(a + 1)x3 – 9x2
      (a + 1)x3 – (a + 1)x2
                      _(a – 8)x2 + 11x
                        (a – 8)x2 – (a –8)x
                                        _(a + 3)x – a – 3
                                          (a + 3)x – a – 3
                                                      0
   Частное
                 x3+(a+1)x2+(a–8)x+(a+3)
                                                      делится    на    (x  –
1)  без  остатка ,  откуда
     R2 = P3 (1) = 1 + (a + 1)*1 +(a – 8)*1 + a+3 =
                     =3a – 3 = 0 .

        a + b + 3 = 0
        3a – 3 = 0

        a + b =-3
        a = 1
Из  системы :  a = 1 ,   b = -4
Ответ:  a = 1 ,  b = -4 .


Пример 6.

   Разложить на множители многочлен                            P(x) =  x4  +
4x2 – 5 .

  Среди  делителей  свободного  члена число 1   является    корнем   данного
многочлена   P(x) ,  а это  значит ,   что  по   следствию  2   из   теоремы
Безу   P(x)   делится  на  (x – 1)   без  остатка :


           _x4 + 4x2 – 5  x – 1
             x4 – x3          x3 + x2 + 5x + 5
             _x3 + 4x2 – 5
               x3 – x2
              _5x2 – 5
                5x2 – 5x
                _5x – 5
                  5x – 5
                           0


      P(x)/(x – 1) = x3 + x2 + 5x + 5 ,  значит
                                     P(x) = (x – 1)(x3 + x2 + 5x + 5).

  Среди  делителей  свободного  члена многочлена       x3 +  x2  +  5x  +  5
  x = -1   является  его  корнем ,  а это  значит ,   что  по   следствию  2
 из  теоремы  Безу      x3 + x2 + 5x + 5     делится   на   (x  +  1)    без
остатка :


           _x3 + x2 +5x + 5 x + 1
             x3 + x2             x2 +5
                         _5x + 5
                           5x + 5
                                  0

     (x3 + x2 +5x + 5)/(x + 1) = x2 +5 ,
                           значит
                                     x3 + x2 +5x + 5 = (x +1)(x2 +5).
Отсюда
            P(x) = (x – 1)(x +1)(x2 +5) .

По  следствию 7    (x2 + 5)   на   множители   не   раскладывается  ,   т.к.
действительных  корней  не  имеет ,  поэтому  P(x) далее  на  множители   не
 раскладывается .

Ответ :    x4 + 4x2 – 5 = (x – 1)(x +1)(x2 +5) .


Пример 7.

             Разложить           на           множители            многочлен
                                           P(x) = x4 + 324 .

   P(x)   корней  не  имеет , т.к.   x4  не может быть равен  -324 ,  значит
,  по  следствию 7   P(x)  на  множители  не  раскладывается .

Ответ :  многочлен на множители не раскладывается .



Пример 8.

  Какую   кратность   имеет   корень   2      для   многочлена
               P(x) = x5  - 5x4 + 7x3 – 2x2 + 4x – 8 .


Определение:  Если многочлен  P(x) делится  без  остатка на (x – a)k  ,   но
не делится на   (x – a)k+1 , то  говорят ,  что  число  a  является   корнем
 кратности  k  для P(x).



              _x5  - 5x4 + 7x3 – 2x2 + 4x – 8  x – 2
                x5  - 2x4                                x4 – 3x3 + x2 + 4
                     _-3x4 + 7x3 – 2x2 + 4x – 8
                       -3x4 + 6x3
                                  _x3 – 2x2 + 4x – 8
                                    x3 – 2x2
                                                 _4x – 8
                                                   4x – 8
                                                          0


               _x4 – 3x3 + x2 + 4  x – 2
                 x4 – 2x3               x3 – x2 – x – 2
                       _-x3 + x2 + 4
                         -x3 +2x2
                               _-x2 + 4
                                 -x2 + 2x
                                  _-2x + 4
                                    -2x + 4
                                           0

                  _ x3 – x2 – x – 2  x – 2
                     x3 – 2x2           x2 + x + 1
                   _x2 – x – 2
                     x2 – 2x
                           _x – 2
                             x – 2
                                 0

   x2 + x + 1  на  x – 2  не  делится ,  т.к. R=22 + 2 + 1=

    =7.
  Значит ,  P(x)/(x – 2)3 = x2 + x + 1 ,  т.е.  корень  2  имеет   кратность
 3  для  многочлена  P(x) .

Ответ:  корень  2  имеет  кратность  3  для  многочлена  P(x) .


Пример 9.

   Составить  кубический  многочлен ,  имеющий  корень  4  кратности   2   и
корень  -2 .

   По  следствию 3 ,  если  многочлен  P(x) имеет  корень  4   кратности   2
и корень –2 ,  то  он  делится  без  остатка  на   (x – 4)2(x + 2) ,  значит

                                           P(x)/(x – 4)2(x + 2) = Q(x) ,
т.е.     P(x) = (x – 4)2(x + 2)Q(x) =
                  = (x2 – 8x +16)(x + 2)Q(x) =
                  = (x3 – 8x2 + 16x +2x2 – 16x + 32)Q(x) =
                  = (x3 – 6x2 + 32)Q(x).

(x3 – 6x2 + 32)  -  кубический многочлен ,  но   по  условию  P(x)  –  также
кубический многочлен,  следовательно  ,   Q(x)  –  некоторое  действительное
число .
Пусть   Q(x) = 1 ,   тогда  P(x) = x3 – 6x2 + 32 .

Ответ:  x3 – 6x2 + 32 .



Пример 10.

   Определите  a  и  b  так ,  чтобы  -2  было корнем  многочлена    P(x)  =
x5  + ax2 + bx + 1,  имеющим  по  крайней  мере  кратность  два .

   Если   -2   –   корень   многочлена   P(x)   кратности   два  ,   то   по
следствию 3  P(x)  делится  на  (x + 2)2 без  остатка (R = 0)
          (x + 2)2 = x2 + 4x + 4

               _x5  + ax2 + bx + 1 x2 + 4x + 4
                  x5  + 4x4 + 4x3       x3 – 4x2 + 12x – (a + 32)
                _-4x4–4x3–ax2+bx+1
                  -4x4 – 16x3 – 16x2
                     _12x3 + (16 – a)x2 + bx + 1
                       12x3 +48x2 + 48x
                       _-(a + 32)x2 + (b – 48)x + 1
                         -(a + 32)x2 – 4(a + 32)x – 4(a + 32)

                                     (4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129

R = (4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129 =
                                           = (4a +b + 80)x + 4a + 129
Но  R = 0 ,  значит
                       (4a +b + 80)x + 4a + 129 = 0   при  любых  x .
      Это  возможно  при  условии ,  что
                                                           4a +b + 80 = 0 ,
                                                           4a + 129 = 0
   Решим  систему  двух  уравнений :

          4a +b + 80 = 0            a = -32,25
          4a + 129 = 0               b = 49

Ответ:    a = -32,25 ,   b = 49 .


   Из  рассмотренных  примеров   видно  ,   что   теорема    Безу    находит
применение   при    решении   задач ,  связанных  с делимостью   многочленов
  (нахождение  остатка  при  делении  многочленов ,  определение   кратности
 многочленов  и  т.д. ) ,   с   разложением   многочленов  на   множители  ,
 с   определением   кратности  корней  и многих  других .
    Теорема  Безу   находит    применение   при    рассмотрении   одной   из
важнейших  задач  математики – решении   уравнений .



                                 Литература.



 Бородин А.И., Бугай А.С.

Биографический  словарь деятелей в области            математики.

 Математическая энциклопедия.

 Яремчук Ф.П., Рудченко П.А.
 Алгебра и элементарные функции.

        Виленкин       Н.Я.,       Ивашев-Мусатов       О.С.,         Шварц-

              бурд С.И.
Алгебра и математический анализ.

  Курош А.Г.
Курс высшей алгебры.




смотреть на рефераты похожие на "Теорема Безу "