Математика

Теорема Штольца


                             Содержание работы:

  1. Формулировка и доказательство теоремы Штольца.
  2. Применение теоремы Штольца:
     a) [pic];
     b) нахождение предела «среднего арифметического» первых n  значений
        варианты [pic];
     c) [pic];
     d) [pic].

  3. Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения
     последовательностей.
  4. Нахождение некоторых пределов отношения функций  с  помощью  теоремы
     Штольца.



  Для определения пределов  неопределенных  выражений  [pic]  типа  [pic]
часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.
Пусть варианта [pic], причем – хотя бы начиная с  некоторого  листа  –  с
возрастанием n и [pic] возрастает:  [pic]. Тогда   [pic]=[pic],
Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).
  Допустим, что этот предел равен конечному числу [pic]:
                                   [pic].
Тогда по любому заданному [pic] найдется такой номер N, что для n>N будет
                                    [pic]
  или
                                   [pic].
Значит, какое бы  n>N  ни  взять,  все  дроби  [pic],  [pic],  …,  [pic],
[pic]лежат  между  этими  границами.  Так  как  знаменатели   их,   ввиду
возрастания yn вместе  с  номером  n,  положительны,  то  между  теми  же
границами содержится и дробь [pic], числитель  которой  есть  сумма  всех
числителей,  написанных  выше  дробей,  а  знаменатель   –   сумма   всех
знаменателей. Итак, при n>N
                                   [pic].

  Напишем теперь тождество:


                                   [pic],


  откуда

                                   [pic].
  Второе слагаемое справа при n>N становится <[pic]; первое же слагаемое,
ввиду того, что [pic], также будет <[pic], скажем,  для  n>N’.  Если  при
этом взять N’>N, то для n>N’, очевидно,  [pic],  что  и  доказывает  наше
утверждение.

  Примеры:
1. Пусть, например,  [pic].  Отсюда,  прежде  всего  вытекает,  что  (для
   достаточно больших n) [pic], следовательно, вместе  с  yn  и  xn[pic],
   причем варианта xn возрастает с возрастанием номера n. В таком случае,
   доказанную теорему можно применить к обратному отношению [pic]
                                    [pic]
(ибо здесь предел уже конечен),  откуда  и  следует,  что  [pic],  что  и
требовалось доказать.

2. При а>1
                                    [pic]

  Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:[pic]
                                    [pic]

3. Применим  теорему  Штольца  к  доказательству  следующего  интересного
   предложения:
  Если варианта an[pic]имеет предел (конечный или бесконечный),  то  этот
же предел имеет и варианта
                                    [pic]
  (“среднее арифметическое” первых n значений варианты аn).
  Действительно, полагая в теореме Штольца
                            Xn=a1+a2+…+an, yn=n,
  Имеем:
                                    [pic]
  Например, если мы знаем, что [pic],
  то и      [pic]

  4. Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)
                                   [pic],
которая представляет неопределённость вида [pic].
Полагая в теореме Штольца
                           xn=1k+2k+…+nk, yn=nk+1,
будем иметь
                                   [pic].
Но
                          (n-1)k+1=nk+1-(k+1)nk+… ,
так что
                           nk+1-(n-1)k+1=(k+1)nk+…
и
    [pic].

5. Определим предел варианты
  [pic] ,
представляющей в первой форме неопределенность вида [pic], а во второй  –
вида  [pic].  Произведя   вычитание   дробей,   получим   на   этот   раз
неопределенное выражение вида [pic]:
                                   [pic].
Полагая xn равным числителю этой дроби, а yn – знаменателю, применим  еще
раз ту же теорему. Получим
                                   [pic].
Но  [pic],
а   [pic],
так что, окончательно,
                                   [pic].

Пример 1.
  [pic]=[pic]=[pic]=[pic]=[pic]=[pic]= [pic]=[pic][pic]=[pic]=[pic].

  Пример 2.
                                   [pic]=
                                   =[pic]=
                                   =[pic]=
                                   =[pic]=
                                   =[pic]=
                                   =[pic]=
                                   =[pic].


  Пример 3.
                                    [pic]
                                   =[pic]
                                   =[pic].

  Теорема  Штольца   справедлива   для   последовательностей,   но   т.к.
последовательности есть частный случай  функций,  то  эту  теорему  можно
обобщить для функций.

  Теорема.
  Пусть функция [pic], причем, начиная  с  некоторой  xk,  g(xk+1)>g(xk),
т.е. функция возрастающая.

  Тогда          [pic],
  если только существует предел справа конечный или бесконечный.
  Доказательство:
  Допустим, что этот предел равен конечному числу k
                                   [pic].
  Тогда, по определению предела [pic]
                                    [pic]
  или
                                   [pic].
  Значит, какой бы [pic] ни взять, все дроби
                           [pic], [pic], …, [pic]
лежат между этими границами. Так как знаменатели  их,  ввиду  возрастания
g(xn) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами  содержится
и дробь [pic], числитель которой есть сумма всех  числителей,  написанных
выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при [pic]
                                   [pic].
  Напишем тождество(которое легко проверить):
                                   [pic],

  Откуда

                                   [pic].
  Второе  слагаемое  справа  при  [pic]  становится  [pic];   первое   же
слагаемое, ввиду того, что [pic], так же будет [pic], скажем, для  [pic].
Если при этом взять [pic], то для [pic], очевидно [pic], что и доказывает
теорему.


  Примеры:

  Найти следующие пределы:

   1. [pic] очевидна неопределенность [pic]
      [pic]=[pic]=[pic]=2

   2. [pic] неопределенность [pic]
      [pic]=[pic]=[pic]=[pic]=0

   3. [pic] неопределенность [pic]
      [pic]=[pic]=[pic]=[pic]



  Литература:

  “Задачи  и  упражнения  по  математическому  анализу”   под   редакцией
Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г.
  Г.М.Фихтенгольц “Курс  дифференциального  и  интегрального  исчисления”
Физматгиз 1962г. Москва.


смотреть на рефераты похожие на "Теорема Штольца"